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人教版数学九年级下学期期末测试卷(含答案)

人教版数学九年级下学期期末测试题

满分120分，考试时间120分钟

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分)

1．有一个铁制零件(正方体中间挖去一个圆柱形孔)如图放置，它的左视图是( C )

2．函数y ＝k x

的图象经过点(tan45°，cos60°)，则k 的值是( A )

A.12

B.32

C.34

D.32

3．如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，位似比为2∶3，已知AB ＝4，则DE 的长等于( A )

A ．6

B ．5

C ．9 D.83

第3题

4．若A(a，b)，B(a－2，c)两点均在函数y＝1

的图象上，且a

＜0，则b与c的大小关系为( B )

A．b＞c B．b＜c C．b＝c D．无法判断

5．某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为( D )

A．6米B．7米C．8.5米D．9米

第5题

6．如图所示，CD是一个平面镜，光线从A点射出经CD上的E 点反射后照射到B点，设入射角为α(入射角等于反射角)，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为点C，D.若AC＝3，BD＝6，CD＝12，则sinα的值为( C )

A.4

第6题

7．如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据(单位：cm)，计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为( B )

A．60°B．120°C．90°D．150°

第7题

8．如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°.C，D，B在同一水平线上，又知河宽CD为50米，则山高AB是( C )

A．50米B．25米C．25(3＋1)米D．75米

第8题

9．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比

例函数y＝1

(x>0)与y＝

－5

(x<0)的图象上．则tan∠BAO的值为

( B )

B. 5

第9题

10．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD ＝12m，塔影长DE＝18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为( A ) A．24m B．22m C．20m D．18m

第10题

二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，满分24分)

11．写出一个反比例函数y ＝k x (k ≠0)，使它的图象在每个象限

内，y 的值随x 值的增大而减小，这个函数的解析式为 y ＝3x

(答案不唯一) ．

12．已知sin A ＝12

，则锐角A 的度数是 30° ． 13．计算：sin60°cos30°

－tan45°的值是 0 ． 14．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距6m ，与树相距15m ，则树的高度为 7 m.

第14题

15．如图，正比例函数y＝kx(k>0)与反比例函数y＝4

的图象相

交于A，C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于 4 ．

第15题

16．如图，△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A(2，2)，B(3，4)，C(6，1)，B′(6，8)，则A′B′C′的面积为 18 ．

第16题

17．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若AD＝1，DB＝2，则△ADE的面积与△ABC的面积的比是 1∶9 ．

第17题

18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b(a≠0)的

图象与反比例函数y＝k

(k≠0)的图象交于二、四象限的A，B两点，

与x 轴交于C 点．已知A (－2，m )，B (n ，－2)，tan ∠BOC ＝25

，则此一次函数的解析式为 y ＝－x ＋3 ．

第18题

三、解答题(本大题共7小题，满分66分)

19．(8分)过反比例函数y ＝k x

(k ＞0)的图象上的一点分别作x ，y 轴的垂线段．请解决下列问题：

(1)如果垂线段与x ，y 轴所围成的矩形面积是6，求该函数的解析式；

(2)若点A (－3，m )在这个反比例函数的图象上，求m 的值．解：(1)由图象上的点(x ，y )所构成的矩形面积是6可知：|k |＝6，又因为k ＞0，图象在第一、三象限内，所以可知反比例函数的系数k ＝6，则函数的解析式是y ＝6x

. (2)点A (－3，m )在这个反比例函数的图象上，则m ＝6－3

＝－2.

20．(8分)某糖果厂想要为儿童设计一种新型的装糖果的不倒翁，

请你根据包装厂设计好的三视图(如图)的尺寸计算其容积．(球的体

积公式：V ＝43

πr 3)

解：圆锥的高为132－52

＝12(cm)，则不倒翁的容积为13π×52

×12＋12×43π×53＝100π＋250π3＝550π3

(cm 3)．

21．(9分)图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC 的顶点和O 点都在正方形的顶点上．

(1)以点O 为位似中心，在方格图中将△ABC 放大为原来的2倍，得到△A ′B ′C ′；

(2)△A ′B ′C ′绕点B ′顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A ″B ′C ″，并求边A ′B ′在旋转过程中扫过的图形面积．

解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求．

(2)如图所示，△A″B′C″即为所示．S＝90

360

π(22＋42)＝

π·20＝5π(平方单位)．

22．(9分)小明在楼顶点A处测得对面大楼楼顶点C处的仰角为52°，楼底点D处的俯角为13°.若两座楼AB与CD相距60米，求楼CD的高度约为多少米？(结果精确到0.1米，参考数据：sin13°≈0.2250，cos13°≈0.9744，tan13°≈0.2309，sin52°≈0.7880，cos52°≈0.6157，tan52°≈1.2799)

解：如图，作AE⊥CD于点E.在Rt△ACE中，CE＝60×tan52°≈60×1.2799≈76.79(米)，在Rt△ADE中，DE＝60×tan13°≈60×0.2309≈13.85(米)，∴CD＝CE＋DE≈90.6米．故楼CD的高度约为90.6米．

23．(10分)如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏西45°的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯

塔C 与观察站A 相距102海里，请你测算灯塔C 处在观察站A 的什么方向？

解：

如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D .∵灯塔B 在观察站A 北偏西45°的方向，∴∠B ＝45°.又∵BC ＝10海里，∴在Rt △BCD 中，sin B ＝CD BC ，∴CD ＝BC ·sin45°＝10×22＝52(海里)．在Rt △ACD 中，∵AC ＝102，∴sin ∠CAD ＝CD AC ＝

52102＝12，即sin ∠CAD ＝12，∴∠CAD ＝30°.∴∠CAF ＝∠BAF －∠CAD ＝45°－30°＝15°.故灯塔C 处在观察站A 北偏西15°的方向．

24．(10分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点P (－1，2)，AB ⊥x 轴于点E ，正比例函数y ＝mx

的图象与反比例函数y ＝n －3x

的图象相交于A ，P 两点． (1)求m ，n 的值与点A 的坐标；

(2)求证：△CPD ∽△AEO ；

(3)求sin ∠CDB 的值．

解：(1)∵点P (－1，2)在反比例函数y ＝n －3x 上，∴2＝n －3－1

，∴n ＝1.又∵点P (－1，2)在正比例函数y ＝mx 的图象上，∴2＝－m ，∴m ＝－2.由正比例函数y ＝－2x 与反比例函数y ＝－2x

的图象均关于原点对称，可知点A 和点P 关于原点对称．点P (－1，2)，可得A (1，－2)． (2)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴CD ∥AB ，AC ⊥BD ，∴∠DCP ＝∠OAE ，∠CPD ＝90°.又∵AB ⊥x 轴于点E ，∴∠AEO ＝90°，∴△CPD ∽△AEO . (3)∵A (1，－2)，∴OE ＝1，AE ＝2，在Rt △AEO

中，OA ＝OE 2＋AE 2＝12＋22＝5，∴sin ∠AOE ＝AE OA ＝25＝255.∵

△CPD ∽△AEO ，∴∠CDB ＝∠AOE ，∴sin ∠CDB ＝255

25．(12分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，P 为△ABC 内部一点，且∠APB ＝∠BPC ＝135°.

(1)求证：△PAB ∽△PBC ；

(2)求证：PA ＝2PC ；

(3)若点P 到三角形的边AB ，BC ，CA 的距离分别为h 1，h 2，h 3，求证h 21＝h 2·h 3.

证明：(1)在△ABP 中，∠APB ＝135°，∴∠ABP ＋∠BAP ＝45°.∵∠ABC ＝90°，AC ＝BC ，∴∠ABC ＝45°，即∠ABP ＋∠CBP ＝45°.∴∠BAP ＝∠CBP .又∵∠APB ＝∠BPC ＝135°，∴△PAB ∽△PBC . (2)方法一：由(1)知△PAB ∽△PBC ，∴PA PB ＝PB PC ＝AB BC ＝2，∴PA PC ＝PA PB ·PB PC ＝2，即PA ＝2PC .方法二：∵∠APB ＝∠BPC ＝135°，∴∠APC ＝360°－2×135°＝90°.∵∠CAP <45°，∴∠ACP >45°，∴AP >CP .如图①，在线段AP 上取一点D ，使AD ＝CP ，连接CD .∵∠CAD ＋∠PAB ＝45°，∠PBA ＋∠PAB ＝45°，∴∠CAD ＝∠PBA .又∵∠PBA ＝∠BCP ，∴∠CAD ＝∠BCP .又∵AC ＝CB ，∴△ADC ≌△CPB ，∴∠ADC ＝∠CPB ＝135°，∴∠CDP ＝45°，∴△PDC 为等腰直角三角形，∴CP ＝PD .又AD ＝CP ，

∴AD ＝DP ＝12

AP ，即PA ＝2PC . (3)如图②，过点P 分别作边AB ，BC ，CA 的垂线，垂足分别为点Q ，R ，S ，则PQ ＝h 1，PR ＝h 2，PS ＝h 3.在

Rt △CPR 中，PR CR ＝tan ∠PCR ＝tan ∠CAP ＝CP AP ＝12，∴h 2h 3＝12

，即h 3＝2h 2.又△PAB ∽△PBC ，AB BC ＝2，∴h 1h 2＝2，故h 2

1＝h 2·h 3.