1.3.1辗转相除法

辗转相除法、更相减损术和秦九韶算法（第2课时）

【课程标准】通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献.

【教学目标】1.理解辗转相除法、更相减损术和秦九韶算法；

2.能对辗转相除法、更相减损术和秦九韶进行算理分析，学会应用算法解题；

3.培养学生逻辑思维能力与表达能力，进一步体会算法思想.

【教学重点】辗转相除法、更相减损术和秦九韶算法的算理分析

【教学难点】辗转相除法、更相减损术和秦九韶算法的算理分析

【教学过程】

一、回顾知识

1.什么是顺序结构，及其程序框图；输入、输出语句与赋值语句的一般格式.

2.什么是条件结构，及其程序框图；条件语句的一般格式.

3.什么是循环结构，及其程序框图；循环语句的一般格式.

二、辗转相除法

练习1：求18与30的最大公约数.

例1：求8251与6105的最大公约数.

分析：引入辗转相除法.

1. 辗转相除的原理.

简单分析

2. 辗转相除法的算法分析.

用较大的数除以较小的数，得到除式r nq m +=)0(n r <≤，直到0=r .

课本第26页的图是直到型循环，还可以用当型循环.

直到型循环程序： 当型循环程序：

INPUT “m=”；m INPUT “m=”；m

INPUT “n=”；n INPUT “n=”；n

IF m

t=m t=m

m=n m=n

n=t n=t

END IF END IF

DO r=m MOD n r=m MOD n

m=n WHILE r<>0

n=r m=n

LOOP UNTIL r=0 n=r

PRINT “m与n的最大公约数：”；m r=m MOD n

END WEND

PRINT “m与n的最大公约数：”；n

END

三、更相减损术

算法分析：比较两个数的大小，较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数.

当型循环程序：

INPUT “m=”；m

INPUT “n=”；n

IF m

t=m

m=n

n=t

END IF

r=m-n

WHILE n<>r

IF n

t=n

n=r

r=t

END IF

m=n

n=r

r=m-n

WEND

PRINT “m与n的最大公约数：”；n

END

例2：（课本第27页例1）

例3：求72与196的最大公约数.

（说明当两个数学都是2的倍数时，更相减损术求最大公约数的方法）

练习2：（课本第36页练习1）

四、秦九韶算法

算法分析：（课本第27页）

例3：（课本第38页例2）

练习3：（课本第45页练习1、2）

五、课堂小结

理解、掌握辗转相除法、更相减损术和秦九韶算法的原理、作用以及算法分析，进一步体会算法思想. 学会应用算法解体.

六、作业

1.（课本第48页习题1.3A组第1题）

2.（课本第48页习题1.3A组第2题）

3. 设计一个算法，输出1000以内（包括1000）能被3和5整除的所有正整数，并画出算法的程序框图以及编程.

4. 全班一共40个学生，设计算法流程图，统计班上数学成绩优秀（100≥分数≥85）的学生人数，计算出全班同学的平均分.

1.3算法案例（共3课时）

§1.2 最大公约数与辗转相除法

§2 最大公约数与辗转相除法 一、有关概念 1、定义：123,,,...,n a a a a 的公因数， ()123,,,...,n a a a a 及()123,,,...,1n a a a a = 2、说明：1公因数不可能是0；1是必然的公因数； 2 0与非零数b 的公因数就是b 的因数； 3两两互质与互质的关系； 4 (,)(,)a b b a = 5(0,)b b = ； (1,)1b = 6若(,)a b b =，则b ∣a 7若12(,)1a a =，则()123,,,...,1n a a a a = 3、定理：123,,,...,n a a a a 与123,,,...,n a a a a 相同的公因数。 ? ()123,,,...,n a a a a =123(,,,...,)n a a a a 4、求最大公因数的方法： 1观察法； 2短除法；3辗转相除法。

二、辗转相除法 定理1：设,,a b c 是不全为0的整数，且a bq c =+，q 为整数 则（1）,a b 与,b c 有相同的公因数； （2）()(),,a b b c = 定理2：设,a b 为正整数，则(),n a b r = 推论：,a b 的公因数与(),a b 的因数相同。 例1 证明:当n N +∈时， 143 214 n n ++为既约的真分数。 例2 求()1859,1573-及()169,121 例3 某数除193余4，除1087余7，求符合要求的最大整数。 例4 某数除300，262，205余数相同，求这个数。 三、最大公因数的性质 1、()(),,am bm a b m m =为正整数 2、() ,,a b a b δδδδ?? = ??? 为,a b 的公因数 3、()(),1,,a b a b a b ??= ? ??? 4、设()122,a a d =， ()233,d a d =，()1,n n n d a d -= 则()123,,,n n a a a a d = 例5 设(),1a b = ，求(),a b a b +-

辗转相除法求最大公约数和最小公倍数及其c语言实现

又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法, 其可追溯至3000年前。 在数学中，辗转相除法，又称欧几里得算法，是求最大公约数的算法。辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》（第VII卷，命题i 和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。 两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。辗转相减法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数。例如，252和105的最大公约数是21（252 = 21 ×12；105 = 21 × 5）；因为252 ? 105 = 147，所以147和105的最大公约数也是21。在这个过程中，较大的数缩小了，所以继续进行同样的计算可以不断缩小这两个数直至其中一个变成零。这时，所剩下的还没有变成零的数就是两数的最大公约数。由辗转相除法也可以推出，两数的最大公约数可以用两数的整数倍相加来表示，如21 = 5 ×105 + (?2) × 252。这个重要的等式叫做贝祖等式。 简单的想法 设两数为a、b(a>b)，b最大公约数(a，b)的步骤如下： 用b除a，得a=bq......r1(0≤r1)。若r1=0，则(a，b)=b； 若r1≠0，则再用r1除b，得b=r1q......r2 (0≤r2).若r2=0，则(a，b)=r1， 若r2≠0，则继续用r2除r1,……如此下去，直到能整除为止。其最后一个非零除数即为(a，b)。

设两数为a、b(b1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数成为cd，而非c】 从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。 证毕。 自然语言描述 辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数 a 和 b 的最大公因子的： 1. 若r 是a ÷b的余数, 则gcd(a,b) = gcd(b,r)， 2. a 和其倍数之最大公因子为a。 另一种写法是： 1. a ÷b，令r为所得余数（0≤r

辗转相除算法的简介

辗转相除算法的简介 在数论中，辗转相除法（国际上一般称为Euclidean Algorithm 或Euclid's Algorithm，即欧几里得算法）是一种求任意两个欧几里得环（Euclidean Domain）中的单位（如：整数）的最大公约数的算法。这个算法的一个重要特点就是其不需要通过分解因式来求取最大公约数。辗转相除法正因为其易操作性与易实现性而成为了计算机编程中的一个重要的求最大公约数的常用算法。 辗转相除法的过程描述与应用 给出两个自然数a 和b：检查b是否为0；如果是，则a为最大公约数。如果不是，则分别用b和a 除b的余数作为上一步中的 a 和 b重复这一检查步骤。 正如上面所提到的，辗转相除法是编程中求最大公约数的常用算法，那么下面就是一个C++中通过递归实现辗转相除法的程序段范例： [cpp]view plaincopy 1.int gcd(int a, int b) 2.{ 3.return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); 4.} 注：过程名设为gcd是为了更明显的标明这段程序的意图。因为gcd 是greatest common divisor （最大公约数）的缩写。再编写辗转相除法求最大公约数的过程是，最好将其命名为gcd 以方便他人日后阅读。 辗转相除法的证明 设两数为a、b(a > b)，求它们最大公约数的步骤如下： 设q = a / b，r = a % b, 得a＝bq＋r（0≤r＜b）。 1)若r = 0, 则b是a和b的最大公约数。 2)若r≠0,则继续考虑。首先，应该明白的一点是任何a 和b 的公约数都是r 的公约数。要想证明这一点，就要考虑把r 写成r=a-bq。现在，如果a 和b 有一个公约数d，而且设a=sd , b=td, 那么r = sd-tdq = (s-tq)d。因为这个式子中，所有的数（包括s-tq )都为整数，所以r 可以被d 整除。对于所有的d 的值，这都是正确的；所以a 和b 的最大公约数也是b 和r 的最大公约数。因此我们可以继续对b 和r 进行上述取余的运算。

辗转相除法教学设计

《辗转相除法》教学设计 一．教材分析 本节课是人教版必修三第一章《算法初步》第三节《算法案例》的第一课时，作为案例课，在整章中既是算法的总结，又是一个提升。教材突出了数学的人文价值，又为学生提供了探索算法的平台。二．学情分析 本节课的教授对象是高一学生，他们已经具备一定的数学基础和编程能力，已经掌握了用短除法求最大公约数的方法。现在学习辗转相除法，学生能够掌握辗转相除法的步骤，但是在具体做法的理解上并不到位，需要合作探究。 三．教学目标 1. 知识与技能目标： （1）理解辗转相除法的原理，能用辗转相除法求两正整数的最大公约数； （2）能读懂辗转相除法的程序框图，并能写出对应的程序语句。 2. 过程与方法目标：在学习辗转相除法的过程中，对比短除法，体会辗转相除法的优势，及其体现的化归思想。 3. 情感态度价值观： （1）通过辗转相除法的应用，提升计算能力，提高运算准确性。（2）通过程序的实际操作来体会算法的实用性、便捷性和高效性。四．教学重点和难点 1. 重点：辗转相除法的步骤及算法的理解。

2. 难点：辗转相除法的原理的理解，及辗转相除法的算法的理解。 五．预设问题：如何理解辗转相除法的原理。 六．预习反馈：1.为什么除数与余数的公约数也是被除数与除数的公约数？（1、2、6、8、9组） 2.为什么最后一步的除数为最大公约数？（1、3、6、8组） 3.怎样理解辗转相除法的算法？（3、5、11组） 七．教学课时：1课时 八．教学方法：依据“大三步”教学模式，以问题及问题链为主线，调动学生的学习积极性，使学生真正参与到课堂中，通过小组合作探究，充分的展示自己。 九．教学手段：利用多媒体辅助教学，可以降低学生的学习难度、增加课堂容量。 十．教学过程 （一）创设情景，引入课题 1.首先提出问题：在小学，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与24的公约数吗？ 2.进一步提出问题，如果用短除法求6757 与8729的最大公约数，可不可以行，方不方便？如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？ （二）展示反馈问题 1.为什么除数与余数的公约数也是被除数与除数的公约数？

算法案例——辗转相除法

算法案例——辗转相除法 育才中学潘敏 一、教材分析 选自苏教版普通高中课程标准实验教科书必修3第一章第4节。 1、地位作用： 与传统教学内容相比，《算法初步》为新增内容，算法是计算机科学的重要基础，从日常生活的电子邮件发送到繁忙的交通管理，从与人们生产、生活息息相关的天气预报到没有硝烟的战争模拟等等都离不开计算机算法。算法思想已经渗透到社会的方方面面，算法思想也逐渐成为每个现代人应具有的数学素养。 在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程，求解方程的步骤，以及将要学习的数列求和等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法思想。 本节内容是探究古代算法案例――辗转相除法，巩固算法三种描述性语言（自然语言、流程图和伪代码），提高学生分析和解决问题的能力。 2、教学目标： （1）知识目标： ①理解辗转相除法原理； ②能用自然语言、流程图和伪代码表达辗转相除法； ③能应用迭代算法思想。 （2）能力目标： ①培养学生把具体问题抽象转化为算法语言的能力； ②培养学生自主探索和合作学习的能力。 （3）情感目标： ①使学生进一步了解从具体到抽象，抽象到具体的辨证思想方法，对学生进行辨证唯物主义教育； ②创设和谐融洽的教学氛围和阶梯形问题，使学生在活动中获得成功感，从而培养学生热爱数学、积极学习数学、应用数学的热情。 3、教学重点与难点： （1）教学重点： ①理解辗转相除法原理； ②能用自然语言、流程图和伪代码表达辗转相除法。 （2）教学难点： ①理解和区分两种循环结构表达辗转相除法； ②能应用迭代算法思想。 二、教法学法 1、教法：以问题为载体，有引导的对话，让学生经历知识的形成过程和发展过程，从而突出教学重点，并采用多媒体教学，增加课堂容量，有利于学生活动的充分展开。 2、学法：以观察、讨论、思考、分析、动手操作、自主探索、合作学习多种形式相结合，引导学生多角度、多层面认识事物，突破教学难点。

辗转相除法证明

数学知识点滴1.辗转相除法证明; 2.分数加法教学设计：

3.分数的意义：

4.阿拉伯数字最早起源于印度，在公元前500年，印度人就已经开始使用了，大约在8世纪前后才传到阿拉伯，9世纪阿拉伯人开始使用阿拉伯数字，大约在1100年由阿拉伯人传到欧洲，因此欧洲人称它为阿拉伯数字。阿拉伯数字传到中国是13世纪以后，1892年才在我国正式使用。 5.约分 “可半者半之，不可半者，副置分母，子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等相约之。”（吴文俊，1998a，p。58） 这种约分方法的具体思路是：首先判断分子与分母，如果都是偶数，就把分子分母分别除以2。如果是奇数，就把分子与分母相减（大减小），如果差与减数相等，差就是分子与分母

的最大公约（因）数，如果不相等，就把所得的差与减数再相减（大减小），这样一直减下去，直到新的差与新的减数相等为止，这个新的差就是原来分子与分母的最大公约数。（更相减损法） 6.分数除法 其一，被除数，除数之一含分数，另一个是整数，就先通分，后把被除数与除数的分子相除，如“方田”章第17题解题过程如下 813 ÷7=253 ÷7=8×3+13 ÷7×33 =(8×3+1)÷(7×3)=1421 其二，被除数，除数都含分数，就同时通分，后把被除数与除数的分子相除，如“方田”章第18题解题过程如下 （6+13 +34 )÷313 =6×12+4×1+3×312 ÷ (3×3+1)×412 =(6×12+4×1+3×3)÷【（3×3+1）×4】=218 这种计算方法虽然比我们现在用的“颠倒相乘法”麻烦，但是更容易理解。

算法案例---辗转相除法与更相减损术

淄博五中高一级部数学学案 孙天军 编号：课题：1.3.1 算法案例（1）--辗转相除法与更相减损术 授课人：备课时间：授课时间：课型：新授课 学案内容 〖学习目标〗 1．通过算法的典型案例，经历设计算法解决问题的全过程，感受算法解决问题的重要作用； 2．理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析,设计出这两种算法的程序框图并写出它们的算法程序；熟练运用这两种算法求最大公约数． 3．进一步体会算法的基本思想，发展有条理地思考与解决问题的能力，提高逻辑思维能力． 〖重点难点〗随记 重点：掌握辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法． 难点：对辗转相除法与更相减损术的算法的基本思想的理解. 〖导学过程〗 板块一：课前自学 1 ．回顾算法的三种表述：自然语言、程序框图（三种逻辑 结构）、程序语言（五种基本语句）． 2．回顾求两个数的最大公约数的方法． ①24与30的最大公约数． ②求较大的两个数210与462的最大公约数． 板块二：新知探究 1 ．问题提出：当两个数公有的质因数（如8251与6105） 较大时，用原来的显然困难，须改进算法，用什么方法好？ 2 ．点拨：辗转相除法是解决上述问题的有效方法之一， 此算法是欧几里得在公元前300左右首先提出的，因而，又 叫欧几里得算法． 3．师生探究： 例1．用辗转相除法求8251与6105的最大公约数． 探究1：用辗转相除法求两个正数225和135的最大公约数．

探究2：辗转相除法算法步骤如何？其蕴含的数学原理是什么？ 请画出用辗转相除法求两个数的最大大公约数的程序框图，并编写程序？ 4．问题提出：除了用上述算法求两个数的最大公约数之外还有没有别的算法？ 5．点拨：用“更相减损术”：更相减损术，是我国数学家刘徽的专著《九章算术》中记载的．更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母分子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之．翻译出来为： 第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步． 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数． 6．师生再探： 例2 ．用更相减损术求91与49的最大公约数． 探究3:怎样用更相减损术求182与98的最大公约数? 探究4:用更相减损术求80与36的最大公约数，并用辗转相除法检验结果．探究5:“更相减损术”蕴含的数学原理是什么？ 思考: “辗转相除法”与“更相减损术”的区别是什么？ （1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显． （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为则得到，而更相减损术则以减数与差而得到． 板块三：知识拓展 问题提出：如何求三个正整数的最大公约数？ 例3．求三个数175、100、75的最大公约数．

用辗转相除法求最大公约数

辗除法 辗除法（zhǎnchúfǎ）——辗转相除法，又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法，其可追溯至3000年前。它首次出现于欧几里德的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。它并不需要把二数作质因子分解。 证明： 设两数为a、b(b0 returngcd(b, a mod b); else return a; } 或纯使用循环: functiongcd(a, b) { define r as integer; while b ≠ 0 { r := a mod b; a := b; b := r;

学案辗转相除法

学案1-3-1：辗转相除法与更相减损术 学习目标： 1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。 2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。 重点与难点： 重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。 难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。 学习过程： 预习导航 引例：1.在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？ 2.如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎 样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？ 知识导航： 辗转相除法：又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的___________古老有效的算法。更相减损法：我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数的______算法。 典型例题： 一.辗转相除法 例1 。求两个正数8251和6105的最大公约数。 （分析：辗转相除→余数为零→得到结果） 解：8251＝6105×1＋2146 显然8251与6105的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。 6105＝2146×2＋1813 2146＝1813×1＋333 1813＝333×5＋148 333＝148×2＋37 第 1 页共 4 页

148＝37×4＋0 则37为8251与6105的最大公约数。 以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。 1。为什么用这个算法能得到两个数的最大公约数？ 练习：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数。 2。辗转相除法包含重复操作的步骤，因此我们可用_________结构来构造算法，利用辗转相除法求最大公约数的步骤： 3。程序框图如下： 当型循环结构框图直到型循环结构框图 4。程序如下： 当型循环结构程序直到型循环结构程序 第 2 页共 4 页

欧几里得 辗转相除法

欧几里得辗转相除法, 又称欧几里德算法（Euclidean algorithm），是求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法之一, 最早可追溯至公元前300年。它首次出现于欧几里德的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。它并不需要把二数作质因子分解。 编辑摘要 目录[隐藏] 1 概念 2 算法 3 伪代码 4 任意实数对的辗转相除法 5 多个数的辗转相除法 6 辗转相除法的步数估计——拉梅定理 辗转相除法- 概念 辗转相除法, 又名欧几里德算法（Euclidean algorithm），是求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法之一, 最早可追溯至公元前300年。它首次出现于欧几里德的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。它并不需要把二数作质因子分解。 我们用符号gcd(a,b)表示自然数a和b的最大公因数，在不引起误会的情况下(比如在涉及到解析几何的区间时，因为区间的表示与之一样)，也简写为(a,b)。 辗转相除法- 算法 辗转相除法的实现，是基于下面的性质： 1：(a,b)=(a,ka+b)，其中a、b、k都为自然数 就是说，两个数的最大公约数，将其中一个数加到另一个数上，得到的新数组，其公约数不变，比如(4,6)=(4+6,6)=(4,6+2×4)=2。这里有一个比较简单的证明方法来说明这个性质：如果p是a和ka+b的公约数，p整除a，也能整除ka+b。那么就必定要整除b，所以p又是a 和b的公约数，从而证明他们的最大公约数也是相等的。 还有另外一个性质也是很必要： 2：(0,a)=a 由这两个性质得到的，就是更相减损术： (78,14)=(64,14)=(50,14)=(36,14)=(22,14)=(8,14)=(8,6)=(2,6)=(2,4)=(2,2)=(0,2)=2 基本上思路就是大数减去小数，一直减到能算出来为止。不过在平时的计算过程中，往往不必计算到最后一步，比如在上面的过程中，到了(8,6)，就已经能够看出其结果。 我们可以看到，在上面的过程中，由(78,14)到(8,14)完全可以一步到位，因为(78,14)=(14×5+8,14)=(8,14)，由此就诞生出我们的辗转相除法。 用辗转相除法求(a,b).设r0=b，r1=a，反复运用除法算式，得到一系列整数qi，ri和下面的方程：

初中数学竞赛讲座——数论部分4(辗转相除法与最大公约数)

第四讲 辗转相除法与最大公因数 一、基础知识： 1．带余除法：若a ，b 是两个整数，b ＞0，则存在两个整数q 和r ，使得 a =bq+r （0≤r ＜ b ）成立， 且q ，r 是唯一的。 证明：【存在性】作整数序列 …，-3b ，-2b ，-b ，0，b ，2b ，3b ，… 则a 必在上述序列的某两项之间，即存在一个整数q 使得 qb ≤a <(q +1)b 成立。 令a -qb =r ，即证存在性。 【唯一性】设q 1、r 1是满足a =bq+r ，0≤r

辗转相除法与裴蜀定理

二、辗转相除法与裴蜀定理 4、辗转相除法与裴蜀定理 定义对于整数a，b，若ab, 则称a是b的约数; 而b是a的倍数. 定义对于不全为零的整数，若a对都成立, 则称a是的公约数. 定义对于非零整数，若a对都成立, 则称a是的公倍数. 定义整数的公约数中，最大的一个，称为整数的最大公约数， 记作. 整数的公倍数中，最小的一个，称为整数的最小公倍数， 记作[]. 定义若(a, b) =1,则称a, b互质或互素. 显然有下列性质： 性质1 (a, b) = (b, a) = (a, -b) = (- a, -b) ； 性质2 ab = (a, b) [a, b] , 特别地当a>0, b>0时，ab = (a, b) [a, b] . 下面我们介绍辗转相除法与裴蜀定理 定理若a = qb+r，则(a, b) = (b, r) . 注：本定理也可写成：(a, b) = (, b),就是说，在计算(a, b)时，可用b的任意整数倍数bq去减a. 下面我们介绍辗转相除法，对于给定的整数a, b (b>0)，我们反复运用带余除法就有： a = q1 b + b1 , 0 b 1 < b，如b10，则我们继续 b = q2b1+ b2 , 0 b 2 < b1，如b2 0，则我们继续 b1 = q3b2+b3 , 0 b 3 < b2，如b30，则我们继续 … 我们知道，由于小于b的自然数是有限的，因此上述过程不可能无穷下去，在有限步之后，应有余数等于零，设在第n+1步余数为零，于是 b n – 2 = q n – 1 b n – 1 + b n , 0 b n < b n – 1 b n – 1 = q n b n + 0 上述过程称为辗转相除法，显然(a, b) = (b, b1) = (b1, b2)= (b2, b3) =… = (b n – 1 , b n ) = b n . 由于(a, b) = (a, - b )，从上述过程可以看到，辗转相除法是求两个整数最大公约数的一个很好的方法。 将上述前n个式子联立方程组，消去b1,b2, …, b n – 1 , 则可得到：

高中数学必修3《辗转相除法与更相减损术》教案

《辗转相除法与更相减损术》教案 教材：人教版普通高中课程标准实验教科书必修3第一章第1.3.1节. 一．教学目标 （1）知识目标： ①理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析. ②基本能根据程序框图与算法语句的知识设计完整的程序框图并写出算法程序. （2）能力目标： ①培养学生把具体问题抽象转化为算法语言的能力. ②培养学生自主探索和合作学习的能力. （3）情感目标： ①通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献. ②在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力. ③创设和谐融洽的教学氛围，使学生在课堂活动中获得成功感，从而培养学生热爱数学、积极学习数学、应用数学的热情. 二、教学重点、难点 重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法. 难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言. 三、教学方法和手段 教学方法：启发、引导、探究、讨论等. 教学手段：多媒体辅助教学. 四、教学用具:多媒体教学平台 教具准备：多媒体课件（Powerpoint）、QB应用程序、课时讲义． 五、授课类型：新授课 六、教学程序

《辗转相除法与更相减损术》教案说明

这堂课设计上先求两个简单数的最大公约数，再变大这两个数（其实这个思路是辗转相除法的逆过程），慢慢让学生体会其中的最大公约数原理，由简单的例子让学生自己去探索规律，然后求两个较大数的最大公约数，从而引出用欧几里德辗转相除法求两个数的最大公约数的思想方法,组织学生讨论如何把它转换成程序框图和程序并上机验证;接着介绍更相减损术,以例2为例介绍其算理,引导学生发现其算法特点,思考如何设计程序框图并转化为程序上机验证.这部分内容是新课程新增进的内容，对案例的分析让学生对算法有了进一步的认识,并从程序的学习中体会数学的严谨性，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤. 本节课的重点是学会用辗转相除法与更相减损术求两个正整数的最大公约数，难点是把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言.教学过程中，从实例出发，引用历史背景，借助多媒体手段教学，提高教学效率，激发学生的学习兴趣，由简单慢慢加深让学生自主探索，巧妙引导，发现规律，使教与学做到有机结合，使课堂教学达到最佳状态.

小升初奥数辗转相除法

辗转相除法与更相减损术 辗转相除法：又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公因数的古老有效的算法。更相减损法：我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数的最大公约数算法。 一.辗转相除法 例1 。求两个正数8251和6105的最大公因数。 （分析：辗转相除→余数为零→得到结果） 解：8251＝6105×1＋2146 显然8251与6105的最大公因数也必是2146的因数，同样6105与2146的公因数也必是8251的因数，所以8251与6105的最大公因数也是6105与2146的最大公因数。 6105＝2146×2＋1813 2146＝1813×1＋333 1813＝333×5＋148 333＝148×2＋37 148＝37×4＋0 则37为8251与6105的最大公因数。 以上我们求最大公因数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。 1．为什么用这个算法能得到两个数的最大公因数？ 利用辗转相除法求最大公因数的步骤如下： 第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0； 第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公因数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1； 第三步：若r1＝0，则r1为m，n的最大公因数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2； …… 依次计算直至r n＝0，此时所得到的r n－1即为所求的最大公因数。 我国早期也有解决求最大公因数问题的算法，就是更相减损术。 更相减损术求最大公因数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数因之。 翻译成现代汉语为： 第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，就除以2；若不是，执行第二步。 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公因数。

欧几里德算法(碾转相除法)的数学证明

辗转相除法的证明 辗转相除法, 又名欧几里德算法（Euclidean algorithm ），乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法, 其可追溯至3000年前。它首次出现于欧几里德的《几何原本》（第VII 卷，命题i 和ii ）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。它并不需要把二数作质因子分解。 问题重述： 证明等式()()gcd ,gcd , mod m n n m n =对每一对正整数,m n 都成立。 符号说明：函数()gcd ,m n 表示求一对正整数,m n ()m n ≥的最大公约数， mod m n 表示求m 除以n 得到的余数。 证明： 一．若m 被n 整除，此时余数0r =。易知()()gcd ,gcd ,0m n n n ==。（任意正整数和0的最大公约数是正整数本身）。 二．若m 不能被n 整除，根据条件，不妨令,m n 的最大公因数为k ，即()gcd ,m n k =。显然可分解得m ak =，n bk =，其中,a b 为正整数。 设 mod m n r =，则由定义知：m n q r ÷= (q 为商，r 为余数)。 ∴ak bk q r ÷= ，得ak bk q r =+ (1) ()r ak bk q k a bq ∴=-=- (2) 在（2）式中， ,,a b q Z +∈，∴a bq Z -∈，∴k 是r 的一个约数。 以下有反证法，证明k 是n 和r 的最大公约数。 假设k k '?≠是n 和r 的最大公约数，则k k '>。 ∴可分解得到n a k ''=，r b k ''= 由（1）式可得m n q r =+ ()m a k q b k a q b k '''''''∴=+=+ 因此k '也是m 的约数

1.3.1 辗转相除法与更相减损术

§1．3辗转相除法与更相减损术 【学习目标】： （1）理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析. （2）基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序. 【学习重点】理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法. 【学习难点】把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言. 【学法与学习用具】： 学法：比较辗转相除法与更相减损术求最大公约数在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤. 学习用具:计算机，TI-voyage200图形计算器 【课堂过程】 提出问题：在小学，我们已经学过求最大公约数的知识，如口算求出12与20的公约数. 分析： 我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容. 辗转相除法 例1求两个正数8251和6105的最大公约数. 分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，可以把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数. 因为8251＝6105×1＋2146， 显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数. 6105＝2146×2＋1813 2146＝1813×1＋333 1813＝333×5＋148 333＝148×2＋37 148＝37×4＋0 则37为8251与6105的最大公约数. 以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法.也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的.利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下： （1）用较大的数m除以较小的数n得到一个商 S和一个余数0R； （2）若 R＝0，则n为m，n的最大公约数；若0R≠0，则用除数n除以余数0R得到一个商1S 0 和一个余数 R； 1

辗转相除法是求最大公因数很有效率的方法

輾轉相除法（歐氏算則） 年 班 號姓名 【升高中試題】在九十一年第一次國中學力測驗的題目中，有一道題目如下： 小方拿了一張長80 公分、寬50 公分的紙張，剛好剪出 n 個正方形（其面積大小可以不相同）。請問n 的最小值是多少？(A) 3 (B) 5 (C) 10 (D) 40 （B ） 【升大學試題】96年大學指考數乙的題目中，有一道題目如下： 中國古代流傳的一本數學書中有下面這段文字：今有多數21，少數15，問等數為何？草曰：置21於上，15於下，以下15除去上21，上餘6；又以上6除去下15，下餘3；又以下3除去上6，適盡。則下3為等數合問。在上文中「等數」指的是：(A)兩數之和 (B)兩數之差 (C)兩數之積 (D)兩數之商 (E)兩數的最大公因數 （E ） 【一道遊戲】歐氏對局的比賽規則如下: 雙方各自寫一個自然數，猜拳以決定誰先手。先手者從較大的數扣去較小數的任何倍數，但不能使差變成負數，後手亦然。兩人輪流對局，最先得到一對數含有一個零者得勝。（參考附註） 例如：甲、乙兩人分別寫出78與35兩個數。 假設甲是先手，整個對局過程可以是： (i){78, 35}甲?{43, 35}乙?{8, 35}甲?{8, 11}乙?{8, 3}甲?{2, 3}乙?{2, 1}甲?{0, 1}， 經過7步甲先手得勝。也可以是： (ii){78, 35}甲?{8, 35}乙?{8, 11}甲?{8, 3}乙?{2, 3}甲?{2, 1}乙?{0, 1}， 經過6步乙後手得勝。 【定理】輾轉相除法中國古代叫做「更相減損求等」，它是求最大公因數很有效率的方法： 若n 、m 都是自然數，且00r mq n +=，其中0q 、0r 都是整數，則gcd(n , m) = gcd(m , 0r )。 (i)直觀證明：00r mq n +=?110r q r m +=?2210r q r r +=?......?n n n n r q r r +=--12?11+-=n n n q r r 整除 (ii)推理證明：假設d 1 = gcd(n, m)，且d 2 = gcd( m ,0r )，我們證明 d 1| d 2 且 d 2| d 1， 因而可得證 d 1 = d 2。

1.3算法案例1(辗转相除法与更相减损术)

§1.3 算法案例 一、教材分析 在学生学习了算法的初步知识，理解了表示算法的算法步骤、程序框图和程序三种不同方式以后，再结合典型算法案例，让学生经历设计算法解决问题的全过程，体验算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力. 二、教学目标 1、知识与技能 （1）理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。 （2）基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。 （3）了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。 （4）掌握数据排序的原理能使用直接排序法与冒泡排序法给一组数据排序，进而能设计冒泡排序法的程序框图及程序，理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用。 （5）了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。 2、过程与方法 （1）在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。 （2）模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。能根据排序法中的直接插入排序法与冒泡排序法的步骤，了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用。 （3）学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k 去余法，并理解其中的数学规律。 3、情态与价值观 （1）通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。 （2）在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。 （3）通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。通过对排序法的学习，领会数学计算与计算机计算的区别，充分认识信息技术对数学的促进。 （4）领悟十进制，二进制的特点，了解计算机的电路与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系。 三、重点难点 教学重点：（1）引导学生得出自己设计的算法步骤、程序框图和算法程序. （2）秦九韶算法的特点 （3）两种排序法的排序步骤及计算机程序设计 （4）各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换 教学难点：（1）体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.

辗转相除法证明

原理及其详细证明 对于二个自然数a和b，若存在正整数q，使a=bq，则a能被b 整除，b为a的因子，a为b的倍数。 如果a能被c整除，并且b也能被c整除，则c为a、b的公因数（公有因数）。 推论1、如果a能被b整除（a=qb），若k为正整数，则ka也能被b整除（ka=kqb） 推论2、如果a能被c整除（a=hc），b也能被c整除（b=tc），则(a±b)也能被c整除 推论3、如果a能被b整除（a=qb），b也能被a整除（b=ta），则a=b 因为：a=qb b=ta a=qta qt=1 因为q、t均为正整数，所以t=q=1 所以：a=b 辗转相除法是用来计算两个数的最大公因数 如果q 和r 是m 除以n 的商及余数，即m=nq+r，则gcd(m,n)=gcd(n,r)。 证明是这样的: 设a=gcd(m,n)，b=gcd(n,r) 证明： ∵a为m,n的最大公约数。 ∴m能被a整除，且n也能被a整除， ∴由推论1得：qn也能被a整除， ∴由推论2得：m-qn也能被a整除，

又∵m-qn=r， ∴r也能被a整除，即a为n和r的公约数（注意：还不是最大公约数） ∵b为n和r的最大公约数，a为n和r的公约数 ∴a≤b， 同理 ∵b为n, r的最大公约数， ∴n能被b整除，且r也能被b整除， ∴由推论1得：qn也能被b整除， ∴由推论2得：qn+r也能被b整除， 又∵m=qn+r， ∴m也能被b整除，即b为m和n的公约数，（注意：还不是最大公约数） ∵a为m,n的最大公约数，b为m和n的公约数， ∴b≤a， 由以上可知： a≤b与b≤a同时成立， 故可得 a=b， 证毕。

辗转相除法教案

《辗转相除法》教案 教学目标： 1．理解辗转相除法原理；能用自然语言、程序框图和程序语言表达辗转相除法；能准确求出任意两数的最大公约数； 2．培养学生把具体问题抽象转化为算法语言的能力；培养学生自主探索和合作学习的能力； 3．使学生进一步了解从具体到抽象，抽象到具体的辨证思想方法，对学生进行辨证唯物主义教育；创设和谐融洽的学习氛围和阶梯形问题，使学生在活动中获得成功感，从而培养学生热爱数学、积极学习数学、应用数学的热情． 教学重点难点： 1．重点：理解辗转相除法原理，准确求出任意两数的最大公约数； 2．难点：理解辗转相除法原理，用自然语言、程序框图和程序语言表达辗转相除法．教法与学法： 1．教法选择：以问题为载体，有教师引导的对话，让学生经历知识的形成过程和发展过程，从而突出教学重点，并采用多媒体教学，增加课堂容量，有利于学生活动的充分展开； 2．学法指导：以观察、讨论、思考、分析、动手操作、自主探索、合作学习多种形式相结合，引导学生多角度、多层面认识事物，突破教学难点． 教学过程： 一、设置情境，引出课题

二、深入拓展，共同探究

三、当堂练习，深化知识

四、归纳小结，课堂延展 教学设计说明 1．教材地位分析：与传统教学内容相比，《算法初步》为新增内容，算法是计算机科学的重要基础，从日常生活的电子邮件发送到繁忙的交通管理，从与人们生产、生活息息相关的天气预报到没有硝烟的战争模拟等等都离不开计算机算法．算法思想已经渗透到社会的方

方面面，算法思想也逐渐成为每个现代人应具有的数学素养．本节内容是探究古代算法案例――辗转相除法，巩固算法三种描述性语言（自然语言、程序框图、程序语言），提高学生分析和解决问题的能力． 2．学生现实分析：在本节课的学习过程中，具体的计算方法，学生学习起来相对比较轻松．但程序框图与程序语言的设计则有一定难度，需给予足够时间． 3．在本节课的讲解过程中，有必要对我国古代数学做一些适当的介绍，让学生体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强民族自豪感．增强学生学习兴趣．