对数函数综合(很好很全)强烈推荐
对数及对数函数的综合运用
一．基础知识 1．对数运算公式
（1）零与负数没有对数 （2）01log =a （3）1log
=a a
N M MN a
a
a
log
log
log
)4(+=
N M N M
a
a
a
log
log
log )5(-=
M
n M
a
n
a
log log
)6(=
(7) )10,10,0(log
log log
≠>≠>>=
m m a a N a
N N m
m a
且且
（8）lo g lo g 1a b b a ?=
（9）lo g lo g
lo g 1a b
c b c a ??=
2．对数函数
一般形式： y =a
log x (a>0且a≠1)
图象：
定义域：(0,+ ∞) 值域：(0,+ ∞) 过定点：（1，0）
单调性： a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数
０＜a<1, 在(-∞,+∞)上为减函数 奇偶性：非奇非偶
值分布： 当时且1,1>>x a y>0 当时且1,10>< 时 且10,1<<>x a y<0 时且10,10<<< 二、题型剖析 对数运算 ⑴将下列指数式改写成对数式； 162 4 =； 27 13 3 = -； 205 =a ； 45.021=?? ? ??b ⑵将下列对数式改写成指数式； 3125log 5=； 23log 3 1-=； 699.1lg -=a 计算： （1）1lo g 2lo g 2 a a +； （2）33lo g 18lo g 2-； （3）1lg lg 25 4 -； （4）552lo g 10lo g 0.25+； （5）522lo g 253lo g 64+； （6）22lo g (lo g 16)。 （7）2lg 50lg )5(lg 2 ?+ （8）12lg ) 2(lg 5lg 2lg ) 2(lg 22 2 +-+?+ （9）3log 33 3558log 9 32 log 2log 2-+-； （10）2)2(lg 20lg 5lg 8lg 3 225lg +?++ ； 换底公式的运用 1.已知4.1log ,35log 7 5求m = 2.若a a a +-= =3)3(416log :,27log 6 12 求证 3.已知,518 ,9 log 18==b a 求.45log 36 指对数互化 1已知x,y,z 为正数，满足z y x 643==① 求证： x z y 1121- = ②比较3x 、4y 、6z 的大小 对数方程 1.方程12)321(log 3+=?-x x 的解=x . 2．方程3lg lg )2lg(2+=+x x 的解是 。 定点问题 1.函数) 1,0(1)2(log ≠>+-=a a x y a 恒过定点 . 求奇偶性 1.判断函数. 1 1 log )(2 1-+=x x x f 的奇偶性 2．判断函数f(x)=lg(x x -+12 )的奇偶性。 求值问题 1.计算200832lo g [lo g (lo g 8)]= ． 2.若2.5x =1000,0.25y =1000,求 11x y -= ． 单调性比值（不等式问题） 1.4 3 log ,4log ,3log 3 434的大小顺序为 2.若12>>>a b a ，比较b a a b b a a b b a log ,log ,log ,log 的大小顺序为 . 不等式问题 1.12 lo g 3x < 2 1l o g 8 x < 2lo g 3x < 2lo g 1x > lo g 41x < 1l o g 12x < lo g 41x < 1l o g 1 2 x < 2 2lo g 13x ??< ?? ? 2.若定义域为R 的偶函数f （x ）在［0，＋∞）上是增函数，且f （2 1）＝0，则不等式f （l og 4x ）＞0的解集是______________． 3.若f (x )是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数,且f （lg x ）>f (1),则x 的取值范围是____________ 求定义域 1.3)1(log 1 )(2 -+= x x f 2.2 31 2log )(--=x x x f 3．求函数 ) x |x lg(|x 4y 2 +-= 的定义域 4．函数y=lg(ax+1)的定义域为（-∞，1），则a= 。 5.若函数y=lg[x 2+(k+2)x+4 5]的定义域为R ，则k 的取值范围是 。 求值域 1y = 2.y=log 2 1(x 2-6x+17) 3.y=(log 4 1x)2-4log 4x+1 定义域值域都为R 的问题 1. 2 2lo g (43)y k x k x =++ （1）定义域为R ，求k 范围 （2）值域为R 求k 取值范围 最值问题 1.求函数f(x)=(log 4 1x)2-log 4 1x+5,x ∈［2，4］的最值 2.已知x 满足不等式2(log 2x ）2-7log 2x+3≤0,求函数f(x)=log 2 4 log 2 2 x x ?的最大值和最小值。 求底数范围 1.若1)3 2 (log 2 ，求a 的取值范围. 2.已知12 1 log ，那么a 的取值范围。 3.若log m 9 （A ）m>n>1 （B ）n>m>1 （C ）0 单调区间 1.函数f(x)=log 3 1 (5-4x-x 2 )的单调减区间。 2．函数y=log 2 1(2x 2-3x+1)的递减区间。 3.函数y=log 3 12 x+log 3 1x 的单调递减区间 对数函数图像问题 1. 如何由2 l o g y x =图象得到下面函数图象 2lo g (1)y x =+ 2lo g 1y x =+ 2lo g 1y x =- 2lo g y x = 2lo g ()y x =- 2lo g (1)y x =-- 2lo g y x =- 2lo g 1y x =- 2.函数y=lg （ 112-+x ）的图像关于（ ） （A ）x 轴对称 （B ）y 轴对称 （C ）原点对称 （D ）直线y=x 对称 3.图中的曲线是对数函数x y a log =的图象，已知a 的取值为 2 、3 4、5 2、 6 1四个值，则相应于 曲线1C 、2C 、3C 、4C 的a 的值依次为【 】 2 C 3 A ．2 、3 4、5 2、6 1 B ．3 4、 2 、6 1、5 2 C ． 2 、3 4、6 1、5 2 D ．3 4、 2 、5 2、6 1 4.若01a <<，则函数lo g (5)a y x =+的图象不经过 【 】 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5.若143 log ，则a 的取值范围是 【 】 A ．) 4 3, 0( B ．) ,4 3 (+∞ C ．)1,4 3 ( D ．)4 3, 0() ,1(+∞ 数形结合问题 1．若不等式0log 2<-x a x ，当)2 1, 0(∈x 时恒成立，求实数a 的取值范围 2．求方程lg 2x x +=的实根个数。 3．求方程. 2lo g (4)3 x x +=的实根个数。 对数函数综合问题 1.对于函数)32(log )(2 2 1+-=ax x x f ，解答下述问题： （1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围； （3）若函数在),1[+∞-内有意义，求实数a 的取值范围； （4）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值； （5）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值； （6）若函数在]1,(-∞内为增函数，求实数a 的取值范围. 2.2指数函数与对数函数的应用 目标认知：学习目标： 能够熟练运用指数函数与对数函数的性质，解决指数函数与对数函数的综合问题． 学习重点： 运用函数有关理论，解决综合问题． 学习难点： 指数函数与对数函数综合应用． 典型例题：例1．设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则( ) A．B．2C．D．4 【解读】设，函数在区间上的最大值与最小值分别为 ，，它们的差为，∴，，选D．例2．函数的反函数的定义域为( ) A．B．(1，9]C．(0，1)D． 【解读】函数的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为(1，9]， ∴选B． 例3．若，则下列结论正确的是( ) A．B．C． D． 【解读】D；由指数函数与对数函数的单调性知D正确． 例4．函数的值域为 A．B．C．D． 答案：A 例5．若函数是函数的反函数，且，则 ( ) A．B．C．D． 答案：A 【解读】函数的反函数是，又，即 ， 所以，a=2，故，选A． 例6．设，，，则 A．B．C．D． 答案：A 【解读】∵，∴ ∴，∴． 例7．设则________ 答案：． 【解读】本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算． 例8．已知函数．若，a＜b且，则的取值范围是 A．B．C．D． 答案：C 【解读1】因为，所以，所以a=b(舍去)，或，所以 又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令， 由“对勾”函数的性质知函数在上为减函数， 所以，即a+b的取值范围是． 【解读2】由0＜a＜b，且得：，利用线性规划得：，化为求的取值范围问题， ，过点(1，1)时z最小为2， ∴C 例9．若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是 A．B．C． D． 答案：A 【解读】的零点为，的零点为， 的零点为，的零点为． 现在我们来估算的零点，因为，， 所以的零点， 又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 只有的零点适合，故选A． 3.2.3 指数函数与对数函数的关系 【学习要求】 1.了解反函数的概念及互为反函数图象间的关系; 2.掌握对数函数与指数函数互为反函数. 【学法指导】 通过探究指数函数与对数函数的关系,归纳出互为反函数的概念,通过指数函数图象与对数函数图象的关系,总结出互为反函数的图象间的关系,体会从特殊到一般的思维过程. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的 自变量 ,而把这个函数的自变量 作为新的函数的 因变量. 我们称这两个函数 互为反函数. 即y ＝f(x)的反函数通常用 y ＝f － 1(x) 表示. 2.对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数 ,它们的图象关于 直线y ＝x 对称. 3.互为反函数的图象关于直线 y ＝x 对称;互为反函数的图象同增同减. 4.当a>1时,在区间[1,＋∞)内,指数函数y ＝a x 随着x 的增加,函数值的增长速度 逐渐加快 ,而对数函数y ＝log a x 增长的速度 逐渐变得很缓慢. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 设a 为大于0且不为1的常数,对于等式a t ＝s,若以t 为自变量可得指数函数y ＝a x ,若以s 为自变量可得对数函数y ＝log a x.那么指数函数与对数函数有怎样的关系呢？这就是本节我们要探究的主要问题. 探究点一指数函数与对数函数的关系 导引为了探究这两个函数之间的关系,我们用列表法画出函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的图象. 问题1函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的定义域和值域分别是什么,它们的定义域和值域有怎样的关系？ 答：函数y ＝2x 的定义域为R,值域为(0,＋∞);函数y ＝log 2x 的定义域为(0,＋∞),值域为R.函数y ＝2x 的定义域和值域分别是函数y ＝log 2x 的值域和定义域. 问题2在列表画函数y ＝2x 的图象时,当x 分别取－3,－2,－1,0,1,2,3这6个数值时,对应的y 值分别是什么？ 答：y 值分别是: 18, 14, 1 2 , 1, 2, 4, 8. 问题3在列表画函数y ＝log 2x 的图象时,当x 分别取18,14,1 2 ,1,2,4,8时,对应的y 值分别是什么？ 答：y 值分别是:－3,－2,－1,0,1,2,3. 问题4综合问题2、问题3的结果,你有什么感悟？ 答：在列表画y ＝log 2x 的图象时,可以把y ＝2x 的对应值表里的x 和y 的数值对换,就得到y ＝log 2x 的对应值表. 问题5观察画出的函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的图象,能发现它们的图象有怎样的对称关系？ 答：函数y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称. 问题6我们说函数y ＝2x 与y ＝log 2x 互为反函数,它们的图象关于直线y ＝x 对称,那么对于一般的指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 又如何？ 答：对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数.它们的图象关于直线y ＝x 对称. 探究点二 互为反函数的概念 问题1对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 是一一映射吗？为什么？ 答：是一一映射,因为对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 都是单调函数,所以不同的x 值总有不同的y 值与之对应,不同的y 值也总有不同的x 值与之对应. 问题2对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数,更一般地,如何定义互为反函数的概念？ 答：当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新 的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.函数y ＝f(x)的反函数通常用y ＝f － 1(x)表示. 问题3 如何求函数y ＝5x (x ∈R)的反函数？ 答：把y 作为自变量,x 作为y 的函数,则x ＝y 5,y ∈R.通常自变量用x 表示,函数用y 表示,则反函数为y ＝x 5 ,x ∈R. 例1 写出下列函数的反函数: (1)y ＝lg x; (2)y ＝log 1 3 x; (3)y ＝????23x . 解：(1)y ＝lg x(x>0)的底数为10,它的反函数为指数函数y ＝10x (x ∈R). (2)y ＝log 13x (x>0)的底数为1 3 ,它的反函数为指数函数y ＝????13x (x ∈R). (3)y ＝????23x (x ∈R)的底数为23,它的反函数为对数函数y ＝log 2 3x (x>0). 小结：求给定解析式的函数的反函数的步骤: (1)求出原函数的值域,这就是反函数的定义域; (2)从y ＝f(x)中解出x; (3)x 、y 互换并注明反函数的定义域. 跟踪训练1 求下列函数的反函数:(1)y ＝3x －1; (2)y ＝x 3＋1 (x ∈R); (3)y ＝x ＋1 (x≥0); (4)y ＝2x ＋3 x －1 (x ∈R,x≠1). 第二章 函数 三 指数函数与对数函数 【考点阐述】指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．对数．对数的运算性质．对数函数． 【考试要求】（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 【考题分类】 （一）选择题（共15题） 1.（安徽卷文7）设 232555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. 2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系 中的图像可能是 【答案】D 【解析】对于A 、B 两图，|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-11矛盾，选D 。 3.（辽宁卷文10）设525b m ==，且112a b +=，则m = （A （B ）10 （C ）20 （D ）100 【答案】 D 解析：选A.211 log 2log 5log 102,10, m m m m a b +=+==∴= 又0,m m >∴= 4.（全国Ⅰ卷理8文10）设a= 3 log 2,b=In2,c=1 2 5 - ,则 A. a 指数函数和对数函数知识点总结及练习题 一.指数函数 （一）指数及指数幂的运算 n m n m a a = s r s r a a a +=? rs s r a a =)( r r r b a ab =)( （二）指数函数及其性质 1.指数函数的概念：一般地，形如x a y =（0>a 且1≠a ）叫做指数函数。 2.指数函数的图象和性质 10<a 6 54321 -1 -4-2 2460 1 6 5 4 3 2 1 -1 -4-2 246 1 定义域 R 定义域 R 值域y ＞0 值域y ＞0 在R 上单调递减 在R 上单调递增 非奇非偶函数 非奇非偶函数 定点（0，1） 定点（0，1） 二.对数函数 （一）对数 1.对数的概念：一般地，如果N a x =（0>a 且1≠a ），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作N x a log =，其中a 叫做底数，N 叫做真数，N a log 叫做对数式。 2.指数式与对数式的互化 幂值 真数 x N N a a x =?=log 底数 指数 对数 3.两个重要对数 （1）常用对数：以10为底的对数N lg （2）自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数N ln （二）对数的运算性质（0>a 且1≠a ，0,0>>N M ） ①MN N M a a a log log log =+ ②N M N M a a a log log log =- ③M n M a n a log log = ④换底公式：a b b c c a log log log =（0>c 且1≠c ） 关于换底公式的重要结论：①b m n b a n a m log log = ②1log log =?a b b a （三）对数函数 1.对数函数的概念：形如x y a log =（0>a 且1≠a ）叫做对数函数，其中x 是自变量。 2对数函数的图象及性质 0 指数函数和对数函数 知能目标 1. 理解分数指数幂的概念, 掌握有理指数幂的运算性质. 掌握指数函数的概念、图象和性质. 2. 理解对数的概念, 掌握对数的运算性质. 掌握对数函数的概念、图象和性质. 3. 能够运用指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 综合脉络 1. 以指数函数、对数函数为中心的综合网络 2. 指数式与对数式有如下关系(指数式化为对数式或对数式化为指数式的重要依据): 0a (N log b N a a b >=?=且)1a ≠ 指数函数与对数函数互为反函数, 它们的图象关于直线x y =对称, 指数函数与对数函数 的性质见下表: 3. 指数函数,对数函数是高考重点之一 指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函 数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性 质并能进行一定的综合运用. (一) 典型例题讲解: 例1.设a ＞0, f (x)＝ x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f － 1 (x)的奇偶性与单调性. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 例3. 已知x 满足≤+6x 2a a 4x 2x a a +++)1a ,0a ( ≠>, 函数y ＝)ax (log x a 1 log 2 a 12 a ? 的值域为]0 ,8 1[-, 求a 的值. (二) 专题测试与练习: 与指数函数、对数函数相关的应用题较多，如人口的增长（1981年、1996年高考题）、环保等社会热点问题，国民生产总值的增长、成本的增长或降低、平均增长率等经济生活问题，放射性物质的蜕变、温度等物理学科问题等. 一、人口问题 例1、某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： ⑴写出该城市人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系式； ⑵计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）； ⑶计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）. 二、增长率问题 例2、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式.如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？（注：“复利”，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期利息.） 例3、某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出函数y关于x的解析式. 三、环保问题 例4、一片森林面积为a ，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐的百分比相等，则砍伐到面积一半时，所用时间是T 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的 14，已知到今 年为止，森林剩余面积为原来的2 . ⑴到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ ⑵今后最多还能砍伐多少年？ 四、物理问题 例5、牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是T 0，则 经过一定时间h 后的温度T 将满足T －T a ＝ 2 1（T 0－T a ），其中T a 是环境温度，使上式成立所需要的时间h 称为半衰期．在这样的情况下，t 时间后的温度T 将满足T －T a ＝h t )21(（T 0－T a ）． 现有一杯ο195F 用热水冲的速溶咖啡，放置在ο75F 的房间中，如果咖啡降温到ο 105F 需20分钟，问欲降到ο95F 需多少时间？ 例6、设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系式是kx ce y =，其中c,k 为常量.已知某地某天在海平面的大气压为 1.01×105Pa ，1000m 高空的大气压为0.90×105Pa ，求600m 高空的大气压强（结果保留3个有效数字）. 高中数学例题：对数函数性质的综合应用 例．（1）已知函数2lg(2)y x x a =++的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）已知函数2lg(2)y x x a =++的值域为R ，求实数a 的取值范围； （3）22()log (log )a a f x x x =-+的定义域为1(0,)2 ，求实数a 的取值范围． 【思路点拨】与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.()f x 的定义域为R ，即关于x 的不等式220x x a ++>的解集为R ，这是不等式中的常规问题. ()f x 的值域为R 与22x x a ++恒为正值是不等价的，因为这里要求()f x 取遍一切实数， 即要求22u x x a =++取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u 能取遍一切正数的条件是0?≥. 【答案】（1）1a >；（2）1a ≤；（3） 132 ． 【解析】 （1）2lg(2)y x x a =++的定义域为R ， ∴220x x a ++>恒成立，∴440a ?=-<，∴1a >． （2）2lg(2)y x x a =++的值域为R ， ∴22x x a ++取遍一切正数，∴440a ?=-≥，∴1a ≤． （3）由题意，问题可等价转化为不等式22log 0a x x -<的解集为10,2?? ??? ，记2122:,:log ,a C y x C y x ==作图形12C C 与，如图所示，只 需2C 过点1124?? ???，，∴021a <<，即满足102a <<，且2211 log ()22a =即可，解得132 a =． 【总结升华】如果函数()f x 的定义域为某个区间D ，则函数()f x 在这个区间D 的任何子集内部都有意义；如果函数()f x 在区间E 上有意义，而()f x 的定义域为D ，则必有E D ?． 举一反三： 【变式1】 已知函数2()lg(21)f x ax x =++. (1)若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若函数()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）a>1；（2）0≤a ≤1． 【解析】(1) ()f x 的定义域为R ，即：关于x 的不等式2210ax x ++>的解集为R ， 当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R ； 当a ≠0时，有???<-=?>0 440a a ? a>1.∴ a 的取值范围为a>1. (2)f(x)的值域为R ，即u=ax 2+2x+1能取遍一切正数? a=0或? ??≥-=?>0440a a ?0≤a ≤1， ∴ a 的取值范围为0≤a ≤1. 指数函数与对数函数知识点总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次 方根，其中n >1，且n ∈N * ． 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数， 记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ； 0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 《对数函数的应用》导学案 教学目标：①掌握对数函数的性质。②应用对数函数的性质可以解决：对数的大小比较，求复合函数的定义域、值域及单调性。 ③ 注重函数思想、等价转化、分类讨论等思想的渗透,提高解题能力。 教学重点与难点：对数函数的性质的应用。 教学过程设计： ⒈复习提问：对数函数的概念及性质。 ⒉开始正课 1 比较数的大小 例 1 比较下列各组数的大小。 ⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1) ⑵log0.50.6 ,logл0.5 ,lnл 师：请同学们观察一下⑴中这两个对数有何特征？ 生：这两个对数底相等。 师：那么对于两个底相等的对数如何比大小？ 生：可构造一个以a为底的对数函数，用对数函数的单调性比大小。 师：对，请叙述一下这道题的解题过程。 生：对数函数的单调性取决于底的大小：当0 y=logax单 调递减，所以loga5.1>loga5.9 ；当a>1时，函数 y=logax单调递 增，所以loga5.1 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==，l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01 且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 1 4 时，函数值不存在。 a =0 ，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1 时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ???=212 10，， 的图象的认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （1）图象都位于x 轴上方； （1）x 取任何实数值时，都有a x >0； （2）图象都经过点（0，1）； （2）无论a 取任何正数，x =0时，y =1； （3）y y x x ==210，在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，y x =?? ? ? ?12的图象正好相反； （3）当a >1时，x a x a x x >><<<>?????0101， 则， 则 （4）y y x x ==210，的图象自左到右逐渐（4）当a >1时，y a x =是增函数， 例1.设a ＞0, f (x)＝x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f － 1 (x)的奇偶性与单调性. 解：(1) 因为)x (f 在R 上是奇函数, 所以)0a (1a 0a a 1 0) 0(f >=?=-? =, (2) =-?∈++=--)x (f )R x (2 4 x x ln )x (f 121 -=++-24x x ln 2=++2 4x x ln 2)x (f 1--, ∴)x (f 1-为奇函数. 用定义法可证)x (f 1 -为单调增函数. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 解：设x ax ) x (u 2-=, 对称轴a 21x = . (1) 当1a >时, 1a 0 )2(u 2 a 21>??????>≤; (2) 当1a 0<<时, 81a 00)4(u 4 a 21 ≤≥. 综上所述: 1a > 1.（安徽卷文7）设 232 555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2 ()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可 能是【答案】D 【解析】对于A 、B 两图，|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-1 教材：对数函数性质的应用 目的：加深对对数函数性质的理解与把握，并能够运用解决具体问题。 过程： 一、复习：对数函数的定义、图象、性质 二、例一 求下列反函数的定义域、值域： 1．4 12 1 2 - = --x y 11≤≤-x 1- 2．=y 解：∵2x R 从而3．=y 51< 由①：01<<-x 由②：当1>a 时 必须 12≥--x x φ∈x 当10<= 02 .0log 11.0log 1 .02 .0>= ∵2.0log 3.0log 1.01.0< ∴1.0log 1.0log 2.03.0> 例三 已知3log 1)(x x f += ，2log 2)(x x g = 试比较)()(x g x f 和的大小。 解：4 3log )()(x x g x f x =- 1? 当341431>??????>>x x x 或 ?? ? ??< 2? 当 3 414 3= =x x 即时 )()(x g x f = 3? 0?>x ?< 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 y a x ，y log a x 在 a 1及 0 a 1两种不同情况。 1、指数函数： y x 且a 叫指数函数。 定义：函数 aa 0 1 定义域为 R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数 y a x 中的 a 必须 a 0且a 1 。 因为若 a 0时， y 4 x ，当 x 1 时，函数值不存在。 4 a 0 ， y 0x ，当 x 0 ，函数值不存在。 a 时， y 1 x x 虽有意义，函数值恒为 1，但 1 对一切 y 1x 的反函数不存在， 因 为 要 求 函 数 y a x 中 的 a 0且 a 1 。 x 1、对三个指数函数 y 2 x ， y 1 ，y 10x 的图象的 2 认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （ 1）图象都位于 x 轴上方； （ 1） x 取任何实数值时，都有 a x 0 ； 2 0 1 ）； （ 2）无论 a 取任何正数， x 0 时， y 1 ； （ ）图象都经过点（ ， （ 3） y 2x ， y 10 x 在第一象限内的纵坐 （ 3）当 a x 0，则 a x 1 1 时， 0，则 a x 1 标都大于 1，在第二象限内的纵坐标都小于 1， x 1 y 2 x x 0，则 a x 1 当 0 的图象正好相反； a 1时， 0，则 a x 1 x （ 4） y 2x ， y 10 x 的图象自左到右逐渐 （ 4）当 a 1 时， y a x 是增函数， 指数函数与对数函数总结 一、 [知识要点]： x a log x 定义 图象 定义域 值域 性质 奇偶性 单 调 性 过定 点 值的分布 最值 y ＝a x （a>0且a ≠1） 叫指数函数 a>1 （－∞，＋ ∞） （0，＋∞） 非奇 非偶 增 函数 （0，1） 即a 0 ＝1 x>0时y>1；0 指数函数和对数函数的重点知识 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 y a y x x a ==，log 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 1 4 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为 1，但y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ?? ?=21210 ，，的图象的认识。 图象特征 函数性质 （1）图象都位于x 轴上方； （1）x 取任何实数值时，都有a x >0； （2）图象都经过点（0，1）； （2）无论a 取任何正数，x =0时，y =1； （3）y y x x ==210，在第一象限内的纵坐 标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，y x =?? ???12的图象正好相反； （3）当a >1时，x a x a x x >><<<>?????0101 ，则，则 （4）y y x x ==210，的图象自左到右逐渐上升，y x =?? ? ? ?12的图象逐渐下降。 （4）当a >1时，y a x =是增函数， 当01< 指数函数与对数函数总结一、[知识要点]： log x的比较： 1. 指数函数y＝a x与对数函数y＝a a>1 0 ① ② 3. 几个注意点 （1）函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x （a>0，a ≠1）互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系；（2）比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型。在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常可再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较；（3）在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用。研究指数、对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制。 【典型例题】 例1. （1）下图是指数函数（1）y ＝a x ，（2）y ＝b x ，（3）y ＝c x ，（4）y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是（ ） y x 1O (4)(3)(2)(1) A. a ＜b ＜1＜c ＜d B. b ＜a ＜1＜d ＜c C. 1＜a ＜b ＜c ＜d D. a ＜b ＜1＜d ＜c 剖析：可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c 、d 的大小，从（1）（2）中比较a 、b 的大小。 解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且底数越大，图象向上越靠近于y 轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x 轴.得b ＜a ＜1＜d ＜c 。故选B 。 解法二：令x ＝1，由图知c 1＞d 1＞a 1＞b 1，∴b ＜a ＜1＜d ＜c 。 例2. 已知2x x +2 ≤（41 ）x －2，求函数y ＝2x －2－x 的值域。 解：∵2x x +2 ≤2－2（x －2），∴x 2＋x ≤4－2x ， 即x 2＋3x －4≤0，得－4≤x ≤1。 又∵y ＝2x －2－x 是［－4，1］上的增函数， ∴2－4－24≤y ≤2－2－1。 故所求函数 y 的值域是［－16255，23 ］。 例3. 要使函数y ＝1＋2x ＋4x a 在x ∈（－∞，1）上y ＞0恒成立，求a 的取值范围。 解：由题意，得1＋2x ＋4x a ＞0在x ∈（－∞，1）上恒成立， 即 a ＞－x x 421+在x ∈（－∞，1）上恒成立。 又∵－x x 421+＝－（21）2x －（21 ）x ＝－［（21）x ＋21］2 ＋41 ， 当 x ∈（－∞，1）时值域为（－∞，－43 ）， ∴a ＞－43。 评述：将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题是解决这类问题常用的方法。 例4. 已知f （x ）＝log 3 1［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间。 解：∵真数3－（x －1）2≤3， ∴log 3 1 ［3－（x －1）2 ］≥log 3 13＝－1， 即f （x ）的值域是［－1，＋∞］。 指数函数与对数函数的实际应用 【复习目标】 1、明确题意中指数函数还是对数函数的模型，会根据数量关系建构、解决函数 模型； 2、掌握互化的方法，在指数型函数求幂问题与对数型函数求对数值问题中的运 用； 3、通过实际问题的解决，渗透数学建模的思想，提高学生的数学学习兴趣． 【课前知识整理】 2、指数函数与对数函数的互化： x y a =?y x a l o g =(1,0≠>a a ) 【基础练习】 1、若3 19=-x ，则x= ( ) A.21 B.2 1- C.2 D.1 2、若函数)1lg(2)(22+++=x x x x h ，62.1)1(=-h ，则=-)1(h （ ） A.0.38 B.1.62 C.2.38 D.2.62 3若x a a x πππlog log )(log 2+=+有解，则a 的取值范围是 （ ） A.110-<<a C.011<<->a a 或 D. 1 【考点探析】 活动一涉及指数函数模型的应用问题． 例1、一项技术用于节约资源，使谁的使用量逐月减少，若一工厂用这一技术，则该工厂的用水量是5000 m3，计划从二月份，每个月的用水量比上一个月都减少10%，预计今年六月份的用水量约是多少？（精确到1m3） 活动二指数函数与对数函数模型的互化． 例2、某种储蓄利率为2.5%，按复利计算，若本金为30000元，设存入x期后的本金和利息为y元． （1）写出y随x变化的函数； （2）若使本利和为存入时的1.5倍，应该存入多少期？ 【能力提升】 牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数函数，若牛奶放在0摄氏度的冰箱中，保鲜时间是192小时，而在22摄氏度的厨房中则是42小时． （1）写出保鲜时间y关于储藏温度x的函数关系式； （2）利用（1）中的结论，指出温度在30摄氏度到16摄氏度的保鲜时间． 【课后检测】 1、一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b %，则n年后这批设备的价值为（） A、na (1-b%) B、a (1- nb %) C、a [1-(b%) n] D、a(1-b%)n 2、方程2 -+=） 2x x A.0 B.1 C.2 D.3 3、某放射性物质，每年有10%的变化，设该放射性物质原来的质量为a克．（1）写出它的剩余量y随时间x变化的函数关系； （2）经过多少年它的原物质是原来的一半． 指数函数和对数函数 知识点总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．正数的分数指数幂，规定： 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质),,0(R s r a ∈> （1）r a ·s r r a a += ；（2）rs s r a a =)( ；（3） s r r a a ab =)( （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自 变量，函数的定义域为R ． 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明： ○1 注意底数的限制0>a ，且a x N a =?log ；③注意对数的书 写格式． N a log 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2、对数的运算性质：如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ；③n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式a b b c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且 1≠c ；0>b ） ． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log = ； （2）a b b a log 1log =． 3、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，指数函数与对数函数的应用(人教版A必修一)
3.2.3指数函数与对数函数的关系教案
指数函数与对数函数高考题
指数函数和对数函数知识点总结
指数函数和对数函数
指数函数对数函数应用题
高中数学例题：对数函数性质的综合应用
指数函数与对数函数知识点总结
《对数函数的应用》导学案.doc
指数函数 和 对数函数公式 (全)
高考指数函数与对数函数专题复习
对数函数性质的应用
指数函数和对数函数公式(全)
指数函数与对数函数对比分析总结---答案
指数函数和对数函数的重点知识
指数函数与对数函数总结
指数函数与对数函数的实际应用
指数函数和对数函数 知识点总结