(完整版)高数答案(下)习题册答案第六版下册同济大学数学系编
第八章 多元函数的微分法及其应用
§ 1 多元函数概念
一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=.
二、求下列函数的定义域：
1、2
221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2
2≠+x y y x 2、x
y
z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x
三、求下列极限：
1、222)0,0(),(sin lim y x y
x y x +→ （0） 2、
x y x x y
3)2,(),()1(lim
+∞→ (6e )
四、证明极限 2
42)0,0(),(lim y x y
x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2
x y =趋于（0，0）时，极限为2
1
, 二者不相等，所以极限不存在
五、证明函数??
???
=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y
x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时，
)0,0(01
sin lim 2
2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。
六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数
1、设z=x
y
xe xy + ,验证 z x y +=??+??y
z y
x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y
+=++=??+??y
z
y x z x
42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：
2、求空间曲线???
??=+=Γ2
1:2
2y y x z 在点（
1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设y
x
y xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1)
4、设y
z x u =, 求
x u ?? ，y u ?? ，z
u ??
解：1
-=??y z x y z x u ，
x x y
z y u y z
ln 2-=?? x x y z u y z
ln 1=?? 5、设2
2
2
z y x u ++=，证明 : u
z u y u x u 2
222222=??+??+??
6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由
??
???≠+≠++=0,00,1sin ),(222
22
2y x y x y
x x y x f )0,0(0),(lim 0
0f y x f y x ==→→ 连续； 201
sin lim )0,0(x
f x x →= 不存在， 000
0lim )0,0(0=--=→y f y y
7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 x
b x a f b x a f x )
,(),(lim
--+→
（2f x (a,b)） § 3 全微分 1、单选题
（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 __________
(A) 必要条件而非充分条件 （B ）充分条件而非必要条件
（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 （2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___
(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （B ）偏导数连续，则全微分必存在 （C ）全微分存在，则偏导数必连续 （D ）全微分存在，而偏导数不一定存在
2、求下列函数的全微分：
1）x y
e z = )1
(2dy x dx x
y e dz x y +-=
2）)sin(2xy z = 解：)2()cos(22xydy dx y xy dz +=
3）z
y
x u = 解：xdz x z
y
xdy x z dx x z y du z y
z y
z y
ln ln 121-+=-
3、设)2cos(y x y z -=， 求)4
,0(π
dz
解：dy y x y y x dx y x y dz ))2sin(2)2(cos()2sin(-+-+--= ∴)4
,
0(|π
dz =
dy dx 2
4
π
π
-
4、设2
2),,(y
x z
z y x f += 求：)1,2,1(df )542(251dz dy dx +--
5、讨论函数??
??
?=≠++=)
0,0(),(,0)0,0(),(,1sin
)(),(2
2
2
2y x y x y
x y x y x f 在（0，0）点处
的连续性 、偏导数、 可微性
解：)0,0(01
sin )(lim 2
222)0,0(),(f y x y x y x ==++→ 所以),(y x f 在（0，0）点处连续。
0)
0,0(),0(lim )0,0(,0)0,0()0,(lim
)0,0()0,0(),()0,0(),(=?-?==?-?=
→→y f y f f x f x f f y x y y x x
0)
()(0
),(2
2→?+?-??y x y x f ，所以可微。
§4 多元复合函数的求导法则
1、 设t
v e v t u u z ===,sin ,，求dt
dz
解：dt
dz =1
cos .(sin )lnsin (sin )t t e t e t t t e t t e -?+??
2、 设,)
(32y
x y x z -+=，求y
z x z ????, 23123(23)()3()ln(),x y x y z
x y x y x y x y y
---?=-+-++? 3、 设)(2x y f x z n
=，f 可微，证明nz y z y x z x =??+??2 4、 设)2,(2
2
xy y x f z -=，其中f 具有二阶连续偏导数，求22x z ??，y x z
???2， 2
2y
z ?? 解：1222z
xf yf x
?''=+? ,
1222z
yf xf y
?''=-+? ,21112221222((2)2)22((2)2)z x f y f x f y f y f x x y ?'''''''''=-+++-+??
=2
21111222244()4f xyf x
y f xyf '''''''-+-+
22211112222
2484z f x f xyf y f x
?'''''''=+++?,222111122222484z f y f xyf x f y ?'''''''=-+-+? 5、 设)(),(y x g x y xy f z +=，其中f 具有二阶连续偏导数、g 具有二阶连续导数，求y
x z
???2
解：1221
z y f y f g x x y ?'''=-+? ，
2111122122222231111()()z y x
f y f x f f f x f
g g x y x x x x y y
?'''''''''''''=++--+--?? 6、 设),,(z y x F u =，),(y x f z =，)(x y ?=，求dx
du
解：dx
du ))(()(321x f f F x F F y x ??''+'
'+''+'=。 7、设),(v u z z =，且变换?
??+=-=ay x v y x u 2 可把方程+??226x z y x z ???222y z
??-=0 化为 02=???v u z ， 其中z 具有二阶连续偏导数，求常数a 的值 )3(=a
证明：v z
u z x z ??+??=??
v z a u z y z ??+??-=??2 2
222222v u v u z u z x z ??+???+??=?? 22
22222244v u a v u z a u z
y z ??+???-??=?? 222222)2(2v
u a v u z a u z y x z ??+???-+??-=??? 得：0)6()
510(2222=??-++???+v
u a a v u z a a=3 8、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1,a f =)1,1(/1,b f =)1,1(/2 又，{})],(,[,)(x x f x f x f x =? 求 ).1(?和)1(/? (1) ,
(a+ab+ab 2+b 3)
§ 5 隐函数的求导公式
1、 设y x y y +=ln ，求dx
dy
解：令(,)ln F x y y y x y =--，11,ln ,ln x y dy F F y dx y
=-=∴= 2、 设),(y x z z =由方程)(2
22y
z yf z y x =++确定，其中f 可微，证明
xz y
z
xy x z z y x 22)(222=??+??--
3、 设),(y x z z =由方程z
y e z x +=所确定，其中f 可微，求y
x z ???2
,1,)1(z z y z z x z x z +-=??+=?? y
x z
???23
)1(z x z +-= 4、 设???+==++2
22221y
x z z y x ，求dx dy ，dx dz
( dy x dx y =-，0dz dx =) 5、 设),(y x z z =由方程0),,(=+xz z y xy F 所确定，F 可微，求
y
z x z ????, 解：令(,,)F x y z =(,,)F xy y z xz + ，则13122323,y x z z
F F F y zF F x F z
z x F y F F xF F xF ''''++??=-=-=-=-??''''++ 6、设),(y x f z =由方程0=-++++y x z e y x z 所确定，求dz (dy dx dz --=) 7、设z=z(x,y)由方程 y z yz x xy =-+3)cos(3所确定，求
x z ??, y
z
?? , )sin(3)cos(3ln .32yz xy z yz y x z xy ++=?? , )
sin(31
)sin(3ln 3.2yz xy z yz xz x y z xy +--=
??
§ 6 微分法在几何中的应用
1、 求螺旋线t z t y t x 3,sin 2,cos 2=== 在对应于4
π=
t
处的切线及法平面方程
解：切线方程为
343
z π
-
== 法平面方程0)4
3(3)2(2)2(2=-
+-+--π
z y x 2、 求曲线???+==++2
2222250
y
x z z y x 在（3，4，5）处的切线及法平面方程 解：切线方程为 0
5
3443-=
--=-z y x ，法平面方程：034=-y x 3、 求曲面9322
22=++z y x 在（1，-1，2）处的切平面及法线方程 解：切平面方程为0)2(2)1(3)1(2=-++--z y x
及法线方程2
2
3121-=
-+=-z y x 4、 设),(v u f 可微，证明由方程0),(=--bz ay bz ax f 所确定的曲面在任一点处的切平面与一定
向量平行
证明：令),(),,(bz ay bz ax f z y x F --=，则
),,(,,,21212121'-'-''=∴'-'-='='=bf bf a f a f bf bf F a f F a f F z y x
0),,(=?∴a b b ，所以在（000,,z y x ）处的切平面与定向量（a b b ,,）平行。 5、 证明曲面3
23
23
23
2a z y x
=++0
(>a ）上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方
和为2
a
证明：令=),,(z y x F 3
2323232a z y x -++，则,3
2,32,323
1
3131---===z F y F x F z y x
在任一点()000,,z y x 处的切平面方程为0)()()(03
1003
1003
10=-+-+--
-
-z z z y y y x x x
在在三个坐标轴上的截距分别为,,,3
23
103
23103
23
1
0a z a y a x 在三个坐标轴上的截距的平方和为2a
证明曲面)(x
y
xf z
=上任意一点)0(),,,(0000≠x z y x M 处的切平面都通过原点
7、设F(x,y,z)具有连续偏导数，且对任意实数t, 总有),,(),,(z y x F t tz ty tx F k = k 为自然数，试证：曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点 证明 ：),,(),,(z y x F t tz ty tx F k = 两边对t 求导，并令t=1 ),,(z y x kF zF yF xF z y x =++
设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为：
))(,,(0000x x z y x F x -+))(,,(0000y y z y x F y -+))(,,(0000z z z y x F z -=0 此平面过原点（0，0，0）
§ 7 方向导数与梯度
1、 设函数
22),(y xy x y x f +-=， 1）求该函数在点（1，3）处的梯度。
2）在点（1，3）处沿着方向l 的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向 解：梯度为 5)3,1(j gradf +-=
θθsin 5cos )
3,1(+-=??l
f , 方向导数达到最大值的方向为)5,1(-=，方向导数达
到
最小值的方向为)5,1(-=-。
2、 求函数222zx yz xy u
++=在（1，2，-1）处沿方向角为0001509060===γβα的方
向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。
解：：方向导数 为2
3
31)
1,2,1(+
=??-l
u ，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向 k j i gradu 352)1,2,1(-+=-，此时最大值为 38)1,2,1(=
??-l
u
3、 求函数32z xy u
=在（1，1，-1）处沿曲线32,,t z t y t x ===在（1，1，1）处的切线正方
向（对应于t 增大的方向）的方向导数。
解：：
223323,2,z xy z
u xyz y u z y x u =??=??=??，)3,2,1(=，∴该函数在点（1，1，-1）处的方 向导数为144
)
1,1,1(=??-l u ， 4、求函数)ln(2
22x z y u ++=在（1，1，-1）处的梯度。
解：：2222222222,2,2z
y x z z u z y x y y u z y x x x u ++=??++=??++=??，
j gradu 3
23232)1,1,1(-+=
-
§ 8
多元函数的极值及求法
1、求函数22233),(22+--+=y x y x y x f 的极值。
答案：（31，3
1
）极小值点
2．求函数y x y x y x f ln 18ln 2),(22--+=的极值 答案：极小值3ln 1810)3,1(-=f
3. 函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点（1，1）处取得极值，求常数a (-5) 4、求函数122++=y x z 在条件03=-+y x 下的条件极值
解：)3(1),,(22-++++=y x y x y x F λλ
???==00y
x F F )32,32(? ，极小值为211
5、 欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价均为1元/平方，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。 （长和宽2米，高3米）
6、 在球面22225r z y x =++（0,0,0>>>z y x ）上求一点，使函数
z y x z y x f ln 3ln ln ),,(++= 达到极大值，并求此时的极大值。利用此极大值证
明c b a ,,? 有5
3)5
(27c b a abc ++≤
证明：令z y x L ln 3ln ln ++=)5(2
222r z y x -+++λ 令0,0,0=??=??=??z
L y L x L ，22225r z y x =++解得驻点r z r y x 3,===。所以函数z y x z y x f ln 3ln ln ),,(++=在r z r y x 3,===处达到极大值。极大值为)33ln(5r 。
即5
3
33r xyz ≤?5
2225
23222)5
(
27)(27)(z y x r z y x ++=≤，令,,,222c z b y a x ===得5
3)5
(27c b a abc ++≤。
7、求椭球面12
322
2=++z y x 被平面x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴的
长度
解： )()12
3(222
212
2
2
z y x z y x z y x F +++-++
+++=λλ
?????
?
?????
=++=++=++==++==++=01230220203
22222
212121z y x z y x z z F y y F x x F y y x
λλλλλλ )3(2312λλ+-=x ，122λλ+-=y ，)1(212λλ+-=z
22221)(d z y x -=++-=λ 6
13
111±-=
λ 长半轴 61311+， 短半轴 61311-
第八章 自测题
一、选择题：（每题2分，共14分）
1、设有二元函数?????=≠+=),0,0(),(,
0),
0,0(),(,),(422
y x y x y x y x y x f 则 [ ]
A 、),(lim )
0,0(),(y x f y x →存在；
B 、),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在；
C 、),(lim
)
0,0(),(y x f y x →存在， 且),(y x f 在(0,0)处不连续；
D 、
),(lim )
0,0(),(y x f y x →存在， 且),(y x f 在(0,0)处连续。
2、函数),(y x f 在),(000y x P 各一阶偏导数存在且连续是),(y x f 在),(000y x P 连续的[ ]
A 、必要条件；
B 、充分条件；
C 、充要条件；
D 、既非必要也非充分条件。
3、函数???
??=≠-=y x y x y x xy
y x f ,
0,,),( 在(0,0)点处 [ ]
A 、极限值为1；
B 、极限值为-1；
C 、连续；
D 、无极限。
4、),(y x f z =在),(000y x P 处),(y x f x ，),(y x f y 存在是函数在该点可微分的 [ ] （A ）必要条件； （B ）充分条件；
（C ）充要条件； （D ）既非必要亦非充分条件。 5、点)0,0(O 是函数2
xy z =的 [ ]
（A ）极小值点； （ B ）驻点但非极值点； （C ）极大值点； （D ）最大值点。
6、曲面3=+-xy z e z
在点P (2,1,0)处的切平面方程是 [ ]
（A ）042=-+y x ； （B ）42=-+z y x ； （C ）042=-+y x ； （D ）052=-+
y x
7、已知函数(,,),(,),(,)u f t x y x s t y s t ?φ===均有一阶连续偏导数，那么
u
t
?=?[ ] (A)x t y t f f ?φ+; (B) t x t y t f f f ?φ++; (C) t t f f ?φ?+?; (D) t t t f f f ?φ+?+? 二、填空题：（每题３分，共18分）
1、=+→2
22)0,0(),(sin lim
y x y
x y x （ 0 ） ２、设xyz
e z y x
f =),,(，则=????z
y x f
3（ )31(222z y x xyz e xyz ++ ）
３、设???
??=≠=,0,0,0,)
sin(),(2xy xy y xy y x f 则=)1,0(x f ( 0 )
４、设x
y x z )2(+=，则在点)0,1(处的全微分.)2(dy dx dz +=
５、曲线?????==z
x x
y 22在点)1,1,1(0P 处的切线方程为
( 41
1121-=
-=-z y x ) ６、曲线?
??=+-=++46423222z y x x z y x 在点(1,1,1)处的切线方程为( 01
1121-=
-=-z y x ) 三、计算题（每题6分）
1、设)ln(),(2
2
y x x y x f +=，求),(y x f 的一阶偏导数
2
22
2
2
2)ln(),(y
x x y x y x f x +++= ， 222),(y x xy y x f y +=。 2、设
????
?
?+=y x x y x f ln ),(，求此函数在点)1,1(0P 处的全微分。并求该函数在该点处沿着从 P 0到)1,2(1-P 方向的方向导数 ( dy dx df 21)
1,1(-= ，5
2
=??l f ) ３、设f x y y x f z ,,2???
?
?=具有各二阶连续偏导数，求y x z ???2
解：y x z ???22112x xf -'='2f "-"+"+22
312113
2f x y yf f x y
x z ???2
４、设??
???=+≠+++=0,00,1sin ),(222
22
2
22y x y x y x y x y x f 求),(y x f x 和),(y x f y 。 x x x x f x f x x 2
001sin lim 0)0,0()0,(lim →→=--不存在，故)0,0(x f 不存在，同理，)0,0(y f 也不存在。 当)0,0(),(≠y x 时，有
222/3222
22
21
cos
)(21sin ),(y x y x x y x y x x y x f x ++-
++=
2
22/3222
2221
cos )(21
sin
),(y
x y x y y x y x y
y x f y ++-
++=
５、设),(y x f z =由方程0=-++++y
x z e
y x z 所确定，求dz ( dy dx dz --=)
６、设])(,)([x y y x f z +-=ψ?，f 具有连续的二阶偏导数，ψ?,可导，求y
x z
???2
21)(f x f x
z
'+''=???
)]([)]()[(222112112y f f y f f x y x z ψψ?'''+''-+'''+''-'=??? 221211
)(]1)()([)(f y f y x f x '''+''-''+'''-=ψψ?? ７、设?????=+-=-+0
02
222
2υυu xy u y x 确定函数),(),,(y x y x u u υυ==，求y x u ????υ,。 2
2
22222
2222,2)
(24,)(24υυυυυυυυυυυ+-=??++=??+-=
??++=??u xy yu y u xy y y u u y x x u u xu x u
８、设)(12
22222z y x f z
y x u ++++=，式中f 二阶可导，求222222z u y u x u ??+??+??
解：记222z y x r
++=，则 1)()(-?==r r f r
r f u
y r r f r r f y u x r r f r r f x u 33)()(,)()(-'=??-'=??，z r r f r r f z u 3)()(-'=?? 3
25222)
()()]()([3)(r
r f r r f x r r f r r f r f r x u -'+?-'-''=?? 类似地，有
3
25222)()()]()([3)(r
r f r r f y r r f r r f r f r y u -'+?-'-''=?? 325222)
()()]()([3)(r
r f r r f z r r f r r f r f r z u -'+?-'-''=??
3252222222)]
()([3)]()([3)(r r f r r f r r r f r r f r f r z u y u x u -'+?-'-''=??+??+?? r
r f )(''=
四、（１０分）试分解正数a 为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。
设三个正数为z y x ,,，则a z y x =++，记z
y x F 1
11++=，令
)(1
11a z y x z
y x -+++++=
λ? 则由
??
??????
??
?
=++=+-==+-==+-=a
z y x z y x
z y x
1
10122
2λ?λ?λ? 解出3a z y x ===。 五、证明题：（１０分）
试证：曲面)(z y f x z -+=上任一点处的切平面都平行于一条直线，式中
f 连续可导。
证明：曲面在任一点),,(z y x M 处的切平面的法向量为
{}f f n '+'--=1,,1
定直线L 的方向向量若为{
}1,1,1=s ，则 0=?s n ，即s n ⊥
则曲面上任一点的切平面平行于以(1,1,1)为方向的定直线。
第九章 重积分
§ 1 二重积分的概念与性质 1、由二重积分的几何意义求二重积分的值
dxdy y x I D
??+=22 其中D 为：422≤+y x
( dxdy y x I D
??+=22=πππ3
16
2.4..312.4.=
-) 2、设D 为圆域,0,222>≤+a a y x 若积分
dxdy y x a D
??
--2
2
2
=12π
，求a 的值。
解：
dxdy y x a D
??
--2
2
2
=3
.34.21a π 81
=a
3、设D 由圆,2)1()2(22围成=-+-y x 求??D
dxdy 3
解：由于D 的面积为π2, 故??D
dxdy 3=π6
4、设D ：}10,53|),{(≤≤≤≤y x y x ，
????+=+=D
D
dxdy y x I dxdy y x I 221)][ln(,)ln(，比较1I , 与2I 的大小关系
解：在D 上，)ln(y x +≤ 2)][ln(y x +,故1I ≤2I
5、 设f(t)连续，则由平面 z=0，柱面 ,122=+y x 和曲面2)]([xy f z =所围的
立体的体积，可用二重积分表示为??≤+=
1
:2
2
2)]([y x D dxdy xy f V
6、根据二重积分的性质估计下列积分的值
??D
ydxdy x 22sin sin ππ≤≤≤≤y x D 0,0:
(≤0??D
ydxdy x 22sin sin 2π≤)
7、设f(x,y)为有界闭区域D ：222a y x ≤+上的连续函数，求 ??→D
a dxdy y x f a ),(1lim 2
0π
解：利用积分中值定理及连续性有)0,0(),(lim ),(1lim
8
2
0f f dxdy y x f a a D a =
=→→??ηξπ
§ 2 二重积分的计算法
1、设??
+=D
dxdy y x
I 1
，其中D 是由抛物线12+=x y 与直线y=2x ，x=0所围成的区域，则I=（ ）
A ： 2
12ln 3ln 87+-- B ： 21
2ln 3ln 89-+
C ： 2
12ln 3ln 89-- D ： 41
2ln 3ln 89--
2、设D 是由不等式1≤+y x 所确定的有界区域，则二重积分??+D
dxdy y x )(为
（ ）
A ：0
B ： 31
C ：3
2
D ： 1
3、设D 是由曲线xy=1与直线x=1,x=2及y=2所围成的区域，则二重积分 ??D
xy dxdy ye 为（ ）
A ：e e e 2
1
2124-- B ：21
242121e e e e -+-
C ：e e 2
1
214+ D ：2421e e -
4、 设f(x,y)是连续函数，则二次积分dy y x f dx x x ?
?++-2
11
1
),(为（ ）
A dx y x f dy dx y x f dy y y ????----+1
1
2
111102),(),( B dx y x f dy y ??--1
110),(
C dx y x f dy dx y x f dy y y ????-----+1
1
2
11
11
02),(),( D dx y x f dy y ??---1
1
2
02),(
5、设有界闭域D 1、D 2关于oy 轴对称，f 是域D=D 1+D 2上的连续函数，则二重 积分??D
dxdy y x f )(2为（ ）
A ??1
),(22D dxdy y x f B ??2
2),(4D dxdy y x f
C ??1
),(42D dxdy y x f D
??2
2
),(21D dxdy y x f 6、设D 1是由ox 轴、oy 轴及直线x+y=1所围成的有界闭域，f 是域D:|x|+|y|≤1
上的连续函数，则二重积分??D
dxdy y x f )(22为（ ）
A ??1
),(22
2D dxdy y x f B ??1
),(422D dxdy y x f
C ??1
),(822D dxdy y x f D
??1
),(212
2D dxdy y x f 7、.设f(x,y)为连续函数，则??a
x
dy y x f dx 0
),(为( ) A ??a
a
y
dx y x f dy 0
),( B ??a
y
a
dx y x f dy 0),( C ??a y dx y x f dy 0
),( D ??a x
dx y x f dy 0
),(
8、求 ??
=D
dxdy y
x I 2
2 ，其中 :D 由x=2,y=x,xy=1所围成. (49
)
9、设I=??
3
1
ln 0
),(x
dy y x f dx ,交换积分次序后I 为：
I=??
31
ln 0
),(x
dy y x f dx =??3ln 0
3
),(y e
dx y x f dy
10、改变二次积分的次序： ????-+4240
200),(),(x
x dy y x f dx dy y x f dx = ??
2
12
2
1x
x
dx y
dx x
11、设 D={(x,y)|0≤x ≤1,0≤y ≤1} ,求??+D
y x dxdy e 的值
解：??+D
y
x dxdy e
=????-==+1
210
10
10
)1())((e dy e dx e dy e dx y x l y x
12设 I=??--D dxdy y x R 222,其中D 是由x 2+y 2=Rx 所围城的区域，求I (331
R π)
13、计算二重积分??-+D
dxdy y x |4|22，其中D 是圆域922≤+y x
解：??-+D
dxdy y x |4|2
2
==
-+-????rdr r d rdr r d ππθθ20
3
2
220
2
2
)4()4(2
41π
14、计算二重积分??D
y x dxdy e
}
,m ax{22，其中D={(x,y)| 0≤x ≤1,0≤y ≤1}
解： ??D
y x dxdy e
}
22,max{=11
1
2
2
-=+????e dx e d dy e dx y
y x
x y
15、计算二重积分??
++D
dxdy y
x y x 2
2，D ：.1,12
2≥+≤+y x y x 解：??++D
dxdy y x y x 22=24)sin (cos 201sin cos 12πθθθπ
θθ-=+??+rdr r r d
§ 3 三重积分
1、设Ω是由x=0，y=0，z=0及x+2y+z=1所围成的空间有界域，则???Ω
xdxdydz 为
( )
A ??
?--1
210
1
y x y xdz d dx B ?
?
?---210
210
1
y y
x xdy dz dx
C ?
?
?---210
210
1
0x y
x xdz dy dx D ???10
1
1
xdz dy dx
2、设Ω是由曲面x 2
+y 2
=2z
,及z=2所围成的空间有界域，在柱面坐标系下将三重积分???Ω
dxdydz z y x f ),,(表示为累次积分，I=（ ）
A ???1
20
20
2
ρπθρθρρθz)dz ,sin ,cos f(d d B ???2
20
20
2
ρπρθρθρρθdz z),sin ,cos f(d d
C ???20
22
202
ρπρθρθρρθdz z),sin ,cos f(d d D ???
20
2
20
dz z),sin ,cos f(d d ρθρθρρθπ
3、设Ω是由1222≤++z y x 所确定的有界闭域，求三重积分???Ω
dv e z ||
解：???Ω
dv e z ||=???--≤+1
1
1||2
22)(
z y x z dz dxdy e =2?
=-1
2
2)1(ππdz z e z 4、设Ω是由曲面z=xy, y=x, x=1 及z=0所围成的空间区域，求???Ω
dxdydz z xy 32
(1/364)
5、设Ω是球域：12
2
2
≤++z y x ，求???Ω
++++++dxdydz z y x z y x z 1)
1ln(2
22222 (0) 6、计算???+Q
dxdydz y x )(22 其中Ω为：平面z=2与曲面2
222z y x =+所围成的
区域 (
π5
64
)
7、计算???Q
zdxdydz x 2其中Ω是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x 2
所围成的闭区域
(2/27))
8、设函数f(u)有连续导数，且f(0)=0,求dxdydz z y x f t t
z y x t )(1lim 2
2222224
0???≤++→++π
解：dxdydz z y x f t
t z y x t ???≤++→++2
2222
2240(1lim π =)0(')(4lim
sin )(1lim
4
20
220
4
0f t
dr
r f r dr r r f d d t t
t t
t ==???
?→→??θππ
π
§4 重积分的应用
1、(1)、由面积22y x +=2x, 22y x +=4x,y=x,y=0所围成的图形面积为（ ）
A )2(41+π
B )2(21+π
C )2(4
3
+π D 2+π
(2) 、位于两圆θρsin 2=与θρsin 4=之间，质量分布均匀的薄板重心坐标是( )
A (0,35)
B (0,36)
C (0,3
7
) D (0,38)
(3)、由抛物面x y z 422=+和平面x=2所围成的质量分布均匀的物体的重心坐标是 （ ）
A (0,0,34)
B (0,0,3
5) C (0,0,45) D (0,0,47
)
(4)、 质量分布均匀(密度为μ)的立方体所占有空间区
域:}10,10,10|),,{(≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x ,该立方体到oz 轴的转动惯量I Z =( )
A 31μ
B 32μ
C μ
D 3
4
μ
2、求均匀上半球体(半径为R)的质心
解：显然质心在z 轴上，故x=y=0,z=???Ω=831R zdv V 故质心为(0,0,R 38
)
4、 曲面2213y x z --=将球面25222=++z y x 分割成三部分，由上至下依次记 这三部分曲面的面积为 s 1, s 2, s 3, 求s 1:s 2:s 3
解：π102559222=--=??≤+dxdy y x y x 1S π20255
16
2
22=--=??≤+dxdy y x y x 3S
π70=2S
5、求曲面xy Rz =包含在圆柱222R y x =+内部的那部分面积 解：3
)122(22
2222
2R dxdy R y x R R y x π-=++=
??
≤+S
6、求圆柱体Rx y x 222≤+包含在抛物面Rz y x 222=+和xoy 平面之间那部分立 体的体积
解：43)(2132
222R dxdy y x R Rx y x π=
+=??≤+V 第九章 自测题
一、选择题: （40分） 1、?
?-x dy y x f dx 10
1
0),(=( )
A ??-10
10
),(dx y x f dy x B ?
?-x
dx y x f dy 10
10
),( C ??1
1
),(dx y x f dy D ?
?-y
dx y x f dy 10
1
),(.
2、设D 为222a y x ≤+,当=a ( )时,π=--??D
dxdy y x a 222. A 1 B 3
23 C 343 D 32
1 3、设??+=D
dxdy y x I )(22,其中D 由222a y x =+所围成,则I =( B ).
A 40220a rdr a d a πθπ=??
B 402202
1
a rdr r d a πθπ=???;
C 302203
2
a dr r d a πθπ=?? D 402202a adr a d a πθπ=???.
4、设Ω是由三个坐标面与平面z y x -+2=1所围成的空间区域,则
???Ω
xdxdydz =( ).
A
481 B 48
1- C 241 D 241- .
5 、设Ω是锥面,0(22
2222>+=a b
y a x c z )0,0>>c b 与平面c z y x ===,0,0所围成的
空间区域在第一卦限的部分,则???Ω
dxdydz z xy
=( ). A c b a 22361 B b b a 22361 C a c b 22361
D ab c 36
1.
6、计算???Ω
=zdv I ,1,222=+=Ωz y x z 为围成的立体,则正确的为( )和（）
A ???=10
10
20
zdz rdr d I πθ B ???=1
10
20
r
zdz rdr d I πθ
C ???=110
20
r
rdr dz d I πθ D ???=z
zrdr d dz I 0
20
10
πθ.
7、曲面22y x z +=包含在圆柱x y x 222=+内部的那部分面积=s ( )
A π3
B π2
C π5
D π22.
8、由直线2,2,2===+y x y x 所围成的质量分布均匀(设面密度为μ)的平面薄板,关于x 轴的转动惯量x I =( ).
A μ3
B μ5
C μ4
D μ6
二、计算下列二重积分:（20分）
1、??-D
d y x σ)(22,其中D 是闭区域:.0,sin 0π≤≤≤≤x x y (9
402-
π) 2、??D
d x
y σarctan ,其中D 是由直线0=y 及圆周1,42222=+=+y x y x ,x y =所围
成的在第一象 限内的闭区域 . (
2
64
3π) 3、??+-+D
d y x y σ)963(2,其中D 是闭区 域:222R y x ≤+ (
2494
R R ππ
+)
4、??-+D
d y x σ222,其中D :322≤+y x . (.25π) 三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: （15分）
1、?
??
?-+y
y
dx y x f dy dx y x f dy 30
31
20
1
0),(),( (??-x
x
dy y x f dx 32
20
),()
2、?
?-+2111
),(x x
dy y x f dx
(?
???-+2
2
20
2
1
01
),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy )
3、??θθθθ0
)sin ,cos (rdr r r f d a
(??θ
θθθ0
)sin ,cos (rdr r r f d a
)
四、计算下列三重积分:（15分）
1、Ω+???Ω
,)cos(dxdydz z x y :抛物柱面x y =2
,,π
=
+==z x o z o y 及平面所围
成的区域 (
2
1162
-π) 2、,)(22???Ω
+dv z y 其中Ω是由xoy 平面上曲线x y 22=绕x 轴旋转而成的曲面与
平面5=x 所围 (
π3
250
) 五、（5分）求平面1=++c
z
b y a x 被三坐标面所割出的有限部分的面积 .
(22222
22
1a c c b b a ++) 六、（5分）设)(x f 在]1,0[上连续,试证: 31
0101])([61)()()(????=dx x f dxdydz z f y f x f x y x
)0(,)()()
()(,)()(1
==='=??F dx x f t F x f x F dt t f x F x
且则
=???101)()()(x y
x dxdydz z f y f x f =-??dy x F y F y f dx x f x
1
1)]()()[()(
dx x F F x F x F F x f )}()1()()]()1((21){[(21
22?
+--=)1(21)1(61)1(21333F F F -+=)1(6
1
3F
第十章 曲线积分与曲面积分 § 1 对弧长的曲线积分
1设 L 关于x 轴对称，1L 表示L 在x 轴上侧的部分，当()y x f ,关于y 是偶函数时，
()=?L
ds y x f ,
()?1
,L ds y x f C. ()?-1
,2L ds y x f D.ABC 都不对
2、设L 是以点()()()()1,0,0,1,1,0,0,1--D C B A 为顶点的正方形边界,
则?
+L
y
x ds =
24 D. 22
3、有物质沿曲线L ：()103
,2,3
2≤≤===t t z t y t x 分布，其线密度为,2y =μ，则它
=m
++1
4
2
1dt t t t B.?++10
4
22
1dt t t t
C.
?
++1
4
21dt t t D.
?
++1
421dt t t t
4．求,?L
xds 其中L 为由2,x y x y ==所围区域的整个边界
解：()
2
2
155121241
11
1
+
-=
+
+?
?
xdx dy y
y 5．,ds y L
?其中L 为双纽线)0)(()(222222>-=+a y x a y x
解：原积分=()()
222sin 4sin 4420
2
2'24
4
1
-==+=?
??a d a
d r r r ds y L χπ
π
θθθθθ
6．?+L
ds y x ,22 其中L 为()022>=+a ax
y x
原积分=222
2cos 2a adt t a ==?π
7．,2?L
ds x 其中L 为球面2222a z y x =++与平面0=-y x 的交线
解：将y x =代入方程2222a z y x =++得2222a z x =+于是 L 的参数方程：t a z t a y t a x sin ,sin 2
,cos 2
==
=，又adt ds =
原积分=?
=π
π20
3222
cos 2a adt t a 8、求均匀弧()0,sin ,cos ≤<∞-===t e z t e y t e x t t t 的重心坐标
33,30
==
=?
∞
-dt e M dt e ds t
t
，523cos 10
0=
=
?
∞
-dt e t e M
x t t ，2
1,5100=-=z y
§2 对坐标的曲线积分 一、选择题
1.设L 关于x 轴对称，1L 表示L 在x 轴上侧的部分，当()y x P ,关于y 是偶函数 时，()=?L
dx y x P , A.0 B. ()?1
,2L dx y x P C.()?-1
,2L dx
y x P 都不对
2．设L 为1=+y x 的正向，则=++?
L
y
x ydy
xdx 3．L 为222a y x =+的正向，=+--+?
L
y x dy
y x dx y x 2
2)()( A.2
π
π C.0 D.π
二、计算
1．()()
dy y x dx y x L
?-++2222，其中L 由曲线()2011≤≤--=x x y 从
()0,2A 到()0,0O 方向
解：()1,1B 01:,:;12:,2:___
____
→=→-=x x y BO x x y AB
=
I =
+
?
?
____
___
BO
AB ()()()
(
)()()
3
41220
1
22
1
2
2
2
2
-
=++---+-+??dx x x
dx x x dx x x
2．[]
d y y x x xy y dx y x L
)ln((2222+++++? 其中L 是正向圆周曲线
222a y x =+
解： 由奇偶对称性022=+?
L
dx y x ，L ：ππ→-==:,sin ,cos t t a y t a x
=
I ()()=
++?-
dt t a t t a dt t t a
cos 1ln cos sin cos sin 3
2
2
4
π
πππ
π
4
cos sin 4
2
2
4
a dt t t a =?
-
3．()?Γ
-+++dz y x ydy xdx 1其中为从点()1,1,1A 到()4,3,2B 的有向线段
解：Γ方程：13,12,1+=+=+=t z t y t x ，
=
I ()136141
=+?dt t
三、过()0,0O 和()
0,πA 的曲线族()0sin >=a x a y ，求曲线L 使沿该曲线从()0,0O 到
()0,πA 的积分()()dy y x dx y L
+++?213的值最小
解：()()[
]
30333
44cos sin 2sin 1a a dx x a x a x x a a I +
-=+++=?ππ
()(
)
()0811,014''2
'>=?=?=-=I a a a I 。,1=a ()a I 最小，此时 x y sin =
四、空间每一点处()z y x P ,,有力()z y x F ,,→
，其大小与()z y x P ,,到z 轴的距离成反比，方向垂直指向z 轴，试求当质点沿圆周t z y t x sin ,1,cos ===从点()0,1,1M 到
()1,1,0N 时，力()z y x F ,,→
所作的功
解：由已知()}0,,
{
,,2
2
2
2
y
x ky y
x kx z y x F +-+-=
2ln 2
cos 1
cos
cos 2
2
2
22
2
k
t d t t
k dy y x ky dx y x
kx
W L
=
+-=
+-+
+-=
??π
五、将积分y y x Q x y x P L d ),(d ),(?+化为对弧长的积分,其中L 沿上半圆周
0222=-+x y x ).0,2()0,0(B O 到从
解：,22x x y -=x x
x x y d 21d 2
--=
x y ds d 12'+=x x
x d 212
-=
s
x
d d cos =
α,22x x -=x s
y
-==
1d d cos β，于是 =
+?
y y x Q x y x P L
d ),(d ),(s x y x Q x x y x P L d )1(),(2)
,(2?
??
???
?-+-
§3 格林公式及其应用
一、选择题