高考数学压轴专题(易错题)备战高考《推理与证明》技巧及练习题附答案解析

【最新】数学《推理与证明》期末复习知识要点

一、选择题

1．已知数组1()1，12(,)21，123()321，，，…，121(,

,,,)121

n n

n n --L ，…，记该数组为

1()a ，23(,)a a ，456(,,)a a a ，…，则200a =( )

A ．

9

11

B ．

1011

C ．

1112

D ．

910

【答案】B 【解析】 【分析】

设a 200在第n 组中，则

()()112002

2

n n n n -+≤＜（n ∈N *），

由等差数列求和得：a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：1920

2

?=190， 再进行简单的合情推理得：a 2001010

2010111

==-+，得解．

【详解】

由题意有，第n 组中有数n 个，且分子由小到大且为1，2，3…n ，设a 200在第n 组中，则

()()112002

2

n n n n -+≤＜（n ∈N *），

解得：n ＝20，

即a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：1920

2

?=190， 即a 200在第20组的第10个数，即为

1010

2010111

=-+，

a 2001011=

， 故选B ． 【点睛】

本题考查了阅读理解及等差数列求和与进行简单的合情推理能力，属中档题．

2．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）

A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电

B ．猜想数列111

122334

?????，，，的通项公式为1()(1)n

a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=

D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2

2

2

2

()()()x a y b z c r -+-+-=

【答案】C 【解析】 【分析】

根据合情推理与演绎推理的概念，得到A 是归纳推理，B 是归纳推理，C 是演绎推理，D 是类比推理，即可求解． 【详解】

根据合情推理与演绎推理的概念，可得:

对于A 中， 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理； 对于B 中， 猜想数列

111

122334

?????，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=

∈+，属于归纳推理，不是演绎推理；

对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理； 对于D 中， 由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2

2

2

2

()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理， 综上，可演绎推理的C 项，故选C ． 【点睛】

本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

3．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ） A ．28 B ．76

C ．123

D ．199

【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 由题观察可发现，

347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=， 294776,4776123+=+=，

即1010123a b +=, 故选C.

考点：观察和归纳推理能力.

4．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R 的惰性气体原子组成

体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为

2

12121111U kcq R R x x R x R x ??

=+-- ?+-+-??

，其中，kc 为静电常量，1x 、2x 分别表示

两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121x x R x x R R -?

?

+-=+

???

，111x R x R R ??+=+ ???，221x R x R R ??-=- ??

?，且()1

211x x x -+≈-+，则U 的近似值为

（ ）

A ．212

3

kcq x x R B ．212

3

kcq x x R - C ．2123

2kcq x x R D ．212

3

2kcq x x R

- 【答案】D 【解析】 【分析】

将12121x x R x x R R -??+-=+

?

??，111x R x R R ??+=+ ???，221x R x R R ??

-=- ??

?代入U ，结合()1

211x x x -+≈-+化简计算可得出U 的近似值.

【详解】

221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ????????=+--=+

-- ?-+-+-??????????

++- ? ? ???????????

222

2

121211221111x x x x x x x x kcq R

R R R R R R ??--??????=+-+-+----?? ? ? ???????????

212

3

2kcq x x R =-. 故选：D. 【点睛】

本题考查U 的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

5．数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2212cos a sin a =-”所用的几何图形，已知点,B C 在以线段AC 为直径的圆上，D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且,AE AB =点F 为EC 的中点.设2,AC r =,DAC a ∠=那么下列结论:

2,DC rcosa =① 22,AB rcos a =②

()12,FC r cos a =-③ ()22DC r r AB =-④.

其中正确的是（ ） A ．②③ B ．②④

C ．①③④

D ．②③④

【答案】D 【解析】 【分析】

在Rt ADC ?中，可判断①，Rt ABC ?中，可判断②，利用ADB ?与ADE ?全等及

ADC ?与DFC ?相似即可判断③④. 【详解】

在Rt ADC ?中，

2sin ,DC r a =故①不正确； 因为 ,BD DC =所以2,BAC a ∠=在Rt ABC ?中，2cos2AB r a =，故②正确； 因为AE AB BD DC ==，，易知ADB ?与ADE ?全等，故

DE BD DC DF EC ==⊥，，所以()1cos22

AB

FC r r a =-

=-， 又

C

C AC

D FC D =，所以()2

2DC AC FC r r AB =?=-，故③④正确， 由2sin 2cos2DC r a AB r a ==,，()2

2DC r r AB =-，可得

()

()2

2sin 22cos2r a r r r a =-，即22sin 1cos2a a =-.

故选：D. 【点睛】

本题考查推理与证明，考查学生在圆中利用三角形边长证明倍角公式的背景下，判断所需的边长是否正确，是一道中档题.

6．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ） A ．甲

B ．乙

C ．丙

D ．丁

【解析】 【分析】

可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论. 【详解】

由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的， 丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的； 假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的， 乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立， 所以可以断定值班人是甲. 故选：A. 【点睛】

本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.

7．用数学归纳法证明 11151236

n n n ++???+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111

313233

k k k +++++ B ．112

313233

k k k +-+++ C ．

11

331k k -++ D ．

1

33

k + 【答案】B 【解析】

分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果. 详解：n k =时，左边为

111123k k k

++???+++, 1n k =+时，左边为

111111233313233

k k k k k k ++???++++++++++, 所以左边需添加的项是

1111112

3132331313233

k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.

8．某单位实行职工值夜班制度，己知A ，B ，C ，D ，E 5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A 昨天值夜班，从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班，D 星期四值夜班，则今天是星期几 A ．二 B ．三

C ．四

D ．五

【答案】C

分析：A 昨天值夜班，D 周四值夜班，得到今天不是周一也不是周五，假设今天是周二，则周二与周三B ，C 至少有一人值夜班，与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则周五与下周一B ，C 至少有一人值夜班，与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；由此得到今天是周四．

详解：∵A 昨天值夜班，D 周四值夜班，∴今天不是周一也不是周五，

若今天是周二，则周一A 值夜班，周四D 值夜班，则周二与周三B ，C 至少有一人值夜班，

与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；

若今天是周三，则A 周二值夜班，D 周四值夜班，则周五与下周一B ，C 至少有一人值夜班，

与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；

若今天是周四，则周三A 值夜班，周四D 值夜班，周五E 值夜班，符合题意． 故今天是周四． 故选：C ．

点睛：本题考查简单的推理，考查合情推理等基础知识，考查推理论证能力，属于中档题．

9．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( ) A ．甲 B ．乙

C ．丙

D ．丁

【答案】B 【解析】 【分析】

结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人. 【详解】

结合题意分类讨论：

若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意； 若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意； 若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意； 若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意； 综上可得，获奖人为乙. 故选：B. 【点睛】

本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.

10．设x ，y ，z ＞0，则三个数

,,y y z z x x

x z x y z y

+++ （ ）

A ．都大于2

B ．至少有一个大于2

C ．至少有一个不小于2

D ．至少有一个不大于2

【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】

假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又

y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋x

z ＋x y ＝(y x

＋x y )＋

(

y

z ＋z y )＋(z x ＋x z

)≥2＋2＋2＝6，当且仅当x ＝y ＝z 时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.

11．设x 、y 、0z >，1a x y =+，1b y z =+，1

c z x

=+，则a 、b 、c 三数（ ） A ．都小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．都大于2 D ．至少有一个不小于2

【答案】D 【解析】 【分析】

利用基本不等式计算出6a b c ++≥，于此可得出结论. 【详解】 由基本不等式得

111111a b c x y z x y z y z x x y z ????????????

++=+++++=+++++ ? ? ? ? ? ?

?????????

???

6≥=，

当且仅当1x y z ===时，等号成立，因此，若a 、b 、c 三数都小于2，则6a b c ++<与6a b c ++≥矛盾，即a 、b 、c 三数至少有一个不小于2， 故选D. 【点睛】

本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

12．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）

A ．物理化学等级都是

B 的学生至多有12人 B ．物理化学等级都是B 的学生至少有5人

C ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人

D ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人 【答案】D 【解析】 【分析】

根据题意分别计算出物理等级为A ，化学等级为B 的学生人数以及物理等级为B ，化学等级为A 的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项. 【详解】

根据题意可知，36名学生减去5名全A 和一科为A 另一科为B 的学生105858-+-=人（其中物理A 化学B 的有5人，物理B 化学A 的有3人）， 表格变为：

A B

C

D E

物理 10550--= 16313-= 9

1

0 化学

8530--=

19514-=

7

2

对于A 选项，物理化学等级都是B 的学生至多有13人，A 选项错误；

对于B 选项，当物理C 和D ，化学都是B 时，或化学C 和D ，物理都是B 时，物理、化学都是B 的人数最少，至少为13724--=（人），B 选项错误；

对于C 选项，在表格中，除去物理化学都是B 的学生，剩下的都是一科为B 且最高等级为

B 的学生，

因为都是B 的学生最少4人，所以一科为B 且最高等级为B 的学生最多为

1391419++-=（人）， C 选项错误；

对于D 选项，物理化学都是B 的最多13人，所以两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生最少14131-=（人），D 选项正确. 故选：D.

【点睛】

本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.

13．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）

A ．30010

B ．40010

C ．50010

D ．60010

【答案】A 【解析】 【分析】

结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解 【详解】

如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为29101222211023+++???+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为10231023lg 230021010=≈.

故选：A 【点睛】

本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n 项和公式应用，属于中档题

14．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .

由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f =，…，可推出(10)f =（ ）

A ．271

B ．272

C ．273

D ．274

【答案】A 【解析】 【分析】

观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；… 根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数． 【详解】

由图可知，()11f =，

()212667f =+?-=， ()()312362619f =++?-?=， ()()212362619f =++?-?=， ()()4123463637f =+++?-?=，

…

()()101234...10696271.f =+++++?-?=

故选A. 【点睛】

此类题要能够结合图形，发现规律：当2n ≥时，()()()161.f n f n n --=-

15．某学校为响应国家强化德智体美劳教育的号召，积极实施国家课程校本化.每个学生除学习文化课程外，还可以根据自己的兴趣爱好来选修一门校本课程作为自己的特长课程来学习.该校学生小刚选完课后，本班的其他三位同学根据小刚的兴趣爱好对小刚的选课做出了自己的判断：甲说：小刚选的不是书法，选的是篮球；乙说：小刚选的不是篮球，选的是排球；丙说：小刚选的不是篮球，选的也不是国画.已知三人中有一个人说的全对，有一人说对了一半，另一个人说的全不对，由此推断小刚的选择的（ ） A ．可能是国画 B ．可能是书法

C ．可能是排球

D ．一定是篮球

【答案】B 【解析】 【分析】

依次假定小刚的选择，逐一验证得到答案. 【详解】

若小刚选择的是国画，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足，排除； 若小刚选择的是书法，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足； 若小刚选择的是排球，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足，排除； 若小刚选择的是篮球，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足； 故小刚可能选择的是书法和篮球. 故选：B .

【点睛】

本题考查了推理分析，意在考查学生的逻辑推理能力.

16．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A ．甲 B ．乙

C ．丙

D ．丁

【答案】C 【解析】 【分析】

分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案. 【详解】

①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；

②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；

③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；

④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙. 综上所述，年纪最大的是丙 故选：C. 【点睛】

本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.

17．已知()()()212

f x f x f x +=+， ()11f =（*x N ∈），猜想()f x 的表达式为（ ）

A ．()21f x x =+

B ．()422x f x =+

C ．()11f x x =+

D ．()221

f x x =+ 【答案】A

【解析】因为

()()()212

f x f x f x +=

+,所以

()()111

12

f x f x =++ ,因此

()()()()()11112

111221

x x f x f x f x =+-=+?=+,选A.

18．三角形的三个顶点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，则该三角形的重心

（三边中线交点）的坐标为123123,33x x x y y y ++++??

???

.类比这个结论，连接四面体的一个顶点及其对面三角形重心的线段称为四面体的中线，四面体的四条中线交于一点，该点称为四面体的重心.若四面体的四个顶点的空间坐标分别为111(,,)x y z ，222(,,)x y z ，

333(,,)x y z ，444(,,)x y z ，则该四面体的重心的坐标为（ ）

A ．()123412341234,,x x x x y y y y z z z z +++++++++

B ．123412341234,,222x x x x y y y y z z z z +++++++++??

???

C ．123413341234,,

333x x x x y y y y z z z z +++++++++??

???

D ．123412341234,,444x x x x y y y y z z z z +++++++++??

???

【答案】D 【解析】 【分析】

首先根据题意，三角形的重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均数，从平面扩展到空间，从三角形扩展到四面体，得到四面体的重心的坐标是四个顶点的算术平均数，从而得到答案. 【详解】

根据题意，三角形重心的坐标是三个顶点的坐标的算术平均数， 从平面扩展到空间，从三角形推广到四面体， 就是四面体重心的坐标是四个顶点的算术平均数， 故选D. 【点睛】

该题考查的是类比推理，由平面图形的性质类比猜想得出空间几何体的性质，一般思路是：点到线，线到面，或是二维到三维，属于简单题目.

19．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式

1

1111++

+???

中“???”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程

11x x +

=

求得x =231111333++++???=( ) A ．2 B ．

3

2

C ．3

D ．

53

【答案】B 【解析】

【分析】 由232311111131333333????

?+++???=++++??? ? ?????

，类比已知中的求法，可构造方程求得结果. 【详解】

232311111131333333?????+++???=++++??? ? ?????Q

∴可设23111333

x =

+++???，则31x x =+，解得：1

2x =

2311113

1133322++++???=+=∴

故选：B 【点睛】

本题考查类比推理的应用问题，关键是能够明确已知中的代换关系，将所求式子整理变形为可以整体换元的方式.

20．学校艺术节对同一类的A 、B 、C 、D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是C 或D 作品获得一等奖” 乙说：“B 作品获得一等奖” 丙说：“A 、D 两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C 作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（ ） A ．C 作品 B ．D 作品 C ．B 作品 D ．A 作品 【答案】C

【解析】分析：根据学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A ，B ，C ，D 分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．

详解：若A 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意， 若B 为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意， 若C 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意， 若D 为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，

故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B 故答案为：C.

点睛：本题考查推理的应用，意在考查学生的分析、推理能力．这类题的特点是：通过几组命题来创设问题情景，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题，应耐心读题，找准突破点，一般可以通过假设前提依次验证即可.