函数
考试内容:
映射、函数、函数的单调性、奇偶性.
反函数.互为反函数的函数图像间的关系.
指数概念的扩充.有理指数幂的运算性质.指数函数.
对数.对数的运算性质.对数函数.
函数的应用.
考试要求:
(1)了解映射的概念,理解函数的概念.
(2)了解函数单调性、奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法.
(3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系,会求一些简单函数的反函数.
(4)理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图像和性质.
(5)理解对数的概念,掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图像和性质.
(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.
§02. 函数知识要点
一、本章知识网络结构:
F:A →B
对数函数
指数函数二次函数
二、知识回顾: (一) 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数
函数三要素是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决定作用的要素,因为这二者确定后,值域也就相应得到确定,因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 3.反函数
反函数的定义
设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ,根据这个函数中x,y 的关系,用y 把x 表示出,得到x=?(y). 若对于y 在C 中的任何一个值,通过x=?(y),x 在A 中都有唯一的值和它对应,那么,x=?(y)就表示y 是自变量,x 是自变量y 的函数,这样的函数x=?(y) (y ∈C)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数,记作)(1y f x -=,习惯上改写成)(1x f y -=
(二)函数的性质 ⒈函数的单调性
定义:对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2,
⑴若当x 1
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性
正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数)(x f 为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2))()(x f x f =-或)()(x f x f -=-是定义域上的恒等式。
2.奇函数的图象关于原点成中心对称图形,偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形。反之亦真,因此,也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。 3.奇函数在对称区间同增同减;偶函数在对称区间增减性相反. 4.如果)(x f 是偶函数,则|)(|)(x f x f =,反之亦成立。若奇函数在0=x 时有意义,则0)0(=f 。
7. 奇函数,偶函数: ⑴偶函数:)()(x f x f =-
设(b a ,)为偶函数上一点,则(b a ,-)也是图象上一点. 偶函数的判定:两个条件同时满足
①定义域一定要关于y 轴对称,例如:12+=x y 在)1,1[-上不是偶函数.
②满足)()(x f x f =-,或0)()(=--x f x f ,若0)(≠x f 时,1)
()
(=-x f x f . ⑵奇函数:)()(x f x f -=-
设(b a ,)为奇函数上一点,则(b a --,)也是图象上一点. 奇函数的判定:两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称,例如:3x y =在)1,1[-上不是奇函数. ②满足)()(x f x f -=-,或0)()(=+-x f x f ,若0)(≠x f 时,
1)
()
(-=-x f x f . 8. 对称变换:①y = f (x ))(轴对称
x f y y -=???→? ②y =f (x ))(轴对称
x f y x -=???→?
③y =f (x ))(原点对称x f y --=???→?
9. 判断函数单调性(定义)作差法:对带根号的一定要分子有理化,例如:
在进行讨论.
10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如:已知函数f (x )= 1+
x
x
-1的定义域为A ,函数f[f (x )]的定义域
是B ,则集合A 与集合B 之间的关系是 .
解:)(x f 的值域是))((x f f 的定义域B ,)(x f 的值域R ∈,故R B ∈,而A {}1|≠=x x ,故A B ?. 11. 常用变换: ①)
()
()()()()(y f x f y x f y f x f y x f =
-?=+. 2
2
12221212
2222121)()()(b x b x x x x x b x b x x f x f x ++++-=
+-+=-)(A
B ?
证:)()(])[()()
()
()(y f y x f y y x f x f x f y f y x f -=+-=?=
- ②)()()()()()(y f x f y x f y f x f y
x f +=??-=
证:)()()()(y f y
x f y y
x f x f +=?=
12. ⑴熟悉常用函数图象:
例:|
|2x y =→||x 关于y 轴对称.
|
2|21+?
?
?
??=x y →
|
|21x y ?
?
? ??=→
|
2|21+?
?
? ??=x y
|
122|2
-+=x x y →||y 关于x 轴对称
⑵熟悉分式图象: 例:3
7
23
12-+
=-+=x x x y ?定义域},3|{R x x x ∈≠,
值域},2|{R y y y ∈≠→值域≠x
(三)指数函数与对数函数
指数函数)10(≠>=a a a y x
且的图象和性质
对数函数y=log a x的图象和性质: 对数运算:
()n
a n a a a c
b a b b a N
a n a a n a a a a a a a a a a a a c
b a N
N N
a M n
M M n M N
M N M N M N M n a
1121log log ...log log 1
log log log log log log log 1
log log log log log log log log )(log 32log )12)1(=????=??=
==±=-=+=?-推论:换底公式:
(以上10且...a a ,a 1,c 0,c 1,b 0,b 1,a 0,a 0,N 0,M n 21≠≠≠≠φφφφφφ)
注⑴:当0,πb a 时,)log()log()log(b a b a -+-=?.
⑵:当0φM 时,取“+”,当n 是偶数时且0πM 时,0
φn
M ,而0πM ,故取
“—”.
例如:x x x a a a log 2(log 2log 2Θ≠中x >0而2log x a 中x ∈R ). ⑵x a y =(1,0≠a a φ)与x y a log =互为反函数.
当1φa 时,x y a log =的a 值越大,越靠近x 轴;当10ππa 时,则相反. (四)方法总结
⑴.相同函数的判定方法:定义域相同且对应法则相同. ⑴对数运算:
()n
a n a a a c
b a b b a N
a n a a n a a a a
a a a a a a a a c
b a
N N N
a M n
M M n M N M N
M
N M N M n a
1121log log ...log log 1
log log log log log log log 1
log log log log log log log log )(log 32log )12)1(=????=??=
==±=-=+=?-推论:换底公式:
(以上10且...a a ,a 1,c 0,c 1,b 0,b 1,a 0,a 0,N 0,M n 21≠≠≠≠φφφφφφ) 注⑴:当0,πb a 时,)log()log()log(b a b a -+-=?.
⑵:当0φM 时,取“+”,当n 是偶数时且0πM 时,0
φn
M ,而0πM ,故取
“—”.
例如:x x x a a a log 2(log 2log 2Θ≠中x >0而2log x a 中x ∈R ). ⑵x a y =(1,0≠a a φ)与x y a log =互为反函数.
当1φa 时,x y a log =的a 值越大,越靠近x 轴;当10ππa 时,则相反.
⑵.函数表达式的求法:①定义法;②换元法;③待定系数法. ⑶.反函数的求法:先解x,互换x 、y ,注明反函数的定义域(即原函数的值域).
⑷.函数的定义域的求法:布列使函数有意义的自变量的不等关系式,求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0;②偶次根式中被开方数不小于0;③对数的真数大于0,底数大于零且不等于1;④零指数幂的底数不等于零;⑤实际问题要考虑实际意义等.
⑸.函数值域的求法:①配方法(二次或四次);②“判别式法”;③反函数法;④换元法;⑤不等式法;⑥函数的单调性法.
⑹.单调性的判定法:①设x
1,x
2
是所研究区间内任两个自变量,且
x
1<x
2
;②判定f(x
1
)与f(x
2
)的大小;③作差比较或作商比较.
⑺.奇偶性的判定法:首先考察定义域是否关于原点对称,再计算
f(-x)与f(x)之间的关系:①f(-x)=f(x)为偶函数;f(-x)=-f(x)为奇函数;②f(-x)-f(x)=0为偶;f(x)+f(-x)=0为奇;③f(-x)/f(x)=1是偶;f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.
⑻.图象的作法与平移:①据函数表达式,列表、描点、连光滑曲线;②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换;③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.