上海大学数学分析历年考研真题
上海大学２0００年度研究生入学考试试题
数学分析
1、 设
122(1)n n x x nx y n n +++=
+,若lim n n x a →∞=，证明:(1)当a 为有限数时,lim 2
n n a
y →∞=；
（2）当a =+∞时,lim n n y →∞
=+∞.
2、设()f x 在[]0,1上有二阶导数（端点分别指左、右导数），(0)(1)0f f ==，且[]
0,1min ()1f x =-
证明：[]
0,1max ()8f x ''≥
3、 证明：黎曼函数[]1
, x= (0,,)()0,10,p q p q q q R x ?>?=???
当为互质整数在上可积当x 为无理数. 4、 证明:1
2210
()
lim (0),t tf x dx f t x π+
-→=+?其中()f x 在[]1,1-上连续.
5、 设()1ln 11n n p a n ?
?=+- ???,讨论级数2
n n a +∞
=∑的收敛性．
6、 设
()f x dx +∞
?
收敛且()f x 在[]0,+∞上单调,证明：0
1
lim ()()h n h f nh f x dx +
+∞
+∞
→==∑?．
7、 计算曲面2
2
2
2
x y z a ++=包含在曲面22
221(0)x y b a a b
+=<≤内的那部分的面积.
8、 将函数()f x x =在[]0,2π上展成Fourier 级数,并计算级数
1
sin k k
k +∞
=∑的值. 上海大学２001年度研究生入学考试试题
数学分析
1、 计算下列极限、导数和积分：
(1) 计算极限1
lim();x
x x +
→ (2) 计算
2
()()x x f t dt ?=?的导数()x ?'，其中()f x 2
,(1)
.1,(1)
t t t t ≤?
=?
+>
? (3) 已知)
211sin x x '
?=?+?
，求积分2011sin I dx x π=+?． (4) 计算()()2222
2
()0x y z t f t xyz dxdydz t ++≤=
>???的导数()f t '(只需写出()f t '的积分表达
式).
2、 设()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 上可导,若()()0f a f b >且(
)02
a b
f +=，试证明必存在(),a b ξ∈使得()0f ξ'=.
3、 令(),1y F x y y xe =+-
(1）、证明：111311,0,,;,0,,.2121221212F x x F x x ?
???????
<∈-
>∈- ? ? ???????????
(2)、证明：对任意的11,1212x ??∈- ???,方程(),0F x y >在13,22y ??
∈ ???
中存在唯一的解()y x . (3)、计算(0)y '和(0)y ''. 4、一致连续和一致收敛性
（1）、函数2
()f x x =在[]0,1上是一致连续的,对2
10ε-=,试确定0δ>，使得当
1201x x ≤<≤，且12x x δ-<时有3321210x x --<.
（2)、设[]2231
(),0,1,1,2,,2n n x f x x n n x
+=
∈=+证明: ()n f x 在[]0,1上是内闭一致收敛
的, 但不是一致收敛的．
5、曲线积分、格林公式和原函数. (1）计算第二型曲线积分()221,2L xdy ydx
I x y π-=
+?其中L 是逐段光滑的简单闭曲线,原点属
于L 围成的内部区域,(L)的定向是逆时针方向.
(2) 设(),p x y ,(),q x y 除原点外是连续的,且有连续的偏导数，若
<ａ>
()(),,0,0p q x y y x
??=≠??
()
0,L pdy qdx c +=≠?其中(L)的参数方程cos ,(02)sin x t
t y t
π=?≤≤?=? 证明:存在连续可微函数()()(),,,0,0F x y x y ≠,使得
()()2222,,,22F c y F c x
p x y q x y x x y y x y
ππ??=+=-?+?+． 上海大学2002年度研究生入学考试题
数学分析
1、 求α和β使得当x →+∞时,
等价于无穷小量x βα.
2、 求椭圆2
2
21Ax Bxy Cy ++=所围成的面积S ,其中2
0,0,,,A AC B A B C >->均为常数.
3、 试给出三角级数
01
(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞
=++∑中系数的计算公式(不必求出具体值),使得该级数在[]0,1上一致收敛到2
x ,并说明理论依据。
4、 证明
:sin ()x e x x f x x ππ?≤?=>当时
，当时函数在()-∞+∞，上一致连续
5、 设()f x 在[]0,1上有连续的导函数()f x ',(0)0f =,证明:
1
12
2
1()()2f x dx f x dx '≤?
?.
6、 证明:当x y ≤≤1,1时,有不等式2
22
2
2
()2.x y y x -≤+-
7、 设()f x 在(),a b 上连续，并且一对一，(即当()12,,,x x a b ∈且12x x ≠时有12()()f x f x ≠）,
证明: ()f x 在(),a b 上严格单调．
上海大学200３年度研究生入学考试题
数学分析
1、 证明与计算：
（１)对于任意的0a >,证明
:lim n →∞
(2)设()11
1,0,1,2,...,n n a k x k n n α
α+==>=∑,证明: lim n n x →∞存在并求之.
2、 判断下列结论是否正确，正确的请证明,错误的请举出反例. （3)存在级数
1
n
n u
∞
=∑,使得当n →+∞时， n u 不趋于0,但
1
n
n u
∞
=∑收敛.
(４）
20
sin xdx +∞
?
是收敛的.
(５) 2
1
1
lim sin 0x x e
nxdx --→∞=?
(此题只需指明理论依据)
3、 计算
(6)
3
2
2
22
,()
S
xdydz ydzdx zdxdy x y z ++++??
其中Ｓ为曲面: ()221,0z x y z -=+≥的上侧．
(７)将把()f x x =在[],ππ-上展成Fourier 级数,并由此计算2
11n
k k
=∑． 4、 证明：
(8
）设函数(,)f x y =
证明：它在()0,0上连续且有偏导数()()0,0,0,0,x y f f 但是
(,)f x y 在()0,0不可微.
(9)设函数()f x 在[]0,1上黎曼可积,证明: 2
()f x 在[]0,1上也是黎曼可积．
(10）当0x >时，证明: ()1ln 11x
x +<.
(１１)设()f x '在[]0,a 上连续，其中0a >,证明: 001(0)()()a
a f f x dx f x dx a
'≤+?? (1２)设函数(),,F u v w 有连续的偏导数,证明：曲面,,0y z x F x y z ??
= ???
上各点的切平面都交于一点,并求出交点坐标
(13)设闭曲线L: 2
2
21Ax Bxy Cy ++=,其中2
0,0,,,A AC B A B C >->均为常数．
记()11,x y 和()22,x y 分别表示曲线的最高点和最低点,证明: 120y y <. (１4）如果函数列(),1,2,...,n f x n =在[]0,1上一致收敛,证明：
{}()n f x 在[]0,1上一致有
界,即:存在0,M >使得(),n f x M ≤对[]0,1,x n ?∈?成立.(此题好象缺少条件) 进一步问,如果函数列在[]0,1上点点收敛，结论是否成立,请证明你的结论. (１5) 设函数()f x 在[0,)+∞上连续,
()g x dx +∞
?
绝对收敛,证明：
20
0lim ()()(0)()n
n x
f g x dx f g x dx n
+∞→∞=?
?
上海大学2004年度研究生入学考试题
数学分析
1、 判断数列{}n S 是否收敛,其中111,231n
n k S k k =??=
+ ?+?
?∑证明你的结论. 2、 在[]0,1区间上随机地选取无穷多个数构成一个数列{}n a ,请运用区间套定理或有限覆盖
定理证明该数列{}n a 必有收敛子列.
3、 设函数在[]0,1上连续, (0)(1)f f =，证明方程1
()()3
f x f x =+在[]0,1上一定有根. 4、 证明:达布定理：设()f x 在(),a b 上可微， ()12,,x x a b ∈,如果12()()0,f x f x ''<则在
12,x x 之间存在一点ξ,使得()0f ξ'=.
5、 给出有界函数()f x 在闭区间[],a b 上黎曼可积的定义,并举出一个[],a b 有界但是不可积
的函数的例子,并证明你给的函数不是黎曼可积的.
6、 闭区间[],a b 上的连续函数()f x ,如果积分
()()0b
a
f x x dx ?=?
对于所有具有连续一
阶导数并且()()0a b ??==的函数）（x ?都成立,证明:()f x 0=．
７、判别广义积分
dx x
x
?
+∞
sin 的收敛性和绝对收敛性，证明你的结论. ８、证明：
2
cos 1
2
20lim π
=+?
+
→dt t x t x x 9、计算:∑+∞
=++-01
1
21n n n ）
（.
10、试将函数x x f =)(在],0[π上展开成余弦级数，并由此计算:
++++++
2
22)12(151311k 11、函数列 ,2,1)(=n x f n ，,在]1,0[上连续,且对任意的),()(],1,0[x f x f x n n ??
→?∈∞
→,问)(x f 是否也在]1,0[上连续,证明你的结论．
12、设函数,3),(3
3
xy y x y x f -+=请在平面上每一点指出函数增加最快的方向，并计算出
函数在该方向的方向导数.
13、求解viviani 问题，计算球体2
2
2
2
a z y x ≤++被柱面ax y x =+2
2
所截出的那部分体积. 1４、曲线积分
?++L y x ydy
xdx 22是否与路径无关,其中曲线L 不过原点,证明你的结论.
1５、设函数)(x f 可微,若0)(2)(??
→?'++∞
→x x f x f ,证明：0)(lim =+∞
→x f x .
上海大学2005年度研究生入学考试题
数学分析
1、设函数)(x f 在）
，（∞+0内连续，,0)(lim ='+∞
→x f x 求.)
(lim x
x f x +∞
→ 2、设函数)(x f 在[]20，有二阶导数，在[]20，上，
，1)(1)(≤''≤x f x f 求证：2)(≤'x f .
3、若
dx x f ?
+∞
)(收敛，0)(lim =+∞
→x f x 一定成立吗?举例并说明理由.
4、求证:?=?
?
?
???∏=+∞→2005
)(ln 2005
1)2005(lim o
dx x f n
n
k x e
n f . 5、证明:
dx xe ax ?
+∞
-0