得交点为(0,c )
例：1、（2011，7，4分）已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的
是( )
A ． a >0
B ． b ＜0
C ． c ＜0
D ． a ＋b ＋c >0
练习：1、（2011威海，7，3分）二次函数2
23y x x =--的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值围是（ ）．
A ．－1＜x ＜3
B ．x ＜－1
C ． x ＞3
D ．x ＜－1或x ＞3
2、（2010，12，3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为1,12??
???
，下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac －b 2
=4a ；④a+b+c ＜0.其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
三、求抛物线的顶点、对称轴的方法
y
x
O
山东威海题图
轴下方
轴的交点在，抛物线与轴上方，轴的交点在，抛物线与x y c x y c 00<>
（1）公式法：c bx ax y ++=2
，顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a
b x 2-=.
（2）配方法：()k h x a y +-=2
的顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.
(3)利用交点式求对称轴及顶点：()()21x x x x a y --=，对称轴为2
2
1
x x x +=
例1、求下列各抛物线的顶点和对称轴： （1）532
+-=
x y x
（2）72)1(2
-=-x y （3）)9)(7(3+--=x x y
例2、2011，14，3分）抛物线y=x 2
-2x -3的顶点坐标是 .（1，－4） 四、抛物线的平移
方法1：计算机两条抛物线的顶点，由顶点判定平移情况
方法2：将函数换成顶点式．．．，用口决“（x ）左加右减，上加下减” 例1、 抛物线322++=x x y 经过怎样平移得到142
+-=x x y
例2、（20115，3分）将抛物线2
y x =-向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ） A ．2(2)y x =-+ B ．22y x =-+ C ．2(2)y x =-- D ．2
2y x =--
例3、（ 2011江津， 18，4分）将抛物线y=x 2
－2x 向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______. 练习：
1、抛物线3222++=x x y 经过怎样平移得到1422
+-=x x y
2、抛物线322++=x x y 向左平移2个单位，再向上移3个单位得到c bx x y ++=2
，求b 和c 。
3、（2011滨州，7，3分）抛物线()2
23y x =+-可以由抛物线2
y x =平移得到,则下列平移过程正确的是( )
A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位
B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位
D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 五、用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：c bx ax y ++=2
.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. (4)一般式与顶点式的变换
例：1、根据已知条件确定下列函数的解析式： （1）已知抛物线过)05(,3003，），－），（，（－
（2）已知抛物线的顶点在x 轴上，且过点（1，0）、（－2，4）； （3）已知抛物线的顶点坐标为（－2，0），过点（1，4） 例2、将换成顶点式和4222622
-+=+-=
x y x y x x
（2
92,7)2
1
(32
2
-
=-=+-x x y y ）
（） 练习：1、将换成顶点式和－473542
2
++=-=
x y x y x x
2、（2011，12，3分）将二次函数2
45y x x =-+化为2
()y x h k =-+的形式，则y =（2
(2)1y x =-+） 七、(2
c bx ax y ++=)0≠a 与一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的关系
例1、（2011台北，32）如图(十四)，将二次函数的图形画在坐标平面上，判断方程式
0899993122＝＋－x x 的两根，下列叙述何者正确？（ ）
A ．两根相异，且均为正根
B ．两根相异，且只有一个正根
C ．两根相同，且为正根
D ．两根相同，且为负根
例2、.抛物线322
--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，则AB 的长为 ，三角形ABC 的面积是 。 练习：1.已知二次函数22
－＝ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交
点的个数．（ ）
2.（2011襄阳，12，3分）已知函数12)3(2++-=x x k y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值围是（ ）
A.4
B.4≤k
C.4D.4≤k 且3≠k
3、（2011，15，6分）已知抛物线2
12
y x x c =++与x 轴有交点． (1)求c 的取值围；
(2)试确定直线y ＝cx +l 经过的象限，并说明理由．
八、二次函数的应用
1、求c b a c bx ax y ,,(2
++=是常数，)0≠a 最大值或最小值
①0>a ，函数有最小值为顶点的纵坐标，此时x 等于顶点的横坐标； ②01
??高 3、利润问题：利润＝销量?（售价－进价）－其他 4、拱桥问题
例1、（2011，10，3分）二次函数522
-+=x x y 有（ ）
A ． 最大值5-
B ． 最小值5-
C ． 最大值6-
D ． 最小值6-
例2 、一块矩形耕地大小尺寸如图所示（单位：m ），要在这块土地上沿东西方向挖一条水渠，沿南北方向挖两条水渠，
水渠的宽为x （m ），余下的可耕地面积为y （
m 2
）
。 （1） 请你写出y 与x 之间的解析式；
（2） 根据你写出的函数解析式，当水渠的宽度为1m 时，余下的可耕地面积为多少？ （3） 若余下的耕地面积为4408
m 2
，求此时水渠的宽度。
例3、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m （件）与每件的销售价x(元)满足
一次函数：m=162-3x.
（1） 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 间的函数关系式；
（2） 如果商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的定价为多少最合适？最大销售利润为多少？
练习：1、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品。据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500
千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请解答下列问题: （1） 当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
（2） 设销售单价为每千克X 元，月销售利润为Y 元，求Y 与X 的函数关系式(不必写出X 的取值围）； （3） 商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000 元，销售单价应定为多少？
3、. 如图6，一单杠高2.2m，两立柱之间的距离为1.6m，将一根绳子的两端拴于立柱与横杠结合处，绳子自然下
垂呈抛物线形状，一身高0.7m的小孩站在离左边立柱0.4m处，其头部刚好触到绳子，求绳子最低点到地面的距离。（答案：0.2m）
图6
附表.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
