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有限元法及其在工程中的应用

有限元法及其在工程中的应用
有限元法及其在工程中的应用

机械与汽车学院 曹国强

主要内容: 1、有限元法的基本思想。 2、结构力学模型的简化和结构离散化。

3、有限元法的实施过程。 一、有限元法的基本思想

有限元法是随着计算机的发展而发展起来的一种有效的数值方法。其基本思想是:将连续的结构分割成数目有限的小单元体(称为单元),这些小单元体彼此之间只在数目有限的指定点(称为节点)上相互连接。用这些小单元体组成的集合体来代替原来的连续结构。再把每个小单元体上实际作用的外载荷按弹性力学中的虚功等效原理分配到单元的节点上,构成等效节点力,并按结构实际约束情况决定受约束节点的约束。这一过程称为结构的离散化。其次,对每个小单元体选择一个简单的函数来近似地表示其位移分量的分布规律,并按弹性力学中的变分原理建立起单元节点力和节点位移之间的关系(单元刚度方程),最后,把全部单元的节点力和节点位移之间的关系组集起来,就得到了一组以结构节点位移为未知量的代数方程组(总体刚度方程),同时考虑结构的约束情况,消去那些结构节点位移为零的方程,再由最后的代数方程组就可求得结构上有限个离散节点的各位移分量。求得了结构上各节点的位移分量之后,即可按单元的几何方程和物理方程求得各单元的应变和应力分量。

有限元法的实质就是把具有无限个自由度的连续体,理想化为有限个自由度的单元的集合体,使问题简化为适合于数值解法的结构型问题。

经典解法(解析法)与有限元法的区别

解析法 { } 建立一个描述连续体性质的偏微分方程组

有限元解法 连续体

数目增加到∞ 大小趋于0 微元 有限元 离散化 (单元分析)集合 总体分析 求得近似解

二、结构力学模型的简化和结构离散化

(一)结构力学模型的简化

用有限元法研究实际工程结构问题时,首先要从工程实际问题中抽象出力学模型,即要对实际问题的边界条件、约束条件和外载荷进行简化,这种简化应尽可能地反映实际情况,不至于使简化后的解答与实际差别过大,但也不要带来计算上的过分复杂,在力学模型的简化过程中,必须判断实际结构的问题类型,是二维问题还是三维问题。如果是平面问题,是平面应力问题,还是平面应变问题。同时还要搞清楚结构是否对称,外载荷大小和作用位置,结构的几何尺寸和力学参数(弹性模量E、波松比μ等)。

(二)结构的离散化

将已经简化好的结构力学模型划分成只在一些节点连续的有限个单元,把每个单元看成是一个连续的小单元体,各单元之间只在一些点上互相联结,这些点称作节点,每个单元体称为一个单元。用只在节点处连接的单元的集合体代替原来的连续结构,把外载荷按虚功等效原理移置到有关受载的节点上,构成节点载荷,把连续结构进行这样分割的过程称为结构的离散化。现举例说明。

设一平面薄板,中间有一个园孔,其左端固定,右端受面力载荷q,试对其进行有限元分割和力学模型简化。

薄板模型的应力变化曲线

薄板模型的位移变化曲线

三、有限元方法的实施过程

有限元方法的实施过程可以分为三个步骤:

1、前处理。将整体结构或其一部分简化为理想的数学模型,用离散化的网格代替连续的实体结构。

2、计算分析。分析计算结构的受力、变形及特性。

3、将计算结果进行整理和归纳。

对于有限元程序使用者而言,第一步和第三步的工作量最大,一个有限元程序的好坏,在很大程度上取决于第一步的前处理和第三步的后处理功能是否强大。

前处理

对于第一步的前处理而言,要根据计算的目的和所关心的区域,将结构模型化、薄板的动态应力变化

离散化。需要给出下列信息:

(1)节点的空间位置。

(2)单元与节点的连接信息。

(3)结构的物质特性和材料参数。

(4)边界条件或约束。

(5)各类载荷。

在构成离散模型时,为了使模型较为合理,必须遵循以下的原则:

(1)使计算模型尽量简化,以减少计算时间和容量,但又必须抓住主要因素以不影响计算精度。

(2)在所关心的区域加密计算网格。

后处理

有限元计算是一种大规模的科学计算,其特点是除了要花费巨大的计算机处理能力外,在计算过程中还会产生巨大数量的数字信息。只有在计算输出信息进行仔细分析理解之后,才能洞察计算中发生的情况和问题,才能获得对被研究对象的认识和见解。

在大多数情况下,被研究的对象都是三维介质中的场分布问题(应力分布、位移分布、压力分布、电场分布等),即所谓的“四维”问题。鉴于其计算结果分析的复杂性,人们提出了科学计算可视性的要求,即把四维的数据进行图形处理或称为可视化处理,使人们能够看到场的分布图象,从图象上直接进行分析、判断来获得有用的结论。这大大加快和加深了人们对计算对象的物理变化过程的认识,发现通常通过数值信息发现不了的现象,甚至获得意料之外的启发和灵感,从而缩短了研究和设计周期,提高了效率,获得更多的结果。

微元法在几何与物理中的一些应用_邓智维

微元法在几何与物理中的一些应用 摘要:微元法在几何、物理、力学和工程技术等方面都有着极其广泛的应用,是解决定积分应用问题的重要思想方法。本文特别阐述了微元法的原理及其过程,对微元法在几何问题和物理问题中的应用进行了研究。分析了微元法在定积分的应用中如何确定所求量的微元,在解决实际问题时,应先将实际问题合理转化为适合的数学模型,设定积分变量,然后运用微元法建立积分表达式。因此使用微元法的关键是在局部上建立微元表达式,从而可将讨论问题表示为定积分。 关键词:微元法;微元;几何应用;物理应用 Micro Element Method In Geometrical And Physical Abstract:Micro element method has widely application in geometry, physics, and mechanics and engineering technology, it is an important method to solve the definite integral problem .This paper expounds the principle and process of micro element method, to discuses the application problems of geometrical problems and physics. It is analyzed that how a solid is divided into some microelements when definite integral is applied to calculating its volume, when solving practical problems, firstly let the actual problem turn into suitable mathematical model rationally and set the integral variable, and then apply the micro elements method to establish the integral expression. The key point of using micro element is established the micro elements expression in local, thus, to discuss problems expressed as definite integral. Keywords:Micro element method; Micro element; Geometric applications; Physics application

有限元法在机械工程中的应用

有限元法在机械工程中的应用 摘要:有限元法广泛应用于科学计算、设计、分析中,解决了许多复杂的问题。在机械设计中已成为一个重要的工具。在有限元基本原理的基础上,介绍了有限元的概念、分析了有限元的设计过程、介绍了有限元软件和其在机械设计中的应用。 关键词:有限元机械工程应用 前言 有限元方法诞生于20世纪中叶,随着计算机技术和计算方法的发展,已成为计算力学和计算工程领域里最为有效的计算方法。许多工程分析问题,如固体力学中的位移场和应力场分析、电磁学中的电磁场分析、振动特性分析、热学中的温度场分析、流体力学的流场分析等,都可归结为在给定边界条件下求解其控制方程的问题。有限元技术的出现为机械工程结构的设计、制造提供了强有力的工具,它可以解决许多以往手工计算根本无法解决的问题,为企业带来巨大的经济效益和社会效益。在现代机械工业中要设计生产出性能优越、可靠的机械产品,不应用计算及进行辅助设计分析是根本无法实现的,因此目前各生产设计部门都非常重视在设计制造过程中采用先进的计算机技术。 有限元法简介 有限元法最早是人们在研究固体力学的时候应运而生的,早在七八十年前,就有一些美国人在结构矩阵的分析方面有了一些研究发现,随后就有人研究出了钢架位移的方法,并将其推广应用到了弹性力学平面的分析当中,也就是把一些连续的整体划分为矩形和三角形,再将这些小的单元中的位移函数用近似的方法表达出来。后来,随着科学技术的不断发展,计算机的水平也有了很大的提高,有限元法也就相应的发展起来了,因为有限元法在产品的设计和研发的过程中起到了相当大的作用,所以有限元软件越来越受到相关专业人士的喜爱,而其在机械设计中的应用也是非常广泛的。 3.有限元法在机械工程中的应用 近年来,国内外许多学者对机械零部件的有限元分析进行了大量的研究,归纳起来主要是以下几个方面: (1)静力学分析。当作用在结构上的载荷不随时间变化或随时间的变化十分缓慢,应进行静力学分析。这是对机械结构受力后的应力、应变和变形的分析,是有限元法在机械工程中最基本、最常用的分析类型。 (2)动力学分析。机械零部件在工作时不仅受到静载荷作用,当外界有与其固有频率相近的激励时,还会引起共振,严重破坏结构从而引起失效。故零部件在结构设计时,对复杂结构,在满足静态刚度要求条件下,要检验动态刚度。

有限元理论方法

关于有限元分析法及其应用举例 摘要:本文主要介绍有限元分析法,作为现代设计理论与方法的一种,已经在 众多领域普遍使用。介绍了它的起源和国内外发展现状。阐述了有限元法的基 本思想和设计方法。并从实际出发,例举了有限元法的一个简单应用———啤 酒瓶的应力分析和优化,表明了利用有限元分析法的众多优点。随着计算机的 发展,基于有限元分析方法的软件开发越来越多。本文也在其软件开发方面进 行阐述,并简单介绍了一下主流软件的发展情况和使用范围。并就这一领域的 未来发展趋势进行阐述。 关键词:有限元分析法软件啤酒瓶 Abstract:This thesis mainly introduces the finite element analysis, as a modern design theory and methods used widely in in most respects. And this paper introduces its origins and development in world. It also expounds the basic thinking and approach of FEM..Proceed from the actual situation,this text holds the a simple application of finite-element method———the analysis and optimized of an beer bottle and indicate the the numerous benefits of finite element analysis .As computers mature and based on the finite element analysis of the software development is growing. This article introduces its application in the software development aspects as well, and briefly states the development and scope of the mainstream software. And it’s also prospect future development tendency in this area . Key: Finite Element Analysis Software Beer bottle 0 绪论 有限元法(Finite Element Method,FEM),是计算力学中的一种重要的方法,它是20世纪50年代末60年代初兴起的应用数学、现代力学及计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。有限元法最初应用在工程科学技术中,用于模拟并且解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。对于过去用解析方法无法求解的问题和边界条件及结构形状都不规则的复杂问题,有限元法则是一种有效的分析方法。有限元法的基本思想是先将研究对象的连续求解区域离散为一组有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合,且单元本身又可以有不同形状,因此可以模拟成不同几何形状的求解小区域;

有限元法及其在工程中的应用

机械与汽车学院 曹国强 主要内容: 1、有限元法的基本思想。 2、结构力学模型的简化和结构离散化。 3、有限元法的实施过程。 一、有限元法的基本思想 有限元法是随着计算机的发展而发展起来的一种有效的数值方法。其基本思想是:将连续的结构分割成数目有限的小单元体(称为单元),这些小单元体彼此之间只在数目有限的指定点(称为节点)上相互连接。用这些小单元体组成的集合体来代替原来的连续结构。再把每个小单元体上实际作用的外载荷按弹性力学中的虚功等效原理分配到单元的节点上,构成等效节点力,并按结构实际约束情况决定受约束节点的约束。这一过程称为结构的离散化。其次,对每个小单元体选择一个简单的函数来近似地表示其位移分量的分布规律,并按弹性力学中的变分原理建立起单元节点力和节点位移之间的关系(单元刚度方程),最后,把全部单元的节点力和节点位移之间的关系组集起来,就得到了一组以结构节点位移为未知量的代数方程组(总体刚度方程),同时考虑结构的约束情况,消去那些结构节点位移为零的方程,再由最后的代数方程组就可求得结构上有限个离散节点的各位移分量。求得了结构上各节点的位移分量之后,即可按单元的几何方程和物理方程求得各单元的应变和应力分量。 有限元法的实质就是把具有无限个自由度的连续体,理想化为有限个自由度的单元的集合体,使问题简化为适合于数值解法的结构型问题。 经典解法(解析法)与有限元法的区别 解析法 { } 建立一个描述连续体性质的偏微分方程组 有限元解法 连续体 数目增加到∞ 大小趋于0 微元 有限元 离散化 (单元分析)集合 总体分析 求得近似解

二、结构力学模型的简化和结构离散化 (一)结构力学模型的简化 用有限元法研究实际工程结构问题时,首先要从工程实际问题中抽象出力学模型,即要对实际问题的边界条件、约束条件和外载荷进行简化,这种简化应尽可能地反映实际情况,不至于使简化后的解答与实际差别过大,但也不要带来计算上的过分复杂,在力学模型的简化过程中,必须判断实际结构的问题类型,是二维问题还是三维问题。如果是平面问题,是平面应力问题,还是平面应变问题。同时还要搞清楚结构是否对称,外载荷大小和作用位置,结构的几何尺寸和力学参数(弹性模量E、波松比μ等)。 (二)结构的离散化 将已经简化好的结构力学模型划分成只在一些节点连续的有限个单元,把每个单元看成是一个连续的小单元体,各单元之间只在一些点上互相联结,这些点称作节点,每个单元体称为一个单元。用只在节点处连接的单元的集合体代替原来的连续结构,把外载荷按虚功等效原理移置到有关受载的节点上,构成节点载荷,把连续结构进行这样分割的过程称为结构的离散化。现举例说明。 设一平面薄板,中间有一个园孔,其左端固定,右端受面力载荷q,试对其进行有限元分割和力学模型简化。

微元法在物理习题中的应用(全)

电磁感应中的“微元法”和“牛顿第四定律” 江苏省特级教师,江苏省丰县中学——戴儒京 所谓:“微元法” 所谓“微元法”,又叫“微小变量法”,是解物理题的一种方法。 1.什么情况下用微元法解题?在变力作用下做变变速运动(非匀变速运动)时,可考虑用微元法解题。 2. 关于微元法。在时间t ?很短或位移x ?很小时,非匀变速运动可以看作匀变速运动,运动图象中的梯形可以看作矩形,所以x t v ?=?,s x l t lv ?=?=?。微元法体现了微分思想。 3. 关于求和 ∑ 。许多小的梯形加起来为大的梯形,即 ∑?=?S s , (注意:前面的s 为小写,后面的S 为大写),并且0v v v -=?∑,当末速度 0=v 时,有∑=?0v v ,或初 速度00=v 时,有 ∑=?v v ,这个求和的方法体现了积分思想。 4. 无论物理规律用牛顿定律,还是动量定理或动能定理,都可以用微元法. 如果既可以用动量定理也可以用动能定理解。对于使用老教科书的地区,这两种解法用哪一种都行,但对于使用课程标准教科书的地区就不同了,因为课程标准教科书把动量的内容移到了选修3-5,如果不选修3-5,则不能用动量定理解,只能用动能定理解。 微元法解题,体现了微分和积分的思想,考查学生学习的潜能和独创能力。 电磁感应中的微元法 一些以“电磁感应”为题材的题目。可以用微元法解,因为在电磁感应中,如导体切割磁感线运动,产生感应电动势为BL v E =,感应电流为R B L v I = ,受安培力为v R L B B I L F 2 2==,因为是变力问题,所以可以用微元法. 1.只受安培力的情况 例1. 如图所示,宽度为L 的光滑金属导轨一端封闭,电阻不计,足够长,水平部分有竖直向上、磁感应强度为B 的匀强磁场。质量为m 、电阻为r 的导体棒从高度为h 的斜轨上从静止开始滑下,由于在磁场中受安培力的作用,在水平导轨上滑行的距离为S 而停下。 (1) 求导体棒刚滑到水平面时的速度0v ; (2) 写出导体棒在水平导轨上滑行的速度v 与在水平导轨上滑行的距离x 的函数关 系,并画出x v -关系草图。 (3)求出导体棒在水平导轨上滑行的距离分别为S/4、S/2时的速度1v 、2v ;

微元法在高中物理中的应用

微元法在高中物理中的应用 江苏省靖江市斜桥中学夏桂钱 微元法是分析、解决物理问题中的常用方法,也是从部分到整体的思维方法。它是将研究对象(物体或物理过程)进行无限细分,从其中抽取某一微小单元即“元过程”,进行讨论,每个“元过程”所遵循的规律是相同的。对这些“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理,进而使问题求解。使用此方法可以把一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决,使所求的问题简单化,从而起到巩固知识、加深认识和提高能力的作用。 一、挖掘教材中微元素材,认知微元思想 微元法思想在新课标教材(人教版)上时有渗透。如在引入瞬时速度的概念时,教材从平均速度出发,提出从t到t+△t这段时间间隔内,△t越小运动快慢的差异也就越小,运动的描述就越精确。在此基础上,再提出若△t趋向于零时,就可以认为△t的平均速度就是t时刻的瞬时速度。正是这种无限分割的方法,可以使原来较为复杂的过程转化为较简单的过程。再如,我们要推导匀变速直线运动的位移公式,显然不能直接用s=vt,原因就在于速度本身是变化的,不能直接套用匀速直线运动的公式。但是我们可以想象,如果我们把整个过程的时间分成无数微小的时间间隔,我们分得愈密,每一份的时间间隔也就愈小,此间隔内,速度的变化亦就愈小,如果分得足够细,就可以认为速度几乎不变,此时就可将每一份按匀速直线运动来处理,完毕之后,再累加即可。 必修2第五章第四节《重力势能》中,计算物体沿任意路径向下运动时重力所做的功时,先将物体运动的整个路径分成许多很短的间隔,由于每一段都很小很小,就可以将每一段近似地看做一段倾斜的直线,从而就能利用功的定义式计算出每一小段内重力的功,再累加得到整个过程重力的总功。第五节《弹性势能》中关于在求弹簧弹力所做的功时,先将弹簧拉伸的整个过程分成很多小段,在足够小的情况下,每一小段位移中可以认为拉力是不变的,从而也能直接利用功的定义式来计算每一小段内拉力所做的功,再累加得到整个过程拉力的总功。这两个功的计算,前者的难点在于物体运动的路径是曲线,后者的难点在于力的大小在变化。教材中的处理方法是前者采用了“化曲为直”的思想,后者采用了“化变为恒”的思想。

对有限元方法的认识

我对有限元方法的认识 1有限元法概念 有限元方法(The Finite Element Method, FEM)是计算机问世以后迅速发展起来的一种分析方法。每一种自然现象的背后都有相应的物理规律,对物理规律的描述可以借助相关的定理或定律表现为各种形式的方程(代数、微分、或积分)。这些方程通常称为控制方程(Governing equation)。 针对实际的工程问题推导这些方程并不十分困难,然而,要获得问题的解析的数学解却很困难。人们多采用数值方法给出近似的满足工程精度要求的解答。 有限元方法就是一种应用十分广泛的数值分析方法。 有限元方法是处理连续介质问题的一种普遍方法,离散化是有限元方法的基础。 这种思想自古有之:古代人们在计算圆的周长或面积时就采用了离散化的逼近方法:即采用内接多边形和外切多边形从两个不同的方向近似描述圆的周长或面积,当多边形的边数逐步增加时近似值将从这两个方向逼近真解。 近年来随着计算机技术的普及和计算速度的不断提高,有限元分析在工程设计和分析中得到了越来越广泛的重视,已经成为解决复杂的工程分析计算问题的有效途径,现在从汽车到航天飞机几乎所有的设计制造都已离不开有限元分析计算,其在机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电子电器、国防军工、船舶、铁道、石化、能源、科学研究等各个领域的广泛使用已使设计水平发生了质的飞跃。 国际上早在 60 年代初就开始投入大量的人力和物力开发有限元分析程序。“有限单元”是由Clough R W于1960年首次提出的。但真正的有限元分析软件是诞生于 70 年代初期,随着计算机运算速度的提高,内、外存容量的扩大和图形设备的发展,以及软件技术的进步,发展成为有限元分析与设计软件,但初期其前后处理的能力还是比较弱的,特别是后处理能力更弱。

有限元方法及其工程应用

《有限元方法及其工程应用》读书报告 数值分析技术是在力学理论、计算数学和计算机技术相互结合和渗透的基础上发展起来的一门应用数学学科。它主要借助计算机和软件技术实现大规模的计算分析。根据构造数值计算公式的原理不同,目前工程上常用的数值分析方法主要有:有限差分法、有限单元法和边界单元法等。与其它方法比较,有限元法在计算公式构造、计算精度及效率、求解过程的稳定性和适用性等方面具有明显的优势。有限元法的基本思想是把一个复杂实际问题划分成有限个简单问题的组合进行求解,由于实际问题已被较简单的问题所代替,故只能获得近似解。如对结构受力分析问题,首先把结构的求解区域看成是由有限(数量)个小的在节点处相互联系的子域(单元)组成,先对每一个单元假定一个合适的近似解,然后推导结构的整体平衡方程,在满足边界条件情况下就可获得近似解。当划分的子域(单元)尺寸变的越来越小时,其近似解就越来越逼近精确解。 弹性力学是进行工程结构承载分析的基本理论。建立与未知量相等的方程是进行应力分析的首要条件,此外还需满足协调方程(位移和应变连续)和边界条件(弹性结构表面的给定位移和力的条件)。弹性力学假设物体是完全弹性、连续、均匀和各向同性的,并且变形和位移是微小的。弹性力学有外力、应力、应变和位移等基本概念。弹性平面问题主要有平面应力问题和平面应变问题。平面应力问题主要应用于厚度尺寸与长度和宽度相比很小的板状结构体,如板架、机体等。这类物体只在板边受平行于板平面的外力,且外力沿厚度方向不变,体力也平行于板面并且不沿厚度变化。平面应力问题只有σXX ,σYY ,τXY =τYX 三个应力分量不为零,是一种二维函数问题。平面应变问题适用于截面不变化但长度很长的柱形结构体,如长圆柱体、高压容器、管道等。这类物体只受到平行于截面、并且沿长度不变化的体力和面力。平面应变问题只有三个应变分量:εXX ,εYY ,γXY =γY X 不为零。 弹性力学的控制方程有:平衡微分方程、几何方程和物理方程。其中弹性平面的 平衡微分方程为: ???????=+??+??=+??+??00Y y y X y x yy xy x y xx σττσ 几何方程为应变和位移的关系: ?????????+??=??=??=y u x v xy y v yy x u xx γεε, 物理方程为应力-应变关系(即三维条件下的广义虎克定律): ()[]zz yy xx xx v E σσσε+-=1 , xy xy G τγ1= 其它两个物理方程类似。 另外还有变形协调方程和边界条件。可见三维弹性问题总共有15个未知参数。 能量原理是力学的基本原理之一,弹性力学能量原理,就是利用能量的概念研究物体在外力的作用下应力、应变和位移参量之间的变化规律,以及外力作功与物体变形势能所涉及的能量转换过程。主要有泛函、变分的概念和虚位移原理和最小势能原理。在工程中除存在依赖与自变量变化的函数关系外,还存在另一类函数,其自变量也是一类函数,而不是有限个变量,这种函数的函数叫“泛函”。变分学就是研究这些“泛函”的极值性质,即在一组容许函数中选定一个函数,使给定的“泛函”获

有限元法分析过程

有限元法分析过程 有限元法分析过程大体可分为:前处理、分析、后处理三大步骤。 对实际的连续体经过离散化后就建立了有限元分析模型,这一过程是有限元的前处理过程。在这一阶段,要构造计算对象的几何模型,要划分有限元网格,要生成有限元分析的输入数据,这一步是有限元分析的关键。 有限元分析过程主要包括:单元分析、整体分析、载荷移置、引入约束、求解约束方程等过程。这一过程是有限元分析的核心部分,有限元理论主要体现在这一过程中。 有限元法包括三类:有限元位移法、有限元力法、有限元混合法。 在有限元位移法中,选节点位移作为基本未知量; 在有限元力法中,选节点力作为未知量; 在有限元混合法中,选一部分基本未知量为节点位移,另一部分基本未知量为节点力。 有限元位移法计算过程的系统性、规律性强,特别适宜于编程求解。一般除板壳问题的有限元应用一定量的混合法外,其余全部采用有限元位移法。因此,一般不做特别声明,有限元法指的是有限元位移法。 有限元分析的后处理主要包括对计算结果的加工处理、编辑组织和图形表示三个方面。它可以把有限元分析得到的数据,进一步转换为设计人员直接需要的信息,如应力分布状态、结构变形状态等,并且绘成直观的图形,从而帮助设计人员迅速的评价和校核设计方案。 附:FELAC 2.0软件简介 FELAC 2.0采用自定义的有限元语言作为脚本代码语言,它可以使用户以一种类似于数学公式书写和推导的方式,非常自然和简单的表达待解问题的微分方程表达式和算法表达式,并由生成器解释产生完整的并行有限元计算C程序。 FELAC 2.0的目标是通过输入微分方程表达式和算法之后,就可以得到所有有限元计算的程序代码,包含串行程序和并行程序。该系统采用一种语言(有限元语言)和四种技术(对象技术、组件技术、公式库技术生成器技术)开发而成。并且基于FELAC 1.0的用户界面,新版本扩充了工作目录中右键编译功能、命令终端输入功能,并且丰

最新微元法在几何与物理中的一些应用邓智维

微元法在几何与物理中的一些应用邓智维

微元法在几何与物理中的一些应用 摘要:微元法在几何、物理、力学和工程技术等方面都有着极其广泛的应用,是解决定积分应用问题的重要思想方法。本文特别阐述了微元法的原理及其过程,对微元法在几何问题和物理问题中的应用进行了研究。分析了微元法在定积分的应用中如何确定所求量的微元,在解决实际问题时,应先将实际问题合理转化为适合的数学模型,设定积分变量,然后运用微元法建立积分表达式。因此使用微元法的关键是在局部上建立微元表达式,从而可将讨论问题表示为定积分。 关键词:微元法;微元;几何应用;物理应用 Micro Element Method In Geometrical And Physical Abstract:Micro element method has widely application in geometry, physics, and mechanics and engineering technology, it is an important method to solve the definite integral problem .This paper expounds the principle and process of micro element method, to discuses the application problems of geometrical problems and physics. It is analyzed that how a solid is divided into some microelements when definite integral is applied to calculating its volume, when solving practical problems, firstly let the actual problem turn into suitable mathematical model rationally and set the integral variable, and then apply the micro elements method to establish the integral expression. The key point of using micro element is established the micro elements expression in local, thus, to discuss problems expressed as definite integral. Keywords:Micro element method; Micro element; Geometric applications; Physics application

ANSYS有限元分析在隧道工程中的应用

ANSYS有限元分析在隧道工程中的应用 摘要:结合某公路隧道的现场实际施工情况,利用ANSYS有限元分析软件,对隧道开挖引起的地表沉降、围岩应力变化、塑性区变化等进行了计算分析,研究结果对于现场施工起到了一定的指导意义,并值得类似工程的借鉴。 关键字:ANSYS软件;有限元分析;隧道工程 1.引言 隧道工程处于地面以下,岩土的构成复杂,且难于直接观察,而有限元分析则可把数值结果形象化,把内部结构相互作用过程展示出来,有很大的实用价值。诸如隧道开挖过程中较为普遍的塌方冒顶现象,若根据地质勘察,了解场地断层、裂隙和节理的走向与密度,借助于试验方法,可以确定岩石本身的力学性能及岩体夹层和界面的力学特性、强度条件。在此基础上,通过有限元分析可以确定开挖过程中硐室的应力分布、判断硐室是否稳定[4]。隧道开挖有限元计算的重点是评估隧道开挖引起的地面沉降,研究和评估整体和局部结构由此产生的反应,研究施工过程中隧道衬砌和岩土体的相互作用。 2. 工程背景及有限元模型的建立 2.1隧道工程概况 某隧道为上下行分离的双向八车道高速公路隧道,建筑限界宽度为17.25m,净高5m。左右主线隧道均采用四车道,最大毛洞开挖跨度为19.9m,高度10.838m,项目场址区属低山丘陵地貌,地形起伏大,线路沿北西向穿越低山丘陵区,地质复杂,施工难度大。隧道左洞全长319m;右洞全长315m。左洞拱顶埋深最大为18.182m,右洞拱顶埋深最大为8.732m,两隧道中心线间距31.37m。隧道左右隧道间距为小净距(最小11m左右),为特大断面小净距隧道。 图2.1隧道设计断面图 图2.2魁岐隧道出洞口图 2.2材料参数选择 根据已有现场施工、勘察资料,近似将场地分为四类岩土层,最上一层为坡积亚粘土层,其下部分别为强风化花岗岩层、弱风化花岗岩层、微风化花岗岩层。

微元法及其在物理中的应用(大 整理好)

三、举例 例2:如图3—2所示,一个半径为R 的四分之一光 滑球面放在水平桌面上,球面上放臵一光滑均匀铁链,其 A 端固定在球面的顶点,B 端恰与桌面不接触,铁链单位 长度的质量为ρ.试求铁链A 端受的拉力T. 解析:以铁链为研究对象,由由于整条铁链的长度不 能忽略不计,所以整条铁链不能看成质点,要分析铁链的受 力情况,须考虑将铁链分割,使每一小段铁链可以看成质 点,分析每一小段铁边的受力,根据物体的平衡条件得出 整条铁链的受力情况. 在铁链上任取长为△L 的一小段(微元)为研究对象, 其受力分析如图3—2—甲所示.由于该元处于静止状态, 所以受力平衡,在切线方向上应满足: θθθθT G T T +?=?+cos θρθθcos cos Lg G T ?=?=? 由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大 △T θ,所以整个铁链对A 端的拉力是各段上△T θ的和, 即 ∑∑∑?=?=?= θρθρθcos cos L g Lg T T 观察 θcos L ?的意义,见图3—2—乙,由于△θ很小, 所以CD ⊥OC ,∠OCE=θ△Lcos θ表示△L 在竖直方向上的投影△R , 所以 ∑=?R L θcos 可得铁链A 端受的拉力 ∑=?=gR L g T ρθρcos 例5:半径为R 的光滑球固定在水平桌面上,有一质量 为M 的圆环状均匀弹性绳圈,原长为πR ,且弹性绳圈 的劲度系数为k ,将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上, 使弹性绳圈水平停留在平衡位臵上,如图3—5所示,若 平衡时弹性绳圈长为R π2,求弹性绳圈的劲度系数k. 解析:由于整个弹性绳圈的大小不能忽略不计,弹性绳圈不能看成质点,所以应将弹性绳圈分割成许多小段,其中每一小段△m 两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力F.在弹性绳圈上任取一小段质量为△m 作为研究对象,进行受力分析.但是△m 受的力不在同一平面内,可以从一个合适的角度观察.选取一个合适的平面进行受力分析,这样可以看清楚各个力之间的关系.从正面和上面观察,分别画出正视图的俯视图,如图3—5—甲和2—3—5—乙. 先看俯视图3—5—甲,设在弹性绳圈的平面上,△m 所对的圆心角 是△θ,则每一小段的质量 M m π θ 2?=? △m 在该平面上受 拉力F 的作用,合力为 2 sin 2)2 cos( 2θθ π?=?-=F F T 因为当θ很小时,θθ≈sin 所以θθ ?=?=F F T 2 2 再看正视图3—5—乙,△m 受重力△mg ,支持力N ,

有限元方法理论及其应用

1 课程论文:弹性力学有限元位移法原理(30分) 撰写一篇论文,对有限元位移法的原理作一般性概括和论述。要求论文论及但不限于下列内容:1)弹性力学有限元位移法的基本思想和数学、力学基础;2)有限元法求解的原理和过程,推导计算列式;对基本概念和矩阵符号进行解释和讨论;3)等参单元的概念、原理和应用。 1.1 对一维杆单元有限元形式的理解 我对此提出了几点疑问: 1)为什么边界条件u1=0,就要划去刚度矩阵[K]中对应的行列再解方程? 2)为什么刚度矩阵[K]会奇异? 3)为什么平衡方程本身是矛盾的,而加上边界条件u1=0之后就能解出一 个唯一的近似解? 4)为什么刚度矩阵[K]是对称的? 下面我谈谈自己的理解:节点平衡方程是在u1不定的前提下,假设单元内位移都是线性变化推导出来的,由此u1相当于一个不确定的定值约束,再加上中间两个节点的连续性要求,系统实际上只有三个独立的自由度(广义坐标)。 对于第一个问题,其实刚度矩阵[K]中的元素不是一成不变的,相反它是伴随边界条件动态变化的。当u1=0时由刚度矩阵的推导过程可以知道,刚度矩阵的第一行和第一列都会变为0,所以此时第一行和第一列对于求解方程是没有作用的。 对于第二个问题,由于系统自由度(广义坐标)只有三个,而我们的方程却列出

了四个,显然

这四个方程不可能线性无关,所以刚度矩阵奇异。 对于第三个问题,首先我们应该明确方程区别于等式,虽然左右两边都是用“=”连接,但是方程只在特殊条件下取得定解。由于平衡方程是在没有约束的条件下推导出来的,显然它不可能满足等式要求。宏观上看,系统在没有外部约束,而又施加有外力,显然系统会产生加速度而绝不会平衡。所以平衡方程本身是矛盾的。而加上边界条件之后,不但满足了平衡的前提,还改变了矩阵的结构和性质,所以有解。但是,由于我们提前假设了位移线性变化,相当于人为对单元施加了额外约束,让位移按照我们假设的规律变化,所以得到的解是过刚的近似解。但对于方程本身而言是精确解。 对于第四个问题,其力学的作用机理类似于作用力与反作用力,由于刚度矩阵不表征方向,所以其大小是相等的。 1.2 有限元法的思想 有限元法是求解连续介质力学问题的数值方法,更一般意义是一种分析结构问题和连续场数学物理问题的数值方法。 有限元法的基本思想是离散化和分片插值。 即把连续的几何机构离散成有限个单元,并在每一个单元中设定有限个节点,从而将连续体看作仅在节点处相连接的一组单元的集合体,同时选定场函数的节点值作为基本未知量并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律,再建立用于求解节点未知量的有限元方程组,从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中的有限自由度问题。 求解得到节点值后就可以通过设定的插值函数确定单元上以至个集合体上的场函数。对每个单元,选取适当的插值函数,使得该函数在子域内部、在子域分界面上以及子域与外界面上都满足一定的条件。单元组合体在已知外载荷作用下处于平衡状态时,列出一系列以节点、位移为未知量的线性方程组,利用计算机解出节点位移后,再用弹性力学的有关公式,计算出各单元的应力、应变,当各单元小到一定程度,那么它就代表连续体各处的真实情况。

知识讲解 物理学中微元法的应用

物理学中微元法的应用 编稿:李传安 审稿:张金虎 【高考展望】 随着新课程的改革,微积分已经引入了高中数学课标,列入理科学生的高考考试范围,为高中物理的学习提供了更好的数学工具。教材中很多地方体现了微元思想,逐步建立微元思想,加深对物理概念、规律的理解,提高解决物理问题的能力,不仅需要从研究方法上提升学习能力,而且还要提高利用数学方法处理物理问题的能力。高考试题屡屡出现“微元法” 的问题,较多地出现在机械能问题、动量问题、电磁感应问题中,往往一出现就是分值高、难度较大的计算题。在高中物理竞赛、自主招生物理试题中更是受到命题者的青睐,成为必不可少的内容。 【知识升华】 “微元法”又叫“微小变量法”,是分析、解决物理问题中的常用方法,也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决,使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时,需将其分解为众多微小的“元过程”,而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的。微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……,但应具有整体对象的基本特征。这样,我们只需分析这些“元过程”,然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理,进而使问题得到求解。利用“微元法”可以将非理想模型转化为理想模型,将一般曲线转化为圆甚至是直线,将非线性变量转化为线性变量甚至是恒量,充分体现了“化曲为直”、“化变为恒”的思想。 【方法点拨】 应用“微元法”解决物理问题时,采取从对事物的极小部分(微元)入手,达到解决事物整体的方法,具体可以分以下三个步骤进行:(1)选取微元用以量化元事物或元过程; (2)把元事物或元过程视为恒定,运用相应的物理规律写出待求量对应的微元表达式;(3)在微元表达式的定义域内实施叠加演算,进而求得待求量。微元法是采用分割、近似、求和、取极限四个步骤建立所求量的积分式来解决问题的。 【典型例题】 类型一、微元法在运动学、动力学中的应用 例1、设某个物体的初速度为0v ,做加速度为a 的匀加速直线运动,经过时间t ,则物 体的位移与时间的关系式为2 012 x v t at =+ ,试推导。 【思路点拨】把物体的运动分割成若干个微元,t ?极短,写出v t -图像下微元的面积的表 达式,即位移微元的表达式,最后求和,就等于总的位移。 【解析】作物体的v t -图像,如图甲、乙,把物体的运动分割成若干个小元段(微元),由于每一个小元段时间t ?极短,速度可以看成是不变的,设第i 段的速度为i v ,则在t ?时间内第i 段的位移为i i x v t =?,物体在t 时间内的位移为i i x x v t =∑=∑?,在v t -图像上则为若干个微小矩形面积之和。

微元法在物理学中的应用

微元法在物理学中的应用 在物理学问题中,往往是针对一个对象经历某一过程或外于某些状态来进行研究,而在这些过程或状态之间,描述研究对象的物理量有的可能是不变的,更多的则是变化的,对于那些变化量的研究,有一种方法是把全过程分成很多微小的局部来考察,然后通过这些小过程或微小局部的研究而归纳出适用于全过程或者是整体的结论,这些微小过程或者微小局部常被称为微元法。 微元法也是一种转化问题的手段,这种转化的目的主要体现在以下几点: 1、将变化的问题转化为恒定的问题,比如,物体做变速直线运动,物体运动的速度是变化的,但只要取一段很小的过程,在这一段很小过程中,就可以认为物体运动的速度是不变的。 将弯曲的转化为直线的,如果物体运动的轨迹是一条曲线,只要在曲线上取段足够短的长度,这个长度就可以看成是直线的。 微元法只是解题的一种手段,或者说是一种中间过程,这种“微”的无限收缩就变成了瞬时状态,而“微”的无限累积又可以演变为全过程,所以学习和掌握微元法不但要弄清楚这种方法的基本思路,还要知道这两种不同的发展趋势。 粗细忽略,质量分布均匀,半径分别为与的两圆环相切,若在切点处放一质点m ,恰好使其两边圆环对m 的万有引力的合力为零,问大小圆环的线密度须满足什么样的条件? 分析:连接O 1、O 2交两圆于A 、B ,过切点P 作弦交 两圆于C 、D ,设α=∠=∠DBP CPA αcos 2R CP = αc o s 2r CD = 将CD 绕P 点顺时针转动到C 'D ',如图且α?='∠='∠D DP C CP ,再由C C '向O 1;D D '向O 2连线,则α?='∠='∠221D DO C CO 故,R C C α?='2 r D D α?='2 所以C C '所对应的质量与D D '所对应的质量对质点的引力若满足 ()()2 22 122DP m r G CP m R G αραρ?=? α ρα ρ2 2 22 2 1c o s 4c o s 4r r R R = r R 2 1 ρρ= 试证明质量均,厚度均匀的球壳内一质点,受到球壳万有引力为零。 证明:设球壳单位面积的质量为ρ,球壳内P 点外有一质点m ,过P 点作两个顶角很小的锥面,截球壳的面积为1S ?和2S ?,且P 点到两球壳的距离分别为1r 2r ,所以1S ?和2S ?所对应的质量对P 质点的万有引力之和为2 2 22 1 1r m S G r m S G F ?-?=ρρ 由图可知,由于1S ?和2S ?都很小

论积分学中的微元法思想及其应用

目录 摘要 (2) 关键字 (2) Abstract (2) Key Words (2) 绪论 1、微积分学中微元法思想的起源与发展 (3) 1.1微元法思想的起源 (3) 1.2 微积分的现代发展 (5) 1.3中国古代数学对微积分创立的贡献 (6) 2、微元法的基本思想 2. 1 微元法的概念及理论 2.2 微元法使用的一般条件 2.3 微元法的解题步骤 3、几何学中微元法思想及其应用 3.1 定积分中平面图形微元法的思想及几何应用 3.2 二重积分中微元法的思想及几何应用 4、微元法在其他学科中的应用 总结 参考文献 答谢

论积分学中的微元法思想及其应用 专业:数学与应用数学 摘要:积分学中微元法思想是这一学科的非常重要的思想,它的合理运用可以使原本复杂的问题变得更为简单易行,并且在实际生活中此理论也得到了非常广泛的应用,本论文将重点论述微元法的思想和它的几何应用,使读者对微元法有更深刻的理解,然后介绍微元法在物理学,经济学上的应用,解决一些具体的实际问题 关键词:微元法,定积分,几何应用,面积,基本思想 ABSTRACT Integral micro-element method is a very important ideological thinking of the discipline ,It can make rational use of the original problem becomes more complicated simple,And in real life, this theory has also been a very wide range of applications,This thesis focuses on the ideas of micro element method and its geometric applications,Micro-element method for the reader a deeper understanding ,Then describes the application of micro-element method in physics, economics ,Solve some specific practical problems

微元法及其应用

摘要: 微元法是分析、解决物理及数学等问题中的常用方法,也是从部分到整体的思维方法。“微元法”通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分,取出有代表性的极小的一部分进行分析处理,再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法,在这个方法里充分的体现了积分的思想。用该方法可以使一些复杂的过程用我们熟悉的迅速地加以解决,使所求的问题简单化。 关键词: 微元法积分思维 英文题目 Abstract: Infinitesimal method is analysis, solving questions of physics and mathematics of the commonly used methods, but also from the part to the whole thinking method。 " Differential method" simple is the object of study is divided into an infinite infinitesimal portion removed, representative of a small part of analysis, from the local to the integrated consideration of scientific thinking method, in this method fully embodies the thought of integrated。 This method can make the complex process with our familiar quickly to try to solve, make the simple。 Key words: Infinitesimal method Integral Thinking 1 引言: 微积分是与应用联系发展起来的,它是数学的一个重要的分支,其应用与发展已广泛的渗透到了物理学,化学,经济学等各个自然科学之中,是我们学习各门学科的重要工具。在使用微元法处理问题时,需将其分解为众多微小的“元过程”,而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的,这样,我们只需分析这些“元过程”,然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理,进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考,从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。 2 研究问题及成果 2·1:微元法的取元原则 (1)可加性原则 由于所取的“微元”最终必须参加叠加演算,所以,对“微元”及相应的量的最基本要求是:应该具备“可加性”特征; (2)有序性原则 为了保证所取的“微元”在叠加域内能够较为方便地获得“不遗漏”、“不重复”的完整叠加,在选取“微元”时,就应该注意:按照关于量的某种“序”来选取相应的“微元”; (3)平权性原则

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