生活中的优化问题举例
1.要制做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm ,要使其体积最大,则高为( )
cm B .1033cm cm D .2033cm
[答案] D
2.用总长为6m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3:4,那么容器容积最大时,高为( )
A .0.5m
B .1m
C .0.8m
D .1.5m
[答案] A
[解析] 设容器底面相邻两边长分别为3x m 、4x m ,则高为6-12x -16x 4=? ??
??32-7x (m),容积V =3x ·4x ·? ????32-7x =18x 2-84x 3? ??
??0
??17,314时,V ′<0,所以在x =17处,V 有最大值,此时高为0.5m.
3.内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( )
A .R
B .2R R
D .34R
[答案] C
[解析] 设圆锥高为h ,底面半径为r ,则R 2=(h -R )2+r 2,∴r 2=2Rh -h 2,
∴V =13πr 2h =π3h (2Rh -h 2)=23πRh 2-π3h 3,V ′=43πRh -πh 2.令V ′=0得h =43R . 当0 4.福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x 小时时,原油温度(单位:℃)为f (x )=13x 3-x 2+8(0≤x ≤5),那么,原油温度的瞬时 变化率的最小值是( ) A .8 B .203 C .-1 D .-8 [答案] C [解析] 瞬时变化率即为f ′(x )=x 2-2x 为二次函数,且f ′(x )=(x -1)2-1,又x ∈ [0,5],故x =1时,f ′(x )min =-1. 5.某厂生产某种产品x 件的总成本:C (x )=1 200+275x 3,又产品单价的平方与产 品件数x 成反比,生产100件这样的产品的单价为50元,总利润最大时,产量应定为__________件. [答案] 25 [解析] 设产品单价为a 元,又产品单价的平方与产品件数x 成反比,即a 2x =k , 由题知a =500x .总利润y =500x -275x 3-1200(x >0),y ′=250x -225 x 2,由y ′=0,得x =25,x ∈(0,25)时,y ′>0,x ∈(25,+∞)时,y ′<0,所以x = 25时,y 取最大值. 6.如图所示,一窗户的上部是半圆,下部是矩形,如果窗户面积 一定,窗户周长最小时,x 与h 的比为________________. [答案] 1:1 [解析] 设窗户面积为S ,周长为L ,则S =π2x 2+2hx ,h =S 2x -π4x ,∴窗户周长L =πx +2x +2h =π2x +2x +S x ,∴L ′=π2+2-S x 2.由L ′=0,得x = 2S π+4,x ∈? ????0,2S π+4时,L ′<0,x ∈? ????2S π+4,+∞时,L ′>0,∴当x =2S π+4 时,L 取最小值,此时h x =2S -πx 24x 2=2S 4x 2-π4=π+44-π4=1. 7.永泰某景区为提高经济效益,现对某一景点进行改造升级,从而扩大内需,提高旅游增加值,经过市场调查,旅游增加值y 万元与投入x (x ≥10)万元之间满足:y =f (x )=ax 2+10150x -b ln x 10,a ,b 为常数.当x =10万元时,y =万元;当x =30万元时,y =万元.(参考数据:ln2=,ln3=,ln5=. (1)求f (x )的解析式; (2)求该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值.(利润=旅游增加值-投入). [解析] (1)由条件可得 ????? a ×102+10150×10-b ln1=, a ×302+10150×30- b ln3=,解得a =-1100,b =1, 则f (x )=-x 2100+10150x -ln x 10(x ≥10). (2)T (x )=f (x )-x =-x 2100+5150x -ln x 10(x ≥10),则T ′(x )=-x 50+5150-1x =-x -1x -5050x , 令T ′(x )=0,则x =1(舍)或x =50,当x ∈(10,50)时,T ′(x )>0,因此T (x )在(10,50)上是增函数;当x ∈(50,+∞)时,T ′(x )<0,因此T (x )在(50,+∞)上是减函数, ∴当x =50时,T (x )取最大值.T (50)=-502100+5150×50-ln 5010=(万元). 8.若一球的半径为r ,作内接于球的圆柱,则圆柱侧面积的最大值为( ) A .2πr 2 B .πr 2 C .4πr 2 D .12πr 2 [答案] A [解析] 设内接圆柱的底面半径为r 1,高为t , 则S =2πr 1t =2πr 12r 2-r 21=4πr 1r 2-r 21.∴S =4πr 2r 21-r 41.令(r 2r 21-r 41)′=0得r 1=2 2r . 此时S =4π·22r ·r 2-? ?? ??22r 2=4π·22r ·22r =2πr 2. 9.某厂生产某种电子元件,如果生产出一件正品,可获利200元,如果生产出一件次品,则损失100元.已知该厂制造电子元件过程中,次品率p 与日产量x 的函数关系是:p =3x 4x +32 (x ∈N +). (1)写出该厂的日盈利额T (元)用日产量x (件)表示的函数关系式; (2)为获最大日盈利,该厂的日产量应定为多少件 [解析] (1)由意可知次品率p =日产次品数/日产量,每天生产x 件,次品数为xp ,正品数为x (1-p ).因为次品率p =3x 4x +32,当每天生产x 件时,有x ·3x 4x +32 件次品,有x ? ????1-3x 4x +32件正品.所以T =200x ? ?? ??1-3x 4x +32-100x ·3x 4x +32=25·64x -x 2x +8 (x ∈N +). (2)T ′=-25·x +32·x -16x +82 ,由T ′=0得x =16或x =-32(舍去).当0 10.时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量y (单位:千套)与销售价格x (单位:元/套)满足的关系式y =m x -2 +4(x -6)2,其中2 (1)求m 的值; (2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格x 的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数) [解析] (1)因为x =4时,y =21,代入关系式y = m x -2 +4(x -6)2,得m 2+16=21, 解得m =10. (2)由(1)可知,套题每日的销售量y =10x -2 +4(x -6)2,所以每日销售套题所获得的利润 f (x )=(x -2)[ 10x -2+4(x -6)2]=10+4(x -6)2(x -2)=4x 3-56x 2+240x -278(2 从而f ′(x )=12x 2-112x +240=4(3x -10)(x -6)(2 且在(0,103)上,f ′(x )>0,函数f (x )单调递增;在(103,6)上,f ′(x )<0,函数f (x )单调递减, 所以x =103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点,也是最大值点, 11.某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m 2的三级污水处理池(平面图如图所示).如果池四周围墙建造单价为400元/m 2,中间两道隔墙建造单价为248 元/m 2,池底建造单价为80元/m 2,水池所有墙的厚度忽视不计. (1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价; (2)若由于地形限制,该地的长和宽都不能超过16m ,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价. [解析] 设污水处理池的长为x m ,则宽为200x m ,再设总造价为y 元,则有 (1)y =2x ×400+200x ×2×400+248×2×200x +80×200=800x +259200x + 16000≥2800x ·259200x +16000=2×14400+16000=44800, 当且仅当800x =259200x ,即x =18(m)时,y 取得最小值. ∴当污水处理池的长为18m ,宽为1009m 时总造价最低,为44800元. (2)∵0 由(1)知,y =φ(x )=800(x +324x )+16000≤x ≤16).y ′=φ′(x )=800(1-324x 2),当≤x ≤16时,y ′= 800·x 2-324x 2<0,∴φ(x )在[,16]上为减函数.从而φ(x )≥φ(16)=45000. ∴当长为16m 、宽为12.5m 时,总造价最低,最低造价为45000元. 12.如图所示,在边长为60 cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形,再把它沿虚线折起,做成一个无盖的长方体箱子,箱底的边长是多少时,箱子的容积最大最大容积是多少 解 设箱子的底边长为x cm ,则箱子高h =60-x 2 cm. 箱子容积V =V (x )=x 2h =60x 2-x 32 (0 解得x 1=0(不合题意,舍去),x 2=40. 当x 在(0,60)内变化时,导数V ′(x )的正负如下表: 因此在x =40V (x )的最大值.将x =40代入V (x ) 得最大容积V =402×60-402=16 000(cm 3). 所以,箱子底边长取40 cm 时,容积最大,最大容积为16 000 cm 3. 13.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m 米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+x )x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y 万元. (1)试写出y 关于x 的函数关系式; (2)当m =640米时,需新建多少个桥墩才能使y 最小 解 (1)设需新建n 个桥墩,则(n +1)x =m , 即n =m x -1.所以y =f (x )=256n +(n +1)(2+x )x = 256? ?? ??m x -1+m x (2+x )x =256m x +m x +2m -256. (2)由(1)知,f ′(x )=-256m x 2+12mx -12=m 2x 2(x 32-512).令f ′(x )=0,得x 32=512, 所以x =64. 当0 f (x )在区间(64,640)内为增函数,所以f (x )在x =64处取得最小值.此时n =m x -1=64064-1=9. 故需新建9个桥墩才能使y 最小.