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xiangkongjian相空间phase space

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用广义坐标和广义动量联合表示的多维空间。[kg2][kg2]个自由度的完整系统有个广义坐标,,…,和个广义动量,,…,;用2个变数(

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,,…,;,,…,)联合表示的空间称为该系统的相空间。一个力学系统在给定时刻的状态由相空间中的一点来表示,此点称为代表点。力学系

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统的运动可由代表点在相空间中随时间[kg2][kg2]描出的一根曲线来表示,此曲线称为相轨迹。初值条件取决于它在相空间中的起始点。对一个力学系统,一个始点只有一条相轨迹。完整系统的相轨迹的微分方程,就是正则方程,并可写成下列微分方程组:

[511-02]对于正则方程的任何第一次积分,例如动量矩积分或能量积分,都表示[kg2]2[kg2]维空间中的一个2 -1维超曲面。相轨迹是位于这些超曲面的相交空间中的一支曲线。

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对于一个自由度的力学系统,[kg2]和正好可用平面直角坐标系上的一点表示。这种图示法对于研究单自由度非线性振动和稳定性可起到形象化的作用,并对研究奇点的形式和分类起指导作用。力学中的奇点就是力学系统在相空间中的平衡点,即适合

[511-124] (=1,2,…,)的点。如果力学系统是个保守系统,它的哈密顿函数为(,),则应用正则方程,上两式可改写为:

[511-125] (=1,2,…,)。 (1)奇点的类型决定于它附近的相轨迹形状。对于一个自由度系统,相轨迹是平面曲线,奇点大致分为四种类型:焦点、结点、中心和鞍点(图1[奇点的类型])。

例如,单摆以作为广义坐标(图2[单摆]),其广义动量为:

[511-126],则哈密顿函数可写为:

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[511-127], (2)式中[kg2][kg2]是哈密顿涵数的值。对于不同的[kg2][kg2]值,可作不同轨迹(图3[相轨迹示

例])。

为求本例的奇点,可将式(2)的[kg2][kg2]代入式(1),得:

[511-128]和

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[511-129],即sin=0和=0。当=±2,=0时,奇点为涡点(或中心),如原点和点;当=±(2+1),=0时,奇

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点为鞍点,如[kg2],[kg2]等点。

参考书目

汪家编:《分析力学》,高等教育出版社,北京,1983。

L. Meirovitch, Methods of Analytical Dynamics McGraw-Hill, New York, 1970.

'" class=writer>汪家

正则变换

zhengze bianhuan正则变换canonical transformation

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由一组正则变量到另一组能保持正则形式不变的变量的变换。设某系统存在着一组广义坐标[kg1],,…,和广义动量,,…,,而变量变换式为: [580-01]式中为时间。如果变换式(1)满足[580-400],而且使系统原来的正则方程

[580-401],(=1,2,…,) 变换到以为哈密顿函数的另一组正则方程

[580-402],(=1,2,…,) (2)则式(1)称为正则变换。式(2)中的(,,)是新哈密顿函数。

根据正则方程与广义哈密顿原理的等价性,上述要求也可表述为:

[580-02](3)如果上式同时成立,其被积函数应满足

[580-03](4)式中[kg2]称为正则变换的“母函数”。由于4[kg1]个新老正则变量之间有2个变换关系

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式相联系,可在其中选出2个变量作为独立变量。假定某类正则变换可以选择(,)这2[kg1]个变量作为独立变量,则可表达为(,,)的函数,并记为。于是有:

[580-04] (5)而 [580-05]将上式代入(5)中,比较系数得:

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[580-403], (6) 式中称为“第一类的母函数”,可以按要求适当选定。选定后,可自式(6)的第一

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式解出[kg1],再自第二式算出,可由式(6)的末一式求得。这样求得的,,一定适合正则方程:

[581-404]。

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在4个新老正则变量中,如果对2个独立变量的取法不同,则母函数的形式也不同。常用的母函数有(,,),(,,),(,,),(,,)。它们之间的关系可写为:

[581-01a]

施行正则变换的目的是将正则方程变换成较易求解的方程如选择正则变换,使变换后的新哈密顿函数[886],则这种变换后的新广义坐标全部成为可遗坐标由式(2)得:

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[581-405],故=,=,式中,分别为积分常数。

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假定上述正则变换的母函数为,根据式(6)的末一式,应该有:

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[581-406]。(7) 将写成[kg1](,,),再把式(6)中的第一式代入式(7)中便得到:[581-01]这就是著名的哈密顿-雅可比方程,通过它的全积分可以找到满足上述要求的正则变换。正则变换的研究在天体力学中有广泛的应用。

参考书目

H. Goldstein, Classical Mechanics^, 2nd ed.,AddisonWesley,Reading,Massachusetts,1980.

易照华等编著:《天体力学引论》,科学出版社,北京,1978。

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..甘特马海尔著,钟奉俄、薛问西译:《分析力学讲义》,人民教育出版社,北京,1963。(..,

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,,,1960.

'" class=writer>汪家