山东建筑大学高数作业题答案第三章

第三章 中值定理与导数的应用

1. 验证拉格朗日中值定理对函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上的正确性。

解：函数()ln f x x =在区间[1,]e 上连续，在区间(1,)e 内可导，故()f x 在[1,]e 上满足拉格朗日中值定理的条件。

又x

x f 1)(='，解方程,1

11

,1

)1()()(-=

--=

'e e f e f f ξ

ξ即

得),1(1e e ∈-=ξ。

因此，拉格朗日中值定理对函数()ln f x x =在区间[1,]e 上是正确的。

2．不求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程0)('=x f 有几个实根，并指出它们所在的区间。 解：函数上连续，分别在区间[3,4][2,3],2],,1[)(x f 上在区间(3,4)(2,3),2),,1(可导，

且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====。由罗尔定理知，至少存在),2,1(1∈ξ),3,2(2∈ξ),4,3(3∈ξ使

),3,2,1( 0)(=='i f i ξ即方程'()0f x =有至少三个实根。又因'()0f x =为三次方程，故它至多有三个实根。

因此，方程'()0f x =有且只有三个实根，分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内。

3．若方程 01110=+++--x a x

a x a n n n 有一个正根,0x 证明:方程0)1(12

110=++-+---n n n a x n a nx a 必有一个小于0x 的正根。

解：取函数()1

011n

n n f x a x a x

a x --=+++ 。0()[0,]f x x 在上连续，在0(0,)x 内可导，且0(0)()0,f f x ==由罗尔

定理知至少存在一点()00,x ξ∈使'()0,f ξ=即方程1

2

011(1)0n n n a nx

a n x

a ---+-++= 必有一个小于0x 的正根。

4．设,11<<<-b a 求证不等式： .arcsin arcsin b a b a -≥-

证明：取函数)(,arcsin )(x f x x f =在[a ,b ]上连续，在（a , b ）内可导，由拉格朗日中值定理知，

至少存在一点),,(b a ∈ξ，使()()'()()f a f b f a b ξ-=-，即

1arcsin arcsin )a b a b -=-，

故.11arcsin arcsin 2

b a b a b a -≥--=

-ξ

5．设)(x f 在)0](,[b a b a <<上连续，在),(b a 内可导，证明存在),,(b a ∈ξ使

.3)()

()()(2

'

2

2ξ

ξf b ab a a

b a f b f ++=--

证明：取函数3

()g x x =，则()g x 在[,](0)a b a b <<上连续，在(,)a b 内可导，由柯西中值定理知，存在ξ∈(a,b)，

使

3

3

3

()()'()

f b f a f b a

ξξ

-=

-，即

22

2

()()'()()

3f b f a f a ab b b a

ξξ

-=++-。

6．证明恒等式: .2

cot arctan π

=

+x arc x

证明：取函数()arctan arc cot f x x x =+，则2

2

11'()011f x x

x

=

-

=++. 则).()(为常数c c x f =因为

(1)arctan 1cot 12

f arc π

=+=

，故(1)()2

f f x π

==

。

7．证明：若函数)(x f 在),(+∞-∞内满足关系式),()('x f x f =且,1)0(=f 则x e x f =)(.

证明：,0)

()()()()(,)()(2=-'=

-'=

'=x

x

x

x x

e

x f x f e

e

x f e x f x F e

x f x F 因取故C x F =)(，又

()()()(0)1,1,1,.x

x

x F F x f x e e

====f 故即

故

8．用洛必达法则求下列极限 （1） n

n

m m a

x a x a

x

--→lim

； 解：()11

lim

lim

0.m m m m n

n

n

n x a

x a

x

a

m x m a

a x a nx

n

---→→-==

≠-

（2） x

b

a x x

x -→0

lim

； 解：0

ln ln lim

lim

ln ln 1

x

x

x

x

x x a b a a b b

a b x

→→--==-

（3）2

2

)

2(sin ln lim

x x x -→

ππ

；解： 8

18

csc

lim

)

2(4cot lim

)

2(sin ln lim

2

2

2

2

2

-

=-=--=-→

→

→

x

x x x x x x x π

π

π

ππ

（4）)0,1(log lim

>>+∞

→αα

a x

x a x ；解： 0ln 1lim ln 1

lim log lim

1===+∞→-+∞→+∞

→ααα

ααax

x a x x

x x x a x （5）)2ln(tan )

7ln(tan lim 0x x x +→；解：2

2sec 21

7

7sec 71

lim 2

2sec 2tan 1

77sec 7tan 1

lim )2ln(tan )

7ln(tan lim

2

2

02

2

00??=??=+→+→+→x x

x x

x x

x x

x x x x x 12

2sec 777sec 2lim

2

2

=??=+→x x x

（6）x x x 2cot lim 0

→；解：2

12

2cos lim

22sec 1lim

tan2lim

2cot lim 2

2

0====→→→→x

x

x

x x x x x x x

（7）)1

1ln 1(

lim 1

--

→x x

x ；解：1

1

1

11111ln lim (

)lim

lim

1ln 1

ln (1)

(1)ln x x x x x x

x

x x x x x

x →→→-

---

==---+

1

1

111lim

lim

1(1)ln 2

1ln x x x x x x

x

x

x

→→-===

-+++

（8）)

ln(lim 11

-+→x

e

x x ；解：因为1

ln ln(1)

1

ln(1)

x

x e x

e

x e

--= ，

而1lim

1

lim

)

1(ln ln lim

x 0

x 0

x =+=-=-+→+→+→x

x

x

x

x

x

xe

e

e xe

e e

x .所以e x

x

e x =-+→)

1ln(1

lim

（9）x x x

tan )(lim 10

+→;解：因为tan tan ln 1(

)

x

x x

e

x

-=，

而0sin lim csc 1

lim cot ln lim ln tan lim 2

2===-=-+∞→+∞→+∞→+∞→x x x x x x

x x x x x x ,所以，tan 01lim () 1.x x x

→+=

9. 验证 x

x

x x sin lim

+∞

→ 存在，但是不能用洛必达法则求出。

解：由于(sin )'

1cos lim

lim ()'

1

x x x x x

x →∞

→∞

++=不存在，故不能使用洛必达法则来求此极限，但不表示此极限不存在，此极

限可如下求得：sin sin lim

lim 1101x x x x

x x

x

→∞

→∞

+=+

=+=。

10. 当10-=x 时，求函数x

x f 1)(=

的n 阶泰勒公式。

解：因为()

()()

()1

(1)!,1!,n

n n n n f

x f

n x

+-=

-=

-

故

()()()()()()()2

3

''1'''111'11112!

3!

f f f f x x x x

--=-+-++

++

+++

()

()

()

()

()()()11

111!

1!

n n n

n f

f

x x n n ξ++-++

++

()()()()()

()2112111111n n n n x x x x ξ++-+??=-++++++++-+??

.其中ξ介于x 与1-之间. 11. 求函数x

xe x f =)(的n 阶麦克劳林公式。 解：因为()

()()

()(),0,n n x

f

x n x e f

n =+

=

故

()()()()()

()

()

()

()12

1

''000'02!

!

1!

n n x

n

n f f

f

f

x xe f f x x x x

n n ξ++==++

++

+

+

()()3

2

11

1.2!

(1)!

1!

n

n x

x

x x e n x n n ξξ+??=++

++

+

++??-+ 其中ξ介于x 与0之间。

12． 确定函数x

x x y 69410

2

3+-=

的单调区间。

解：函数除0x =外处处可导，且2

3

2

2

3

2

2

1120()(1)

10(12186)2

'.(496)

(496)

x x x x y x x x x x x ----+=

=

-+-+

令'0y =，得驻点121, 1.2

x x =

=这两个驻点及点0x =把区间(),-∞+∞分成四个部分区间

()()11,0,0,

,,1,1,.22?

???

-∞+∞ ? ??

???当()()1,00,1,2x ??

∈-∞??+∞ ?

??

时，'0y <，因此函数在()1,0,(0,],[1,)2-∞+∞内单调减少。当1,12x ??

∈ ???

时，'0y >，因此函数在1[,1]2内单调增加。

13．证明不等式：当0>x 时，.1)1ln(12

2x x x x +>+++

证明：取函数(

)1ln([0,].f t t t t x =++-

∈

(

)'ln(ln((0,).f t t t t x =+

+

-=+∈

因此，函数()f t 在[0,]x 上单调增加，故当0x >时，()()0f t f >，即

1ln(1010,x x ++

-

>+-=

亦即，当0x >

时，1ln(x x ++>

14. 设x bx x a x f ++=2

ln )(在2,121==x x 时都取得极值，试确定b a ,的值，并判断)(x f 在21,x x 是取得极大值还

是极小值？ 解：()1'21f x a

bx x

=++ ，()f

x 在1

21,2x x ==取得极值，则()'1210f a b =++=，

1'(2)4102

f a

b =++=，故21,.3

6a b =-=-

又因()2

1''2f x a

b x

=-+，故()1111''2204

6

3

6

f a

b =-+=

-

=-

<，所以()f

x 在2

2x =时取得极大值；

()211''1203

3

3

f a b =-+=

-

=

>，所以()f

x 在1

1x =时取得极小值。

15．求函数32

)1()(x x x f -=在闭区间[]1,1-上的最大值与最小值。 解：函数除0x =外处处可导，(

)13

2'(1)3

f x x

x -

=

-+令()'0f

x =，得驻点2.5

x =

又因()12f -=-，

()00f =

，25f ??

=-

???

()10f =，故，最小值为2-，最大值为0。

16．某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆。截面的面积为.52m 问底宽x 为多少时，才能使截面的周长最小，从而使

建造时所用的材料最省？

解：设界面周长为l ，已知22

x

l x y π=++

及2

5,22x xy π??

+

= ?

??

即5.8x

y x π=-

故10,(0,

4

x l x x x

π=+

+

∈2

3

1020'1,''.4l l x

x

π

=+

-

=

令'0l =，得驻

点x =

由3

2

20

''

0404x l π=

>?? ?+??

知x =

极小值点。

又因为驻点唯一，故极小值点就是最小值点。所以，当截面的底宽为x =建造时所用的材料最省。

17．求函数)1ln(2x y +=图形的拐点及凹或凸的区间。

解：2

2

2

2

2

2

22(1)222(1)(1)

',''.1(1)

(1)

x x x x

x x y y x

x x +---+==

=

+++

令''0y =，得121,1x x =-=。当(),1x ∈-∞-时，''0y <，因此函数在(,1]-∞-内是凸的；

当()1,1x ∈-时，''0y >，因此函数在[1,1]-内是凹的；当()1,x ∈+∞时，''0y <，因此函数在[1,)+∞内是凸的。曲线有两个拐点，分别为()()1,ln 2,1,ln 2.-

18．利用函数图形的凹凸性，证明: ).1,,0,0(2)(21

>≠>>??

?

??+>+n y x y x y x y x n

n n

证明：取函数(),(0,).n

f t t t =∈+∞则()()1

2

',''(1),(0,).n n f t nt

f t n n t

t --==-∈+∞

当1n >时，()''0,(0,)f t t >∈+∞，故函数在(0,)+∞上是凹的，故对任何0,0,x y x y >>≠，恒有()()1[](

),2

2

x y f

x f y f ++>即1()(

),

(0,0,,1).2

2

n n

n

x y x y x y x y n ++>>>≠>

19．试决定曲线d cx bx ax y +++=2

3中的,,,,d c b a 使2-=x 为驻点,()10,1-为拐点，且通过()44,2-.

解：由题设知???

????=''='-===-==-=0010

441212x x x x y y y y ，即?????

??=+=+--=+++=+-+-02604121044248b a c b a d c b a d c b a .解得.16,24,3,1=-=-==d c b a

20．描绘函数2

)

1(12)(--=

x x x f 的图形。

解：（1）定义域),1()1,(+∞?-∞； （2）4

3

)

1()21(2)(,)

1(2)(-+=

''--=

'x x x f x x x f .

;00)(=='x x f 得令;210)(-==''x x f 得令

（3）列表如下：

（4）+∞=--→2

1

)1(12lim

x x x ，0)

1(12lim

2

=--∞

→x x x . x =1是垂直渐近线；y =0是水平渐近线.

(5)取辅助点,43,1??? ?

?--??

?

??0,21()3,2. 21．求椭圆442

2

=+y x 在点()2,0处的曲率及曲率半径。

解：4422=+y x 两边对x 求导得028='+y y x , 从而y

x y 4-

='.

028='+y y x 两边对再x 求导得y

y y 2

4'+-

=''.

把2,0==y x 代入y

x y 4-

='得0)0(='y , 把2,0==y x 0)0(='y 代入2)0(-=''''y y 得.

因此椭圆在点()2,0处的曲率为2)

1(0

02

/32

)

2,0(='+''=

==y x y y k

, 曲率半径.2

11=

=

k

ρ

22．试问：抛物线c bx ax y ++=2上哪一点处的曲率最大？

解：

,

2a y =''()[]

2

32

212b ax a

K ++=

∴曲率,

2b ax y +='∴,2

c bx ax y ++= .,202最大时时，即显然K a

b x b ax -

==+.

最大抛物线在顶点处的曲率∴