创新设计全国通用届高考数学二轮复习专题八数学思想方法第2讲分类讨论思想转化与化归思想练习理

专题八 数学思想方法 第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想练习

理

一、选择题

1.等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( ) A.1 B.－12

C.1或－1

2

D.－1或1

2

解析 当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求.

当q ≠1时，a 1q 2

＝7，a 1（1－q 3）1－q ＝21，解之得，q ＝－1

2

或q ＝1(舍去).综上可知，q ＝1

或－1

2.

答案 C

2.过双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R ，

Q 两点，则PR →·PQ →

的值为( )

A.a 2

B.b 2

C.2ab

D.a 2

＋b 2

解析 当直线PQ 与x 轴重合时，|PR →|＝|PQ →

|＝a ，故选A. 答案 A

3.函数f (x )＝2x ＋x 3

－2在区间(0，1)内的零点个数是( ) A.0 B.1 C.2

D.3

解析 法一 函数f (x )＝2x

＋x 3

－2在区间(0，1)内的零点个数即函数y 1＝2x

－2与y 2＝－x 3

的图象在区间(0，1)内的交点个数.作图，可知在(0，＋∞)内最多有一个交点，故排除C ，D 项；当x ＝0时，y 1＝－1＜y 2＝0，当x ＝1时，y 1＝0＞y 2＝－1，因此在区间(0，1)内一定会有一个交点，所以A 项错误.选B.

法二 因为f (0)＝1＋0－2＝－1，f (1)＝2＋13

－2＝1，所以f (0)·f (1)＜0.又函数f (x )在(0，1)内单调递增，所以f (x )在(0，1)内的零点个数是1. 答案 B

4.已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2

＋2bx －4，若对任意的x 1∈(0，2)，任

意的x 2∈[1，2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数b 的取值范围是( )

A.? ??

??－∞，142 B.(1，＋∞) C.?

????1，

142 D.????

??1，

142 解析 依题意，问题等价于f (x 1)min ≥g (x 2)max ，

f (x )＝ln x －14x ＋3

4x

－1(x ＞0)，

所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2

－3

4x

2

. 由f ′(x )＞0，解得1＜x ＜3，故函数f (x )单调递增区间是(1，3)，同理得f (x )的单调递减区间是(0，1)和(3，＋∞)，故在区间(0，2)上，x ＝1是函数f (x )的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以f (x 1)min ＝f (1)＝－1

2.

函数g (x 2)＝－x 2

2＋2bx 2－4，x 2∈[1，2]. 当b ＜1时，g (x 2)max ＝g (1)＝2b －5； 当1≤b ≤2时，g (x 2)max ＝g (b )＝b 2

－4； 当b ＞2时，g (x 2)max ＝g (2)＝4b －8. 故问题等价于

?????b ＜1，－1

2≥2b －5或?????1≤b ≤2，－12≥b 2－4或????

?b ＞2，－12

≥4b －8. 解第一个不等式组得b ＜1， 解第二个不等式组得1≤b ≤14

2

， 第三个不等式组无解.

综上所述，b 的取值范围是? ??

??

－∞，142.故选A. 答案 A 二、填空题

5.若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n

－1，则它的通项公式a n ＝________. 解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n

－1－(3n －1

－1)＝2×3

n －1

；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，也

满足式子a n ＝2×3

n －1

，

∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1

.

答案 2×3

n －1

6.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →，若MN →＝xAB →＋yAC →

，则x ＝________，y ＝________.

解析 不妨设AC ⊥AB ，有AB ＝4，AC ＝3，以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x 轴，

y 轴建立平面直角坐标系，如图所示.

则A (0，0)，B (4，0)，C (0，3)，M (0，2)，N ? ??

??2，32， 那么MN →＝? ????2，－12，AB →＝(4，0)，AC →

＝(0，3)，

由MN →＝xAB →＋yAC →，可得? ????2，－12＝x (4，0)＋y (0，3)，

即? ????2，－12＝(4x ，3y )，则有?????4x ＝2，

3y ＝－12，解得?????x ＝1

2，y ＝－16.

答案 12 －1

6

7.设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 2

4＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角

形的三个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|，则|PF 1|

|PF 2|的值为________.

解析 若∠PF 2F 1＝90°， 则|PF 1|2

＝|PF 2|2

＋|F 1F 2|2

， ∵|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，∴|PF 1||PF 2|＝7

2.

若∠F 2PF 1＝90°， 则|F 1F 2|2

＝|PF 1|2

＋|PF 2|2

＝|PF 1|2

＋(6－|PF 1|)2

， 解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴|PF 1|

|PF 2|

＝2. 综上所述，|PF 1||PF 2|＝2或7

2.

答案 2或7

2

8.已知a 为正常数，若不等式1＋x ≥1＋x

2－x 2

2a

对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值

为________.

解析 原不等式即x 22a ≥1＋x

2

－1＋x (x ≥0)，(*)

令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2

－1，

所以(*)式可化为（t 2－1）22a ≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝（t －1）

2

2对t ≥1恒成立，

所以（t ＋1）2

a

≥1对t ≥1恒成立，又a 为正常数，所以a ≤[(t ＋1)2

]min ＝4，故a 的最大

值是4. 答案 4 三、解答题

9.数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0. (1)求数列的通项公式；

(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n . 解 (1)a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0， 所以a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ， 所以{a n ＋1－a n }为常数列，

所以{a n }是以a 1为首项的等差数列， 设a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 4＝a 1＋3d ， 所以d ＝2－83

＝－2，所以a n ＝10－2n .

(2)因为a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n ＞5时，a n ＜0； 当n ＝5时，a n ＝0；当n ＜5时，a n ＞0.所以当n ＞5时，

S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |

＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝T 5－(T n －T 5)＝2T 5－T n ＝n 2

－9n ＋40，

T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，

当n ≤5时，

S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |

＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝T n ＝9n －n 2

.

所以S n ＝?

????9n －n 2

（n ≤5），

n 2－9n ＋40 （n ＞5）.

10.已知函数g (x )＝

ax

x ＋1

(a ∈R )，f (x )＝ln(x ＋1)＋g (x ). (1)若函数g (x )过点(1，1)，求函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性.

解 (1)因为函数g (x )过点(1，1)，所以1＝a 1＋1，解得a ＝2，所以f (x )＝ln(x ＋1)＋2x

x ＋1

.

由f ′(x )＝

1x ＋1＋2（x ＋1）2＝

x ＋3

（x ＋1）2

，则f ′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为3.又