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§5[1].1函数⑴

山阳中心初中2008-2009学年度第二学期

七年级数学教学案

、下面是用棋子摆成的“上”字：

第一个“上”字第二个“上”字第三个“上”字如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：）第四、第五个“上”字分别需用和枚棋子；

个“上”字需用枚棋子．

教案正弦型函数的图像和性质

教案正弦型函数的图像和性质 1．,,A ω?的物理意义当sin()y A x ω?=+，[0,)x ∈+∞（其中0A >，0ω>）表示一个振动量时，A 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间2T π ω = 称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数12f T ω π = = ，称为振动的频率。x ω?+称为相位，0x =时的相位?称为初相。 2．图象的变换例：画出函数3sin(2)3 y x π =+的简图。解：函数的周期为22 T π π= =，先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简图，再函数3sin(2)3 y x π =+ 的图象可看作由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所有点向左平移 3 π 个单位，得到sin()3y x π=+的图象上；②再把图象上所点的横坐标缩短到原来的12，得到sin(2)3 y x π =+的图象；③再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin(2)3 y x π =+的图象。 x y O π 3 π- 6 π- 53 π 2π sin(3 y x π =+ sin(2)3 y x π =+ sin y x = 3sin(23 y x π =+

一般地，函数sin()y A x ω?=+，x R ∈的图象（其中0A >，0ω>）的图象，可看作由下面的方法得到： ①把正弦曲线上所有点向左（当0?>时）或向右（当0?<时）平行移动||?个单位长度； ②再把所得各点横坐标缩短（当1ω>时）或伸长（当01ω<<时）到原来的 1 ω 倍（纵坐标不变）； ③再把所得各点的纵坐标伸长（当1A >时）或缩短（当01A <<时）到原来的A 倍（横坐标不变）。即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。问题：以上步骤能否变换次序？ ∵3sin(2)3sin 2()36y x x π π=+ =+，所以，函数3sin(2)3 y x π =+的图象还可看作由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，得到函数sin 2y x =的图象； ②再把函数sin 2y x =图象上所有点向左平移6 π 个单位，得到函数sin 2()6y x π=+的图象； ③再把函数sin2()6y x π =+的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin 2() 6 y x π=+的图象。 3.实际应用例1：已知函数sin()y A x ω?=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图所示，求函数的一个解析式。又∵0A > ，∴A = 由图知 52632 T πππ=-= ∴2T π πω ==，∴2ω=，又∵157()23612 πππ+=， ∴图象上最高点为7( 12 π ， ∴7)12π?=?+，即7sin()16π?+=，可取23 π?=-，所以，函数的一个解析式为2)3 y x π =-． 2．由已知条件求解析式例2：已知函数cos()y A x ω?=+（0A >，0ω>，0?π<<）的最小值是5-，图x 3 3 π 56 π 3 O

人教版高一数学必修一第一章集合与函数概念知识点

高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

正整数指数函数

正整数指数函数【学习目标】 1.了解正整数指数函数的概念、能画出一些简单的正整数指数函数的图像，了解它们的特征； 2. 通过自主探索，让学生经历“特殊→一般→特殊”的认知过程，完善认知结构，领会数形结合、分类讨论等数学思想方法； 3. 感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，体会数学的理性、严谨及数与形的和谐统一美。【学习重点】正整数指数函数的定义及正整数指数函数的解析式的确定【学习难点】具体的正整数指数函数图像的特征及单调性【课前预习案】一、预习问题设置 1.阅读课本第61～62页内容，勾画重点，找出疑惑之处，理解什么是正整数指数函数，然后完成自主学习部分，并尝试完成合作探究中的内容； 2.课本中两个问题所得的函数有没有共同点?你能统一吗?自变量的取值范围又是什么?这样的函数图像又是什么样的?完成下列内容: 一般地,函数__________________________________叫作正整数指数函数,其中_________是自变量,定义域是__________________．对正整数指数函数概念的理解，需注意以下几点： (1) 在定义域内，当底数1>a 时，函数 )(+∈=N x a y x 为增函数；当底数_________时，函数 )(+∈=N x a y x 为减函数；如函数)(2+∈=N x y x 为增函数，函数 )(9975.0+∈=N t y t 为减函数； (2) 正整数指数函数 )(+∈=N x a y x 形式的严格性： x a 的系数必须是______,自变量为x,且x 在____位置上；否则就不是正整数指数函数，如 ),1,0(),1,0(21+++∈≠>=∈≠>=N x a a a y N x a a a y x x ，且，且 )1,0(1+∈≠>+=N x a a a y x ，且都不是正整数指数函数。 (3) 正整数指数函数的图像是第一象限内的一些孤立的点。二、预习自测

2012年高考第一轮复习数学：13.4 函数的连续性及极限的应用

13.4 函数的连续性及极限的应用 ●知识梳理 1.函数的连续性. 一般地，函数f （x ）在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件：（1）函数f （x ）在点x =x 0处有定义；（2）0lim x x →f （x ）存在；（3）0 lim x x →f （x ）=f （x 0）.如果函数y =f （x ）在点x =x 0处及其附近有定义，而且0 lim x x →f （x ）=f （x 0）,就说函数f （x ）在点x 0处连续. 2.如果f （x ）是闭区间［a ,b ］上的连续函数，那么f （x ）在闭区间［a ,b ］上有最大值和最小值. 3.若f （x ）、g （x ）都在点x 0处连续,则f （x ）±g （x ）,f （x ）·g （x ）,) ()(x g x f （g （x ）≠0）也在点x 0处连续.若u （x ）在点x 0处连续,且f （u ）在u 0=u （x 0）处连续,则复合函数f ［u （x ）］在点x 0处也连续. 特别提示（1）连续必有极限,有极限未必连续. （2）从运算的角度来分析,连续函数在某一点处的极限运算与函数关系“f ”是可以交换顺序的. ●点击双基 1.f （x ）在x =x 0处连续是f （x ）在x =x 0处有定义的_________条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要解析：f （x ）在x =x 0处有定义不一定连续. 答案：A 2.f （x ）=x x πcos π cos 的不连续点为 A.x =0 B.x = 1 22+k （k =0,±1,±2,…） C.x =0和x =2k π（k =0,±1,±2,…） D.x =0和x =1 22+k （k =0,±1,±2,…）解析：由cos x π=0,得x π=k π+2 π（k ∈Z ）,∴x =)(122Z ∈+k k . 又x =0也不是连续点,故选D 答案：D 3.下列图象表示的函数在x =x 0处连续的是

高中数学第一章集合与函数概念知识点

高中数学第一章集合与函数概念知识点〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，N表示自然数集，N*或N + R表示实数集. （3）集合与元素间的关系 ?，两者必居其一. ∈，或者a M 对象a与集合M的关系是a M （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等

（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有 21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. （8）交集、并集、补集【1.1.3】集合的基本运算

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法（2）一元二次不等式的解法 0) 〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念

①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足 ,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域

2014年高考一轮复习数学教案：13.3 函数的极限

13.3 函数的极限 ●知识梳理 1.函数极限的概念：（1）如果+∞ →x lim f （x ）=a 且-∞ →x lim f （x ）=a ,那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f （x ）的极限是a ,记作∞ →x lim f （x ）=a ,也可记作当x →∞时，f （x ）→a. （2）一般地，当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x 不等于x 0）时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋近于x 0时，函数f （x ）的极限是a ,记作0 lim x x →f （x ）=a ,也可记作当x →x 0时，f （x ）→a . （3）一般地，如果当x 从点x =x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数f （x ）在点x 0处的左极限，记作-→0 lim x x f （x ）=a .如果从点x =x 0 右侧（即x ＞x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数 f （x ）在点x 0处的右极限，记作+→0 lim x x f （x ）=a . 2.极限的四则运算法则：如果0 lim x x → f （x ）=a , 0 lim x x →g （x ）=b ,那么 lim x x →[f （x ）±g （x ）]=a ±b ; 0 lim x x →[f （x ）·g （x ）]=a ·b ; 0 lim x x →)()(x g x f =b a （b ≠0）. 特别提示（1）上述法则对x →∞的情况仍成立；（2）0 lim x x →[Cf （x ）]=C 0 lim x x →f （x ）（C 为常数）; （3）0 lim x x →[f （x ）]n =[0 lim x x →f （x ）]n （n ∈N *）. ●点击双基 1.+→0 lim x x f （x ）=-→0 lim x x f （x ）=a 是f （x ）在x 0处存在极限的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:C 2.f （x ）=? ??<≥,10, 12x x x 下列结论正确的是 A.)(lim 1 x f x + →=-→1 lim x f （x ）

正弦型函数(教师版)

正弦型函数(教师版) https://www.wendangku.net/doc/37269503.html,work Information Technology Company.2020YEAR

正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用【2015年高考会这样考】 1．考查正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象变换． 2．结合三角恒等变换考查y＝A sin(ωx＋φ)的性质及简单应用． 3．考查y＝sin x到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种变换途径．【复习指导】本讲复习时，重点掌握正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题．基础梳理 1．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示 x 0－φ ω π 2－φ ω π－φ ω 3π 2－φ ω 2π－φ ω ωx＋φ0π 2 π 3π 2 2π y＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0 3．当函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))表示一个振动时，A叫做振幅，T＝2π ω叫做周期，f＝ 1 T叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相． 4．图象的对称性函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：

(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π 2，k ∈Z )成轴对称图形． (2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形．一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2π ω＝T 求出，φ由特殊点确定．一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ| ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域； (2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)y ＝2sin ? ? ???2x －π4 的振幅、频率和初相分别为( )． A ．2，1π，－π 4 B ．2，12π，－π 4 C ．2，1π，－π 8 D ．2，12π，－π 8 答案 A 2.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)? ? ???|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )．

人教版高中数学必修1第一章集合与函数概念-《1.1集合》教案

集合（第1课时）一、知识目标：①内容：初步理解集合的基本概念，常用数集，集合元素的特征等集合的基础知识。 ②重点：集合的基本概念及集合元素的特征 ③难点：元素与集合的关系 ④注意点：注意元素与集合的关系的理解与判断；注意集合中元素的基本属性的理解与把握。二、能力目标：①由判断一组对象是否能组成集合及其对象是否从属已知集合，培养分析、判断的能力； ②由集合的学习感受数学的简洁美与和谐统一美。三、教学过程： Ⅰ）情景设置：军训期间，我们经常会听到教官在高喊：（x）的全体同学集合！听到口令，咱们班的全体同学便会从四面八方聚集到教官的身边，而那些不是咱们班的学生便会自动走开。这样一来教官的一声“集合”（动词）就把“某些指定的对象集在一起”了。数学中的“集合”这一概念并不是教官所用的动词意义下的概念，而是一个名词性质的概念，同学们在教官的集合号令下形成的整体即是数学中的集合的涵义。 Ⅱ）探求与研究： ①一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。问题：同学们能不能举出一些集合的例子呢？（板书学生们所举出的一些例子） ②为了明确地告诉大家，是哪些“指定的对象”被集在了一起并作为一个整体来看待，就用大括号{ }将这些指定的对象括起来，以示它作为一个整体是一个集合，同时为了讨论起来更方便，又常用大写的拉丁字母A、 B、C……来表示不同的集合，如同学们刚才所举的各例就可分别记为……（板书）另外，我们将集合中的“每个对象”叫做这个集合的元素，并用小写字母a、b、c……（或x1、x2、x3……）表示同学口答课本P5练习中的第1大题 ③分析刚才同学们所举出的集合例子，引出：对某具体对象a与集合A，如果a是集合A中的元素，就说a属于集合 A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作 a A ④再次分析同学们刚才所举出的一些集合的例子，师生共同讨论得出结论：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。然后请同学们分别阅读课本P5和P40上相关的内容。 ⑤在数学里使用最多的集合当然是数集，请同学们阅读课本P4上与数集有关的内容，并思考：常用的数集有哪些？各用什么专用字母来表示？你能分别说出各数集中的几个元素吗？（板书N、Z、Q、R、N*（或N+））注意：数0是自然数集中的元素。这与同学们脑子里原来的自然数就是 1、2、3、4……的概念有所不同同学们完成课本P5练习第2大题。

正整数指数函数教案

正整数指数函数教学设计课题正整数指数函数授课人课时安排 1 课型新授授课时间课标依据 1.在实际背景下了解正整数指数函数的概念。 2.理解具体的正整数指数函数的图像特征及单调性。 3.借助计算器、计算机的运算功能，计算一些正整数指数函数值。教材分析正整数指数函数的引入有两个基础：一是第二章的函数基础，“函数式一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集上的映射”，因此，我们可以建立一个正整数集到正整数集的映射--正整数指数函数；二是学生已有这方面的大量生活体验，他们熟悉的增长问题，复利问题等都可以归结为正整数指数函数。学情分析我们在前两章学习了集合与函数的概念，进一步深化了函数的概念与定义方法，为加强学生应用数学的意识，引导他们把数学只是应用到相关学科和社会生活，培养他们解决实际问题的能力，应多用理论联系实际，加深学生理解。三维目标[来源:https://www.wendangku.net/doc/37269503.html,][来源:Z§xx§https://www.wendangku.net/doc/37269503.html,]知识与能力:了解正整数指数函数的概念; [来源:Z+xx+https://www.wendangku.net/doc/37269503.html,][来源:学科网ZXXK] 过程与方法:.能画出一些简单的正整数指数函数的图像，了解它们的特征；情感态度与价值观:领会数形结合、分类讨论等数学思想方法. 教学重难点教学重点:了解正整数指数函数的概念; 教学难点:.能画出一些简单的正整数指数函数的图像，了解它们的特征；教法本课采用PPT教学，让学生在体会细胞分裂的基础上，理解正整

与学法数指数函数。教学资源教学课件教学活动设计师生活动设计意图批注新课导入： 1.某种细胞分裂时，由1个分裂为2个， 2个分裂为4个，……一直分裂下去（如图）（1）用列表表示一个细胞分裂次数为 1.2.3.4.5.6.7.8.时，得到的细胞个数分别为多少？用图像表示1个细胞分裂次数n(n∈N+) 与得到的细胞个数y之间的关系：（3）写出y与n之间的关系式，试用科学计算器计算细胞分裂15、20次后得到的细胞个数２．电冰箱使用的氟化物的释放会破坏大气层中的臭氧层。臭氧含量Q近似满足关系式 Q Q0.9975 =?t, 其中0 Q是臭氧的初始量，t是时间(年)。设0 Q=1. 分裂次数（n） 1 2 3 4 5 6 细胞个数（y）以生物和生活中的问题导入，引出本节课的内容。

正弦型函数的周期

正弦型函数()? ω+ ) (的周期 f sin A =x x 一、教学目标 1.通过学习，让学生掌握正弦型函数周期的推导过程，进而会求解正弦型函数的周期. 2.通过学习，让学生体会到整体代换的方法在数学中的重要性，使学生能够熟练并灵活运用它. 3.通过正弦函数周期公式的推导过程，让学生感受到数学的美，从而加强学习数学的兴趣. 二、教学重难点重点：1.正弦型函数周期的推导过程. 2.正弦型函数周期的计算公式. 3.整体代换的数学方法. 难点：正弦型函数周期的推导过程. 三、教学过程 1.复习旧知，引入新课师：通过前面的学习我们知道，如果一个函数)(x f的周期为a =a T，则它应该满足怎么样的关系呢？ (≠ )0 生：满足) x =. f f+ (a ( ) x

（设计意图：通过复习，使学生在后面的式子)2()(ω π+=x f x f 清楚的里得出周期）师：学习三角函数时，我们首先学习了正弦函数x x f sin )(=和余弦型函数x x f cos )(=，通过描画它们的图像得知，它们的周期都是π2=T ，根据上面的周期公式式子，它们应该满足什么关系呢？生：满足()π2sin sin +=x x 、()π2cos cos +=x x . （设计意图：为后面推导正弦型函数的周期奠基基础）师：上一节课我们学习了正弦型函数 ()?ω+=x A x f sin )( ）且为常数（其中R x A A ∈,0,0≠,,,>ω?ω，通过学习我们知道，它与正弦函数x x f sin )(=有着密切的联系，那么正弦型函数有没有周期呢？，如果有，它该怎么样求解呢？所以本节课我们在正弦函数x x f sin )(=基础上来讨论一下它的周期. （设计意图：让学生知道这两个函数之间的联系，为后面整体代换方法的应用提供依据） 2.教师讲解，学习主题首先我们写出正弦型函数 ()?ω+=x A x f sin )(，R x ∈. 师：我们如何把它转化为我们熟悉的正弦函数了？大家还记得我

(浙江专用)高中数学第一章集合与函数概念新人教版必修1

【创新设计】（浙江专用）2016-2017学年高中数学第一章集合与函数概念新人教版必修1 1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示第1课时集合的含义目标定位 1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，集合相等的含义.2.理解集合中元素的三个特性，掌握常用数集的表示符号并会识别应用. 自主预习 1.元素与集合的相关概念 . 统称为元素研究对象我们把，元素：一般地(1) . 组成的总体叫做集合一些元素把集合：(2) . 、无序性互异性、确定性集合中元素的三个特性：(3) . 我们称这两个集合是相等的，一样的集合的相等：构成两集合的元素是(4) 2.元素与集合的表示 . 表示集合中的元素…，c ，b ，a 元素的表示：通常用小写拉丁字母(1) . 表示集合…，C ，B ，A 集合的表示：通常用大写拉丁字母(2) 3.元素与集合的关系 .A ∈a 记作，A 属于集合a 就说，的元素A 是集合a ：如果”属于(1)“ . A ?a 记作，A 不属于集合a 就说，的元素A 不是集合a ：如果”不属于(2)“ 4.常用数集及表示符号数集非负整数集(自然数集) 正整数集整数集有理数集实数集符号 N N * 或 N ＋ Z Q R 即时自测 1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)期末考试成绩出来了，我们班的数学成绩较好的在120分以上的同学组成一个集合.( ) (2)一个集合可以表示成{a ，a ，b ，c ，}.( ) (3)若集合A 是由元素1，2，3，4，5，6所组成的集合，则－1和0都不是集合A 中的元素.( ) 提示 (1)“120分以上”是明确的标准，所以“120分以上的同学”能组成集合.正确. (2)集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象归入同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素.错误. (3)集合中A 只有元素1，2，3，4，5，6，没有－1和0.正确. 答案 (1)√ (2)× (3)√ 2.下列各组对象：①高中数学中所有难题；②所有偶数；③平面上到定点O 距离等于5的点的全体；④全体著名的数学家.其中能构成集合的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ②、③中的元素是确定的，能够构成集合，其余的都不能构成集合.

§1 正整数指数函数

§1 正整数指数函数【使用说明】 1.课前认真阅读并思考课本P61-63页的内容，然后根据自身能力完成学案所设计的问题，并在不明白的问题前用红笔做出标记。 2.限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑，并对每个问题做出点评，反思。【学习重点】正整数指数函数的概念及性质【学习难点】正整数指数函数的运算及函数性质【学习目标】 1.理解正整数指数函数的概念及性质，会画正整数指数函数的图像，并能利用正整数指数函数的性质解决问题。 2.由正整数指数函数的运算性质，体会数形结合的思想。 3.我在五中，激情投入，高效学习，踊跃展示，大胆质疑，体验成功，创想快乐。一、问题导学 1正整数指数函数的概念思考：（1）一般的，函数 (a>0）,1且,+∈ ≠N x a 叫做正整数指数函数的概念。其中x 自变量，定义域是。（2）正整数指数函数与幂函数有什么区别？（3）正整数指数函数)(2+∈ =N x y x 的值域是什么？由此你能得到什么？ 2. 正整数指数函数的图像与性质在直角坐标系中画出)(2+∈=N x y x 和)(）2 1 （+∈=N x y x 的图像，由图可判断，正整数指数函数的图像是在第象限的一些组成的。

思考：（1）当底数01时，正整数指数函数的图像是的，正整数指数函数函数（2）)(3+∈=N x y x 的单调区间是+N 吗？二、导学自测 1.已知+∈N x ，下列是正整数指数函数。 ①12+=x y ②x y 3-= ③ x y π= ④20)1(x y = ⑤x y )47 (= ⑥πx y = 2.比较下列大小（用“<”或“>”填空）（1）151.1 161.1 （2）78.0 108.0 (3) 32 33 三、合作探究 1.在同一直角坐标系，分别画出下列两组函数图像，你能发现什么规律？（1）x y 2=和x 3=y （其中+∈N x ）（2）x y ）21 （=和x ）31 （=y （其中+∈N x ） 2.若)()1m （+∈-=N x y x 为定义域内的增函数，则m 的取值范围是。

高等数学同济大学版课程讲解13函数的极限

课时授课计划课次序号： 03 一、课题：§1.3 函数的极限二、课型：新授课三、目的要求：1.理解自变量各种变化趋势下函数极限的概念； 2.了解函数极限的性质．四、教学重点：自变量各种变化趋势下函数极限的概念．教学难点：函数极限的精确定义的理解与运用．五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育； 2.《高等数学教与学参考》，宏志主编，西北工业大学．七、作业：习题1–3 1（2），2（3），3，6 八、授课记录：

九、授课效果分析：第三节函数的极限复习 1.数列极限的定义：lim 0,N,N n n n x a n x a εε→∞ =??>?>-<当时，； 2.收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、收敛数列与其子列的关系．在此基础上，今天我们学习应用上更为广泛的函数的极限．与数列极限不同的是，对于函数极限来说，其自变量的变化趋势要复杂的多．一、x →∞时函数的极限对一般函数y f （x ）而言，自变量无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所不同的是，自变量的变化可以是连续的．定义 1 若?ε＞0，?X ＞0，当x ＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )A |<ε），则称x →∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →+∞ f （x ）A ．若?ε＞0，?X ＞0，当x ＜X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )A |<ε），则称x →∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →-∞ f （x ）A ．例1 证明cos lim x x x →+∞0．证由于 cos 0x x -cos x x x ?ε＞0cos 0x x -＜εx ＜ε，授课日期班次

正整数指数函数教案

课题名称：正整数指数函数（北师大版）一、设计理念：通过这一节课的教学达到不仅使学生初步理解并能简单应用正整数指数函数的知识，更期望能引领学生掌握研究初等函数图象性质的一般思路和方法，为今后研究其它的函数做好准备，从而达到培养学生学习能力的目的。二、教材分析：《正整数指数函数》是北师大教版高中数学（必修一）第三章“指数函数和对数函数”的第一节内容，是在学习了第二章函数内容之后编排的。通过本节课的学习，既可以对函数的概念等知识进一步巩固和深化，又可以为后面进一步学习指数函数的性质打下坚实的概念和图象基础，初步培养函数的应用意识打下了良好的学习基础，有着不可替代的重要作用。此外，《正整数指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、存款、贷款利率的计算环境保护等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。本节内容的特点之一是概念性强，特点之二是凸显了数学图形在研究函数性质时的重要作用。三、学情分析:通过前一阶段的教学，学生对函数和图象的认识已有了一定的认知结构，主要体现在三个层面：知识层面：学生已初步掌握函数的基本知识能力层面：学生已经掌握了用列表法解决问题，初步具备了“数形结合”的思想。

情感层面：学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性。但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡. 四、教学目标 1. 知识与技能：（1）结合实例，了解正整数指数函数的概念。（2）能够求出正整数指数函数的解析式，进一步研究其性质。 2. 过程与方法（1）让学生借助实例，了解正整数指数函数，体会从具体到一般，从个别到整体的研究过程和研究方法。（2）从图像上观察体会正整数指数函数的性质，为这一章的学习作好铺垫。 3. 情感态度与价值观使学生通过学习正整数指数函数体会学习指数函数的重要意义，增强学习研究函数的积极性和自信心。五、教学重、难点重点正整数指数函数的定义难点正整数指数函数概念的理解与性质六、教学方法与手段探究交流，讲练结合。七、教学过程

求极限的13种方法

求极限的13种方法（简叙）龘龖龍极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。一、利用恒等变形求极限利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。例1、求极限 )1...()1)(1(22 lim n a a a n +++∞ → ，其中1

例2、求极限1 1lim 1 --→n m x x x ，其中m,n 为正整数。分析这是含根式的（0 0）型未定式，应先将其利用变量代换进行化简，再进一步计算极限。解令11,1 →→=t x x t mn 时，则当原式=m n t t t t t t t t t t t t m m n n m m n n t m n t =++++++=+++-+++-=----------→→1...1...)1...)(1()1...)(1(lim 11lim 2121212111 三、利用对数转换求极限利用对数转换求极限主要是通过公式,ln v u v e u ?=进行恒等变形，特别的情形，在（∞1）型未定式时可直接运用v u v e u ?-=)1( 例3、求极限o x →lim x x 2csc ) (cos 解原式=o x →lim 2 1sin sin 21 lim csc )1(cos 2202 - --==→e e e x x x x x 四、利用夹逼准则求极限利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。例4、求极限∞ →n lim n n n ! 分析当我们无法或不易把无穷多个因子的积变为有限时，可考虑使用夹逼准则。解因为n n n n n n n n n o n 1121!≤?-??=≤ ，且不等式两端当趋于无穷时都以0为极限，所以∞ →n lim n n n ! =0 五、利用单调有界准则求极限利用单调有界准则求极限主要应用于给定初始项与递推公式