【新教材】新人教A版必修一 函数的奇偶性 课时作业

2019-2020学年新人教A版必修一函数的奇偶性课时作业

1.设函数f(x）=ln(1+x）-ln（1-x)，则f(x）是（）

A。奇函数，且在(0，1)内是增加的

B.奇函数,且在(0，1)内是减少的

C。偶函数,且在(0，1）内是增加的

D。偶函数，且在(0,1）内是减少的

【解析】选A.易知f（x)的定义域为（-1，1）,且f（—x）=ln(1-x）-ln(1+x）=—f(x),则y=f（x）为奇函数,又y=ln（1+x）与y=—ln（1—x)在（0,1)上是增加的,所以f（x)=ln(1+x）-ln（1—x）在（0,1）上是增加的.

2。（2019·邯郸模拟）已知f（x）为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x）=2x+m，则f(-2）=( )

A.—3

B.—C。D。3

【解析】选A.由f（x)为R上的奇函数,知f(0)=0，即f(0)=20+m=0,解得m=-1，则f（-2）=—f(2）=-（22-1）=—1.

3。(2018·郑州模拟)已知y=f（x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是 ( ）

①y=f（|x｜）；②y=f(—x）;③y=xf（x)；④y=f(x）+x。

A。①③B。②③C。①④D.②④

【解析】选D。由奇函数的定义：f(-x)=-f（x)验证，①f（｜—x|）=f(｜x｜），故为偶函数；②f[—(—x)］=f（x)=—f(-x)，为奇函数;③—xf（-x)=-x·［—f(x）]=xf （x）,为偶函数；④f(-x）+(-x)=-[f（x)+x］，为奇函数;可知②④为奇函数。

4。（2018·贵阳模拟）已知f(x）,g(x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f（x)-g(x）=x3+x2+1,则f(1)+g（1）= ( )

A。—3B。—1C。1D.3

【解析】选C.由f（x)-g(x）=x3+x2+1，将所有x替换成-x,得f(-x)—g

（-x)=-x3+x2+1,根据f（x)=f（—x),g(-x)=—g(x)，得f(x)+g(x)=—x3+x2+1，再令x=1，计算得，f(1)+g(1）=1。

5.已知函数f（x）的定义域为R，其图像关于y轴对称，而函数f(x-1）的图像关于原点对称，且f(2)=3，则f(5）+f(6）的值为（）

A.-3

B.-2C。2D.3

【解析】选D。函数f(x)的图像关于y轴对称，所以f(—x）=f（x),又因为函数f(x—1）的图像关于原点对称,所以f(-x-1）=—f（x—1),所以f（—x)=—f(x-2)=f(x), 故f（x)=—f（x+2)=f（x+4）,故函数f(x) 的周期为4,因为f(—x-1）=-f（x-1），当x=0时，f（-1）=-f（-1),所以f(-1）=0,即f(1）=0,则f（5)+f(6）=f（1）+f(2)=0+3=1.

二、填空题（每小题5分,共10分）

6.（2018·洛阳模拟）设函数f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，当x∈[0,1］

时，f（x)=x+1，则f=。

【解析】依题意得,f(2+x）=f(x），f（—x）=f（x),

则f=f=f=+1=.

答案:

7.若函数f（x）=xln(x+)为偶函数,则a=. 导学号

【解题指南】f(x）=xln(x+)为偶函数,即y=ln（x+）是奇函数，利用ln（x+）+ln(-x+）=0确定a的值。

【解析】由题意知y=ln(x+)是奇函数,

所以ln（x+）+ln（—x+）=ln(a+x2—x2）=ln a=0,解得a=1。答案：1

三、解答题

8.(15分)已知a∈R,函数f（x)=|x｜（x—a). 导学号

（1)当a=0时，证明f(x)是奇函数。

(2)当a〉0时,求函数f（x）的单调区间.

(3）当a≥2时,求函数f(x）在上的最小值。

【解析】(1)若a=0,则f（x）=|x|x,其定义域是一切实数。

且有f（—x)=｜—x|（-x）=—|x｜x=-f（x）,

所以f（x）是奇函数.

(2）a>0,函数f(x)=则函数f（x）在区间上是减少的,在区间上是增加的，函数f(x)在区间(—∞，0）上是增加的。

综上可知,函数f(x）的增区间为（—∞,0),，减区间为.

（3)由a≥2得≥1。又函数f(x）在上是增加的，在(0，1]上是减少的，

且f=--，f（1）=1-a.

若f≥f(1）,即a≥时,f（x)min=f（1)=1-a;

若f

综上,当2≤a〈时,f(x）min=--;

当a≥时，f(x）min=1-a.

【变式备选】已知函数f(x)=其中a,b∈R。(1）当a<0时,且f（x）为奇函数,求f（x)的表达式.

(2）当a>0时,且f（x)在(-1，1)上单调递减，求b—a的值。

【解析】(1）由于f（x）为奇函数，则f（0）=a2—1=0,

由a<0，则a=—1,x≥0时，f（x）=（x+1）2—1,

则x〈0,f(x)=-f(-x)=-[（-x+1)2-1］=—(x-1）2+1=—(x-b）2+1，即有b=1,

故f(x)=

(2）当a〉0时,且f（x）在（—1,1）上单调递减，

则

则有a2≥1,b2≥1,a2+b2≥2，

又a2+b2≤2，即有a2+b2=2,

即a=1,b=—1，则有b—a=-2。

（20分钟40分)

1。(5分)（2019·合肥模拟)已知函数f（x）=是奇函数，则f（a）的值等于（）

A。-B。3 C。-或3 D.或3

【解析】选C.f（x)是奇函数；所以f（-x)==-;

整理得:(2a2-2）2x=0;所以2a2-2=0;所以a=±1;

a=1时,f（a）=f（1）==-;

a=—1时,f（a）=f(—1)==1。

2。(5分）若f（x)是定义在（-∞,+∞）上的偶函数，?x1，x2∈［0，+∞）（x1

≠x2)，有<0,则（）

A.f(3）

B。f(1)〈f（-2）〈f(3)

C.f（-2）〈f(1)

D.f（3）

【解析】选D。因为?x1，x2∈［0,+∞）（x1≠x2），有<0,所以当x≥0时,函数f(x）为减函数，因为f(x）是定义在（—∞,+∞)上的偶函数，所以f（3）

1。（5分)(2018·贵港模拟)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f （x)+f(-x）=0;②f（x)=f（x+2)；③当0≤x≤1时，f(x）=2x—1。则f+f

（1）+f+f(2)+f=。

【解析】依题意知,函数f（x)为奇函数且周期为2，则

f+f(1)+f+f(2)+f=f+f（1）+f+f(0）+f=f+f(1）+f(0）

=—1+21—1+20—1=。

答案:

2.（12分）已知函数f(x)=是奇函数. 导学号

(1)求实数m的值.

（2)若函数f（x）在区间[-1,a—2］上单调递增,求实数a的取值范围。

【解析】(1)设x〈0，则—x>0，

所以f(-x）=—（-x）2+2（-x）=—x2—2x。

又f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f(x）。

于是x〈0时，f(x)=x2+2x=x2+mx，所以m=2。

(2)要使f（x)在[—1，a-2］上是增加的,

结合f（x）的图像知所以1〈a≤3，

故实数a的取值范围是(1,3]。

3。（13分)已知函数f（x)=2|x—2|+ax（x∈R)有最小值. 导学号

(1）求实数a的取值范围。

(2)设g(x)为定义在R上的奇函数，且当x<0时,g(x）=f（x）,求g(x）的解析式.

【解析】(1）f(x）=要使函数f（x)有最小值，需

所以—2≤a≤2，

故a的取值范围为[-2，2].

（2）因为g(x）为定义在R上的奇函数，所以g（0)=0.

设x〉0,则—x<0.

所以g(x)=—g(—x）=(a—2）x-4,

所以g(x）=