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中考数学几何综合题

几何综合题复习

几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型与几何论证型综合题，它主要考查考生综合运用几何知识的能力。

一、几何论证型综合题

例1、（）如图，已知：⊙O1与⊙O2是等圆，它们相交于A、B两点，⊙O2在⊙O1上，AC 是⊙O2的直径，直线CB交⊙O1于D，E为AB延长线上一点，连接DE。

(1)请你连结AD，证明：AD是⊙O1的直径；

(2)若∠E=60°，求证：DE是⊙O1的切线。

分析：解几何综合题，一要注意图形的直观提示，二要注意分析挖掘题目的隐含条件，不断地由已知想可知，发展条件，为解题创条件打好基础。

证明：

（1）连接AD，∵AC是⊙O2的直径，AB⊥DC Array∴∠ABD=90°,

∴AD是⊙O1的直径

（2）证法一：∵AD是⊙O1的直径，

∴O1为AD中点

连接O1O2，

∵点O2在⊙O1上，⊙O1与⊙O2的半径相等，

∴O1O2=AO1=AO2

∴△AO1O2是等边三角形，

∴∠AO1O2=60°

由三角形中位线定理得：O1O2∥DC，

∴∠ADB=∠AO1O2=60°

∵AB⊥DC，∠E=60，

∴∠BDE=30，∠ADE=∠ADB+∠BDE=60°+30°=90°

又AD是直径，

∴DE是⊙O1的切线

证法二：连接O1O2，

∵点O2在⊙O1上，O1与O2的半径相等，

∴点O1在⊙O2

∴O1O2=AO1=AO2，

∴∠O1AO2=60°

∵AB是公共弦，

∴AB⊥O1O2，

∴∠O1AB=30°

∵∠E=60°

∴∠ADE=180°-（60°+30°）=90°

由（1）知：AD是的⊙O1直径，

∴DE是⊙O1的切线.

说明：本题考查了三角形的中位线定理、圆有关概念以及圆的切线的判定定理等。

A B C

O P 图5－1－2 练习一

1．如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过点C 作⊙O 的切线，交BC 的延长线于点P ，交AD 的延长线于点E ，若AD=5，AB=6，BC=9。 ⑴求DC 的长；

⑵求证：四边形ABCE 是平行四边形。

2．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点C ，BD ⊥PD ，垂足为D ，连接BC 。

求证：（1）BC 平分∠PBD ；（2）BD AB BC ?=2

3．PC 切⊙O 于点C ，过圆心的割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，BE ⊥PE ，垂足为E ，BE 交⊙O 于点D ，F 是PC 上一点，且PF ＝AF ，FA 的延长线交⊙O 于点G 。求证：（1）∠FGD ＝2∠PBC ；（2）PC PO

AG AB

4.已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，直径CD ⊥AB ，垂足为E 。弦BF 交CD 于点M ，交AC 于点N ，且BF=AC ，连结AD 、AM ，求证：(1)△ACM ≌△BCM ； (2)AD ·BE=DE ·BC ；

(3)BM 2=MN·MF 。

5.已知：如图，△ABC 中，AC ＝BC ，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ．求证：（1）AD ＝BD ；

（2）DF 是⊙O 的切线．

二、几何计算型综合题

解这类几何综合题，应该注意以下几点：

（1）注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形；

（2）灵活运用数学思想与方法.

例2．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别是OA 、OB 的中点．（1）求证：△ADE ≌△BCF ；

（2）若AD = 4cm ，AB = 8cm ，求CF 的长．解：

（1）∵四边形ABCD 为矩形， ∴AD ＝BC ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ， AD ∥BC ，

∴OA ＝OB ＝OC ，∠DAE ＝∠OCB ，∴∠OCB ＝∠OBC ， B （例2题）

B C

∴∠DAE ＝∠CBF ．

又∵AE ＝

12OA ，BF ＝1

OB ，∴AE ＝BF ， ∴△ADE ≌△BCF ．

（2）解：过点F 作FG ⊥CD 于点G ，则∠DGF ＝90o， ∵∠DCB ＝90o，∴∠DGF ＝∠DCB ，

又∵∠FDG ＝∠BDC ，∴△DFG ∽△DBC ， ∴FG DF DG BC DB DC

==．由（1）可知DF ＝3FB ，得34

DF DB =，

∴3448

FG DG ==

，∴FG ＝3，DG ＝6， ∴GC ＝DC －DG ＝8－6＝2．

在Rt △FGC 中，229413CF FG GC =+=+=.

说明：本题目考查了矩形的性质，三角形全等的判定以及相似三角形的判定及性质。练习二

1.已知：如图，直线P A 交⊙O 于A 、E 两点，PA 的垂线DC 切⊙O 于点C ，过A 点作⊙O 的直径AB 。

（1）求证：AC 平分∠DAB ；

（2）若DC ＝4，DA ＝2，求⊙O 的直径。

2．已知：如图，以Rt △ABC 的斜边AB 为直径作⊙O ，D 是⊙O 上

的点，且有AC=CD 。过点C 作⊙O 的切线，与BD 的延长线交于点E ，

连结CD 。 (1)试判断BE 与CE 是否互相垂直?请说明理由； (2)若CD=25

，tan ∠DCE=12

，求⊙O 的半径长。

（例2）

G O

E D C

3．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，D 是⊙O 上的一点，且AD ∥CO 。(1)求证：ΔADB ∽ΔOBC ；(2)若AB=2，BC=2，求AD 的长。(结果保留根号)

4．如图,AD 是ABC ?的角平分线, 延长AD 交ABC ?的外接圆O 于点E ,过C D E 、、三点的圆1O 交AC 的延长线于点F ，连结EF DF 、．

(1)求证：AEF ?∽FED ?；

(2) 若6,3AD DE ==, 求EF 的长；

(3) 若DF ∥BE , 试判断ABE ?的形状，并说明理由．

5．如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，A 是BDC 的中点，AE ⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且BF AD =，EM 切⊙O 于M 。 ⑴△ADC ∽△EBA ；

⑵AC 2＝1

2 BC·CE ；

⑶如果AB ＝2，EM ＝3，求cot ∠CAD 的值。

能力提高

1、如图矩形ABCD 中，过A ，B 两点的⊙O 切CD 于E ，交BC 于F ，AH ⊥BE 于H ，连结EF 。

A O

B D 1

O ?A

（1）求证：∠CEF ＝∠BAH

（2）若BC ＝2CE ＝6，求BF 的长。

2．如图，⊙O 的弦AB=10，P 是弦AB 所对优弧上的一个动点，tan ∠APB=2， (1)若△APB 为直角三角形，求PB 的长；

(2)若△APB 为等腰三角形，求△APB 的面积。

3.如图l ，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，连结EB ，过点A 作AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 交BD 于点F ．

(1)求证：OE=OF ；

(2)如图2，若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥BE 于点M ，交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE=OF ”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

图1

F M O C D

图2

4．如图11，在△ABC 中，∠ABC ＝90，AB ＝6，BC ＝8。以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，E 是BC 的中点，连接ED 并延长交BA 的延长线于点F 。

A B O P

（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）求DB 的长；

（3）求S △FAD ∶S △FDB 的值 5．

已知：□ABCD 的对角线交点为O ，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，分别沿DE 、BF 折叠四边形ABCD, A 、C 两点恰好都落在O 点处，且四边形DEBF 为菱形（如图）．

⑴求证：四边形ABCD 是矩形； ⑵在四边形ABCD 中，求BC AB

的值．

6．

如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在BA 的延长线上，CA=AO ，点D 在⊙O 上， ∠ABD=30°．