电动力学典型试题分析

典型试题分析

1、 证明题：

1、试由毕奥－沙伐尔定律证明0=??B

证明：由式：

()

()

'

'

0'

3

'

0144dv

r

x J dv r

r x J B ?

?=

?=

??

π

μπ

μ又知：

()()'

'11x J r r x J ??

?

? ???=????????，因此

()()

?

?

=

??=?

?=

r

dv

x J A A dv

r

x J B '

'

0'

'04 4π

μπ

μ式中

由

()0=????=??A B 所以原式得证。

2、试由电磁场方程证明一般情况下电场的表示式.t

A

E ??--?=

?

证：在一般的变化情况中，电场E 的特性与静电场不同。电场E]一方面受到电荷的激发，另一方面也受到变化磁场的激发，后者所激发的电场是有旋的。因此在一般情况下，电场是有源和有旋的场，它不可能单独用一个标势来描述。在变化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的表示式必然包含矢势A 在内。

t

B E A B ??-

=????=式代入得：0=??

?

??

??+

??t A E ，该式表示矢量t

A E ??+

是无旋

场，因此它可以用标势?描述，?

-?=??+

t

A E 。因此，在一般情况下电场的表

示式为：.t

A

E ??--?=

?。即得证。

3、试由洛仑兹变换公式证明长度收缩公式2

201c

v l l -

=。

答：用洛伦兹变换式求运动物体长度与该物体静止长度的关系。如图所示，设物

体沿x 轴方向运动，以固定于物体上的参考系为‘

∑。若物体后端经过1P 点（第

一事件）与前端经过2P 点（第二事件）相对于∑同时，则21P P 定义为∑上测得的

物体长度。物体两端在‘∑上的坐标设为'2'1x x 和。在∑上1P 点的坐标为1x ，2P 点

的坐标为2x ，两端分别经过1P 和2P 的时刻为21t t =。对这两事件分别应用洛伦兹

变换式得 2

222'

22

211'11,1c

v vt x x c

v vt x x -

-=

-

-=

，两式相减，计及21t t =，有

().*12

212'

1'2c

v x x x x -

-=

-式中12

x x -为∑上测得的物体长度l （因为坐标21x x 和是在∑

上同时测得的），'1'2x x -为‘∑上测得的物体静止长度0l 。由于物体对‘

∑静止，

所以对测量时刻'2

'

1

t t 和没有任何限制。由()*式得2

201c

v l l -

=。

4、试由麦克斯韦方程组证明静电场与电势的关系.?-?=E

答：由于静电场的无旋性，得：?=?0dl E 设21C C 和为由点点到21P P 的两条不同路径。21C C 与－合成闭合回路，因此 0

1

2

=?-

???C C dl

E dl

E 即

???=

?2

1

C C d

l E d

l E 因此，

电

荷

由

与路径无关，点时电场对它所作的功

点移至21P P 而只和两端点有关。把单位正电

荷由,21P P 点移至电场E 对它所作的功为：

,2

1

??P P dl E 这功定义为点点和2

1

P P 的电

势差。若电场对电荷作了正功，则电势?下降。由此，()()??-=-2

1

12P P dl E P P ??由

这定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。 相距为dl

的两点的电势差为

.

dl E d ?-=?由于

，

dl dz z

dy y

dx x

d ??=??+

??+

??=

????? 因此，电场强度E 等于电势?的负梯度 .?-?=E

5、

试由恒定磁场方程证明矢势

A 的微分方程j

A μ-=?2

。

答：已知恒定磁场方程）（10J B μ=??（在均匀线性介质内），把

）代入（1)2(A B ??=得矢势A 的微分方程 ().J A μ=????由矢量分析公式

()().2

A A A ?-???=????若取

A 满足规范条件0=??A ，得矢势A 的微分方

程 ()

0.

2

=??-=?A J A μ

6、试由电场的边值关系证明势的边值关系.11

1

22

σ?ε??ε-=??-??n

证：电场的边值关系为：()()

(

)

()

*.$,01212σ=-?

=-?

D D n

E E n

，()*式可写为 ()@12σ=-n n D D 式中n 为由介质1指向介质2的法线。利用?

ε-?==E E D

及,可用标势将()

@表为：

.11

1

22

σ?ε??ε-=??-??n

势的边值关系即得证。

7、试由静电场方程证明泊松方程ε

ρ?-=?2。

答：已知静电场方程为：?

??=??=??)2.()

1(,0ρD E 并知道 )3.(?-?=E 在均匀各向同性线

性介质中，E D ε=，将（3）式代入（2）得 ε

ρ?-=?2，ρ为自由电荷密度。

于是得到静电势满足的基本微分方程，即泊松方程。

8、试由麦克斯韦方程证明电磁场波动方程。

答：麦克斯韦方程组 ()()()()()????

??

???

??+=??=????-=??=??t x E x j x B x B t

x B x E x x E 0

000

0)()()(μεμερ表明，变化的磁场可以激发电场，而变化的电场又可以激发磁场，因此，自然可以推论电磁场可以互相激发，

形成电磁波。这个推论可以直接从麦克斯韦方程得到，在真空的无源区域，电荷密度和电流密度均为零，在这样的情形下，对麦克斯韦方程的第二个方程取旋度

并利用第一个方程，得到 ()()

t

x B x E ????-=?)(2－，再把第四个方程对时间求

导，得到

()()

()

2

2

0t

x E t x B ??=????με，从上面两个方程消去()()

t

x B ????，得到

()()

02

2

02

=??-?t

x E x E με。这就是标准的波动方程。对应的波的速度是

.1

0c =με

9、

试由麦克斯韦方程组证明电磁场的边界条件

()()()

.0;;0121212=-?=-?=-?B B n D D n E E n

δ

解：()

δ

δδρ=-=-?∴?=??-??=

???

n n f

V

S

D D D D n S D n S D n S dV

s d D 121212.

即：

对于磁场B ，把0=??

s d B S

应用到边界上无限小的扁平圆柱高斯面上，重复以上

推导可得：()

01212=-?-B B n B B n n

即：

作跨过介质分界面的无限小狭长的矩形积分回路，矩形回路所在平面与界面垂直，矩形长边边长为l ?，短边边长为'l ?。因为?=?0dl E ，作沿狭长矩形的E 的路径积分。由于'l ?比l ?小得多，当0'→?l 时，E 沿'l ?积分为二级小量，忽略沿'l ?的路径积分，沿界面切线方向积分为：012=?-?l E l E t t 即：

()*,012--t t E E 。()*可以用矢量形式表示为：()

()@012=?-t E E

式中t 为沿着矩形长边的界面切线方向单位矢量。

令矩形面法线方向单位矢量为't ，它与界面相切，显然有 ()#'t n t ?= 将()()式式代入@#，则

(

)()

()

$,0'

12=??-t n E E ，利用混合积公式

()()

B

A C C

B A ??=??，改写()#式为：()[]

12'=?-?n E E t

此式对任意't 都成立，

因此 (

)

012=?-n E E

，此式表示电场在分界面切线方向分量是连续的。

10、试由麦克斯韦方程组推导出亥姆霍兹方程022=+?E k E

答：从时谐情形下的麦氏方程组推导亥姆霍兹方程。在一定的频率下，有

H

B E D με==,，把时谐电磁波的电场和磁场方程：

()()()().

,,,iwt

iwt e

x B t x B e x E t x E --==代入麦氏

方程组???

??????

=??=????=????-=??.

0,

0,,B D t D H t

B E 消去共同因子iwt

e -后得 ???

????=??=??-=??=??.

0,0,,H E E iw H H iw E εμ在此注意一点。

在0≠w 的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的。取第一式的散度，由于

()0=????E ，因而0=??H ，即得第四式。同样，由第二式可导出第三式。在

此，在一定频率下，只有第一、二式是独立的，其他两式可由以上两式导出。 取第一式旋度并用第二式得

()E

w E με2=???? 由

()()E

E E E 2

2

-?=?-???=????，上式变为

?

?

?==+?.,

022μεw k E k E 此为亥姆霍兹方程。

11、 试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电的情况下，

导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流的情况下，导体内的电场线总是平行于导体表面。 证明：（1）导体在静电条件下达到静电平衡，所以导体内

1=E

，而：

垂直于导体表面。故0212,0,0)(E E n E E n

=?∴=-?

（2）导体中通过恒定的电流时，导体表面.0=f

σ

0,022==∴D E

即：导体外。

而：0,0)(10112=?=?==-?E n D n D D n f

εσ

即：，01=?∴E n

。导体内电场

方向和法线垂直，即平行于导体表面。 12、

设

?

和A

是满足洛伦兹规范的矢势和标势，现引入一矢量函数()t x Z ,

（赫

兹矢量），若令.1,2

t Z

c

A Z ??=??= 证明? 证明：

?

和A

满足洛伦兹规范，故有

.012=??+??t

c A ?

代入洛伦兹规范，有：

Z

?-?=?

()

.

1t Z c 1A ,0122

2t

Z c A Z t c A ??=∴???? ????????=??-??

?+??

＝即

2、 计算题：

1、真空中有一半径为0R 接地导体球，距球心为()0R a a > 处有一点电荷Q ，求空间各点的电势。

解：假设可以用球内一个假想点电荷'Q 来代替球面上感应电荷对空间电场的作用。由对称性，'Q 应在OQ 连线上。关键是能否选择'Q 的大小和位置使得球面上

0＝?的条件使得满足？

考虑到球面上任一点P 。边界条件要求

.0'

'=+

r Q r

Q 式中r 为Q 到P 的距离，

的距离。

到为P Q r '

'因此对球面上任一点，应有

）

常数。（1'

'

=-

=Q

Q r

r 由图可看出，只要选'Q 的位置使则,~'OPQ P OQ ??

）常数。（＝

20'

=a

R r

r 设'

Q

距球心为b ，两三角形相似的条件为

()3.,2

000

a

R b a

R R b =

=或由（1）和（2）式求出 )4.(0'

Q a

R Q -

=（3）和（4）式确

定假想电荷'Q 的位置和大小。

由Q 和镜象电荷'Q 激发的总电场能够满足在导体面上0＝?的边界条件，因此是空间中电场的正确解答。球外任一点

p

的电势是：

????

?

????

?

-+-

-+=?????

?-θ

θ

πεπε

?cos 2cos 24141220

2

2

'00

Rb b R a Q

R Ra a R Q

ar Q R r

Q

＝

式中r

为由Q 到P 点的距离，'r 为由'Q 到P 点的距离，R 为由球心O 到P 点的距离，

的夹角。与为OQ OP θ

2、两金属小球分别带电荷θ和θ－，它们之间的距离为l ，求小球的电荷（数值和符号）同步地作周期变化，这就是赫兹振子，试求赫兹振子的辐射能流，并讨论其特点。

解：可知赫兹振子激发的电磁场：

.

sin 41sin 4120,3

0θφθπεθπεe e P R

c E e e P R

c B ikR

ikR

=

=

（取球坐标原点在

电荷分布区内，并以P 方向为极轴，则可知B 沿纬线上振荡，E 沿径线上振荡。）。赫兹振子辐射的平均能流密度为：

()()[]

.sin 322Re 2Re 212

2

3022

20*0*n R

c p n B c B n B c H E S

θεπμμ==??=?=

因子θ2sin 表示赫兹振子辐射的角分布，即辐射的方向性。在090=θ的平面上辐射最强，而沿电偶极矩轴线方向()πθ和0=没有辐射。

3、已知海水的 11,1-?==m s r σμ 试计算频率 v 为50、610和910Hz 的三种电磁波在海水中的透入深度。

解：取电磁波以垂直于海水表面的方式入射，透射深度

mm

Hz v m

Hz v m

Hz v r r 161

10

41022

2

1035.01

10

41022

2

102721

10

45022

2

5011041

2

17

9

3976

26

7

17

00≈????=

=

=>≈????=

==>=????=

==>∴?===∴==

----ππωμσ

δππωμσ

δππωμσ

δπμμμμμωμσ

αδ时：时：时：＝

4、电荷Q 均匀分布于半径为a 的球体内，求各点的电场强度，并由此直接计算电场的散度。

解：作半径为r 的球（与电荷球体同心）。由对称性，在球面上各点的电场强度有相同的数值E ，并沿径向。当时，a r >球面所围的总电荷为Q ，由高斯定理得

,40

2

επQ

E r ds E =

=??

因而 ,42

0r

Q E πε=

写成矢量式得 ()()@.43

0a r r

Qr E >=

πε

若,a r <则球面所围电荷为：

.3

43

43

43

3

3

3

3

a

Qr a

Q r

r =

=

ππρπ

应用高斯定理得：.43

032

a

Qr

E r ds E επ=

=??

由此得 ()()*.43

0a r a

Qr E <=

πε

现在计算电场的散度。当时a r >E 应取()@式，在这区域0≠r ，由直接计算可得 ()0,03

≠=?

?r r

r

因而 ()a r r

r Q E >=?

?=

??.043

πε

当时a r

Q r a

Q E <=

=

??=

??.4340

3

03

0ερπεπε

5、一半径为R 的均匀带电球体，电荷体密度为ρ，球内有一不带电的球形空腔，其半径为1R ，偏心距离为 a ，（R R a <+1）求腔内的电场。

解：这个带电系统可视为带正电()ρ+的R 球与带负电的()ρ-的1R 球的迭加而成。因此利用场的迭加原理得球形空腔的一点M 之电场强度为：

()()

a

r r r

r E

'

0'

3333ερερερερ=

-=-+

=

6、无穷大的平行板电容器内有两层介质，极板上面电荷密度为f σ± 求电场和束缚电荷分布。

解：由对称性可知电场沿垂直于平板的方向，把()()()()()*.

0,,

,012121212???

??

?

?=-?=-?=-?=-?B B n D D n H H n E E n σα应用于下板与介质1界面上，因导体内场强为零，故得 .1f D σ=同样把()*式应用到上板与介质2界面上得.2f D σ= 由这两式得 .,2

21

1εσ

εσ

f

f

E E =

= 束缚电荷分布于

介质表面上。在两介质界面处，0

=f

σ

，由()p

f n n E E σ

σε+=-120得

().102

0120f p

E E σεεεεεσ

????

??-=-= 在介质

1

与下板分界处，由()p

f n n E E σ

σε+=-120得

,11010'

???

?

??--=+-=εεσεσ

σ

f f

p

E 在介质2与上板分界处， .12020'

'???

? ??-

=-=εεσεσ

σ

f f

p

E 容易验证，,0'

''=++p

p p σ

σσ介质整体是电中性的。

7、截面为S ，长为l 的细介质棍，沿X 轴放置，近端到原点的距离为b ，若极化强度为kx ，沿X 轴

(

)i

kx P = 。求：

（1） 求每端的束缚电荷面密度σ；（2）求棒内的束缚电荷体密度ρ。（3）总束

缚电荷。

解：（1）求‘σ在棍端 '12σ-=-n n P P kx P P P P n n ====，，'1220σ

()())

(1//1'1'

l b k b x P P kb b x P P B n B

A n A +=+===-==-==σ

σ

（2） 求'ρ 由

k

dx

dp i

kx P P -=-

==?-?='

'

ρρ

，

（3） 求'q ()()()0'

'''=--+=++=ksl S kb l b k Sl S q A B

ρσσ 8、两块接地的导体板间的夹角为α，当板间放一点电荷q 时，试用镜像法就

06090、＝α的情形分别求其电势。

解：设点电荷q 处于两导体面间()0，R 一点，两导体面间夹角为α，各象电荷处在以R

为半径的圆周上，它们的位置可用旋转矢量R

表示，设q 及其各个象电

荷的位置矢为，

、、

10R R 则有 θi R Re 0=，

()()

()

()

()

()

()

()

()

()

()

()

()

()

.

Re Re Re Re Re Re Re Re 42268

4425722246422352224222132022201θααθαθαθαθαθαθααθαθαθαθαθαα

θ

θαθα+++?---?-+-+?--+-?++?---?--?---?==

==============i i i i i i i i i i i i i i i i e R R e R R e R R e R R e R R e R R e R R e R R ，，，，，，

，

1）()

()

()

()()

()

，

，，，，

，，θ

πθ

πθ

πθ

πθ

θπθππθππ

α--++----=--=+=====

i i i i i i e

e

R R R R 2Re

Re

Re

Re

2

4321

，

34R R

=∴象电荷只有3个，各象电荷所处在的直角坐标为： .

sin sin sin cos cos cos 321321θθθθθθR y R y R y R x R x R x -===-==-=，－，，，，

空间任意一点的电势 ()()()()()()()().

sin cos sin cos sin cos sin cos 1111422

2

32

2222

2212

2

2

3210

z R y R x r z R y R x r z R y R x r z R y R x r r r r r q ++++

=

+++-=+-++=

+-+-=

???

?

??+--=

θ

θ

θθθθ

θθπε

?，，，

式中

2)

，

，，，

，，，＝

?

?

? ??-?

?

?

?

?+-??

? ??+-??

? ??-??

?

??+-??? ??---??

? ??-=--=??

? ??+-======θπθπθπθπθπθπθ

θππθπθππ

α3432326345324323232123432.

Re

Re

R Re

Re

.

Re Re

3

i i i i i i i i e

e R R R R R

，

56R R

=象电荷只有5个。各象电荷所在处的直角坐标为： ???

?

??-++--=

??

?

??--=??

?

??-=???

??--=??? ??-=??

?

??-=??? ??+=??

? ??+-=??

?

??--=???

??--=??? ??+=???

??+-=??? ??-=-=??

?

??+=??

?

??-==???

??+-=??? ??-=543210

55434321211111114.3sin

34sin 3cos 34cos 3

sin 32sin 3

sin

32sin 3cos 32cos ,

3cos 32cos ,sin 3

sin

32sin cos 3cos 32cos r r r r r r q R R y R R x R R y R R y R R x R R x R y R R y R x R R x πε

?θπθπθπθπθ

π

θπθπ

θπθπθπθπθπθθπ

θπθθπθπ，

，，，

，，

，

各个r 由相应的象电荷坐标确定。

9、在一平行板电容器的两板上加 wt v U cos 0=的电压，若平板为圆形，半径为a ，板间距离为d ，试求 （1）、两板间的位移电流

D j

；

（2）、电容器内离轴r 处的磁场强度； （3）、电容器内的能流密度。

解：（1）

z

z D D D D e Sinwt d

w v e j j Sinwt d w v t

U

d d U t E j t E t D j

00,εεεε

εε-==-=??=?

?? ????=??=??=??=

（2）θ

θ

εεεππεe aSinwt d

w v H a r e rSinwt d

w

v H rSinwt

d

w

v r j H r j rH I l d H a D D D

2 22220002

-==-

=-

==

==??

时，

（3）(

)

SinwtCoswt

d

w v a H au H d u ad ds H E a a s 2

0222επππ===????侧

10、静止长度为0l 的车厢，以速度v 相对于地面S 运行，车厢的后壁以速度为0U 向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。 解：S 系的观察者看到长度为2

01β

-l 的车厢以()i v v v

=运动，又看到小球以

i

u u

=追赶车厢。∴小球从后壁到前壁所需的时间为：

()

()()??

??

??

+-=??????+-

=

???

???-+--=

-=--?

??

??+=

?∴+-=+??? ??+-+=-++=--=

?=-202

20

002002

2

'1'22

'1'22

2

1200'

1'22

2

02002

0220202002002

2

01111111111111u u 10

'1'2c vu c

v

u l l c v

u l c v

x x c v t t c

v

t t u l t t c

v

u c vu l t c

vu c

v u c vu c vu v v u v u c vu v v u c v l t l x x ，或，

，。

11、求无限长理想的螺线管的矢势A

（设螺线管的半径为a ，线圈匝数为n ，通

电电流为I ）

解：分析：()()l Id dV x J dV r

x J A V

→=?

'

''

'

4，π

μ

。

nI

s d B l d A s

l

0B μ为：螺线管来说，它的

，又对于理想的无限长

?=

??

?

（1）当a r <时，可得：y nI

B e r nI A nI r rA B r rA

2

220

02

2

0μμππππμ=→=???→?==

（2）当a r >时，同理可得：y e r

nIa

A nI a rA

B a rA 12

222

02

2

μμππππ=→=→= 12、在大气中沿＋Z 轴方向传播的线偏振平面波，其磁场强度的瞬时值表达式

m

A

z k t J H ??? ??-+?=-075

410cos 102ππ

（1） 求0k 。（2）写出E

的瞬时值表达式

解： ()30

10

31018

7

0ππ=

?=

=

v

w k ；

()?

?

? ??-+?=?

?

?

??-+?=?=--z k t i E z k t H v E

074

074

410cos 1024410cos 10

242ππππππμ

13、内外半径分别为a 和b 的球形电容器，加上wt v v cos 0=的电压，且ω不大，故电场分布和静态情形相同，计算介质中位移电流密度D j 及穿过半径R ()b R a <<的球面的总位移电流D J 。 解：位移电流密度为：

wt

a b R w v j a b R wt v a b R v E t E

j D D sin 2

2

cos 2

,00

00-+

-=∴-+

=

-+

=

??=εε

又

穿过半径

R ()b R a <<的球面的总位移电流D

J 为：

wt a b R w v R R j J D D sin 2

44002

2

-+

-==εππ

14、证明均匀介质内部的体极化电荷密度p ρ总是等于体自由电荷密度的

??? ?

?

--εε01倍。

证：()()()

f

f

P E E P ρ

εεε

ρεεεεεερ??? ?

?

--=--=??--=-?-?=?-?=00001

即证明了均匀介质内部的体极化电荷密度p ρ总是等于体自由电荷密度。 15、一根长为l 的细金属棒，铅直地竖立在桌上，设所在地点地磁场强度为H ，

方向为南北，若金属棒自静止状态向东自由倒下，试求两端同时接触桌面的瞬间棒内的感生电动势，此时棒两端的电势哪端高？ 解：金属棒倒下接触桌面时的角速度w 由下式给出

2

212

l mg

Iw

= 式中为棒的质量，I 为棒绕端点的转动惯量（23

1

ml ），g 为重

力加速度，代入得

m g l w

ml =2

2

3

1 ，∴ l

g w 3=

棒接触桌面时的感生电动势为：

(

)

H

gl l

H

l

g dx x H

w Hdx wx l d B v l d E l

l

03

2

00

00

02

32

3μμμμε=

=

==

??=

?=

?

?

?

?

此时棒的A 点电动势高。

16、点电荷q 放在无限大的导体板前，相距为a ，若q 所在的半空间充满均匀的电介质，介质常数为ε，求介质中的电势、电场和导体面上的感生面电荷密度。

解：设象电荷'

q 位于(),0,0,'

a -尝试解为： 0,41''

>???

? ??+=x r q r q επ? 1） 求''a q 与

设在导体板上，c R q R q =???

? ??+=''

41επ? ()(

)2

22

2

'2

'2

22

2

2

2

2

''

2

2

2

'

''

'

,.

,

0 .0,0,,q

z

y a

q

z

y a

z

y a

R z y a R R q

R

q R

q R

q c R R ++=++++=

++=

-

==+=∴=∞→ε

εε?当

此式对任何y 、z 都成立，故等式两边y 、z 的对应项系数应相等，

???

??-=

=∴=??

? ??-=-

=∴=''

2

2'2

2

2

2

2

'2

'2

2

'

22

'2

114 .,

, ,

,r r q a a q a q a q a q a q

q q q

πε?εεεε

ε故又即： （2）求E ()()??

?

??+--=

??

?

???????? ????-????? ????-=??-=+++=++-=3

3''

'2

2

2

'

2

2

2

2

4114.

,r a x r a x q x r r x x r r r q

x E z y a x r z y a x r

x

πεπε?

（3）求σ

3

001122//.

0,R

qa E D D D D x x x x n n n πεσσ-

===∴==-==

17、设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度为0l ，它们以相同速率v 相对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行于尺子，求站在一根尺上

测量另一根尺的长度。 解：'S 系观察到''S 的速度 ()

2

2

2

''121c

v

v c v v v v v +-=

----=

'S ∴测得''S 的尺子长度是

(

)

(

)

2

2

2

2

02

2

20141v

c v c l c

v

v

l l +-=

+-

= 运动尺的收缩，只与相对运动的速度的绝对值

有关，∴'

'S 测得'

S 的尺子长度也是

(

)

2

2

2

20v

c v c l +-。

18、两束电子作迎面相对运动，每束电子相对于实验室的速度c v 9.0=，试求：

（1）实验室中观察者观察到的两束电子之间的相对速度；

（2） 相对于一束电子静止的观察者观察的另一束电子的速度。 解：（1）实验室系统中，电子束相对速度为 0.9c+0.9c=1.8c, (2) 相对于一束电子静止的系统中，相对速度2

212c

v v u +

=

代入c v 9.0= 得：

c u 994.0=

19、设有一随时间变化的电场wt E E cos 0

=，试求它在电导率为σ，介电常数为

ε的导体中，引起的传导电流和位移电流振幅之比，从而讨论在什么情况下，传

导电流起主要作用，什么情况下位移电流其主要作用。 解：可知传导电流为：

i

j σ=，位移电流为：

()

w j j E wt w wt E t t E j D

D εσ

εεε=

∴-=??=??=

.sin cos 00。当w εσ>>时，传导电流起主要作用；当w εσ<<时，位移电流起主要作用。 20、已知矢势

i z y x A )(52

22++=

，求

B

，若k

j A A

65++='

，A '

与A

是

否对应同一电磁场。 解：

()[]

(

)

[]

为同一电磁场。

与矢势而'

2

22'2

22.

1010655 10105)(A A A k y j z k j i z y x k z j y i x

A k

y j z i z y x k z

j y i x A B

∴??=-=++++????? ????+??+??=??-=++???+??+??=??=

21、电荷e －固定在球坐标的原点，另一电荷Z 轴上运动，其方程bt ae Z -=，其中a 、b 均为常数，试求： （1） 此电荷系统的电矩； （2） 辐射场强； （3） 辐射平均功率

解：（1）)

Z (轴正方向的单位矢量

为＝z z

bt e e eae k ez

-=ρ

（2）

[][]θ

πε

θ

πε

μθ

π

μθ

π

μθαSin r

c e

eab r

c Sin p E E H Sin cr

e

eab cr Sin p B B c r t b c r t b 2

2

2

20200414144?

?

? ??

--?

?? ?

?

--=

''=

===

''=

=

（3）辐射功率P 为：

?

?? ?

?

--=

=

??c r t b S

e

c

b

a e ds H E

P 23

04220

24πεα

22、矢势j x B A i y B A

0'0=-=，，其中0B 为常数，它们对应着同一磁场，因此，

?

?+=A A '

求式中的标量函数?。

解：()z f xy B j x B i y B A A +=∴+=-=?000'

??，

23、已知时变电磁场()()j wt kz B B i wt kz E E

-=-=cos ,cos 00，试从电磁场方程

求常数00B E 与之间满足的关系。

解：一般情况下，电磁场的基本方程是麦克斯韦方程组：

()

()()()4.03,2,1,=??=??+??=????-=??B D J t D H t B E

ρ 由（1）式得：()[]()[]

()()0

00000sin sin cos cos B k

w

E j w wt kz B j wt kz kE j wt kz B t i wt kz E k z j y i x =∴-=--??

-=-????? ?

???+??+?? 即：

24、有一带电粒子在原点附近作简谐振动，且

t

i e

Z Z ω-=0()c w Z w Z <<、为常数，设、00

试求电偶极矩和辐射场。

解：实际上此带电粒子在原点附近作简谐振动构成一个简单的振荡电偶极子系

统，这个系统的的电偶极矩为：.0k e QZ Z Q l Q P iwt

-==?=

已知一般的振

荡

电偶极矩产生的辐射

()()

n

P e

R

c P n e R

k i A B P R e

dV x J R

e x A ikR

ikR ikR

ikR

?''=

'?

=??='==?3

00

0''041

444πεπμπμπμ而

若取球坐标原点在电荷分布区内，并以P 方向为极轴，则可得，B 沿纬线上振荡。

有：φ

φθπεθπεe e R

c Qz w e e P R c B ikR ikR sin 4sin 41

3

002

30-=''=

电动力学期末考试试题库word版本

第一章 电磁现象的普遍规律 1） 麦克斯韦方程组是整个电动力学理论的完全描述。 1-1) 在介质中微分形式为 D ρ??=r 来自库仑定律，说明电荷是电场的源，电场是有源场。 0B ??=r 来自毕—萨定律，说明磁场是无源场。 B E t ???=-?r r 来自法拉第电磁感应定律，说明变化的磁场B t ??r 能产生电场。 D H J t ???=+?r r r 来自位移电流假说，说明变化的电场D t ??r 能产生磁场。 1-2) 在介质中积分形式为 L S d E dl B dS dt =-??r r r r g g ? , f L S d H dl I D dS dt =+??r r r r g g ?, f S D dl Q =?r r g ?, 0S B dl =?r r g ?。 2）电位移矢量D r 和磁场强度H r 并不是明确的物理量，电场强E r 度和磁感应强度B r ，两者 在实验上都能被测定。D r 和H r 不能被实验所测定，引入两个符号是为了简洁的表示电磁规律。 3）电荷守恒定律的微分形式为0J t ρ ??+ =?r g 。 4）麦克斯韦方程组的积分形式可以求得边值关系，矢量形式为 ()210n e E E ?-=r r r ，()21n e H H α?-=r r r r ，()21n e D D σ?-=r r r ，() 210n e B B ?-=r r r 具体写出是标量关系 21t t E E =，21t t H H α-=，21n n D D σ-=，21n n B B = 矢量比标量更广泛，所以教材用矢量来表示边值关系。 例题（28页）无穷大平行板电容器内有两层线性介质，极板上面电荷密度为f σ±，求电场和束缚电荷分布。 解：在介质1ε和下极板f σ+界面上，根据边值关系1f D D σ+-=和极板内电场为0，0 D +=r 得1f D σ=。同理得2f D σ=。由于是线性介质，有D E ε=r r ，得

电动力学试题库十及其答案

简答题（每题5分，共15分）。 1．请写出达朗伯方程及其推迟势的解． 2．当你接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离和方向有关，这是为什 么？ 3．请写出相对论中能量、动量的表达式以及能量、动量和静止质量的关 系式。 证明题（共15分）。 当两种绝缘介质的分界面上不带面电荷时，电力线的曲折满足： 1 21 2εεθθ= t a n t a n ，其中1ε和2ε分别为两种介质的介电常数，1θ和2θ分别为界面两 侧电力线与法线的夹角。（15分） 四. 综合题（共55分）。 1．平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为1l 和2l ，介电常数为1ε和 2ε，今在两板上接上电动势为U 的电池，若介质是漏电的，电导率分别为1 σ和2σ，当电流达到稳恒时，求电容器两板上的自由电荷面密度f ω和介质分界面上的自由电荷面密度f ω。（15分） 2．介电常数为ε的均匀介质中有均匀场强为0E ，求介质中球形空腔内的电场（分离变量法）。（15分）

3．一对无限大平行的理想导体板，相距为d ，电磁波沿平行于板面的z 轴方向传播，设波在x 方向是均匀的，求可能传播的波型和相应的截止频率．（15分） 4．一把直尺相对于∑坐标系静止，直尺与x 轴夹角为θ，今有一观察者以速度v 沿x 轴运动，他看到直尺与x 轴的夹角'θ有何变化？（10分） 二、简答题 1、达朗伯方程：2 2 022 1A A j c t μ??-=-? 222201c t ?ρ?ε??-=-? 推迟势的解：()()0 ,,, , ,44r r j x t x t c c A x t dV x t dV r r ρμμ?π π ?? ?? ''-- ? ?? ?? ? ''= =?? 2、由于电磁辐射的平均能流密度为222 3 2 0sin 32P S n c R θπε= ，正比于2 sin θ，反比于 2 R ，因此接收无线电讯号时，会感到讯号大小与大小和方向有关。 3 、能量：2 m c W = ；动量：),,m iW P u ic P c μ?? == ??? ；能量、动量和静止质量的关系为：22 22 02 W P m c c -=- 三、证明：如图所示 在分界面处，由边值关系可得： 切线方向 12t t E E = （1） 法线方向 12n n D D = （2） 1 ε

《电动力学》考点归纳及典型试题分析

《电动力学》知识点归纳及典型试题分析 一、试题结构 总共四个大题： 1．单选题（'210?）：主要考察基本概念、基本原理和基本公式， 及对它们的理解。 2．填空题（'210?）：主要考察基本概念和基本公式。 3．简答题 ('35?)：主要考察对基本理论的掌握和基本公式物理意 义的理解。 4. 证明题 （''78+）和计算题（''''7689+++）：考察能进行简单 的计算和对基本常用的方程和原理进行证明。例如：证明泊松方程、电磁场的边界条件、亥姆霍兹方程、长度收缩公式等等；计算磁感强度、电场强度、能流密度、能量密度、波的穿透深度、波导的截止频率、空间一点的电势、矢势、以及相对论方面的内容等等。 二、知识点归纳 知识点1：一般情况下，电磁场的基本方程为：??? ?? ?? ??=??=??+??=????-=??.0;;B D J t D H t B E ρ（此为麦克斯韦方程组）；在没有电荷和电流分布（的情形0,0==J ρ）的自由空间（或均匀

介质）的电磁场方程为：??? ?? ?? ??=??=????=????-=??.0;0;B D t D H t B E （齐次的麦克斯韦方程组） 知识点2：位移电流及与传导电流的区别。 答：我们知道恒定电流是闭合的： ()恒定电流.0=??J 在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再闭合。一般说来，在非恒定情况下，由电荷守恒定律有 .0≠??-=??t J ρ 现在我们考虑电流激发磁场的规律：()@.0J B μ=?? 取两边散度，由于 0≡????B ，因此上式只有当0=??J 时才能成立。在非恒定情形下，一般有 0≠??J ，因而()@式与电荷守恒定律发生矛盾。由于电荷守恒定律是精确的普遍规律，故应修改()@式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。 把()@式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量D J ，它和电流 J 合起来构成闭合的量 ()()*,0=+??D J J 并假设位移电流D J 与电流J 一样产生磁效应，即把()@修改为 ()D J J B +=??0μ。此式两边的散度都等于零，因而理论上就不再有矛盾。由电荷守恒定律 .0=??+ ??t J ρ 电荷密度ρ与电场散度有关系式 .0ερ=??E 两式合起来 得：.00=??? ? ? ??+??t E J ε与()*式比较可得D J 的一个可能表示式 .0 t E J D ??=ε 位移电流与传导电流有何区别： 位移电流本质上并不是电荷的流动，而是电场的变化。它说明，与磁场的变化会感应产生电场一样，电场的变化也必会感应产生磁场。而传导电流实际上是电荷的流动而产生的。 知识点3：电荷守恒定律的积分式和微分式，及恒定电流的连续性方程。

电动力学答案

电动力学(A) 试卷 一、填空题（每空2分，共32分） 1、已知矢径r ，则 ? r = 。 2、已知矢量A 和标量φ，则=??)(A φ 。 3、区域V 内给定自由电荷分布ρ 、σ ，在V 的边界上给定 或 ，则V 内电场唯一确定。 4、在迅变电磁场中，引入矢势A 和标势φ，则E = , B = 。 5、麦克斯韦方程组的微分形式 、 、 、 。 6、电磁场的能量密度为 w = 。 7、库仑规范为 。 8、相对论的基本原理为 ， 。 9、电磁波在导电介质中传播时，导体内的电荷密度 ρ = 。 10、电荷守恒定律的数学表达式为 。 二、判断题（每题2分，共20分） 1、由0 ερ =??E 可知电荷是电场的源，空间任一点，周围电荷不但对该点的场强有贡献，而且对该 点散度有贡献。（ ） 2、矢势A 沿任意闭合回路的环流量等于通过以该回路为边界的任一曲面的磁通量。（ ） 3、电磁波在波导管内传播时，其电磁波是横电磁波。（ ） 4、任何相互作用都不是瞬时作用,而是以有限的速度传播的。（ ） 5、只要区域V 内各处的电流密度0=j ，该区域内就可引入磁标势。（ ） 6、如果两事件在某一惯性系中是同时发生的，在其他任何惯性系中它们必不同时发生。（ ） 7、在0=B 的区域，其矢势A 也等于零。（ ） 8、E 、D 、B 、H 四个 ） 9、由于A B ??=，矢势A 不同，描述的磁场也不同。（ ） 10、电磁波的波动方程012222 =??-?E t v E 适用于任何形式的电磁波。（ ） 三、证明题（每题9分，共18分） 1、利用算符? 的矢量性和微分性，证明 0)(=????φr 式中r 为矢径，φ为任一标量。 2、已知平面电磁波的电场强度i t z c E E )sin( 0ωω -=，求证此平面电磁波的磁场强度为

电动力学试题库十及其答案

电动力学试题库十及其答案 简答题（每题5分，共15分）。 1 .请写出达朗伯方程及其推迟势的解. 2 .当您接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离与方向有关，这就是为什 么？ 3. 请写出相对论中能量、动量的表达式以及能量、动量与静止质量的关系式。 证明题（共15分）。 当两种绝缘介质的分界面上不带面电荷时，电力线的曲折满足:史宜w,其中i与2分别为两种介质的介电常数，1与2分别为界面两tan 1 1 侧电力线与法线的火角。（15分） 四、综合题（共55分）。 1. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分另U为11与12,介电常数为1与2,今在两板上接上电动势为U的电池，若介质就是漏电的，电导率分别为1与2，当电流达到稳包时，求电容器两板上的自由电荷面密度f与介质分界面上的自由电荷面密度f。（15分） 2. 介电常数为的均匀介质中有均匀场强为E。，求介质中球形空腔内的电场（分离变量法）。（15分） 3. 一对无限大平行的理想导体板，相距为d，电磁波沿平行丁板面的z轴方向传播,设波在x方向就是均匀的，求可能传播的波型与相应的截止频率.（15分）

电动力学试题库十及其答案 4.一把直尺相对丁坐标系静止，直尺与x轴火角为，今有一观察者以速度v 沿x轴运动，她瞧到直尺与x轴的火角' 有何变化? (10分)二、简答题r、 (2v) 1、达朗伯万程：A i 2A c t2 ，八v v 推退势的 解：A x,t v,t v,t x,t —dV v 2、由于电磁辐射的平均能流密度为S32 2 c3R2 sin2音,正比于 sin2，反比于R2, 因此接收无线电讯号时，会感到讯号大小与大小与方向有关。 2 3、能量:W ：m。：. i u2c2 m 。 ,1 u2c2 v u,ic V iW …，一… P,—;能重、动重与静止 c 质量的关系为：P2W 2 c 2 2 m b c 三、证明：如图所示 在分界面处，由边值关系可得 切线方向 法线万向 v v 又DE 由⑴得： E i sin i 由⑵(3)得： i E i cos E it D in E2t D2n E2sin i 2 E2 cos (5) 由⑷(5)两式可得：

电动力学期末考试试卷及答案五

. . 20___ - 20___ 学年度 学期 ____ 级物理教育专业 《电动力学》试题（五） 试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟 ______________________ 学号____________________ 一． 判断以下概念是否正确，对的打（√），错的打（×）（共15分，每 题3分） 1． 库仑力3 04r r Q Q F πε '=表明两电荷之间作用力是直接的超距作用，即电荷Q 把作用力直接施于电荷Q '上。 （ ） 2． 电磁场有能量、动量，在真空中它的传播速度是光速。 （ ） 3． 电磁理论一条最基本的实验定律为电荷守恒定律，其微分形式为： t j ??=??/ρ 。 （ ）

. . 4． 在介质的界面两侧，电场强度E 切向分量连续，而磁感应强度B 法向分 量 连续。 （ ） 5．在相对论中，粒子能量，动量以及静止质量的关系为： 4 2022c m c P W += 。 （ ） 二． 简答题（每题5分，共15分）。 1．如果0>??E ，请画出电力线方向图，并标明源电荷符号。 2．当你接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离和方向有关，这是为什么？ 3．以真空中平面波为例，说明动量密度g ，能流密度s 之间的关系。 三． 证明题（共15分）。

多普勒效应被广泛应用，请你利用洛伦兹变换证明运动光源辐射角频率 ω与它的静止角频率0ω的关系为：) cos 1(0 θγωωc v -= ，其中 122)/1(--=c v γ；v 为光源运动速度。（15分） 四. 综合题（共55分）。 1．半径为a 的无限长圆柱形导体，均匀通过电流I ，设导体的磁导率为μ，导体外为真空，求： （1）导体、外空间的B 、H ； （2）体磁化电流密度M j ；（15分）。 2．介电常数为ε的均匀介质中有均匀场强为0E ，求介质中球形空腔的电势 和电场（分离变量法）。（15分） 3．两频率和振幅均相等的单色平面电磁波沿z 轴方向传播，一个沿x 方向偏振，另一个沿y 方向偏振，且其相位比前者超前2 π 。求合成波的偏振。若 合成波代表电场矢量，求磁场矢量B 以及能流密度平均值S 。（15分）

电动力学期末考试试卷及答案五

判断以下概念是否正确，对的打（√），错的打（×）（共15分，每题3分） 1． 库仑力3 04r r Q Q F πε??'=表明两电荷之间作用力是直接的超距作用，即电荷Q 把作用力直接施于电荷Q '上。 （ ） 2． 电磁场有能量、动量，在真空中它的传播速度是光速。 （ ） 3． 电磁理论一条最基本的实验定律为电荷守恒定律，其微分形式为： t j ??=??/ρ? 。 （ ） 4． 在介质的界面两侧，电场强度E ?切向分量连续，而磁感应强度B ? 法向分 量连续。 （ ） 5．在相对论中，粒子能量，动量以及静止质量的关系为： 4 2022c m c P W += 。 （ ） 一． 简答题（每题5分，共15分）。 1．如果0>??E ρ ，请画出电力线方向图，并标明源电荷符号。 2．当你接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离和方向有关，这是为什么？ 3．以真空中平面波为例，说明动量密度g ρ，能流密度s ρ 之间的关系。

二． 证明题（共15分）。 多普勒效应被广泛应用，请你利用洛伦兹变换证明运动光源辐射角频率 ω与它的静止角频率0ω的关系为：) cos 1(0 θγωωc v -= ，其中 122)/1(--=c v γ；v 为光源运动速度。（15分） 四. 综合题（共55分）。 1．半径为a 的无限长圆柱形导体，均匀通过电流I ，设导体的磁导率为μ，导体外为真空，求： （1）导体内、外空间的B ?、H ? ； （2）体内磁化电流密度M j ? ；（15分）。 2．介电常数为ε的均匀介质中有均匀场强为0E ? ，求介质中球形空腔内的电势和电场（分离变量法）。（15分） 3．两频率和振幅均相等的单色平面电磁波沿z 轴方向传播，一个沿x 方向偏振，另一个沿y 方向偏振，且其相位比前者超前2 π 。求合成波的偏振。若 合成波代表电场矢量，求磁场矢量B v 以及能流密度平均值S v 。（15分） 4．在接地的导体平面有一半径为a 的半球凸部，半球的球心在导体平面上，如图所示。点电荷Q 位于系统的对称轴上，并与平面相距为b （a b >）。试用电像法求空间电势。（10分） Q a b ?

电动力学试题及其答案(3)

电动力学(C) 试卷 班级 姓名 学号 题号 一 二 三 四 总 分 分数 一、填空题（每空2分，共32分） 1、已知矢径r ，则 ×r = 。 2、已知矢量A 和标量 ，则 )(A 。 3、一定频率ω的电磁波在导体内传播时，形式上引入导体的“复电容率”为 。 4、在迅变电磁场中，引入矢势A 和标势 ，则E = , B = 。 5、麦克斯韦方程组的积分形 式 、 、 、 。 6、电磁场的能流密度为 S = 。 7、欧姆定律的微分形式为 。 8、相对论的基本原理 为 ， 。 9、事件A ( x 1 , y 1 , z 1 , t 1 ) 和事件B ( x 2 , y 2 , z 2 , t 2 ) 的间隔为 s 2 = 。

10、位移电流的表达式为 。 二、判断题（每题2分，共20分） 1、由j B 0 可知，周围电流不但对该点的磁感应强度有贡献，而且对该点磁感应强度的旋度有贡献。（ ） 2、矢势A 沿任意闭合回路的环流量等于通过以该回路为边界的任一曲面的磁通量。（ ） 3、电磁波在波导管内传播时，其电磁波可以是横电波，也可以是横磁波。（ ） 4、任何相互作用都是以有限的速度传播的。（ ） 5、由0 j 可知，稳定电流场是无源场。。（ ） 6、如果两事件在某一惯性系中是同时同地发生的，在其他任何惯性系中它们必同时发生。（ ） 7、平面电磁波的电矢量和磁矢量为同相位。（ ） 8、E 、D 、B 、H 四个物理量中只有E 、B 为描述场的基本物理量。（ ） 9、由于A B ，虽然矢势A 不同，但可以描述同一个磁场。（ ） 10、电磁波的亥姆霍兹方程022 E k E 适用于任何形式的电磁波。（ ） 三、证明题（每题9分，共18分） 1、利用算符 的矢量性和微分性，证明 )cos()]sin([00r k E k r k E 式中r 为矢径，k 、0E 为常矢量。 2、已知平面电磁波的电场强度j t z c E E )sin(0 ，求证此平面电磁波的 磁场强度为 i t z c c E B )sin(0 四、计算题（每题10分，共30分） 1、迅变场中，已知)(0t r k i e A A , ) (0t r k i e ，求电磁场的E 和B 。 2、一星球距地球5光年，它与地球保持相对静止，一个宇航员在一年

《电动力学》知识点归纳及典型试题分析

《电动力学》知识点归纳及典型试题分析 一、知识点归纳 知识点1：一般情况下，电磁场的基本方程为：???? ?????=??=??+??=????-=??.0;;B D J t D H t B E ρρρρρρρρ（此为麦克斯韦方程组）；在没有电荷和电流分布（的情形0,0==J ρρ）的自由空间（或均匀介质）的电磁场方程为：???? ?????=??=????=????-=??.0;0;B D t D H t B E ρρρρρρ（齐次的麦克斯韦方程组） 知识点2：位移电流及与传导电流的区别。 答：我们知道恒定电流是闭合的： ()恒定电流.0=??J 在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再闭合。一般说来，在非恒定情况下，由电荷守恒定律有 .0≠??-=??t J ρ 现在我们考虑电流激发磁场的规律：()@.0J B μ=?? 取两边散度，由于0≡????B ，因此上式只有当0=??J 时才能成立。在非恒定情形下，一般有0≠??J ，因而()@式与电荷守恒定律发生矛盾。由于电荷守恒定律是精确的普遍规律，故应修改()@式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。 把()@式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量D J ，它和电流J 合起来构成闭合的量 ()()*,0=+??D J J 并假设位移电流D J 与电流J 一样产生磁效应，即把()@修改为 ()D J J B +=??0μ。此式两边的散度都等于零，因而理论上就不再有矛盾。由电荷守恒定律 .0=??+ ??t J ρ电荷密度ρ与电场散度有关系式 .0ερ=??E 两式合起来

得：.00=??? ? ???+??t E J ε与()*式比较可得D J 的一个可能表示式 .0 t E J D ??=ε 位移电流与传导电流有何区别： 位移电流本质上并不是电荷的流动，而是电场的变化。它说明，与磁场的变化会感应产生电场一样，电场的变化也必会感应产生磁场。而传导电流实际上是电荷的流动而产生的。 知识点3：电荷守恒定律的积分式和微分式，及恒定电流的连续性方程。 答：电荷守恒定律的积分式和微分式分别为：0=??+????-=???t J dV t ds J S V ρρρρ 恒定电流的连续性方程为：0=??J 知识点4：在有介质存在的电磁场中，极化强度矢量p 和磁化强度矢量M 各的定义方法；P 与P ρ；M 与j ；E 、D 与p 以及B 、H 与M 的关系。 答：极化强度矢量p ：由于存在两类电介质：一类介质分子的正电中心和负电中心不重和，没有电偶极矩。另一类介质分子的正负电中心不重和，有分子电偶极矩，但是由于分子热运动的无规性，在物理小体积内的平均电偶极矩为零，因而也没有宏观电偶极矩分布。在外场的作用下，前一类分子的正负电中心被拉开，后一类介质的分子电偶极矩平均有一定取向性，因此都出现宏观电偶极矩分布。而宏观电偶极矩分布用电极化强度矢量P 描述，它等于物理小体积V ?内的 总电偶极矩与V ?之比，.V p P i ?=∑ρi p 为第i 个分子的电偶极矩，求和符号表示 对V ?内所有分子求和。 磁化强度矢量M ： 介质分子内的电子运动构成微观分子电流，由于分子电流取向的无规性，没有外场时一般不出现宏观电流分布。在外场作用下，分子电流出现有规则取向，形成宏观磁化电流密度M J 。分子电流可以用磁偶极矩描述。把分子电流看作载有电流i 的小线圈，线圈面积为a ，则与分子电流相应的磁矩为： .ia m = 介质磁化后，出现宏观磁偶极矩分布，用磁化强度M 表示，它定义为物理小体积V ?内的总磁偶极矩与V ?之比， .V m M i ?=∑ M B H P E D M j P M P ρρρρρρρρρ-=+=??=??=0 0,,,μερ

电动力学试卷及答案1A

电动力学期末考试 物理学 专业 级 班 《电动力学》 试卷A 一．填空（每空1分，共14分） 1. a 、k 及0E 为常矢量，则)]sin([0r k E ???= , )]sin([0r k E ???= 2. 能量守恒定律的积分式是－??σ d s =??dV f ν +dV w dt d ?，它的物理意义是____________________ 3. 反射波电场与入射波电场反相,这现象称为反射过程中的 4. 平面波e x t kx E E ?)cos(0ω-= ,e y t kx C E B ?)cos(0ω-= ，则动量密度B E g ?=0ε的周期平均值为 ；若这平面波垂直投射于一平板上，并全部被吸收，则平板所受的压强为 5. 波矢量αβ i k +=,其中相位常数是 ，衰减常数是 6．电容率ε'=ε+i ω σ ,其中实数部分ε代表______电流的贡献，它不能引起电磁波功率的耗散，而虚数部分是______电流的贡献，它引起能量耗散。 7．频率为91030?HZ 的微波，在0.7cm ?0.4cm 的矩形波导管中，能以什么波模传播？答： 8. 洛伦兹规范辅助条件为____________ ；达朗贝尔方程的四维形式是 9. 洛伦兹变换矩阵为 二． 单项选择（每题2分，共26分） 1. 若m 为常矢量，矢量R R m A 3 ?=标量R R m 3 ?=φ，则除R=0点外，A 与φ应满足关系（ ） A. ▽?A =▽φ B. ▽?A =-▽φ C. A =▽φ D. 以上都不对 2．设区域V 内给定自由电荷分布)(x ρ,在V 的边界S 上给定电势φ/s 或电势的法向导数n ??φ /s,则V 内的电场（ ） A. 唯一确定 B.可以确定但不唯一 C.不能确定 D.以上都不对 3．对于均匀带电的立方体，有（ ） A.电偶极矩不为零，电四极矩也不为零 B.电偶极矩为零，电四极矩不为零 C.电偶极矩为零，电四极矩也为零 D.电偶极矩不为零，电四极矩为零 4．电四极矩是无迹对称张量，它有几个独立分量？（ ） A. 9个 B. 6个 C. 5个 D. 4个 5．一个处于x ' 点上的单位点电荷所激发的电势)(x ψ满足方程（ ）

电动力学试题库一及答案

福建师范大学物理与光电信息科技学院 20___ - 20___ 学年度学期____ 级物理教育专业 《电动力学》试题（一） 试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟 姓名______________________ 学号____________________ 一．判断以下概念是否正确，对的打（√），错的打（×）（共15分，每题3分） 1．电磁场也是一种物质，因此它具有能量、动量，满足能量动量守恒定律。 ( ) 2．在静电情况，导体内无电荷分布，电荷只分布在表面上。 （） 3．当光从光密介质中射入，那么在光密与光疏介质界面上就会产生全反射。

（） 4．在相对论中，间隔2S在任何惯性系都是不变的，也就是说两事件时间先后关系保持不变。 （） 5．电磁波若要在一个宽为a，高为b的无穷长矩形波导管中传播，其角 频率为 2 2 ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ≥ b n a m με π ω （） 二．简答题。（每题5分，共15分） 1．写出麦克斯韦方程组，由此分析电场与磁场是否对称为什么 2．在稳恒电流情况下，有没有磁场存在若有磁场存在，磁场满足什么方程 3．请画出相对论的时空结构图，说明类空与类时的区别．

三． 证明题。（共15分） 从没有电荷、电流分布的麦克斯韦方程出发，推导真空中的E 、B 的波动方程。 四． 综合题。（共55分） 1．内外半径分别为1r 和2r 的无穷长空心导体圆柱，沿轴向流有稳恒均 匀自由电流f j ，导体的磁导率为μ，求磁感应强度和磁化电流。（15分） 2． 有一个很大的电解槽中充满电导率为2σ的液体，使其中流着均匀 的电流f j ，今在液体中置入一个电导率为1σ的小球，求稳恒时电流分布和 面电荷分布。（分离变量法）（15分） 3． 有带电粒子沿z 轴作简谐振动t i e z z ω-=0，设c z <<ω0，求它的辐 射场E 、B 和能流S 。（13分） 4． 一辆以速度v 运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物 时，看见其避雷针跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线的两铁塔。求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时间差。该建筑

电动力学试题

1、（15分）一半径为a的不接地导体球的中心与坐标原点重合，球上总电荷为零，两个电量均为q的点电荷置于x轴上，处（b，c均大于a），求：球外空间的电势；x=b处的电荷所受到的作用力。 2、（15分）两个无限大，相互平行的平面上均有面电流流动，其面电流密度大小均为K，且方向相反。求全空间的磁矢势A和磁感应强度B. 3、（20分）长和宽分别为a和b的矩形波导管内电磁波的群速度可定义为，其中W为单位时间内通过横截面的电磁能量的周期平均值，P为单位长度波导管内的电磁能量的周期平均值。如管内为真空，对波（m n均大于零），求W和P并由此求出。 4、（15分）电磁场存在时的动量守恒定律可表示为，其中g为电磁场，T为动量流密度张量。由该等式导出相应的角动量守恒定律的表达式，并给出角动量流密度张量的表达式。 5、（20分）位于坐标原点的电偶极距为的电偶极子，以匀角速度ω绕通过其中心的z轴在x-y平面转动，求辐射场E，B，辐射场能流密度的周期平均值和平均辐射功率。 6、（15分）在惯性系S中观测到：两个宇宙飞船A和B分别在两条平行直线上匀速运动，起速度大小均为c/2，方向相反，两平行线相距为d，飞船的大小远小于d，当两飞船相距为d时，由飞船A以3c/4的速度（也是在S系测量的）沿直线抛出一小球，问： 从飞船A上的观察者来看，为使小球正好与飞船B相遇，小球应沿什么方向抛出？ 在飞船A上的观察者来看，小球的速率是多少？ 文章来自：人人考研网(https://www.wendangku.net/doc/2318861040.html,)更多详情请参考：https://www.wendangku.net/doc/2318861040.html,/html/kaoyanshiti/201004/21-32447.html 一）考试内容 考试范围为理科院校物理系《电动力学》课程的基本内容。以郭硕鸿著《电动力学》（第二版）（高等教育出版社）为例，内容涵盖该教材的第一至六章，麦克斯韦方程、静电场、静磁场、电磁波的传播、辐射、狭义相对论均在其中。试题重点考查的内容： 一、静电场 1．拉普拉斯方程与分离变量法 2．镜象法 3．电多极矩 二、静磁场 1．矢势 2．磁标势 3．磁多极矩 三、电磁波的传播 1．平面电磁波 2．谐振腔 3．波导

(完整版)电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理(复习备考专用)

电动力学答案 第一章 电磁现象的普遍规律 1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式： B A B A A B A B B A )()()()()(??+???+??+???=??A A A A )()(2 21??-?=???A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明： u u f u f ?= ?d d )(， u u u d d )(A A ? ?=??， u u u d d )(A A ??=?? 证明：

3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-= 为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。 （1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系： r r r /'r =-?=? ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-?=? ； 0)/(3=??r r ； 0)/(')/(33=?-?=??r r r r ， )0(≠r 。 （2）求r ?? ，r ?? ，r a )(?? ，)(r a ?? ，)]sin([0r k E ???及 )]sin([0r k E ??? ，其中a 、k 及0E 均为常向量。 4. 应用高斯定理证明 f S f ?=????S V V d d ，应用斯托克斯 （Stokes ）定理证明??=??L S ??l S d d

5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t V x x p ? = ρ，利用电荷守恒定律0=??+ ??t ρ J 证明p 的变化率为：?=V V t t d ),'(d d x J p 6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3 /R ）（R m A ?=的旋度等于标量3 /R R m ?=?的梯度的负值，即 ?-?=??A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原 点指向场点。

电动力学典型试题分析(精品文档)

典型试题分析 1、 证明题： 1、试由毕奥－沙伐尔定律证明0=??B 证明：由式： () () '' 0'3'0 144dv r x J dv r r x J B ??=?=??πμπμ又知： ()()''11x J r r x J ??? ? ???=????????，因此 ()()??=??=??=r dv x J A A dv r x J B ' '0''04 4πμπμ式中 由 ()0=????=??A B 所以原式得证。 2、试由电磁场方程证明一般情况下电场的表示式.t A E ??--?= ? 证：在一般的变化情况中，电场E 的特性与静电场不同。电场E]一方面受到电荷的激发，另一方面也受到变化磁场的激发，后者所激发的电场是有旋的。因此在一般情况下，电场是有源和有旋的场，它不可能单独用一个标势来描述。在变化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的表示式必然包含矢势A 在内。 t B E A B ??- =????=式代入得：0=?? ? ?? ??+??t A E ， 该式表示矢量t A E ??+是无旋场，因此它可以用标势?描述，?-?=??+ t A E 。因此，在一般情况下电场的表示式为：.t A E ??--?= ?。即得证。 3、试由洛仑兹变换公式证明长度收缩公式22 1c v l l -=。 答：用洛伦兹变换式求运动物体长度与该物体静止长度的关系。如图所示，设物 体沿x 轴方向运动，以固定于物体上的参考系为‘ ∑。若物体后端经过1P 点（第 一事件）与前端经过2P 点（第二事件）相对于∑同时，则21P P 定义为∑上测得的 物体长度。物体两端在‘∑上的坐标设为'2'1x x 和。在∑上1P 点的坐标为1x ，2P 点 的坐标为2x ，两端分别经过1P 和2P 的时刻为21t t =。对这两事件分别应用洛伦兹

电动力学期末试卷

电动力学期末试卷 浙江大学2009–2010学年秋冬学期 《电动力学》课程期末考试试卷课程号:_06120310，开课学院:_物理系 考试试卷:A卷、B卷考试形式:闭、开卷，允许带_1张A4纸入场 考试日期: 2010 年 1 月 19 日, 考试时间: 120 分钟 诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。 考生姓名: 学号: 所属院系: _ 题序一二三四五六总分 得分 评卷人 一、简答题 :5 (每小题分) 1) Explain the transverse Doppler shift and the starlight aberration. 2) What is anomalous dispersion? 3) Derive Snell’s law. 4) Compare Bremsstrahlung and Synchrotron radiation? 5) What is TEM waves? Can they exist in a rectangular wave guide? (以下每题15分) 二、Two infinitely long grounded metal plates, at yandya,,0, ,are connected at by metal strips at a constant potential. xb,,0 (a thin layer of insulation prevents them from shorting out). Find the potential inside the resulting rectangular pipe. 三、 A pion at rest decays into a muon and a massless neutrino. Find the energy

电动力学习题集答案

电动力学第一章习题及其答案 1. 当下列四个选项：(A.存在磁单级, B.导体为非等势体, C.平方反比定律不精确成立,D.光速为非普 适常数)中的_ C ___选项成立时,则必有高斯定律不成立. 2. 若 a 为常矢量 , r (x x ')i ( y y ')j (z z ')k 为从源点指向场点的矢量 , E , k 为常矢量,则 ！ (r 2 a ) =(r 2 a ) (r a 2r a , )a ) ddrr r a 2r r r 2 r i j — k (x x ') (y y ') (z z ') i j k — ！ 2(x x ') (x x ') ,同理， ？ x (x x ') 2 (y y ') 2 (z z ') 2 / r 2 (x x ')(y y ')(z z ') (y y ') (x x ') （ (y y ') 2 (z z ') y (x x ') 2 (y y ') 2 (z z ') # 2 , z 2 2 (z z ') r 【 r e e e x x x ！ r (x-x') r (y-y') y (z-z') 3 z ， ' x y z x x ' y y ' z z ' 0， x (a r ) a ( r ) 0 , : ) r r r r r r r 0 r rr ( r 1 1 r 《 a ， , ( ) [ a (x -x' )] [ a (y - y')] … j [a (z -z')] a r i k x y z * r r r r 1 r 1 r … r 3 r 2 3 r ， ( A ) __0___. r r , [E sin(k r )] k E 0 cos(k r ) __0__. (E 0e ik r ) , 当 r 0 时 , ! (r / r ) ik E 0 exp(ik r ) , [rf (r )] _0_. [ r f ( r )] 3f (r )r # s 3. 矢量场 f 的唯一性定理是说：在以 为界面的区域V 内, 若已知矢量场在V 内各点的旋度和散 度,以及该矢量在边界上的切向或法向分量,则 在 内唯一确定. f V 0 ,若 J 为稳恒电流情况下的电流密度 ,则 J 满足 4. 电荷守恒定律的微分形式为 — J t J 0 . 5. 场强与电势梯度的关系式为， E .对电偶极子而言 ,如已知其在远处的电势为

电动力学期终总复习及精彩试题

总复习试卷 一．填空题（30分,每空2分） 1. 麦克斯韦电磁场理论的两个基本假设是（ ）和（ ）。 2. 电磁波（电矢量和磁矢量分别为E 和H ）在真空中传播，空间某点处的能流密度 S （ ）。 3. 在矩形波导管（a, b ），且 b a ，能够传播TE 10型波的最长波长为（ ）；能 够传播TM 型波的最低波模为（ ）。 4. 静止μ子的平均寿命是6 102.2 s. 在实验室中，从高能加速器出来的μ子以0.6c （c 为真空中光速）运动。在实验室中观察，(1)这些μ子的平均寿命是（ ）(2)它们在衰变前飞行的平均距离是（ ）。 5. 设导体表面所带电荷面密度为 ，它外面的介质电容率为ε，导体表面的外法线方向为 n 。在导体静电条件下，电势φ在导体表面的边界条件是（ ）和 （ ）。 6. 如图所示，真空中有一半径为 a 的接地导体球，距球心为d （d>a ）处有一点电荷q ， 则其镜像电荷q 的大小为（ ），距球心的距离d 大小为（ ）。 7. 阿哈罗诺夫－玻姆（Aharonov-Bohm ）效应的存在表明了（ ）。 8. 若一平面电磁波垂直入射到理想导体表面上，则该电磁波的穿透深度 δ为（ ）。 9. 利用格林函数法求解静电场时，通常根据已知边界条件选取适当的格林函数。若r 为源点x 到场点x 的距离，则真空中无界空间的格林函数可以表示为（ ）。 10. 高速运动粒子寿命的测定，可以证实相对论的（ ）效应。 二．判断题（20分，每小题2分）(说确的打“√”，不正确的打“ ”) 1. 无论稳恒电流磁场还是变化的磁场，磁感应强度B 都是无源场。 （ ） 2. 亥姆霍兹方程的解代表电磁波场强在空间中的分布情况，是电磁波的基本方程，它在任 何情况下都成立。 （ ） 3. 无限长矩形波导管中不能传播TEM 波。 （ ） 4. 电介质中，电位移矢量D 的散度仅由自由电荷密度决定，而电场E 的散度则由自由电 荷密度和束缚电荷密度共同决定。 （ ） 5. 静电场总能量可以通过电荷分布和电势表示出来，即dV W 21，由此可见 21的 物理意义是表示空间区域的电场能量密度。 （ ） 6. 趋肤效应是指在静电条件下导体上的电荷总是分布在导体的表面。 （ ） 7. 若物体在S 系中的速度为c u 6.0 ，S 相对S 的速度为c v 8.0 ，当二者方向相同时， 则物体相对于S 的速度为1.4c 。 （ ） 8. 推迟势的重要意义在于它反映了电磁作用具有一定的传播速度。 （ ）

电动力学试题及其答案

一、填空题(每空2分,共32分) 1、已知矢径r ,则 r = 。 2、已知矢量A 与标量 ,则 )(A 。 3、区域V 内给定自由电荷分布 、 ,在V 的边界上给定 或 ,则V 内电场唯一确定。 4、在迅变电磁场中,引入矢势A 与标势 ,则E = , B = 。 5、麦克斯韦方程组的微分形式 、 、 、 。 6、电磁场的能量密度为 w = 。 7、库仑规范为 。 8、相对论的基本原理为 , 。 9、电磁波在导电介质中传播时,导体内的电荷密度 = 。 10、电荷守恒定律的数学表达式为 。 二、判断题(每题2分,共20分) 1、由0 E 可知电荷就是电场的源,空间任一点,周围电荷不但对该点的场强有贡献,而且对该点散度有贡献。( ) 2、矢势A 沿任意闭合回路的环流量等于通过以该回路为边界的任一曲面的磁通量。( ) 3、电磁波在波导管内传播时,其电磁波就是横电磁波。( ) 4、任何相互作用都不就是瞬时作用,而就是以有限的速度传播的。( ) 5、只要区域V 内各处的电流密度0 j ,该区域内就可引入磁标势。( ) 6、如果两事件在某一惯性系中就是同时发生的,在其她任何惯性系中它们必不同时发生。( ) 7、在0 B 的区域,其矢势A 也等于零。( ) 8、E 、D 、B 、H 四个物理量均为描述场的基本物理量。( ) 9、由于A B ,矢势A 不同,描述的磁场也不同。( ) 10、电磁波的波动方程012222 E t v E 适用于任何形式的电磁波。( ) 三、证明题(每题9分,共18分) 1、利用算符 的矢量性与微分性,证明 0)( r 式中r 为矢径, 为任一标量。 2、已知平面电磁波的电场强度i t z c E E )sin(0 ,求证此平面电磁波的磁场强度为 j t z c c E B )sin(0 四、计算题(每题10分,共30分) 1、迅变场中,已知)cos(0t r K A A , )cos(0 t r K ,求电磁场的E 与B 。 2、一长度为80厘米的杆,沿其长度方向以0、8 c 的速率相对观察者运动,求该杆首、尾端通过观察者 时的时间间隔。

电动力学期末考试试卷及答案五

20___-20___学年度学期____级物理教育专业 《电动力学》试题（五） 试卷类别：闭卷考试时间：120分钟 姓名______________________学号____________________ 一． 判断以下概念是否正确，对的打（√），错的打（×）（共15分，每题3 分） 1． 库仑力3 04r r Q Q F πε??'=表明两电荷之间作用力是直接的超距作用，即电荷Q 把作用力直接施于电荷Q '上。（） 2． 电磁场有能量、动量，在真空中它的传播速度是光速。（） 3． 电磁理论一条最基本的实验定律为电荷守恒定律，其微分形式为：t j ??=??/ρ? 。（） 4． 在介质的界面两侧，电场强度E ?切向分量连续，而磁感应强度B ? 法向分量连续。（） 5．在相对论中，粒子能量，动量以及静止质量的关系为：42022c m c P W +=。（）

二． 简答题（每题5分，共15分）。 1． 如果0>??E ρ ，请画出电力线方向图，并标明源电荷符号。 2． 当你接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离和方向有关，这是为什么？ 3． 以真空中平面波为例，说明动量密度g ρ，能流密度s ρ 之间的关系。 三． 证明题（共15分）。 多普勒效应被广泛应用，请你利用洛伦兹变换证明运动光源辐射角频率ω与它的静止角频率0ω的关系为：) cos 1(0 θγωωc v -=，其中122)/1(--=c v γ；v 为光源运动速度。（15 分） 四.综合题（共55分）。 1．半径为a 的无限长圆柱形导体，均匀通过电流I ，设导体的磁导率为μ，导体外为真空，求： （1）导体内、外空间的B ?、H ? ； （2）体内磁化电流密度M j ? ；（15分）。