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阿贝成像及空间滤波技术的研究毕业论文

摘要：1873年由德国学者恩斯特·卡尔·阿贝（Ernst Karl Abbe，1840-1905）提出的二次成像理论及其相应的空间滤波实验，是空间滤波技术先导。随着后来对空间滤波技术理论的完善，使其广泛应用到科学技术的各个领域。

文章通过二维傅里叶分析将平面光场的复振幅分布分解为不同空间频率（即不同方向）的平面光的叠加，结合光的标量衍射理论得到透镜的傅里叶变换性质。接着提出阿贝成像和空间滤波技术，并对其进行二维傅里叶分析。最后对空间滤波进行MATLAB模拟加深对空间滤波的理解，并了解空间滤波在图像处理方面的应用。

阿贝成像及其空间滤波实验启示人们可以通过改变光波的频谱结构，使其像按照人们的要求得到预期的改善。在此基础上发展的光学信息处理技术，可用光学的方法对信息实施某种运算或变换以达到对感兴趣的信息进行提取、编码、存储、识别和恢复的目的。这种处理方法具有二维、并行和实时处理的优越性。

关键字：二维傅里叶变换，标量衍射，透镜的傅里叶变换，空间滤波

Abstract: Principle of second image formation and its corresponding spatial filtering experiment, put forward by German scholar Ernst Karl Abbe in 1873 (Ernst Karl Abbe，1840-1905), was the forerunner of spatial filtering techniques. Subsequently, it is widely applied in all fields of science and technology with the development of spatial filtering technique theory.

In this paper, complex amplitude distribution is decomposed into superposition of plane light in different spatial frequency (that is different direction) through Fourier analysis in two dimensions, so as to obtain Fourier transform properties of lens combing scalar diffraction theory of light. Then Abbe’s imagery and spatial filtering techniques are proposed, meanwhile, two-dimensional Fourier is analyzed. And finally, MATLAB simulation of spatial filtering is conducted in order to deepen the understanding of it, besides, the application of spatial filtering in the aspect of image processing is also described.

Abbe’s imagery and its spatial filtering experiment can enlighten us that the images can b e improved as our expectation and requirement through changing the frequency-spectrum structure of light wave. Therefore, the information which is interested by us can be extracted, coded, stored, identified, and restored by utilizing certain operation and conversion with the method of optics, which is optical information processing technique developed on the basis of this results. Furthermore, this processing method owns the advantages of two-dimensional, parallel, and

real-time processing.

Keywords: Two-Dimensional Fourier Transform, Scalar Diffraction Theory, Fourier Transform Properties of Lens, Spatial Filtering

1 绪论....................................................... - 6 - 1.1 课题背景................................................. - 6 - 1.

2 阿贝成像简介............................................. - 6 -

1.3 本文的主要内容........................................... - 7 -

2 二维傅里叶分析............................................. - 7 - 2.1 平面波的空间分布......................................... - 7 - 2.2 数学上的二维傅里叶变换................................... - 8 -

2.3 单色平面光场的二维傅里叶分析............................. - 8 -

3 光的标量衍射理论........................................... - 9 - 3.1 菲涅尔——基尔霍夫衍射公式............................... - 9 - 3.2 菲涅尔衍射.............................................. - 11 -

3.3弗琅禾费衍射............................................ - 12 -

4 透镜的傅里叶变换性质..................................... - 12 - 4.1 透镜的相位调制作用..................................... - 12 -

4.2 透镜的傅里叶变换性质.................................... - 13 -

5 阿贝成像及空间滤波........................................ - 15 - 5.1阿贝成像理论............................................ - 15 -

5.2 空间滤波................................................ - 16 -

6 空间滤波实验的MATLAB仿真................................. - 21 - 6.1 MATLAB模拟空间滤波实验的基本步骤 ....................... - 21 - 6.2 阿贝——波特空间滤波实验的仿真.......................... - 22 - 6.3 图像的空间滤波实验...................................... - 26 - 参考文献.. (30)

致谢 (31)

1 绪论

1.1 课题背景

阿贝在蔡司公司从事显微镜的设计和研究时，用传统的几何光学计算方法对显微镜物镜头的像差进行修正。当时的光学设计家认为设计优良显微镜的关键在于减低像差和提高放大倍率，认为显微镜的分辨率是无限的。减小光学镜头像差的一个简单办法是用减小镜头的孔径，于是蔡司公司出产了一批小孔径的显微镜，想以此对像差进行巨大的改进，但结果反而不如以前生产的孔径较大、未精心校正像差的显微镜。阿贝为了探索其中原因，从理论和试验两个方面进行研究，于1873年在德国的显微镜学报上发表了它的显微镜衍射成像理论。后来阿贝在1893年和波特(A.B.Poter)在1906年分别为验证阿贝成像理论做了相应的实验。

1935年策尼克（Zernike）提出的相衬显微镜是空间滤波技术早起最成功的应用。1946年杜费（Duffieux)把光学成像系统看作线性滤波器，成功地用傅里叶方法分析成像过程，发表了《傅里叶变换及其在光学中的应用》的著名论著。1953年，艾里亚斯（Elias）及其同事的经典论文《光学和通信理论》和《光学处理的傅里叶方法》为光学信息处理提供了有力的数学工具。1963年，范德·拉格特（A.Vander Lugt）提出复数滤波的概念，随着激光的出现和全息术的迅速发展，促使其理论和实用技术日臻完善，成为十分活跃的一门新兴学科，并已渗透到各种应用领域[1]。

1.2 阿贝成像简介

阿贝在研究如何提高显微镜的分辨能力时，于提出了一个与传统几何光学成像观念完全不同的相干二次衍射的新理论。放在显微镜标本台上物体，接受显微镜光源的照射，产生衍射。衍射的低次波偏离光轴的角度小，能够进入显微镜的物镜，在焦平面上形成衍射图像；高阶波因为角度大，不能进入物镜。焦平面上形成的衍射图像，再次衍射：衍射图像中各点，按惠更斯原理成为新的波源，产生球面波。这些由第二次衍射形成的球面波相互干涉，最后在物镜的像平面形成物体的实像。物体的细微部分如果十分靠近，以至连一阶衍射波的偏角太大，不能进入显微镜的物镜，没有显微镜能够分辨物体的细微部分。在相干照明下，被物体衍射的相干光，只有当它被显微镜物镜收集时,才能对成像有贡献。换句话说,像平面上光场分布和像的分辨率由物镜收集多少衍射光来决定。相干二次衍射理论是用频谱语言描述的波动光学观点，它从波动光学的角度解释了限制显微镜成像分辨本领的原因。

1.3 本文的主要内容

本文首先从理论上进行介绍，第二章介绍二维傅里叶变换的知识，在数学上对任一平面光场的复振幅分布进行二维傅里叶展开，并理解其物理意义；第三章介绍变量衍射理论，从基尔霍夫衍射理论开始，导出在不同条件下的近似，即菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射；第四章根据前二维傅里叶变换和标量衍射的知识讨论透镜的傅里叶变换性质；第五章提出阿贝成像理论，并用前面的知识对其进行傅里叶分析；第六章使用MATLAB 软件对阿贝——波特实验进行仿真，得到精确的实验数据。

2 二维傅里叶分析 2.1 平面波的空间分布

一般情况下把单色平面光波简称为平面波。平面波的复振幅可表示为：

()ikr A z y x U exp ),,(?=

(2.1)

在直角坐标系中

图2.1 截平面上平面波的复振幅分布

y x e z e y e x r ?+?+?= (2.2)

[]

k y k x k

e e e k ?+?+?=

γβα

cos cos cos 2 (2.3)

式中x e ，

e ，z e 分别为x ，y ，z 三个坐标方向上的单位矢量。k α，k β，k γ是波矢k 与x ，

y ，z 轴的夹角。所以

()()??

?????+?+?=z y x i A z y x U k k k γβαλπ

cos cos cos 2exp ,,

()

[

]z f y f x f i A z y x ?+?+?=π2exp

(2.4)

γλ

βλ

αk

z k

y k

x f f f cos cos cos =

== (2.5)

其中x f ，y f

，z f 表示波矢k 沿x ，y ，z 三个坐标方向的空间频率若考察平面波在x-y-0z 平面上的复振幅分布，其中z 为一常量0z ，则

()()()[

]y f x f i z f i A z y x U y x z ?+??=ππ2exp 2exp ,,0

(2.6)

2.2 数学上的二维傅里叶变换

()y x f ,为在整个平面内有定义的二维函数，若()y x f ,存在傅里叶变换，就可以表示为

()()()[]

x y x

df df y f x f

i y x F y x f ?+?=

??∞∞-∞

∞

-π2exp ,,

(2.7)

其中

()()()[]

dxdy y f x f

i y x f f f F y x

y x ?+?-=

??∞∞-∞

∞

-π2exp ,, (2.8)

2.3 单色平面光场的二维傅里叶分析

在相干光照明条件下，物分布函数可以用复函数U(x,y)表示，其模表示各点的振幅，幅角表示各点的初相位，对U(x,y)应用傅里叶变换有

()()()[]

dxdy y f x f

i y x U f f F y x

y x ?+?-=??∞∞-∞

∞-π2exp ,, (2.9)

()()()[]

y x y x

df df y f x f

i f f F y x U ?+?=

??∞∞-∞

∞

-π2exp ,, (2.10)

由上式可以看出U(x,y)可以看作是有无数指数基元

()[

]y f x f i y x ?+?π2exp 加权叠加而成，

其

权重为()y x y x df df f f F ,。

对比平面波在x-y-z 0平面上的复振幅分布，可知()()[]

y f x f i df df f f F y x y x y x ?+?π2exp ,相

当与振幅为()

y x y x df df f f F ,，传播方向为x f λα=cos ,y

f λβ=cos 的单色平面波。因而，物分

布函数可看作无数个不同振幅（()y x y x df df f f F ,）不同方向（x f λα=cos ，y

f λβ=cos ）的平面波相干叠加而成[2]。

3 光的标量衍射理论

3.1 菲涅尔——基尔霍夫衍射公式

图3.1 点光源照明平面屏的衍射

如图，s(p ’)为位于p ’点的点光源，o p

为衍射屏上的任意一点，p 为孔径后的任意一观察点，l 和r 分别为p 和p ’到p o 的距离。基尔霍夫把亥姆霍兹方程同格林定理结合起来并假定边界条件，从而导出了严格的衍射公式：[3]

()()()()σλd l n r n r ikr l ikl i A p U ???

???-=

??∑

2,cos ,cos exp exp )( (3.1)

如果点光源离开孔径足够远，使入射光可以看成垂直入射到孔径的平面波那么对于孔径

上的各点都有()1,cos -=l n ，()θcos ,cos =r n ，而()ikl l A

exp 表示孔径上的复振幅分布可令()()00,exp y x U ikl l A

图 3.2平面光入射屏时的衍射

则基尔霍夫衍射公式可表示为

()()

()σθ

d r ikr y x U p U 2cos 1exp ,00+???∑

(3.2)

通常衍射孔径的线度比观察平面到孔径的距离要小很多，在观察屏上考察的距离也比观察屏到孔径的距离小很多，因此1cos ≈θ，有

图3.3 衍射近似的示意图

()()

()σ

d r ikr y x U p U exp ,00??∑

(3.3)

由于孔径范围内，任意点Q 到观察屏上的考察点p 的距离变化并不大，并且分母中r 的变化只影响孔径范围内各子波波源发出的球面子波的振幅，这种影响微乎其微，所以可取

z r 1

1≈

(3.4)

但在复指数部分()ikr exp 中由于k 很大，r 的微小变化也会对位相kr 产生显著地变化，故不可近似，所以在近轴条件下基尔霍夫衍射公式可表示为：

σλd ikr y x U z i p U )exp(),(1

)(00??∑=

(3.5)

3.2.1 菲涅尔近似条件

图3.4 衍射近似的示意图

基尔霍夫衍射公式的计算较为复杂。但在近轴条件下，可做一些近似计算。在直角坐标系中

()()

/120202

021??

???????? ??-+??? ??-+=-+-+=z y y z x x z y y x x z r (3.6)

对上式做二项式展开

()()()()[

]???

???

??????+???

?????-+-+??????-+-+=2

20202

202081211z y y x x z y y x x z r

(3.7)

当z 大到使第三项以后的各项对位相的作用小于1rad 时即

()()

[

]

202

0≤-+-z y y x x k (3.8)

第三项后的各项便可忽略，因而可只取前后两项来表示r ，即

()()()()z y y x x z z y y x x z r 2

0202

2020211-+-+=????????????????-+-+=

(3.9)

3.2.2 菲涅尔衍射公式

在满足式（3.8）的菲涅尔衍射近似条件，下可得菲涅尔衍射计算公式

()()()()()[

2000002

020002exp ),(12exp ),(1dy

dx y y x x z ik y x U z i dy dx z y y x x z ik y x U z i p U ?

?????-+-=

?????????????-+-+=????∑

∑λλ (3.10)

3.3.1 弗琅禾费近似

将式（3.9）式展开有

z y x z yy xx z y x z r 222020

0022++

+-++=

(3.11)

当z 很大而使式中第4项对位相的贡献小于1rad 时，即

()122

20≤+z y x k

(3.12)

第4项便可省略。

第2项和第三项也是比z 小很多的量，但它比第四项大很多，因为随着z 的增大，衍射光的范围也不断扩大，相应的考察范围也不断扩大，故r 在在满足式（3.12）的条件下可进一步改写为:

z yy xx z y x z r 0

0222+-

++≈

(3.13)

3.3.2 弗琅禾费衍射公式

在满足弗琅禾费衍射条件下式式（3.5）中的r 可以由式（3.13）式表示，得到弗琅禾费衍射公式

()00000022exp ),()(2exp )exp(1)(dy dx yy xx z ik y x U y x z ik ikz z i p U ???

???+-??????+=

??∑λ

(3.14)

4 透镜的傅里叶变换性质 4.1 透镜的相位调制作用

图 4.1 透镜的相位调制作用

如图是一个点光源通过正透镜的成像光路s 为光轴上的一个单色点光源，通过正透镜在光轴s ’点处形成它的点像。

为了说明透镜的相位变换作用，这里引入透镜的复振幅透过率

),(),('),(y x U y x U y x t =

(4.1)

式中U(x,y)，U ’(x,y)均为紧贴着透镜的平面上的复振幅分布

在近轴情况下单色点光源s 在平面1P

上的复振幅分布为

?????+=)(2exp )exp(),(22y x d ik ikd A y x U o o

(4.2)

式中A 表示在近轴情况下1P 平面上的复振幅分布是均匀的。会聚于s ’点的球面光在2P 平面上的复振幅分布为

??????+-=)(2exp )exp(),('22y x d ik ikd A y x U i i

(4.3)

式（4.2）和式（4.3）中的)exp(o ikd 与)

exp(i ikd 为常位相因子它们表示o d ，i d 变化在1P ，2P 平面上的常量位相变化，并不影响1P ，2P 平面上的复振幅相对空间分布在分析时可

以省略，由式（4.1）式有

()()

????????? ??++-=o i

d d y x ik y x t 112

exp ,2

(4.4)

根据透镜成像的高斯公式

f d d o i 111=+

(4.5)

式（4.4）可改写为

()(

?????+-=2

2exp ,y x f

ik y x t

(4.6)

4.2 透镜的傅里叶变换性质

(1) 物在透镜前

图4.2 物在透镜前o d 处的傅里叶变换

如图所示，点光源s 在透镜相距d ’处的光轴上。透明物体放置在距透镜前o d

处，复

振幅透过率为()o o y x t ,，点光源成像于s ’ 处。近轴情况下，点光源s 发出的单色球面波

在o P

平面上的复振幅分布为

()?

?????-+-=o o o o o o d d y x ik d d A

y x U '2exp '),(22

(4.7)

式中省略了常数位相因子()[]

o d d ik -'exp ，经过透射率为

()

o o y x t ,透明物体在透明物体后透射

光场的复振幅为 ()o o o o o o y x t y x U y x U ,),(),('=

(4.8)

光波从

P 平面传播到1P 平面的传播过程是传播距离为

d 的菲涅尔衍射，1P 平面的复振幅为

o o o o o o o o o o o o l dy dx yy xx d ik d y x ik y x U d y x ik d i y x U ??????+-???? ?

?+???? ??+=??+∞∞-+∞∞-)(exp 2exp ),('2exp 1

),(2222λ (4.9)

上式中省略了常数位相因子)

exp(o ikd ，光场

U 通过透镜变为

U ,由透镜的位相变换作用可

知

(

?????+-=2

2exp ),(),(y x f

ik y x U y x U l

(4.10)

从紧贴透镜后表面的平面2P 到达观察平面i P 的传播过程是传播距离为i d

的菲涅尔衍射，故

()

()()

()dxdy

yy xx d ik y x d ik y x U y x d ik d i y x U i i i i l i i i i i i ??

????+??????+??????+=??∞∞-∞∞-exp 2exp ,2exp 1

),(22'22λ (4.11)

将式（4.7）到（4.10）各式带入式（4.11）经过化简，整理得

()

()(

)(){}

σλ

μσλσλ

πμi

y i

x y f x f o

i i o o i i i i y x t F y x ik C dxdy

y y x x i y x t y x ik C y x U =

∞∞-∞

∞-??

????+=????????? ??+???

???+=??,2

22,2

exp '2exp ,2exp '),( (4.12)

式中

()()()()()()()d

f f

d d d d d d f d d d f d f d d d d d d d d d d A

C o i o o o i o o i

o i --=-=

---=--=-=

'''''1

''222

2σμλ

（4.13）

通常情况下都是采用平行光照射物体，即∞='d 。下面讨论在平行光照明下，输入平面在两个特殊位置的傅里叶变换性质。

a 输入平面位于物方焦平面上

此时∞==',d f d o 可求得f f d i ===σμ,,0，这时式（4.12）变为

()(){}

y f f

x f o o i

y i

x y x t F C y x U λλ=

=,,', (4.14)

b 输入面紧贴透镜

这时∞

==',0d d o 求得f f d f

i ===σμ,,1

()(

)(){}

f f x f o

i i y i x y x t F y x f

ik C y x U λλ==

????+=,2

2,2exp ', (4.15)

5 阿贝成像及空间滤波 5.1 阿贝成像理论

1873年德国人阿贝在研究如何提高显微镜的分辨本领时，提出了相干二次衍射成像理论。阿贝认为相干成像的过程可分为两步完成：第一步，在相干光的照明下物体可看作一个复杂的光栅，在透镜的后焦面形成该光栅的弗琅禾费衍射图样；第二步，各个衍射光斑作为新的球面子波子物体的相平面上相干成像。

图5.1 阿贝成像示意图

根据透镜的傅里叶变换的性质，在单色平面波的照射下在透镜的后焦面上的光场分布是物体的傅里叶变换频谱。而由频谱合成为像，这一合成过程可视为傅里叶逆变换。

5.2 空间滤波

5.2.1 空间频率滤波系统

阿贝成像原理揭示了频谱与像的关系，启发人们通过改变频谱来改造的到的像。通常改变频谱都是在空间频率滤波系统中进行的，下面介绍一种最为典型的空间频率滤波系统。如图所示：

图5.2 4f 空间滤波系统

如图5.2所示，s 为相干光源，发出单色球面波透镜1L 准直为平面波，垂直入射到透射率为()11,y x t 的物平面1p 上，由透镜的傅里叶变换性质在2P 面形成其频谱，2P 面同时也是滤波面，经滤波后的频谱由3L 进行傅里叶逆变换在3P 输出像。

5.2.2 空间滤波的傅里叶分析

下面我们以一维光栅为例，通过傅里叶分析的方法，计算改变频谱对像结构的影响。令一维光栅的透过率函数为

()?

?? ???????

???? ??*??? ??=L x rect d x comb d a x rect x t 11111 (5.1)

上式表示一沿

x 方向，缝宽为a ，周期为d ，尺寸为L 的光栅，在单位振幅平面波的照射

下透镜在透镜的像方焦平面上得到其频谱

()f

x f x n x x d n f L d an d aL f T λ2sinc sinc =

∞-∞=????????? ?

?-???

??=∑ (5.2)

并假设各频谱点之间的距离d f

λ已足够大，衍射频谱没有重叠。下面讨论在2P 平面放置不

同的空间滤波器时，i P

平面上输出像的变化。

放入适当宽度的狭缝只让零级频谱通过。狭缝的透过率函数可表示成

其他L

x f f H x 1

01)(<

???=

因sinc 函数衰减迅速，可以认为主要能量集中在有限的宽度内，所透过率函数可近似看作只让式（5.2）中的n=0的项通过，滤波后的频谱函数为

()()()x x x bf c d aL

f H f T sin =

(5.3)

在像平面上的光场分布是频谱的傅里叶逆变换

()(){}???

??=

=-L x rect d a f H f T F x g x x 313)(

(5.4)

可见所得的像为一宽度为L 的矩形函数，没有了内部的周期性结构。

图5.3 零级频谱通过时的滤波过程

2.狭缝的宽度允许零级和正负一级通过，透过率函数可表示成

其他

?? ??+

?=d L f f H x x 110

)( 这时滤波函数允许式（5.2）中的m=0，1±=m 的项通过

()()()???????????

???? ??

+??? ??+????????? ??-??? ??+=

d f b d a d f b d a bf d aL f H f T x x x

x x 1sinc sinc 1sinc sinc sinc (5.5)

此时i P

平面上的光场分布为

()(){}?????

???? ????? ??+??? ??=

=-d x d a b x rect d a f H f T F x g x x 33132cos sinc 1)(π (5.6)

图5.4 零级和正负一级通过时的滤波过程

3.放入双缝，只允许正负二级频谱通过，狭缝的透过率函数为

其他L

d f L d f H x x 121201)(+

<<-???= 此时只允许式（5.2）中的2±=m 的两项通过

()()??????

????????? ?

?++????????? ??-??? ??=

d f b d f b d a c d aL f H f T x x x x 2sinc 2sinc 2sin (5.7)

此时像平面上的光场分布为

()(){}??? ????? ?????

??=

=-2/2cos rect 2sinc 2)(1d x L x d a d a f H f T F x g i i x x i π

(5.8)

此时像平面上得到的是余弦条纹，周期变为原来的一半。

图5.5 正负二级通过时的滤波过程

4.放入小圆屏，仅挡住零级频谱，其余的频谱都能透过，其透过滤函数为

其他L f f H x x 1

10)(<

???=

其只阻挡了m=0的项通过

()()()()x x x x bf d aL

f T f H f T sinc -

(5.9)

()(){}?

??-??? ??-??? ??==∑∞-∞=-b x d a a nd x b x f H f T F x g i n i i x x i rect rect )(1

(5.10)

当d a

不同时可引起两个重要的现象：

a.当21

b a 时，直流分量为21，振幅下降21，像平面上的复振幅分布仍为光栅结构，但是振幅的模却是相等的，故强度分布是均匀的。

b.21

a ，即光栅的透光部分大于不透光的部分，这时直流分量大于21，去掉直流分

量后，振幅下降大于21

，如图所示，其结果使物和像的强度分布呈现对比反转[1,2,6]。

图 5.6 挡住零频时的滤波过程

6 空间滤波实验的MATLAB 仿真

6.1 MATLAB 模拟空间滤波实验的基本步骤

阿贝成像原理是在透镜后焦面上得到光场空间频率分布的傅立叶变换，成像又是一次逆变换的过程，这种变换可由快速傅立叶变换（FFT ）轻松实现。利用阿贝—波特实验装置和空间滤波系统，从改变频谱入手改造一幅光学图像，可以进行光学信息处理。此基础上，用MATLAB 强大的计算及图像可视化功能完成阿贝—波特实验的物理模型的构建并进行计算机模拟。令f 为待滤波处理的图像，大小为N M ?，H(u,v)为滤波函数，g 为处理的结果，图像频的域滤波可归结为如下几个步骤[4,5]:

1.构建光栅的图像: f=zeros(128,128); for i=1:2

f(i:8:end ,:)=1; end for i=1:2

f(:,i:8:end)=1;

end %创建缝宽2周期为8的光栅图像大小为128*128，M=128，N=128 subplot(2,2,1),imshow(f) 下图即为所构建的光栅图像：

图6.1 平面网格光栅

2.对光栅图像进行傅里叶变换

因为要防止使用fft2()过程中“卷边”现象的发生，要对图像f 进行零填充，P ，Q 表示经零填充后的图像大小，P ，Q 必须满足12,12-≥-≥N Q M P 。并使用fftshift()将

变换的原点移到中心这里取P=256,Q=256。具体代码为：

P=256;Q=256;

F=fftshift(fft2(f,P,Q)); %傅立叶变换

p=abs(fftshift(F)); %零频移动到中间并取模

subplot(2,2,2),mesh(p)%以曲面图显示频谱

subplot(2,2,3),imshow(0.005*p);%因零频较其他频率大很多，以一定的比例显示能更好

%地表现频谱

图6.2 频谱的强度分布的曲面图

图6.3 频谱的平面图

3.构建不同的空间滤波器H。具体空间滤波器件见后文

4.对滤波后的频谱G进行傅里叶逆变换并取模，其语句为：

G=F.*H; %G为滤波后的频谱

g=abs(ifft2(G); %G为滤波后的频谱

subplot(2,2,4),imshow(g) %显示经空间滤波后所成的图像

6.2 阿贝——波特空间滤波实验的仿真

1.圆孔低通滤波器

构建圆孔光阑，其大小与频谱图大小相同(P*Q)，通过半径为r，生成函数为：