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2019届高考物理复习热点题型专题3.6带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题(2)学案

专题3.6 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题(2)

1.(2018江苏高考15)如图所示,真空中四个相同的矩形匀强磁场区域,高为4d,宽为d,中间两个磁场区域间隔为2d,中轴线与磁场区域两侧相交于O 、O'点,各区域磁感应强度大小相等。某粒子质量为m 、电荷量为+q,从O 沿轴线射入磁场。当入射速度为v 0时,粒子从O 上方

2

d

处射出磁场。取sin 53°=0.8,cos 53°=0.6。

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(1)求磁感应强度大小B 。

(2)入射速度为5v 0时,求粒子从O 运动到O'的时间t 。

(3)入射速度仍为5v 0,通过沿轴线OO'平移中间两个磁场(磁场不重叠),可使粒子从O 运动到O'的时间增加Δt,求Δt 的最大值。 【答案】:(1)

04mv qd (2)0(53π+72)180d v (3)0

5d

v 【解析】(1)粒子圆周运动的半径0

0mv r qB

=

由题意知r 0=

4d ,解得04mv B qd

= (2)设粒子在矩形磁场中的偏转角为α,半径为r, 由r=

mv

qB

得r=5r 0=54d

由d=rsin α,得sin α=

4

5

,即α=53° 在一个矩形磁场中的运动时间12π360m

t qB

α

=

?

?,解得t 1=053π720d v

直线运动的时间t 2=

2d v ,解得t 2=0

25d

v

则120

(53π+72)4180d

t t t v =+=

(3)将中间两磁场分别向中央移动距离x, 粒子向上的偏移量y=2r(1-cos α)+xtan α 由y≤2d,解得x≤

34

d 则当x m =

3

4

d 时,Δt 有最大值

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2.(2017新课标Ⅱ 18)如图,虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场,P 为磁场边界上的一点,大量相同的带电粒子以相同的速率经过P 点,在纸面内沿不同的方向射入磁场,若粒子射入的速度为1v ,这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上;若粒子射入速度为2v ,相应的出射点分布在三分之一圆周上,不计重力及带电粒子之间的相互作用,则21:v v 为

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D.3【答案】C

【解析】当粒子在磁场中运动半个圆周时,打到圆形磁场的位置最远,则当粒子射入的速度为1v ,

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如图,由几何知识可知,粒子运动的轨道半径为11

cos 602

r R R ==;同理,若粒子射入的速度为2v ,由

几何知识可知,粒子运动的轨道半径为23

cos302

r R R ==;根据mv r v qB =∝,则 2121:=:v v r r =,

2019届高考物理复习热点题型专题3.6带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题(2)学案

故选C.

3.(2017·全国卷Ⅱ)如图,虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场,P 为磁场边界上的一点,大量相同的带电粒子以相同的速率经过P 点,在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入的速率为v 1,这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上;若粒子射入速率为v 2,相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则v 2∶v 1为( )

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A.3∶2

B.2∶1

C.3∶1 D .3∶ 2

【答案】C

【解析】由于是相同的粒子,粒子进入磁场时的速度大小相同,由qvB =m v 2R 可知,R =mv

qB

,即粒子在磁场中

做圆周运动的半径相同。若粒子运动的速度大小为v 1,如图所示,

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通过旋转圆可知,当粒子在磁场边界的出射点A 离P 点最远时,则AP =2R 1;同样,若粒子运动的速度大小

为v 2,粒子在磁场边界的出射点B 离P 点最远时,则BP =2R 2,由几何关系可知,R 1=R 2,R 2=R cos 30°=

3

2R ,则v 2v 1=R 2

R 1

=3,C 项正确。

4.(2016·四川高考)如图所示,正六边形abcdef 区域内有垂直于纸面的匀强磁场。一带正电的粒子从f

点沿fd 方向射入磁场区域,当速度大小为v b 时,从b 点离开磁场,在磁场中运动的时间为t b ,当速度大小为v c 时,从c 点离开磁场,在磁场中运动的时间为t c ,不计粒子重力。则( )

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A .v b ∶v c =1∶2,t b ∶t c =2∶1

B .v b ∶v c =2∶1,t b ∶t c =1∶2

C .v b ∶v c =2∶1,t b ∶t c =2∶1

D .v b ∶v c =1∶2,t b ∶t c =1∶2 【答案】A 【解析】如图所示,

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5. (2016·海南高考)如图,A 、C 两点分别位于x 轴和y 轴上,∠OCA =30°,OA 的长度为L 。在△OCA 区域内有垂直于xOy 平面向里的匀强磁场。质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子,以平行于y 轴的方向从OA 边射入磁场。已知粒子从某点入射时,恰好垂直于OC 边射出磁场,且粒子在磁场中运动的时间为t 0。不计重力。

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(1)求磁场的磁感应强度的大小;

(2)若粒子先后从两不同点以相同的速度射入磁场,恰好从OC 边上的同一点射出磁场,求该粒子这两次在磁场中运动的时间之和;

(3)若粒子从某点射入磁场后,其运动轨迹与AC 边相切,且在磁场内运动的时间为5

3t 0,求粒子此次入射速

度的大小。

【答案】 (1)πm 2qt 0 (2)2t 0 (3)3πL

7t 0

【解析】 (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动,在时间t 0内其速度方向改变了90°,故其周期T =4t 0①

设磁感应强度大小为B ,粒子速度为v ,圆周运动的半径为r 。由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得qvB =m v 2

r

匀速圆周运动的速度满足v =2πr

T

联立①②③式得B =πm 2qt 0

。④

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(2)设粒子从OA 边两个不同位置射入磁场,能从OC 边上的同一点P 射出磁场,粒子在磁场中运动的轨迹如图(a)所示。设两轨迹所对应的圆心角分别为θ1和θ2。由几何关系有 θ1=180°-θ2⑤

粒子两次在磁场中运动的时间分别为t 1与t 2, 则t 1+t 2=T

2=2t 0。⑥

(3)如图(b),

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联立①⑦⑧⑨式得v 0=

3πL

7t 0

。⑩ 6.(2016四川理综,11) 如图所示,图面内有竖直线DD ′,过DD ′且垂直于图面的平面将空间分成Ⅰ、Ⅱ两区域。区域Ⅰ有方向竖直向上的匀强电场和方向垂直于图面的匀强磁场B (图中未画出);区域Ⅱ有固定在水平地面上高h =2l 、倾角α=π

4

的光滑绝缘斜面,斜面顶端与直线DD ′距离s =4l ,区域Ⅱ可加竖直方

向的大小不同的匀强电场(图中未画出);C 点在DD ′上,距地面高H =3l 。零时刻,质量为m 、带电量为q 的小球P 在K 点具有大小v 0=gl 、方向与水平面夹角θ=π3的速度,在区域Ⅰ内做半径r =3l

π的匀速圆周

运动,经C 点水平进入区域Ⅱ。某时刻,不带电的绝缘小球A 由斜面顶端静止释放,在某处与刚运动到斜面的小球P 相遇。小球视为质点,不计空气阻力及小球P 所带电量对空间电磁场的影响。l 已知,g 为重力加速度。

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(1)求匀强磁场的磁感应强度B 的大小;

(2)若小球A 、P 在斜面底端相遇,求释放小球A 的时刻t A ; (3)若小球A 、P 在时刻t =β

l

g

(β为常数)相遇于斜面某处,求此情况下区域Ⅱ的匀强电场的场强E ,并讨论场强E 的极大值和极小值及相应的方向。 【答案】 (1)πm

3qL

gl (2)(3-22)

l g

(3)(11-β2

)mg q (β-1) 极大值7mg 8q

,竖直向上;极小值0

【解析】 (1)由题知,小球P 在区域Ⅰ内做匀速圆周运动,有

m v 20

r

=qv 0B ① 代入数据解得B =m π

3lq

gl ②

(2)小球P 在区域Ⅰ做匀速圆周运动转过的圆心角为θ,运动到C 点的时刻为t C ,到达斜面底端时刻为t 1,有

t C =

θr v 0

s -h cot α=v 0(t 1-t C )④

小球A 释放后沿斜面运动加速度为a A ,与小球P 在时刻t 1相遇于斜面底端,有

mg sin α=ma A ⑤

h

sin α=12

a A (t 1-t A )2

⑥ 联立以上方程可得t A =(3-22)

l g

⑦ (3)设所求电场方向向下,在t A ′时刻释放小球A ,小球P 在区域Ⅱ运动加速度为a P ,有

s =v 0(t -t C )+12

a A (t -t A ′)2cos α⑧ mg +qE =ma P ⑨

H -h +12a A (t -t A ′)2sin α=12

a P (t -t C )2⑩

联立相关方程解得E =(11-β2

)mg

q (β-1)

对小球P 的所有运动情形讨论可得3≤β≤5

由此可得场强极小值为E min =0;场强极大值为E max =7mg

8q

,方向竖直向上。

7. (2015山东理综,24) 如图所示,直径分别为D 和2D 的同心圆处于同一竖直面内,O 为圆心,GH 为大圆的水平直径.两圆之间的环形区域(Ⅰ区)和小圆内部(Ⅱ区)均存在垂直圆面向里的匀强磁场.间距为d 的两平行金属极板间有一匀强电场,上极板开有一小孔.一质量为m 、电量 为+q 的粒子由小孔下方d

2处静止

释放,加速后粒子以竖直向上的速度v 射出 电场,由H 点紧靠大圆内侧射入磁场.不计粒子的重力.

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(1)求极板间电场强度的大小;

(2)若粒子运动轨迹与小圆相切,求Ⅰ区磁感应强度的大小;

(3)若Ⅰ区、Ⅱ区磁感应强度的大小分别为2mv qD 、4mv

qD

,粒子运动一段时间后再次经过H 点,求这段时间粒子

运动的路程.

【答案】 (1)mv 2qd (2)4mv qD 或4mv

3qD

(3)5.5πD

【解析】 (1)设极板间电场强度的大小为E ,对粒子在电场中的加速运动,由动能定理得

qE ·d 2=1

2

mv 2①

解得E =mv 2

qd

(2)设Ⅰ区磁感应强度的大小为B ,粒子做圆周运动的半径为R ,由牛顿第二定律得

qvB =mv 2

R

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(3)设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的半径分别为R 1、R 2,由题意可知,Ⅰ区和Ⅱ区磁感应强度的大小分别为B 1=2mv qD 、B 2=4mv

qD

,由牛顿第二定律得

qvB 1=m v 2R 1,qvB 2=m v 2

R 2

代入数据得

R 1=D 2

,R 2=D

4

设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的周期分别为T 1、T 2,由运动学公式得

T 1=

2πR 1v ,T 2=2πR 2

v

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据题意分析,粒子两次与大圆相切的时间间隔内,运动轨迹如图乙所示,根据对称可知,Ⅰ区两段圆弧所对圆心角相同,设为θ1,Ⅱ区内圆弧所对圆心角设为θ2,圆弧和大圆的两个切点与圆心O 连线间的夹角

设为α,由几何关 系得

θ1=120°? θ2=180°? α=60°?

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粒子重复上述交替运动回到H 点,轨迹如图丙所示,设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的时间分别为t 1、t 2可得

t 1=360°α×θ1×2

360°T 1, t 2=

360°α×θ2

360°

T 2? 设粒子运动的路程为s ,由运动学公式得

s =v (t 1+t 2) ?

联立⑨⑩?????式得

s =5.5πD ?

8.(2019北京市通州区潞河中学高三开学检测)

如图所示,虚线框MNQP 内存在匀强磁场,磁场方向垂直纸面向里。a 、b 、c 是三个质量和电荷量都相等的带电粒子,它们从PQ 边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场,图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。若不计粒子所受重力,则( )

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A . 粒子a 带负电,粒子b 、c 带正电

B . 粒子a 在磁场中运动的时间最长

C . 粒子b 在磁场中的加速度最大

D . 粒子c 在磁场中的动量最大

【答案】C

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9.(2019届江西省红色七校高三第一次联考)

如图所示,在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出),AB边长度为d,.现垂直AB边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子,已知垂直AC边射出的粒子在

磁场中运动的时间为t,而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为(不计重力).则下列判断中正确的是( )

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A.粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t

B.该匀强磁场的磁感应强度大小为

C.粒子在磁场中运动的轨道半径为

D.粒子进入磁场时速度大小为

【答案】ABC

【解析】带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间是,即为:,

则得周期为:T=4t,故A正确;由 T=4t,R=,T=,得:,故B正确;运动时间最长的粒子在磁场中运动的轨迹如图所示,

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根据几何关系有:,解得:R=d,故C正确;根据粒子在磁场中运动的速度为:v=,

周期为:T=4t0,半径为:R=d,联立可得:v=,故D错误。故选ABC。

10.(2019届四川省成都市第七中学高三零诊模拟考试)

如图所示,M,N为两块带等量异种电荷的平行金属板,两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值。静止的带电粒子带电荷量为+q,质量为m(不计重力),从点P经电场加速后,从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外,CD为磁场边界上的一绝缘板,它与N板的夹角为θ=30°,孔Q到板的下端C的距离为L,当M,N两板间电压取最大值时,粒子恰垂直打在CD板上,则下列说法正确的是( )

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A.两板间电压的最大值

B. CD板上可能被粒子打中区域的长度

C.粒子在磁场中运动的最长时间

D.能打到N板上的粒子的最大动能为

【答案】ACD

【解析】

画出粒子运动轨迹的示意图,如图所示,

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A. 当M、N两板间电压取最大值时,粒子恰垂直打在CD板上,可知粒子半径r=L,的加速电场中,根据动能定理:,在偏转磁场中,根据洛伦兹力提供向心力可得:,联立可得:,故A正确;

B.设粒子轨迹与CD相切于H点,此时粒子半径为,粒子轨迹垂直打在CD边上的G点,则

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,根据洛伦兹力提供向心力可得:,联立可得能打到N板上的粒子的最大动能为:

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,故D正确;故选ACD。

11.(2019届安徽省六安二中高三(上)开学测试)

如图所示,直角三角形ABC的区域内有垂直纸面的匀强磁场,O、D是AB和AC边的中点,一束带电粒子沿

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OD方向射入磁场中,恰好从B点射出磁场,下列说法中正确的是

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A.只改变带电粒子的带电性质,粒子将从A点射出磁场

B.只改变带电粒子的带电性质,粒子将从AD边界上的某点射出磁场

C.只将磁场方向反向,粒子将从OA边界上的某点射出磁场

D.只将磁场方向反向,粒子不可能从A点射出磁场

【答案】BD

【解析】一束带电粒子沿OD方向射入磁场中,恰好从B点射出磁场,运动轨迹如图实线所示:

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A、B、如果只改变带电粒子的带电性质,粒子在磁场中受到的洛伦兹力方向相反,粒子将向上偏转,粒子将从AD边界上某点射出磁场,如图虚线所示,故A错误,B正确。

C、D、如果只将磁场方向反向,粒子在磁场中受到的洛伦兹力反向,粒子将向上偏转,运动轨迹如图中虚线所示,粒子将从AD边界上的某点射出磁场,粒子不可能经过A点,不可能从A点射出磁场,故C错误,D正确。

故选BD.

12.(2019届山西省榆社中学高三上学期第一次联考)

如图所示,xOy平面内y轴和垂直于x轴的虚线MN间存在着沿y轴正方向的匀强电场,一质量为m、带电荷量为+q的粒子从坐标原点O以大小为v0的速度沿x轴正方向射出,从线上的M(2l,l)点进人虚线右侧,粒子运动一段时间后进入一个磁感应强度大小为B、方向与xOy平面垂直的圆形匀强磁场区域(图中未画出),最后又从虚线上的N点沿x轴负方向射出磁场。不计粒子重力。求

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(1)匀强电场的电场强度的大小;

(2)粒子在匀强磁场中的转动半径;

(3)圆形磁场的最小面积。(可用三角函数表示)

【答案】(1)(2)(3)

【解析】

【详解】(1)粒子从O点进入电场后做类平抛运动,设电场强度大小为E

则:

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粒子进入磁场后做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,有:

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解得:

(3)粒子从a点射入磁场,从b点射出磁场,以ab连线为直径的圆形磁场面积最小

如图所示

最小面积

解得:

13.(2019届安徽省江淮十校高三第一次联考)

如图所示,坐标空间中有场强为E=100 N/C的匀强电场和磁感应强度为B=10-3T的匀强磁场,y轴为两种场

的分界面,图中虚线为磁场区域的右边界,现有一质量为m,电荷量为-q的带电粒子从电场中坐标位置(-1,

0)处,以初速度v o=105 m/s沿x轴正方向开始运动,且已知带电粒子的比荷= 108 C/kg,粒子的重力忽略不计,则:

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(1)求带电粒子进入磁场的速度大小;

(2)为使带电粒子能穿越磁场区域而不再返回电场中,求磁场的宽度d应满足的条件。

【答案】(1)m/s (2)2.41m

【解析】(1)带电粒子在电场中做类平抛运动,设运动的加速度为a,由牛顿第二定律可得:qE=ma

设粒子出电场、入磁场时的速度大小为v,此时在y方向的分速度为v y,粒子在电场中运动的时间为t,则:v y=at l=v0t

解得v y=v0

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(2)设v的方向与y轴夹角为θ,则有可得θ=450

粒子进入磁场后在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动,如图:则有:

可得

要使粒子穿越磁场区域,磁场的宽度应满足的条件:综合已知条件解以上各式可得: