机械优化设计之数学模型及其实例 (1)

机械优化设计之数学模型及其实例

摘要：数学建模的思想就是用数学的思路、方法去解决实际生产、生活当中所遇到的问题。古今中外几乎一切应用科学的基础都是数学建模，凡是要用数学解决的实际问题也都是通过数学建模的过程来实现的。尤其到了20世纪中叶计算机和其他技术突飞猛进的发展，给数学建模以极大的推动，通过数学建模也极大地扩大了数学的应用范围。人们越来越认识到数学建模的重要性。曾经有位外国学者说过：“一切科学和工程技术人员的教育必须包括数学和计算数学的更多内容。数学建模……

以机械专业知识为背景，用“数学建模”的思想方法去分析解决案例中提出的问题，在数学知识与机械专业知识间架起沟通的桥梁。最优化技术在机械设计领域的移植和应用,是根据机械设计的理论,方法和标准规范等建立一反映工程设计问题和符合数学规划要求的数学模型,采用数学规划方法和计算机计算技术自动找出设计问题的最优方案.本文介绍了数学模型的概念，分析了其建模方法，并通过减速器的优化问题，突出了数学模型在机械优化设计中的应用以及未来的发展。

关键词：数学模型；建模；减速器优化

前言

通过本文的介绍，了解优化设计数学模型的建立、应用、及其发展。总的来说，运用数学模型进行优化设计就两方面，一是将机械设计实际问题数学化；二是应用最优化计算方法的程序在计算机上求解这个数学模型。毋庸置疑，数学模型应用于优化设计对提高设计质量，缩短研发周期起到非常关键的作用，有着广阔的应用前景，必将成为产品设计的必要步骤和标准环节。

1 优化设计数学模型概述

优化设计主要包括两个方面:一是如何将设计问题转化为确切反映问题实质并适合于优化计算的数学模型,建立数学模型包括:选取适当的设计变量,建立优化问题的目标函数和约束条件。目标函数是设计问题所要求的最优指标与设计变量之间的函数关系式,约束条件反映的是设计变量取得范围和相互之间的关系;二是如何求得该数学模型的最优解:可归结为在给定的条件下求目标函数的极值或最优值的问题。

对数学模型的要求：

（1）数学模型要能在满足各种限制条件下准确和可靠地说明设计问题所要实现的目标，计算过程稳定，计算结果可靠，从而实现设计方案。

（2）所建立的数学模型要与当前计算机软硬件发展水平相适应，在算法上容易处理。

2 机械优化设计三要素

2.1 设计变量的选择

设计变量是可能影响设计质量和设计结果的可变参数,在机械优化设计中, 设计变量是标志各零、部件的结构参数、尺寸大小的用来绘制结构图的各种设计

参数, 是优化设计的最直接、最有价值的内容。因此,合理选择一定数量的设计变量不仅影响到模型的规模和建模的难度,也直接关系到优化结果能否令人满意,一般应遵循如下原则:

（1）抓主要, 舍次要

对性能和结构影响较大的参数建议选为设计变量,对设计目标影响甚微的某些参数甚至可以不予考虑。

（2）注意区分独立变量和相关变量

所谓独立变量是指在边界约束范围内和模型中其取值不受其它变量取值变化的影响的参数,即具有相对独立性的变量。在工程实际问题中,有些参数的取值受到其它参数的影响或相互之间存在一定影响,这些参数称为相关变量。

（3）不要漏掉必要的设计变量

由于借助于计算机自动计算的优化设计方法作为一种高效率的现代设计方法,在数学建模时,就要求对影响设计要求的各种因素通盘考虑、统一规划,不漏掉必要的设计变量,这样才能得到高质量的成功的优化结果。

2.2 目标函数的建立

目标函数是以设计变量表示设计所要追求的某种性能指标的解析表达式, 目标函数的构造与选择, 关系到优化结果的实用性,从不同角度出发或根据设计对象和要求的不同, 可能有若干个目标函数可供选择,在实际的优化设计中, 应根据所设计机械系统和结构的具体性质和应用场合,从若干个候选条件中筛选出最合理的标准作为目标函数。

2.3 约束条件的确定

在机械设计领域, 设计的限制是多种多样的,但一般都归属于两大类,第一类称为性态约束,是预测可能被破坏或失效的特征；第二类称为边界约束,用来规定设计变量的取值范围。不论是哪一类的约束条件,为了能定量处理,都必须是可

计算的函数。在确定约束函数时应特别注意以下几点:

(1) 避免出现矛盾约束

各种约束构成的可行域,优化模型一旦形成,求解的任务就是在可行域内寻找最优解,若有矛盾约束,很有可能使可行域成为空集。

(2) 避免可行域无界

一般说来,可行域应是n 维空间中的闭域,如图所示在可行域为开域(无界)时,若目标函数值向无界方向下降,且趋于∞,就不可能找到极值点。

(3)尽量避免等价约束和相关约束

在建立较为复杂的模型时, 往往出于工程上的保险考虑,总力图加入尽量多的约束,以保证不出现难以预料和实施的优化结果。另一种是相关约束, 即一个约束是其它几个约束的某种组合,也导致不必要的约束增多,使广义函数的性态变差,从而收敛困难。

(4)不能漏掉必须的约束

剔除多余约束的前提是要对约束是否多余有充分的把握,否则不要轻易这样做,必须的约束不能遗漏。

2.4 优化结果的处理与分析

在优化设计中,建立正确的数学模型和选用适当的优化方法固然是取得正确设计结果的先决条件,但绝非充要条件。由于工程问题的复杂性, 在优化求解后,还必须依据初始数据、中间结果和最终结果进行认真对比、分析, 以查明优化计算过程是否正常和最终结果是否具有合理性和可行性。如有错误, 可尝试改变初始点甚至重新选择优化方法重新进行计算。在机械优化设计的实际应用中,其最后的分析与处理,常常是不容忽视的,特别是对设计变量的敏感度分析对进一步提高工程优化设计的质量很有意义。

3数学模型优化设计实例

3.1 优化设计的优势

减速器在现代机械领域得到广泛应用，对其进行优化设计，具有可观的经济效益。但是，此类优化模型具有高维、线性非凸、多约束及多峰值等特点，对此类问题，传统优化方法优化结果严重依赖于所选初始解，当初始解选择不当时，优化过程易陷入局部最优解；需要对变量进行微分操作运算，计算量大，求解效率低，而且无法求解多元约束下的优化问题；迭代运算时迭代次数很大，收敛速度慢，不能同时保证计算精度和计算效率，优化结果不理想。

因此，应用数学建模方法对其进行设计，在不改变原来转动零件的材质、传动比、输入功率和转速等条件下，根据可靠度要求优选出一组最佳齿轮啮合参数，从而使标准系列的减速机的体积最小，成本最低，工作可靠度达到预定要求。该模型提出的减速机的概率设计方法为通用模式，只要输入设计要求的原始数据，就能较快地计算出减速机主要零件的最佳参数。

3.2 数学模型建立及优化过程

（1）接触承载能力

一对变位齿轮传动的接触承载能力可用只与啮合参数有关的接触承载能力系数φ表示，其函数形式为： βαα?cos )1(tan cos 2.02'32+=u K u a v t

t

式中：α′—啮合中心距；u —齿数比；β—分度圆螺旋角；αt —端面压力角；

αt ′—端面啮合角；KV —动载系数；V —齿轮圆周速度；Z1—小齿轮齿数。 由上式可知，齿轮的接触承载能力系数φ仅与u 、β、αt ′有关，当啮合中心距α′和模数m 已定时，端面啮合角αt ′的表达式为： t t t y z z z z ααcos 2cos 212

1'+++=

式中：Kt —中心距分离系数。

（2）设计变量的确定

将影响齿轮接触承载能力系数的独立参数列为设计变量，即：

[][]T t t T y y u x x x x x 2114321;;;;;;β== 式中：u1—高速级的齿数比；yt1、yt2分别为高速和低速级齿轮传动的中心距分离系数

（3）目标函数的确定

该问题要求提高高速级和低速级齿轮传动的承载能力，同时要求两级传动达到等强度，所以这是一个具有三个指标的多目标函数问题。可以将高速级和低速级齿轮传动的承载能力系数转化为第一、二个分目标函数f1(x)、f2(x)。用中间轴上两个齿轮所允许传递转矩差的相对值最小来建立等强度条件f3(x)，采用线性组合法将三个分目标函数综合成统一的目标函数。采用线性组合法将三个分目标函数综合成统一的目标函数围：

)()()()(332211x f x f x f x f ωωω++=

（4）约束条件确定

保证轴的重合度和螺旋角不大于15°；高速机和低速级齿数比分配由润滑条件决定；限制低速级大齿轮直径，使其不超过原箱体，且满足中心距要求。

综上所述，二级齿轮减速器的设计可以变为一个有四个设计变量、八个不等式约束、三个分目标函数的多目标数学模型，应用matlab 软件，对任意参数，只要输入进去，便可得出减速器设计时所要的最优解。

4 数学建模的一般方法:

4.1 机理分析

机理分析就是根据对现实对象特性的认识,分析其因果关系,找出反映内部机理

的规律,所建立的模型常有明确的物理或现实意义.

(1) 比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法.

(2) 代数方法--求解离散问题(离散的数据,符号,图形)的主要方法.

(3) 逻辑方法--是数学理论研究的重要方法,对社会学和经济学等领域的实际

问题,在决策,对策等学科中得到广泛应用.

(4) 常微分方程--解决两个变量之间的变化规律,关键是建立"瞬时变化率"

的表达式.

(5) 偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律.

4.2 测试分析方法

测试分析方法就是将研究对象视为一个"黑箱"系统,内部机理无法直接寻求,通过测量系统的输入输出数据,并以此为基础运用统计分析方法,按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型.

(1) 回归分析法--用于对函数f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法.

(2) 时序分析法--处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法.

(3) 回归分析法--用于对函数f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法.

(4) 时序分析法--处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法.

将这两种方法结合起来使用,即用机理分析方法建立模型的结构,用系统测试方法来确定模型的参数,也是常用的建模方法, 在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定.机理分析法建模的具体步骤大致可见左图.

4.3 仿真和其他方法

(1) 计算机仿真(模拟)--实质上是统计估计方法,等效于抽样试验.

a）离散系统仿真--有一组状态变量.

b）连续系统仿真--有解析表达式或系统结构图.

(2) 因子试验法--在系统上作局部试验,再根据试验结果进行不断分析修改,求得所需的模型结构.

(3) 人工现实法--基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标,并考虑到系统有关因素的可能变化,人为地组成一个系统.

参考文献:

[1] 倪洪启.现代机械设计方法[M].化学工业出版社,2008.

[2] 姜启源.数学模型[M].高等教育出版社,2009.

[3] 孙靖民，梁迎春.机械优化设计[M].北京：机械工业出版社,2011.

[4] 陈秀宁.机械优化设计[M].长沙：浙江大学出版社,2002.

[5] 王文博.机构和机械零部件优化设计[M].北京：机械工业出版社,2005.

[6] 董立立，赵益萍.机械优化设计理论方法研究综述[M].机械工业出版社,2010.