a 个单位得到的.
12.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？
13.求函数的定义域的常见类型记住了吗？函数y=的定义域是；
复合函数的定义域弄清了吗？函数)(x f 的定义域是[0,1],求)(log 5.0x f 的定义域. 函数)(x f 的定义域是[b a ,],,0>->a b 求函数)()()(x f x f x F -+=的定义域
14.含参的二次函数的值域、最值要记得讨论。若函数y =a sin 2x +2cos x -a -2(a ∈R )的最小值为m , 求m 的表达
15.函数及其反函数之间的一个有用的结论：设函数y=f(x)的定义域为A,值域为C,则
①若a ∈A,则a=f -1 [f(a)]; 若b ∈C,则b=f[f -1 (b)]; ②若p ∈C,求f -1 (p)就是令p=f(x),求x.(x ∈A) 即()().b f 1a b a f =?=-互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x 对称,
16.互为反函数的两个函数具有相同的单调性;原函数()x f y =在区间[]a a ,-上单调递增，则一定存在反函数，且反函数()x f y 1-=也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调．
17. 判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？ 在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数及一个偶函数的乘积是奇函数;
18.根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)可别忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法。
19.知道函数的单调区间吗？（该函数在(]a -∞-,和[)+∞,a 上单调递增；在[)0,a -和(]a ,0上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！
20.解对数函数问题时，你注意到真数及底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀.
21.对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？（b b a
b
b a n a
c c a n log log ,log log log ==） 22.还记得对数恒等式吗？（b a b a
=log ）
23.“实系数一元二次方程02=++c bx ax 有实数解”转化为“042≥-=?ac b ”，你是否注意到必须0≠a ；当a=0时，“方程有解”不能转化为042≥-=?ac b ．若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？
24.
c bx ax x f ++=2
)(,区别f(x)恒大于0，及f(x)能取大于0的全体数情况。 25.函数值的求法 （1）直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数的值域。
解：∵∴显然函数的值域是：
例2. 求函数的值域。
解：∵
故函数的值域是：
（2）配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数
的值域。 解：将函数配方得：
∵ 由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时，
故函数的值域是：[4，8]
（3）判别式法
例4. 求函数的值域。
解：原函数化为关于x 的一元二次方程
（1）当时，
解得： （2）当y=1时，，而故函数的值域为
例5. 求函数的值域。
解：两边平方整理得：
（1） ∵∴
解得：
但此时的函数的定义域由，得
由，仅保证关于x 的方程：
在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y 的实际
范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵代入方程（1）
解得：
即当时，
0x ≠0
x 1≠),0()0,(+∞-∞ x
3y -
=0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴]3,[-∞]2,1[x ,5x 2x y 2
-∈+-=4)1x (y 2
+-=]2,1[x -∈4y min =1x -=8y max =0x )1y (x )1y (2=-+-1y ≠R x ∈0)1y )(1y (4)1(2
≥----=?0x =)
x 2(x x y -+
=0y x )1y (2x 222=++-R x ∈0y 8)1y (42
≥-+=?21y 21+≤≤-0)x 2(x ≥-2x 0≤≤0≥?0y x )1y (2x 22
2=++-0≥?2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴2
1y ,0y min +==∴]
2,0[2
2
222x 41∈-+=
原函数的值域为：
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
（4） 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6. 求函数值域。
解：由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：
故所求函数的值域为：
（5） 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 例7. 求函数的值域。
解：由原函数式可得：∵∴
解得：故所求函数的值域为
例8. 求函数的值域。
解：由原函数式可得：，可化为：
即
∵∴
即解得：故函数的值域为
（6）函数单调性法 例9. 求函数的值域。
解：令
则在[2，10]上都是增函数 所以在[2，10]上是增函数当x=2时，
当x=10时，故所求函数的值域为：
例10. 求函数的值域。
解：原函数可化为： 令，显然在上为无上界的增函数
所以，在上也为无上界的增函数
]21,0[+53x ≠
0e x >1y 1<<-)1,1(-y 3x cos x sin y =-y
3)x (x sin 1y 2=β++R x ∈]1,1[)x (x sin -∈β+)10x 2(1x log 2
y 35
x ≤≤-+=-1x log y ,2y 325
x 1-==-21y ,y 21y y y +=81
12log 2y 33min =
-+=-339log 2
y 35
max =+=1x 1x y --
+=1x y ,1x y 21-=+=
21y ,y ],1[+∞1y y =2y ],1[+∞
所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值
显然，故原函数的值域为
（7） 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例11. 求函数的值域。
解：令，则
∵
又，由二次函数的性质可知 当时，当时，
故函数的值域为
例12. 求函数
的值域。
解：因即
故可令 ∴
∵
故所求函数的值域为
例13. 求函数的值域。
解：原函数可变形为：可令，则有
当时，
当时，而此时有意义。 故所求函数的值域为
例14. 求函数，的值域。
解： 令，则
21y y y +=2
0y >]2,
0(1x x y -+
=t 1x =-)0t (≥1t x 2+=43
)21t (1t t y 22+
+=++=0t ≥0t =1y min =0t →+∞→y ),1[+∞2
)1x (12x y +-++=0)1x (12≥+-1)1x (2
≤+],0[,cos 1x π∈ββ=+1
cos sin cos 11cos y 2+β+β=β-++β=2
11)4
sin(201)4
sin(22+≤+π
+β≤∴≤π+β≤-
∴]21,0[+
β=tg x β=+-β=+22
2
2cos x 1x 1,2sin x 1x 2β
-=β?β-=∴4sin 41
2cos 2sin 21y βtan )1x )(cos 1x (sin y ++=)1x )(cos 1x (sin y ++=1x cos x sin x cos x sin +++=t x cos x sin =+
高中数学必修一《集合与函数的概念》经典例题
高中数学必修一第一章《集合与函数概念》综合测 试题试题整理：周俞江 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正 确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题, 每小题5分，共60分）. 1.已知全集}5,4,3,2{},3,2,1{==B A ，则=B A I ( ) A. }{5,4,3,2,1 B.{}3,2,1 C.{}3,2 D.{}7,6,3 2. 若{{}|0,|12A x x B x x =<<=≤<，则A Y B=( ) A ． {}|0x x ≤ B ．{}|2x x ≥ C ．{0x ≤≤ D ．{}|02x x << 3 .在下列四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一函数的是（ ） A.x x y y ==,1 B ．1,112-=+?-=x y x x y C.55 ,x y x y == D ．2)(|,|x y x y == 4.函数x x x y +=的图象是（ ） 5.0≤f 不是映射的是A ．1:3f x y x ?? →= B ．1 :2 f x y x ??→= C ．1:4f x y x ??→= D ．1:6f x y x ??→= 6.函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是( )． A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 7.函数1)2(++=x k y 在实数集上是增函数，则k 的范围是（ ） A ．2-≥k B ．2-≤k C ．2->k D ．2-9.有下面四个命题： ①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称； ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )． 其中正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10.图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 11.若函数))(12()(a x x x x f -+= 为奇函数，则=a ( ) A.21 B.32 C.43 D.1 12.已知函数x x x x f 22 11)11(+-=+-，则函数)(x f 的解析式可以是（ ） A.x x 21+ B.x x 212+- C.x x 212+ D.x x 21+- 13.二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是x ＝2，则有( )． A ．f (1)＜f (2)＜f (4) B ．f (2)＜f (1)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1) D ．f (4)＜f (2)＜f (1) 14.已知函数[](]?????∈--∈-=5,2,32,13)(,2x x x x f x 则方程1)(=x f 的解是（ ） A.2或2 B.2或3 C.2或4 D.±2或4 15.函数()f x 的定义域为),(b a ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x --<，则()f x 在),(b a 上是 A ．增函数 B ．减函数
第一章-集合与函数概念教案典型例题
集合与函数概念 知识点1：集合的含义 1》元素定义：我们把研究对象称为元素；集合定义：把一些元素组成的总体叫做集合2》集合表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3》集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 典例分析 … 题型1：判断是否形成集合 例1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流； （3）非负奇数；（4）方程x2+1=0的解； （5）某校2011级新生；（6）血压很高的人； （7）著名的数学家；（8）平面直角坐标系内所有第三象限的点 … 能组成集合的是___________________。 例2：考察下列对象能形成一个集合的是____________________。 ①身材高大的人②所有的一元二次方程 ③直角坐标平面上纵横坐标相等的点④细长的矩形的全体 ⑤比2大的几个数⑥2的近似值的全体 ⑦所有的小正数⑧所有的数学难题 : 知识点2：集合元素的特征以及集合与元素之间的关系 1》集合的元素特征： ①确定性：给定一个集合，一个元素在不在这个集合中就确定了。 ②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. ， 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2}
2》元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) ①若a 是集合A 中的元素，则称a 属于集合A a ∈A ； ②若a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合A ，记作a ?A 。 注意：常见数集 ①非负整数集（或自然数集），记作N ； ②正整数集，记作N * 或N +； ③整数集，记作Z ； ④有理数集，记作Q ； ⑤实数集，记作R ； ^ 典例分析 题型1：集合中元素的互异性的考察 例1：由实数-a, a, a , a 2 , - 5 a 5 为元素组成的集合中,最多有_______个元素，分别为__________。 例2：设a,b,c 分别为非零实数，则c c b b a a y ++= 所有的值构成的集合中元素分别为______________。 # 例3：含有三个实数的集合可表示为{1,,a b a }，也可表示为{0,,2 b a a +}，则=+20142013b a _________。 例4：集合{2,1,12 --x x }中的x 不能取得值有_______个。 例5：由4,2,2 a a -组成1个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ） A 、1 B 、-2 C 、6 D 、2 ￥ 例6：以实数a ２ ，2-a.,4为元素组成一个集合A ，A 中含有2个元素，则的a 值为 . 题型2：集合与元素之间关系的考察 例1：用“∈”或“ ?”符号填空： （1）8 N ； （2）0 N ； （3）-3 Z ； （4； （5）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A 。 … 例2：给出下面四个关系: 3∈R, 0.7?Q, 0∈{0}, 0∈N,其中正确的个数是:( )
(word完整版)高中函数典型例题.doc
§ 1.2.1 函数的概念 ¤知识要点： 1. 设 A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f ：A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y = f (x) ， x A ．其中， x 叫自变量， x 的取值范 围 A 叫作定义域，与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的集合 { f ( x) | x A} 叫值域 . 2. 设 a 、b 是两个实数，且 a 高中函数部分知识点及典型例题分析
智立方教育高一函数知识点及典型例题 一、函数的概念与表示 1、映射 （1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B. 注意点：（1）对映射定义的理解.（2）判断一个对应是映射的方法.一对多不是映射，多对一是映射2、函数 构成函数概念的三要素①定义域;②对应法则;③值域. 两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同 例1、例2、}3 0| { }, 2 0| {≤ ≤ = ≤ ≤ =y y N x x M给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ C ） A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个 由题意知：M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤3}， 对于图①中，在集合M中区间（1，2]的元素没有象，比如f（ 3 2 ）的值就不存在，所以图①不符合题意； 对于图②中，对于M中任意一个元素，N中有唯一元素与之对应，符合函数的对应法则，故②正确； 对于图③中，对于M中任意一个元素，N中有唯一元素与之对应，且这种对应是一一对应，故③正确； 对于图④中，集合M的一个元素对应N中的两个元素．比如当x=1时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义，故④不正确 x x x x 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 y y y y 3 O O O O
二、函数的解析式与定义域 1、求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零； （4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1； 例1、y = 函数的定义域为 根号下的数必须为正数，又当底数为大于0小于1的数时，只有当真数大于0小于1时，才能保证根号下的数为正数。所以让0<4X 的平方-3X<1，解0<4X 的平方-3X 得X<0或3/4b=1 f(x)=(1-2^x)/(a+2^(x+1)) 又由f （1）= -f （-1）知a=2 （Ⅱ）解由（Ⅰ）知f(x)=(1-2^x)/(2+2^(x+1))=-1/2+1/(2^x+1) ，易知f(x) 在 正负无穷上为减函数。又因 f(x)是奇函数，从而不等式：f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0 等价于f(t^2-2t)<-f(2t^2-k)=f(k-2t^2) ，因f(x) 为减函数，由上式推得：t^2-2t>k-2t^2 ．即对一切t ∈R 有：3t^2-2t-k>0 ，从而判别式=4+12k<0 ==>k<-1/3
高中数学典型例题解析(第一章集合与常用逻辑用语)
第一章 集合与常用逻辑用语 §1.1 集合的概念与运算 一、知识导学 1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合. 2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元. 3.子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（若A a ?则B a ∈），则称 集合A 为集合B 的子集，记为A ?B 或B ?A ；如果A ?B ，并且A ≠B ，这时集合A 称为集合B 的真子集，记为A B 或B A. 4.集合的相等：如果集合A 、B 同时满足A ?B 、B ?A ，则A=B. 5.补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记 为 A C s . 6.全集：如果集合S 包含所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常 记作U. 7.交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集， 记作A ?B. 8.并集：一般地，由所有属于集合A 或者属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并 集，记作A ?B. 9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作Φ. 10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集. 11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集. 12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）. 13.常用数集的记法：自然数集记作N ，正整数集记作N +或N *，整数集记作Z ，有理数集记作Q ，实数集记作R . 二、疑难知识导析 1.符号?，，?，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“?”包括“”和“=”两种情况，同样“?”包括“”和“=”两种情况.符号∈，?表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别. 2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”. 3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质. 4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式 中，B =Φ易漏掉的情况. 5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之. 6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.
北京名校数学(人教A)必修1【知识讲解】第一章 集合与函数综合
第一章集合与函数 【学习目标】 1.集合 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （3）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （4）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 2.函数 (1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用. (2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； (3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用； （4）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；集合具体函数了解奇偶性的含义； （5）能运用函数的图象理解和研究函数的性质. 【知识网络】
【要点梳理】 一、集合 1．集合含义与表示 （1）某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集．其中每个对象叫做元素．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性． （2）集合常用的表示方法有：列举法、描述法、图示法．它们各有优点，要根据具体需要选择恰当的方法． 2．集合间的关系
（1）若集合中A 的任何元素都是集合B 的元素，则称集合A 是集合B 的子集，记为“A ?B ”或“B ?A ”． （2）若A ?B ，且B 中至少存在一个元素不是A 的元素，则A 是B 的真子集，记为“A B ”或“B A ”． （3）若两个集合的元素完全一样，则这两个集合相等，记为“A=B ”．判断集合相等还可以用下面两种方法：A B ?且A B ??A=B ；A B A B A B =?=． 要点诠释： 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．换言之，任何集合至少有一个子集． 3．集合的基本运算 （1）由所有属于集合A 或属于集合B 的元素构成的集合，叫A 与B 的并集，记作“A ∪B ”．用数学语言表示为A ∪B={x|x ∈A ，且x ∈B}． （2）由所有属于集合A 且属于集合B 的元素构成的集合，叫A 与B 的交集，记作“A ∩B ”．用数学语言表示为A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}． （3）若已知全集U ，A 是U 的子集，则由所有U 中不属于A 的元素构成的集合称为集合A 在U 中的补集．记作“ U A ”．用数学语言表示为{,}U A x U x A =∈?且． 要点诠释： A B A A B =??；A B A A B =??． 二、函数及其表示 1．两个函数相等的条件 用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等． 2．函数的常用表示方法 函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 3．映射 设A 、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x （原象），在集合B 中都有唯一确定的元素()f x （象）与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函
(完整版)高中数学必修一第一章《集合与函数的概念》经典例题
高中数学必修一第一章《集合与函数概念》综合测 试题试题整理：周俞江 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正 确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题, 每小题5分，共60分）. 1.已知全集}5,4,3,2{},3,2,1{==B A ，则= B A I ( ) A.}{5,4,3,2,1 B.{}3,2,1 C.{}3,2 D.{}7,6,3 2.若 {} {}|02,|12A x x B x x =<<=≤<，则A Y B=( ) A ．{}|0x x ≤ B ．{}|2x x ≥ C ． {}02x ≤≤ D ．{}|02x x << 3 .在下列四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一函数的是（ ） A. x x y y = =,1 B ．1,112 -=+?-=x y x x y C. 55 ,x y x y == D ． 2)(|,|x y x y == 4.函数 x x x y + =的图象是（ ） A B C D 5.设集合{} 06A x x =≤≤，{} 02B y y =≤≤.从A 到B 的对应法则f 不是映射的是（ ） A ．1:3f x y x ?? →= B ．1:2f x y x ??→= C ．1:4f x y x ?? →= D ．1:6f x y x ??→= 6.函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是( )． O y x O y x O y x O y x -1 1 1 -1 -1 -1 1 1
A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 7.函数1)2(++=x k y 在实数集上是增函数，则k 的范围是（ ） A ．2-≥k B ．2-≤k C ．2->k D ．2-第一章集合与函数的概念
1.1.1集合的含义与表示 1、集合的概念 （1）集合：某些指定的对象组成的整体叫做集合（简称集）。 （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。 例题：1）、设a,b 是非零实数，那么 b b a a +可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__ 2、常用数集及记法 （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R 插入概念记忆复习 3、元素对于集合的隶属关系 （1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ? 4、集合中元素的特性 （1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里， 或者不在，不能模棱两可 （2）互异性：集合中的元素没有重复 （3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出） 5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q …… 元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q …… ⑵“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写 例如：下列各组对象能确定一个集合吗？
（1）好心的人 （不确定） （2）1，2，2，3，4，5．（有重复） （二）集合的表示方法 1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合 例如，1）由方程012 =-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1} 注：（1）有些集合亦可如下表示： 从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53， (100) 所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…} （2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只 有一个元素 2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条 件写在大括号内表示集合的方法 格式：{x ∈A| P （x ）} 含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合 例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：{ x ∈R| x>5} 所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x 注：（1）在不致混淆的情况下，可以x ∈R 或者x ∈Z 可以省略，只写其元素x 或者Z ； 如上式可表达为{ x | x>5} 3、何时用列举法？何时用描述法？ ⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法 如：集合},5,23,{2 232y x x y x x +-+ ⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出 来，常用描述法 如：集合}1|),{(2+=x y y x ；集合{1000以内的质数} 例题：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？ 答：不是}1|),{(2+=x y y x 是抛物线12 +=x y 上所有的点构成的集合，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12 +=x y 的所有函数值构成的数集。
函数的概念及相关典型例题
函数的概念及相关典型例题 一、知识点 1、函数的定义：给定两个非空数集A 和B ，如果按照某个对应关系f ， 对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都存在唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就把对应关系f 叫做定义在集合A 上的函数，记作B A f →:，或)(x f y =， x ∈A 。习惯上我们称y 是x 的函数。 2、函数的三要素： 、定义域：x 取值的集合A 叫做函数的定义域，也就是自变量 x 的取值 范围； 、对应关系（对应法则）：对应关系f 是核心，它是对自变量x 进行“操作”的“程序”，是连接x 与y 的纽带。 、值域：就是函数值的集合，{}A x x f ∈|)(。 A B B A f →: 对应关系 定义域A 值域{}A x x f ∈|)( 3、常见函数的定义域和值域 ．一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; ．反比例函x k x f = )()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠y y ; ．二次函数c bx ax x f ++=2 )()0(≠a :定义域R x )(x f
值域：当0>a 时，??????-≥a b ac y y 44|2；当0a ，x ≤b ，x(完整word版)集合与函数概念单元测试题经典(含答案).docx
没有等出来的美丽只有拼出来的辉煌 第一章集合与函数概念测试题 一：选择题 1、下列集合中与集合{ x x2k1, k N } 不相等的是（） A ．{ x x2k3,k N}B．{ x x4k1, k N } C．{ x x2k1, k N}D．{ x x2k3, k3,k Z} 2、图中阴影部分所表示的集合是（） A.B ∩［ C U (A ∪C)］ B.(A ∪ B)∪ (B∪ C) C.(A ∪ C)∩ (C U B) D. ［ C U(A ∩C) ］∪ B 3、已知集合A{ y y x21} ，集合 B{ x y22x6} ，则 A B（） A ．{( x, y) x 1, y 2}B．{ x 1 x 3}C．{ x 1 x 3}D． 4、已知集合A{ x x240} ，集合 B{ x ax1} ，若 B A ，则实数a的值是（） A ．0 1 C．0或 11 B． 2 D．0或22 5、已知集合 A{1,2,3, a}， B 2 ，则使得 ( C U) B 成立的 a 的值的个数为（）{3, a }A A ．2B．3C．4 D ．5 6、设A、B为两个非空集合，定义A B{( a,b) a A,b B} ，若A}32,1{，B {2,3,4}，则 A B 中的元素个数为（） A ．3 B ．7C．9D．12 7、已知 A 、B 两地相距 150千米，某人开汽车以60 千米 /小时的速度从 A 地到达 B 地，在 B 地停留 1小时后再以 50千米 /小时的速度返回 A 地，把汽车离开 A 地的距离 x 表示为时间 t（小时）的函数表达式是（） A ． x=60t B． x=60t+50 60t ,(0t 2.5)60t,(0t 2.5) D ．x= 150,(2.5t 3.5) C． x= 3.5) 150 50t ,(t 15050(t 3.5), (3.5 t 6.5) 8、已知 g(x)=1-2x,f[g(x)]=1 x 2 0) ,则f( 1 （）x 2 (x)等于 2 A ． 1B． 3C． 15 D ． 30 9、函数 y=1x 29是（） 1x
高中函数典型例题
§1.2.1 函数的概念 ¤知识要点： 1. 设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=() f x，x A ∈．其中，x叫自变量，x的取值范 围A叫作定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{()|} f x x A ∈叫值域. 2. 设a、b是两个实数，且a=+∞，{|}[,) x x a a ≥=+∞，{|}(,) x x b b <=-∞，{|}(,] x x b b ≤=-∞，(,) R=-∞+∞. 3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数. ¤例题精讲： 【例1】求下列函数的定义域：（1）1 21 y x = +- ；（2 ）y=. 解：（1）由210 x+-≠，解得1 x≠-且3 x≠-， 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,) -∞----+∞ . （2 ）由30 20 x-≥ ?? ≠ ，解得3 x≥且9 x≠， 所以原函数定义域为[3,9)(9,) +∞ . 【例2】已知函数1() 1 x f x x - = + . 求：（1）(2) f的值；（2）() f x的表达式 解：（1）由12 1 x x - = + ，解得1 3 x=-，所以1 (2) 3 f=-. （2）设1 1 x t x - = + ，解得1 1 t x t - = + ，所以1 () 1 t f t t - = + ，即1 () 1 x f x x - = + . 点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等. 【例3】已知函数2 2 (), 1 x f x x R x =∈ + .（1）求1 ()() f x f x +的值；（2）计算： 111 (1)(2)(3)(4)()()() 234 f f f f f f f ++++++. 解：（1）由222 2 2222 2 1 111 ()()1 1 1111 1 x x x x f x f x x x x x x + +=+=+== ++++ + . （2）原式11117 (1)((2)())((3)())((4)())3 23422 f f f f f f f =++++++=+= 点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答
【高考数学】集合与函数典型例题整合15页word
概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 一、集合与简易逻辑 一．集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如 （1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个。 （答：8） （2）设{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，{(,)|20}A x y x y m =-+>，{(,)|B x y x y n =+-0}≤，那么点)()3,2(B C A P u I ∈的充要条件是________ （答：5,1<->n m ）； （3）非空集合}5,4,3,2,1{?S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有_____个 （答：7） 二．遇到A B =?I 时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?；同样当A B ?时，你是否忘 记?=A 的情形？要注意到?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如 集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B =U ，则实数a ＝___. （答：1 0,1,2 a =） 三．对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 ，n 2，12-n ，12-n .22-n 如 满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。 （答：7） 四．集合的运算性质： 如：设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A I ，}4{)(=B A C U I ，}5,1{)()(=B C A C U U I ， 则A ＝_____，B ＝___. （答：{2,3}A =，{2,4}B =） 五．研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，如 （1）设集合{|M x y ==，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则M N =I ___ （答：[4,)+∞）； （2）设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈r r ，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+r r ，}R λ∈，则=N M I _____ （答：)}2,2{(--） 六．数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如： 已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ，求实数p 的取值范围。 （答：3 (3,)2 -） 七.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如： 在下列说法中：⑴“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件； ⑵“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件；
集合与函数章节复习精选
集合与函数章节复习 一、集合： （一）知识 1.集合 （1）集合元素的3个性质——互异、确定、无序。 （2）集合的3种表示方法——列举、描述、图示。 （3）元素与集合间的关系————属于或不属于。 2.子集 （1）定义：A B B A B x A x ??∈?∈或则对于任意, （2) 性质: 若A B B C ??，，则A C ? (3)有限集A 有n 个元素，A 的子集有2n 个 (4)两个集合相等的概念. B A A B B A =??，则且 3.空集 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集. 4.集合的运算 （1.）定义：交集：{|A B x x A =∈且}x B ∈； 并集：{|A B x x A =∈或}x B ∈； 补集：若B U ?,则{|U C B x x U =∈且}x B ?； （2）性质：,A A A ?=??=,,A A A A A A ==； ,,.A A B A B A A B A B ??? A B A A B =??．A B A A B =??； ()()()U U U C A B C A C B =，()()()U U U C A B C A C B = （二）方法与思想： 1.解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么，即元素分析意识； 2.能化简的要先化简，即化简的意识； 3.抓住集合中元素的性质，对互异性要注意检验，即检验的意识； 4、求交集、并集、补集，要充分发挥数轴、坐标系或文氏图的作用，即数形结合的意识； 5、含参数的问题，要有分类讨论的意识，分类讨论时要防止丢掉空集； 6、善于把集合语言与方程、不等式、函数、曲线进行语言 “互译”的能力。 （三）典型例题 1. 已知集合A=｛2，8，a ｝, B=｛2，a 2-3a+4｝,又A B ，求a 的值。(解：a= -1或4) 2. 已知{1,a,b}={a,a 2,ab},求实数a,b 的值. （答案：a=-1，b=0） 3. 设A={x|x 2-5x+q=0},B={x|x 2-px+15=0},A∩B={3}.则P =________, q =________. A∪B=_________ （答案：P=8,q=6,A∪B={2,3,5}） 4. 设U=R,A={x|-16} C U B={x|x<2或x ≥5} C A B={x|-1高中函数部分知识点及典型例题分析
智立方教育高一函数知识点及典型例题 一、函数的概念与表示 1、映射 （1）映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种映射法则f ，对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A→B. 注意点：（1）对映射定义的理解.（2）判断一个对应是映射的方法.一对多不是映射，多对一是映射 2、函数 构成函数概念的三要素 ①定义域;②对应法则;③值域. 两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同 例1 、 例2、}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ C ） A 、 0个 B 、 1个 C 、 2个 D 、3个 由题意知：M={x|0≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤3}， 对于图①中，在集合M 中区间（1，2]内的元素没有象，比如f （ 3 2 ）的值就不存在，所以图①不符合题意； 对于图②中，对于M 中任意一个元素，N 中有唯一元素与之对应，符合函数的对应法则，故②正确； 对于图③中，对于M 中任意一个元素，N 中有唯一元素与之对应，且这种对应是一一对应，故③正确； 对于图④中，集合M 的一个元素对应N 中的两个元素．比如当x=1时，有两个y 值与之对应，不符合函数的定义，故④不正确 x x x x 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 y y y y 3 O O O O
二、函数的解析式与定义域 1、求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零； （4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1； 例1、20.5log (43)y x x = -函数的定义域为 根号下的数必须为正数，又当底数为大于0小于1的数时，只有当真数大于0小于1时，才能保证根号下的数为正数。所以让0<4X 的平方-3X<1，解0<4X 的平方-3X 得X<0或3/4b=1 f(x)=(1-2^x)/(a+2^(x+1)) 又由f （1）= -f （-1）知a=2 （Ⅱ）解由（Ⅰ）知f(x)=(1-2^x)/(2+2^(x+1))=-1/2+1/(2^x+1) ，易知f(x) 在 正负无穷上为减函数。又因 f(x)是奇函数，从而不等式：f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0 等价于f(t^2-2t)<-f(2t^2-k)=f(k-2t^2) ，因f(x) 为减函数，由上式推得：t^2-2t>k-2t^2 ．即对一切t ∈R 有：3t^2-2t-k>0 ，从而判别式=4+12k<0 ==>k<-1/3
