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直线与圆锥曲线的位置关系详解

直线与圆锥曲线的位置关系

●知识梳理

本节主要内容是直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用.解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题.对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”.涉及焦点弦的问题还可以利用圆锥曲线的焦半径公式.

●点击双基

1.过点（2，4）作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有

A.1条

B.2条

C.3条

D.4条

解析：数形结合法，同时注意点在曲线上的情况.

答案：B

2.已知双曲线C ：x 2－4

2y =1，过点P （1，1）作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有

A.1条

B.2条

C.3条

D.4条

解析：数形结合法，与渐近线平行、相切.

答案：D

3.双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是

A.（－∞，0）

B.（1，＋∞）

C.（－∞，0）∪（1，+∞）

D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）

解析：数形结合法，与渐近线斜率比较.

答案：C

4.过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB |=8，O 为坐标原点，则 △OAB 的重心的横坐标为____________.

解析：由题意知抛物线焦点F （1，0）.设过焦点F （1，0）的直线为y =k （x －1）（k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）.

代入抛物线方程消去y 得k 2x 2－2（k 2+2）x +k 2=0.

∵k 2≠0，∴x 1+x 2=2

2)2(2k k +，x 1x 2=1. ∵|AB |=2212))(1(x x k -+ =]4))[(1(212212x x x x k -++ =]4)2(4)[1(42

-++k k k =8，

∴k 2=1.

∴△OAB 的重心的横坐标为x =

021x x ++=2. 答案：2 5.已知（4，2）是直线l 被椭圆362x +9

2y =1所截得的线段的中点，则l 的方程是____________.

解析：设直线l 与椭圆交于P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），

将P 1、P 2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l 斜率k =2121x x y y --=－)

(42121y y x x ++=

－2

21y y x x +?+ =－2

44?=－21. 由点斜式可得l 的方程为x +2y －8=0.

答案：x +2y －8=0

●典例剖析

【例1】已知直线l ：y =tan α（x +22）交椭圆x 2+9y 2=9于A 、B 两点，若α为l 的倾斜角，且|AB |的长不小于短轴的长，求α的取值范围.

剖析：确定某一变量的取值范围，应设法建立关于这一变量的不等式，题设中已经明确给定弦长≥2b ，最后可归结为计算弦长求解不等式的问题.

解：将l 方程与椭圆方程联立，消去y ，得（1+9tan 2α）x 2+362tan 2α·x +72tan 2α－9=0，

∴|AB |=α2tan 1+|x 2－x 1| =α2tan 1+·)

tan 91(2α+Δ =α

α22tan 916tan 6++. 由|AB |≥2，得tan 2α≤

31， ∴－33≤tan α≤3

3. ∴α的取值范围是［0，6π）∪［6

π5，π）. 评述：对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用.本题由于l 的方程由tan α给出，所以可以认定α≠2π，否则涉及弦长计算时，还应讨论α=2

π时的情况. 【例2】已知抛物线y 2=－x 与直线y =k （x +1）相交于A 、B 两点.

（1）求证：OA ⊥OB ；

（2）当△OAB 的面积等于10时，求k 的值.

剖析：证明OA ⊥OB 可有两种思路（如下图）：

（1）证k OA ·k OB =－1；

（2）取AB 中点M ，证|OM |=2

1|AB |. 求k 的值，关键是利用面积建立关于k 的方程，求△AOB 的面积也有两种思路：

（1）利用S △OAB =2

1|AB |·h （h 为O 到AB 的距离）；（2）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），直线和x 轴交点为N ，利用S △OAB =

21|AB |·|y 1－y 2|. 请同学们各选一种思路给出解法.

解方程组时，是消去x 还是消去y ，这要根据解题的思路去确定.当然，这里消去x 是最简捷的.

（1）证明：如下图，由方程组

y 2=－x ， y =k （x +1）

ky 2+y －k =0.

设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），由韦达定理y 1·y 2=－1.

∵A 、B 在抛物线y 2=－x 上，

∴y 12=－x 1，y 22=－x 2，y 12·y 22=x 1x 2．

消去x 后，整理得

∵k OA ·k OB =11x y ·22x y =2121x x y y =2

11y y =－1， ∴OA ⊥OB .

（2）解：设直线与x 轴交于N ，又显然k ≠0，

∴令y =0，则x =－1，即N （－1，0）.

∵S △OAB =S △OAN +S △OBN =

21|ON ||y 1|+2

1|ON ||y 2| =2

1|ON |·|y 1－y 2|， ∴S △OAB =21·1·212214)(y y y y -+ =21

4)1(2+k

. ∵S △OAB =10， ∴10=21

412+k

.解得k =±61. 评述：本题考查了两直线垂直的充要条件、三角形的面积公式、函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力.

【例3】在抛物线y 2=4x 上恒有两点关于直线y =kx +3对称，求k 的取值范围.

剖析：设B 、C 两点关于直线y =kx +3对称，易得直线BC ：x =－ky +m ，由B 、C 两点关于直线y =kx +3对称可得m 与k 的关系式，

而直线BC 与抛物线有两交点，

∴Δ＞0，即可求得k 的范围.

解：设B 、C 关于直线y =kx +3对称，直线BC 方程为x =－ky +m ，代入y 2＝4x ，得y 2＋4ky －4m =0，

设B （x 1，y 1）、C （x 2，y 2），BC 中点M （x 0，y 0），

则y 0＝2

21y y +＝－2k ，x 0＝2k 2+m . ∵点M （x 0，y 0）在直线l 上，

∴－2k =k （2k 2＋m ）+3.

∴m =－k

k k 3223++. 又∵BC 与抛物线交于不同两点，

∴Δ＝16k 2＋16m ＞0.

把m 代入化简得k

k k 323++＜0，即k

k k k )3)(1(2+-+＜0，解得－1＜k ＜0. 评述：对称问题是高考的热点之一，由对称易得两个关系式.本题运用了“设而不求”，解决本题的关键是由B 、C 两点在抛物线上得“Δ＞0”.

【例4】已知抛物线C ：y 2=4（x －1），椭圆C 1的左焦点及左准线与抛物线C 的焦点F 和准线l 分别重合.

（1）设B 是椭圆C 1短轴的一个端点，线段BF 的中点为P ，求点P 的轨迹C 2的方程；

（2）如果直线x +y =m 与曲线C 2相交于不同两点M 、N ，求m 的取值范围.

（1）解法一：由y 2=4（x －1）知抛物线C 的焦点F 坐标为（2，0）.准线l 的方程为x =0.设动椭圆C 1的短轴的一个端点B 的坐标为（x 1，y 1）（x 1＞2，y 1≠0），点P （x ，y ），

x =221+x ， x 1=2x －2， y =21y ， y 1=2y . ∴B （2x －2，2y ）（x ＞2，y ≠0）.

设点B 在准线x =0上的射影为点B ′，椭圆的中心为点O ′，则椭圆离心率e =|

|||BF O F '，由||||B B BF '=||||BF O F '，得22)2()222(22-+--x y x =22)

2()222(222y x x +----，整理，化简得y 2=x －2（y ≠0），这就是点P 的轨迹方程.

则 ∴

解法二：抛物线y 2=4（x －1）焦点为F （2，0），准线l ：x =0.设P （x ，y ），

∵P 为BF 中点，

∴B （2x －2，2y ）（x ＞2，y ≠0）.设椭圆C 1的长半轴、短半轴、半焦距分别为a 、b 、c ，

则c =（2x －2）－2=2x －4，b 2=（2y ）2=4y 2，

∵（－c ）－（－c

a 2）=2， ∴c

c a 22-=2，即b 2=2c .∴4y 2=2（2x －4），

即y 2=x －2（y ≠0），此即C 2的轨迹方程.

x +y =m ， y 2=x －2

m ＞4

7. 而当m =2时，直线x +y =2过点（2，0），这时它与曲线C 2只有一个交点，

∴所求m 的取值范围是（

47，2）∪（2，+∞）. ●闯关训练

1.若双曲线x 2－y 2＝1的右支上一点P （a ，b ）到直线y =x 的距离为2，则a +b 的值为

A.－21

B.21

C.±2

1 D.±

2 解析：P （a ，b ）点在双曲线上，则有a 2－b 2=1，即（a +b ）（a －b ）=1.

d =2|

|b a -=2，

∴|a －b |=2.

又P 点在右支上，则有a >b ，

（2）解：由（

y ≠0），得y 2+y －m +2=0，令Δ=1－4（－m +2）＞0，解得

∴a －b =2.

∴|a +b |×2=1，a +b =

1. 答案：B

2.已知对k ∈R ，直线y －kx －1=0与椭圆52x +m

y 2=1恒有公共点，则实数m 的取值范围是

A.（0，1）

B.（0，5）

C.［1，5）∪（5，+∞）

D.［1，5）

解析：直线y －kx －1=0恒过点（0，1），仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点.所以，

m 1≤1且m ＞0，得m ≥1.故本题应选C. 答案：C

3.已知双曲线x 2－3

2y ＝1，过P （2，1）点作一直线交双曲线于A 、B 两点，并使P 为AB 的中点，则直线AB 的斜率为____________.

解析：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），代入双曲线方程3x 2－y 2=1相减得直线AB 的斜率

k AB =2121x x y y --=2

121)(3y y x x ++ =2

232121y y x x ++?=1

23?=6. 答案：6

4.AB 为抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点弦，若|AB |=1，则AB 中点的横坐标为___________；若AB 的倾斜角为α，则|AB |=____________.

解析：设过F （

2p ，0）的直线为y =k （x －2

p ），k ≠0，代入抛物线方程，由条件可得结果.

答案：21p - α

2sin 2p 5.求过点（0，2）的直线被椭圆x 2＋2y 2＝2所截弦的中点的轨迹方程.

解：设直线方程为y =kx +2，

把它代入x 2＋2y 2＝2，

整理得（2k 2＋1）x 2+8kx +6=0.

要使直线和椭圆有两个不同交点，则Δ＞0，即k ＜－26或k ＞2

6. 设直线与椭圆两个交点为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），中点坐标为C （x ，y ），则

x ＝

221x x +＝1

242+-k k ， y = 1242+-k k +2＝1

222+k . x =1242+-k k ， y =1222+k 消去k 得x 2＋2（y －1）2＝2，

且｜x ｜＜26＝，0＜y ＜2

1． 6.中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，它的离心率为

23，与直线x +y －1=0相交于M 、N 两点，若以MN 为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程.

解：设椭圆方程22a x ＋22b

y ＝1（a ＞b ＞0）， ∵e ＝2

3，∴a 2＝4b 2，即a ＝2b . ∴椭圆方程为224b x ＋22b

y ＝1. 把直线方程代入化简得5x 2－8x +4－4b 2＝0.

设M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），则

x 1＋x 2＝58，x 1x 2＝5

1（4－4b 2）. 从参数方程（k ＜－26或k ＞26），

∴y 1y 2＝（1－x 1）（1－x 2）

＝1－（x 1＋x 2）＋x 1x 2＝5

1（1－4b 2）. 由于OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.

解得b 2＝

85，a 2＝2

5. ∴椭圆方程为52x 2＋58y 2＝1. 7.已知直线y =（a +1）x －1与曲线y 2=ax 恰有一个公共点，求实数a 的值.

y =（a +1）x －1， y 2=ax ，

x =1，

y =0.

（2）当a ≠0时，方程组化为a

a 1+y 2－y －1=0. x =－1， y =－1.

若a a 1+≠0，即a ≠－1，令Δ=0，得1+4·a

a 1+=0，解得a =－54，这时方程组恰有 x =－5，

y =－2.

综上所述，可知当a =0，－1，－

4时，直线与曲线恰有一个公共点. ●思悟小结 1.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式Δ，有时借助图形的几何性质更为方便.

2.涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用平方差法，但必须以直线与圆锥

使其恰有一组解.

（1）当a =0时，此方程组恰有一组解若a

a 1+=0，即a =－1，方程组恰有一解解析：联立方程组一解