2015-2016学年高中数学 3.1.2复数的几何意义教案 新人教A版选修2-2

3.1.2复数的几何意义

教学建议

1.教材分析

本节通过类比的方法给出了复数与复平面上的点的对应关系,与平面向量的对应关系,为我们利用数形结合创造了条件,也为学习复数加减法的几何意义打下了基础.

重点:复数的两种几何意义及复数模的简单计算.

难点:复数与平面向量的关系.

2.主要问题及教学建议

(1)类比在本节的应用.

建议教师放手让学生大胆利用类比来掌握本节内容.复数与复平面上的点的对应实数与直角坐标平面内的点的对应,复平面内复数z=a+b i(a,b∈R)与向量对应直角坐标平面内向量与点(a,b)对应,复数z的模|z|=向量的模实数的绝对值.

(2)关于复数的模.

建议教师对复数的模稍加引申,为数形结合处理复数问题作准备,也可复习平面向量的有关知识.

备选习题

1.复数z=log2(x2-3x-3)+ilog2(x-3),设z在复平面上对应的点为Z.

(1)求证:复数z不能是纯虚数;

(2)若点Z在第三象限内,求x的取值范围;

(3)若点Z在直线x-2y+1=0上,求x的值.

解:(1)证明:(反证法)假设z为纯虚数,

则有log2(x2-3x-3)=0,x2-3x-3=1.

解得x=-1或x=4.

当x=-1时,log2(x-3)无意义;

当x=4时,log2(x-3)=0.

所以假设不成立,复数z不能是纯虚数.

(2)由题意得

解得

即当

(3)由题意得log2(x2-3x-3)-2log2(x-3)+1=0,解得x=或x=-(舍去).

即当x=时,点Z在直线x-2y+1=0上.

2.复数z的模为1,求|z-1-i|的最大值和最小值.

解:由题设|z|=1表示以原点为圆心,1为半径的圆,则|z-1-i|=|z-(1+i)|表示圆上的点到A(1,1)的距离,如图.

由于点A到原点的距离是,因此圆上的点到点A(1,1)的最大距离是+1,最小距离是-1.

因此|z-1-i|的最大值为+1,最小值为-1.

3.已知z1=x2+ i,z2=(x2+a)i对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立,试求实数a的取值范围.

解:∵|z1|=,|z2|=|x2+a|,且|z1|>|z2|,

∴>|x2+a|对x∈R恒成立等价于(1-2a)x2+(1-a2)>0恒成立.

当1-2a=0时,解得a=,

∴a=时,0·x2+>0恒成立,

当时,

解得-1

综上可得,实数a的取值范围是.

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