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最新高等数学(下)复习题(、6有答案)

高数（下）复习题（2016.6）

、已知两点1M ，2(1,3,0)M ，求向量12M M 与x ，y ，z 轴三个方向的方向余弦。

（1cos 2α=-，1

cos 2

β=

，cos γ=）

2、设三角形两邻边为23=-++a i j k ，=-+b j k

）

3、在空间直角坐标系中，方程组22

4z x y z ?=+?=?代表怎样的图形。

（4z =平面上以点（0，0，4）为圆心，2为半径的圆周）

4、设两平面062=-+-z ky x 与0642=-++z y x 相互垂直，求k 的值。（k =10）

5、求两直线

11141x y z -+==-与123221x y z ++-==

-的夹角。（4

π） 6、（1）设()y x z x e =+，求(1,0)d z

；（2）设1

(,,)z

x f x y z y ??

= ???

，求(1,1,1)d f 。

解：（1）ln ln()y z x x e =+，1[ln()]y x y

z x e z x e =+++，(1,0)2ln 21x z ∴=+； 1()y x y y z x x e e -=+?，所以(1,0)1y z =，从而(1,0)

d (2ln 21)d d z

x y =++。

（2）1111z

x x f z y y -??

，(1,1,1)1x f =；112

1()z

y x x

f z y y -??=?-

???

，(1,1,1)1y f =-； 121

ln ()z

z x x f y y z ??=?- ???

，(1,1,1)0z f =，(1,1,1)

d d d f

x y ∴=-。

7、（1）已知方程22240x y z z ++-=，求

??，z y ??；（2）求由方程ln

x z y

=所确定的隐函数(,)z f x y =的全微分d z 。解：（1）两边对x 求导，得2240x x x zz z +-=，所以2x x z z =-，同理2y y z z

=-。（2）设(,,)ln

z F x y z x z y =-，则1x F =，y z F y =，ln 1z z

F y

=--，

所以11ln x x z F z z F y =-

=+，1ln ln y y z z F z

z z z F y y y y =-==++，于是d z =1d 1ln x z y

+d ln

z y z y y y ++ 8、设2

(,)x

y z y f e x =，其中f 具有二阶连续偏导数，求z

x ??，2z x y ???。

解：322121222[()]x x z y y y f e f y e f f x x x

?''''=?+?-=-?；

22231122222111(2)[3()]x z e yf y f y f y f x y x x x ?''''''==+?-+???223

1212

222332x x

y y e y ye f f f f x x x

''''''=-+- 9、求曲面3z e xy z +-=在点（1，2，0）处的切平面和法线方程。

解：设(,,)3z F x y z e xy z =+--，则x F y =，y F x =，1z z F e =-，于是(1,2,0)2x F =，(1,2,0)1y F =，010z F e =-=，所以切平面方程为2(1)1(2)0(0)0x y z ?-+?-+?-=即240x y +-=；法线方程为

12210

x y z --==。 10、求函数2u xy z =在点P （1，-1，2）处沿什么方向的方向导数最大，并求方向导数的最大值。

解：2x u y z =，2y u xyz =，2z u xy =，所以()2x u P =，()4y u P =-，()1z u P =，在P 点的梯度为

grad ()24f P =-+i j k

11、求u xyz =在条件1111

(0,0,0,0)x y z a x y z a

++=>>>>下的极小值。

解：设1111

(,,,)()L x y z xyz x y z a λλ=+++-，分别令 0x L =，0y L =，0z L =，得到x y z ==，

再由1111

x y z a

++=，可得3x y z a ===，这是唯一驻点，由问题的性质可知，当3x y z a ===时，u

取得极小值，极小值为327a 。

12、欲造一个无盖的长方形水池，已知底部造价为每平方米a 元，侧面造价为每平方米b 元，现用A 元造一个容积最大的水池，求它的尺寸。（条件极值法计算）(练习册P42，Ex40)

解：设长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ，则问题为在条件2()xya xz yz b A ++=下求V xyz =的最大值。

令(,,,)(22)L x y z xyz axy xzb yzb A λλ=+++-，由(2)0(2)02()02()0

x y z L yz ay bz L xz ax bz L xy b x y axy b xz yz A λλλ=++=??=++=??=++=??++-=?

，得x y z ?==?

??=??，

时，长方体的体积最大。

13、计算二重积分：d d xy D

xe x y ??，{}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤。

解：110

d d d d xy xy D

xe x y x xe y =????1

(e 1)d 2x x e =-=-?。

14、（1）交换二重积分的次序：10

d (,)d y y f x y x ??；（2

）计算10

d d x

I x y y

=?。答：（1）11

d (,)d x

x f x y y ??；

（2）2

0sin d d y

y y

I y x y

==??1

(sin -sin )d 1cos1cos1sin11sin1y y y y =-+-=-?

、计算二重积分d D

x y ，其中D 为222x y y +≤所围成的闭区域。

解：2sin 0

d d D

x y d πθ

θρρρ=???

=30832

sin 39

d πθθ=

=?。 16

、指出二重积分d D

x y 的几何意义，其中222:,0D x y R R +≤>，并求出其值。

答：以（0，0）为球心，R

为半径的上半个球球体的体积，32

d 3

x y R π∴

=??

。

16、计算由曲面226z x y =--

及z =所围成的立体的体积。（二重积分、三重积分两法都要会）(练习册P48，Ex21)

解：方法一（用二重积分计算）22[6d d D

V x y x y =--??，其中D 为曲面22

6z x y =--

及z =所围成的空间在xoy 平面上的投影，容易求得22:4D x y +≤，用极坐标可表示为

02:02D θπρ≤≤??

≤≤?，所以222

20032(6)d d d (6)d 3D

V πρρρθρθρρρρπ=--=--=????。方法二（用三重积分计算）d V v Ω

=???，其中Ω为曲面226z x y =--

及z =所围成的空

间，Ω在xoy 平面上的投影22

:4D x y +≤，∴Ω

可表示为22

2246x y z x y

?+≤?≤≤--，用柱坐标表

示为2

02026z θπ

ρρρ≤≤??

≤≤??≤≤-?

，22260032d d d 3V z πρρθρρπ-∴==???。

18、计算三重积分d d d z x y z Ω

???，其中Ω

是由曲面z =及22z x y =+所围成的闭区域。

解：用柱坐标计算，Ω在xoy 平面上的投影22:1D x y +≤，∴Ω

可表示为20201

z θπ

ρρ?≤≤??

≤≤??≤≤??，于是d d d z x y z Ω

???2

d d 12

z πρθρρπ==

??。[练习册P47，Ex17] 19、求出当α满足什么条件时，1

121

1(1)n n n

∞

--=-∑收敛，并指出何时绝对收敛，何时条件收敛。

答：12α<，0α<，1

α≤<。

、求幂级数1

(1)n

n ∞

=-∑[练习册P57，Ex6(4)]

解：1lim

1n n n n a a ρ+→∞

===，收敛半径1

1R ρ==。当51x -=，即6x =

时，级数为1

(1)n

n ∞

=-∑，是交错级数，收敛；当51x -=-，即4x =

时，级数为1

n ∞

=，是1

12p =<的p -级数，发散，所以原级数的收

敛域为(4,6]。

21、求幂级数210(21)n n n x ∞

+=+∑的收敛区间与和函数。