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2015高考数学真题-湖北省文科、理科数学卷word版(有答案)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（文史类）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.i 为虚数单位，607

=（）

A ．i

B ．-i

C ．1

D ．-1

2.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（） A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石

3.命题“000(0,),ln 1x x x ?∈+∞=-”的否定是（）

A ．(0,),ln 1x x x ?∈+∞≠-

B ．(0,),ln 1x x x ??+∞=-

C ．000(0,),ln 1x x x ?∈+∞≠-

D ．000(0,),ln 1x x x ??+∞=-

4.已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关，下列结论中正确的是（） A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关

5. 12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线，q ：12,l l 不相交，则（） A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 C ．p 是q 的充分必要条件

D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件

函数256

()lg 3

x x f x x -+=-的定义域为（）

A ．(2,3)

B ．(2,4]

C ．(2,3)(3,4]

D ．(1,3)(3,6]-

7.设x R ∈，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >??

==??-

，则（）

A ．{||sgn |}x x x =

B ．{|sgn ||}x x =

C ．{||sgn x x x =

D ．{|sgn x x x = 8.在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2

P 为事件“1

xy ≤”的概率，则（） A ．1212p p <<

B ．2112p p <<

C ．2112p p <<

D ．121

p p <<

9.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长b ()a b ≠同时增加m (0)m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（）

A ．对任意的a ，b ，12e e <

B ．当a b > 时，12e e <；当a b <时，12e e >

C ．对任意的a ，b ，12e e >

D ．当a b > 时，12e e >；当a b <时，12e e <

10.已知集合22{(,)|1,,}A x y x y x y Z =+≤∈，{(,)|||2,||2,,}B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合

12121122{(,)|(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（）

A ．77

B ．49

C ．45

D ．30

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清、模棱两可均不得分。

11.已知向量OA OB ⊥ ，||3OA =

，则OA OB ?= .

12.设变量x ，y 满足约束条件4230x y x y x y +≤??

-≤??-≥?

，则3x y +的最大值为 .

13.函数2()2sin sin()2

f x x x x π

-的零点个数为 .

14.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示. （1）直方图中的a= .

（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为

15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北0

30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北0

75的方向上，仰角为0

30，则此山的高度CD= m.

16.如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且||2AB =. （1）圆C 的标准方程为 .

（2）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为

17.a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()g a . 当a = 时，()g a 的值最小.

三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18、（本小题满分12分）

某同学将“五点法”画函数

入部分数据，如下表：

（II ）

的图像离原点O 最近的对称中心。

19、（本小题满分12分）

设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，已知1b =1a -2b =2，q=d ，

100S =100.

（I ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式（II ）

当d>1时，记n c =

a b ，求数列的前n 项和T n 。 20、（本小题满分13分）

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑。

在如图所示的阳马P-ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD=CD ，点E 是PC 的中点，连接DE 、BD 、BE 。

(I) 证明：DE ⊥平面PBC.试判断四面体EBCD 是否为鳖臑。若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；

(II)

21（本小题满分14分）

设函数f(x)，g(x)的定义域均为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)+ g(x)=x e ，其中e 为自然对数的底数。（I ）

求f(x)，g(x)的解析式，并证明：当x>0时，f(x)>0，g(x)>1;

（II ）

22、（本小题满分14分）

一种画椭圆的工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ，以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系。（I ）求椭圆C 的方程；

（II ）

设动直线l 与两定直线1l ：x-2y=0和2l ：x+2y=0分别交于P,Q 两点.若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（文史类）试题参考答案

一、

选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1.A

2.B

3.C

4.A

5.A

6.C

7.D

8.B

9.D 10.C

二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）

11. 9 12. 10 13. 2 14. （Ⅰ）3；（Ⅱ）6000. 15.

16.

（Ⅰ）22

(1)(2x y -+= ；

（Ⅱ）1-.

17. 2

三、解答题（本大题共5小题，共65分） 18.（12分）

（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π

5,2,6

A ω?===-.数据补全如下表：

且函数表达式为()5sin(2)6

f x x =-；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，因此 πππ

()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+.因为sin y x

=的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π2π6x k +

=，解得ππ212

k x =-，k ∈Z .即()y g x =图象的对称中心为ππ0212k -（，）

，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π

(,0)12-. 19.（12分）

（Ⅰ）由题意有，111045100,2,a d a d +=??=? 即11

2920,2,a d a d +=??=?，

解得11,2,a d =??=? 或19,2.9a d =??

?=?? 故1

21,2.n n n a n b -=-???=??或11(279),929().9n n n

a n

b -?

=+????=???

. （Ⅱ）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1

2n n n c --=

，于是 2341357921

122222

n n n T L --=+

+++++， ① 234511357921

2222222

n n n T L -=++++++. ② ① -②可得

221111212323222222n n n n

n n T L --+=++++-=-，

故n T 1

62n n -+=-

20.（13分）

（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥.

由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D = ，所以BC ⊥平面PCD . DE ?平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PC BC C = ，所以DE ⊥平面PBC .

由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是,,,.BCD BCE DEC DEB ∠∠∠

∠ （Ⅱ）由已知，PD 是阳马P ABCD -的高，所以111

ABCD V S PD BC CD PD =?=??；

由（Ⅰ）知，DE 是鳖臑D BCE -的高， BC CE ⊥，

所以211

BCE V S DE BC CE DE ?=?=??.

在Rt △PDC 中，因为PD CD =，点E 是PC

的中点，所以DE CE ==

，于是 121

23 4.

16BC CD PD V CD PD V CE DE

BC CE DE ???===???

21.（14分）

（Ⅰ）由()f x , ()g x 的奇偶性及

()()e x f x g x +=,①

得： ()()e .x f x g x --+= ②

联立①②解得1()(e e )2x x f x -=-，1

()(e e )2

x x g x -=+.

当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x > ③

又由基本不等式，有1

()(e e )12

x x g x -=+>，即() 1.g x > ④

（Ⅱ）由（Ⅰ）得 2111e 1

()(e )(e )(e e )()2e 2e 2

x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=， ⑤

2111e 1

()(e )(e )(e e )()2e 2e 2

x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=， ⑥

当0x >时，()

()(1)f x ag x a x

>+-等价于()()(1)f x axg x a x >+-， ⑦

()

()(1)f x bg x b x

<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧ 设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，

由⑤⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时，

（1）若0c ≤，由③④，得()0h x '>，故()h x 在[0,)+∞上为增函数，从而

（2） ()(0)0h x h >=，

3）即()()(1)f x cxg x c x >+-，故⑦成立.

（2）若1c ≥，由③④，得()0h x '<，故()h x 在[0,)+∞上为减函数，从而

()(0)0h x h <=，

即()()(1)f x cxg x c x <+-，故⑧成立. 综合⑦⑧，得 ()

()(1)()(1)f x ag x a bg x b x

+-<

<+-.

22.（16分）

（Ⅰ）因为||||||314OM MN NO ≤+=+=，当,M N 在x 轴上时，等号成立；

同理||||||312OM MN NO ≥-=-=，当,D O 重合，即MN x ⊥轴时，等号成立.

所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为22

1.164

x y +=

（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有1

4482

OPQ S ?=??=.

（2）当直线l 的斜率存在时，设直线1

:()2

l y kx m k =+≠±，

由22

,416,y kx m x y =+??+=?

消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，

所以2222644(14)(416)0k m k m ?=-+-=，即22164m k =+. ① 又由,20,

y kx m x y =+??-=? 可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++.

由原点O 到直线PQ 的距离为

d =

和|||P Q PQ x x =-，可得

111222||||||||222121214OPQ

P Q m m m S PQ d m x x m k k k ?=?=-=?+=

-+-. ② 将①代入②得，22

2241281441

OPQ

k m S k k ?+==--. 当2

4k >时，2224128()8(1)84141

OPQ k S k k ?+==+>--；

当2

04k ≤<时，222

4128()8(1)1414OPQ k S k k

?+==-+--. 因2104k ≤<

，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k

?=-+≥-，当且仅当0k =时取等号.

所以当0k =时，OPQ S ?的最小值为8.

综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ?的面积取得最小值8.

绝密★启用前

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（理工类）

本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试

题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1．i为虚数单位，607

i的共轭

．．复数

．．为

A．i B．i-C．1 D．1-

2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为

A．134石B．169石C．338石D．1365石

3．已知(1)n

+的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为

A．122B．112C．102D．92

4．设211(,)X N μσ ，2

22(,)Y N μσ ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是

A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥

B ．21()()P X P X σσ≤≤≤

C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤

D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥

5．设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥. 若p ：12,,,n a a a 成等比数列；

q ：2222222

1212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++ ，则

A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件

B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件

C ．p 是q 的充分必要条件

D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件

6．已知符号函数1,0,

sgn 0,0,1,0.x x x x >??

==??-

()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则

A ．sgn[()]sgn g x x =

B ．sgn[()]sgn g x x =-

C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =

D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =-

7．在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12

x y +≥”的概率，2p 为事件“1

||2x y -≤”的

概率，3p 为事件“1

xy ≤”的概率，则 A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<

D ．321p p p <<

8．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则 A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e <

D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >

9．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合 12

121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则

A B ⊕中元素的个数为 A ．77 B ．49 C ．45 D ．30

10．设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n = 同时成立．．．．

，则正整数n 的最大值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

第4题图

二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应．．．．．

题号．．

的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11—14题）

11．已知向量OA AB ⊥ ，||3OA =

，则OA OB ?= ．

12．函数2π

()4cos cos()2sin |ln(1)|22

x f x x x x =---+的零点个数为．

13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30 的

方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰角为30 ，则此山的高度CD = m.

14．如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =．

（Ⅰ）圆C 的标准．．

方程为；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：

①NA MA NB

=； ②

2NB MA NA

=；

③

NB MA NA

其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号

后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲）

如图，P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则

= . 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）

在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方

第13题图

第15题图

P B

程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t t

y t t ?=-????=+

( t 为参数) ，l 与C 相交于A ,B 两

点，则||AB = .

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分11分）

某同学用“五点法”画函数π

()sin()(0,||)2f x A x ω?ω?=+><在某一个周期内的图象

时，列表并填入了部分数据，如下表：

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式；

（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图

象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π

(

,0)12

，求θ的最小值.

18．（本小题满分12分）

设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，

q d =，10100S =．

（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n

n n

a c

b =，求数列{}n

c 的前n 项和n T ． 19．（本小题满分12分）

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．

如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE

（Ⅰ）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是

否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；

（Ⅱ）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3

，求

的值． 20．（本小题满分12分）

某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z （单位：元）是一个随机变量．

（Ⅰ）求Z 的分布列和均值；

（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概

率．

21．（本小题满分14分）

一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕

O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

第19题图

（Ⅰ）求曲线C 的方程；

（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l

总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

22．（本小题满分14分）

已知数列{}n a 的各项均为正数，1

(1)()n n n b n a n n

+=+∈N ，e 为自然对数的底数．

（Ⅰ）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1

(1)n n +与e 的大小；

（Ⅱ）计算

11b a ，1212b b a a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212n

b b b a a a 的公式，并给出证明；（Ⅲ）令1

12()n

n n c a a a = ，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明：e n n T S <.

绝密★启用前

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

第21题图

数学（理工类）试题参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．D 9．C 10．B 二、填空题（本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分）

11．9

12．2 13

．

14．

（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）①②③ 15．1

．三、解答题（本大题共6小题，共75分） 17．（11分）

（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π

5,2,6

A ω?===-. 数据补全如下表：

且函数表达式为()5sin(2)6

f x x =-.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π

()5sin(22)6

g x x θ=+-.

因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z .

令π22π6x k θ+-=，解得ππ

212

k x θ=+-，k ∈Z .

由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π

21212

k θ+-=，

解得ππ23k θ=-，k ∈Z . 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π

18．（12分）（Ⅰ）由题意有，111045100,2,a d a d +=??=? 即11

2920,

2,a d a d +=??=?

解得11,2,a d =??=? 或19,2.9a d =???=?? 故1

21,2.n n n a n b -=-???=??或11(279),9

29().9n

n n

a n

b -?

=+????=???

（Ⅱ）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1

2n n n c --=

，于是

2341357921

122222

n n n T --=+

+++++ ， ① 234511357921

2222222n n n T -=++++++ . ② ①-②可得

221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=- ，故n T 1

62n n -+=-

. 19．（12分）（解法1）

（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，

由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D = ，

所以BC PCD ⊥平面. 而DE PCD ?平面，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥.

而PC BC C = ，所以DE ⊥平面PBC . 而PB PBC ?平面，所以PB DE ⊥. 又PB EF ⊥，DE EF E = ，所以PB ⊥平面DEF .

由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，

即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，

EFB DFB ∠∠，. （Ⅱ）如图1，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD

的交线. 由（Ⅰ）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥.

又因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD DG ⊥. 而PD PB P = ，所以DG PBD ⊥平面. 故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，

设1PD DC ==，BC λ=，有BD = 在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3

DPF FDB ∠=∠=,

则 πtan

tan 3BD DPF PD

=∠=解得λ

所以

1DC BC λ==

故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π

时，DC BC =

（解法2）

第19题解答图2 第19题解答图1 （Ⅰ）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设

1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ，(,1,1)PB λ=-

，点E 是PC 的

中点，所以11(0,,)22E ，11(0,,)22

DE = ，

于是0PB DE ?=

，即PB DE ⊥.

又已知EF PB ⊥，而DE EF E = ，所以PB DEF ⊥平面.

因(0,1,1)PC =-

, 0DE PC ?= , 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面.

由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，

即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，

EFB DFB ∠∠，.

（Ⅱ）由PD ABCD ⊥平面，所以(0,0,1)DP =

是平面ABCD 的一个法向量；

由（Ⅰ）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--

是平面DEF 的一个法向量.

若面DEF

与面ABCD 所成二面角的大小为

π3

，

则π1cos 32

||||BP DP

BP DP ?

，解得λ所以

1DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π

时，DC BC = 20．（12分）

（Ⅰ）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有

2 1.5,

1.512, 20,0, 0.

x y W x y x y x y +≤??+≤?

-≥??≥≥? （1）

11(1)10.30.973.

p p =--=-=目标函数为 10001200z x y =+．

当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．

将10001200z x y =+变形为561200z

y x =-+，

当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200z

y x =-+在y 轴上的截距最大，

最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==?+?=．

当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．

将10001200z x y =+变形为561200z

y x =-+，

当3, 6x y ==时，直线l ：561200

y x =-+在y 轴上的截距最大，

最大获利max 310006120010200Z z ==?+?=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，

四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D .

将10001200z x y =+变形为561200z

y x =-+，

当6,4x y ==时，直线l ：561200

y x =-+在y 轴上的截距最大，

最大获利max 610004120010800Z z ==?+?=．

因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =?+?+?= （Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，

由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为

21．（14分）

（Ⅰ）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，

2MD DN = ，且||||1DN ON ==

，

第20题解答图1 第20题解答图2

第20题解答图

所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且22

0022

00()1,

x t y x y ?-+=??+=?? 即0022,

2.t x x t y y -=-??=-?

且0(2)0.t t x -=

由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，

于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22

001x y +=，可得221164

x y +=，

即所求的曲线C 的方程为22

1.164

x y +=

（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有1

4482

OPQ S ?=??=.

（2）当直线l 的斜率存在时，设直线1

:()2

l y kx m k =+≠±，

由22

,416,

y kx m x y =+??+=? 消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，

所以2222644(14)(416)0k m k m ?=-+-=，即22164m k =+. ① 又由,20,y kx m x y =+??-=?

可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++.

由原点O 到直线PQ

的距离为d =

|||P Q PQ x x =-，可得

111222||||||||222121214OPQ

P Q m m m S PQ d m x x m k k k ?=?=-=?+=-+-. ② 将①代入②得，22

2241281441

OPQ

k m S k k ?+==--. 当2

4k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ?+==+>--；

当2

04k ≤<时，222

4128()8(1)1414OPQ k S k k ?+==-+--.

因2104k ≤<

，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k

?=-+≥-，当且仅当0k =时取等号.

所以当0k =时，OPQ S ?的最小值为8.

综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.

2015年湖北数学高考卷理科(含答案)

绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i为虚数单位，607 i的共轭．．为．．复数 A．i B．i-C．1 D．1- 2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 A．134石B．169石C．338石D．1365石 3．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为A．122B．112C．102D．92

4．设211(,)X N μσ，2 22(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是 A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥ B ．21()()P X P X σσ≤≤≤ C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 5．设12,, ,n a a a ∈R ，3n ≥. 若p ：12,, ,n a a a 成等比数列； q ：22 222 2 21212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --+++++ +=+++，则 A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 C ．p 是q 的充分必要条件 D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 6．已知符号函数1,0, sgn 0,0,1,0.x x x x >?? ==??-，则 A ．sgn[()]sgn g x x = B ．sgn[()]sgn g x x =- C ．sgn[()]sgn[()]g x f x = D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =- 7．在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12 x y +≥”的概率，2p 为事件“1 ||2x y -≤”的概率，3p 为事件“1 2 xy ≤”的概率，则 A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p << D ．321p p p << 8．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则 A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 9．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合 12 121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则 A B ⊕中元素的个数为 A ．77 B ．49 C ．45 D ．30 10．设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n = 同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 第4题图

2015年江苏省高考数学试题及答案(理科)【解析版】

2015年江苏省高考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分） 1．（5分）（2015?江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为5．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5 点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题 2．（5分）（2015?江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为6．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查． 3．（5分）（2015?江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5， ∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力． 4．（5分）（2015?江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．

考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答：解：模拟执行程序，可得 S=1，I=1 满足条件I＜8，S=3，I=4 满足条件I＜8，S=5，I=7 满足条件I＜8，S=7，I=10 不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题． 5．（5分）（2015?江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2 只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目． 6．（5分）（2015?江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m， n∈R），则m﹣n的值为﹣3．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．

2015年全国新课标2卷高考文科数学试题及答案

2015普通高等学校招生全国统一考试Ⅱ卷文科数学第一卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合A={}{} =<<=<<-B A x x B x x 则,30,21 A.(-1，3) B.(-1，0 ) C.(0，2) D.(2，3) (2)若a 实数，且 =+=++a i i ai 则,312 A.-4 B. -3 C. 3 D. 4 (3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是 2700 260025002400210020001900 ) A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著； B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效； C.2006年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势； D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。（4）已知向量=?+-=-=则（2),2,1(),1,0( A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 (5)设{}项和，的前是等差数列n a S n n 若==++5531,3S a a a 则 A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 (6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A. 81 B.71 C. 6 1 D. 51 (7)已知三点)32()30(),01(，，，，C B A ,则ABC ?外接圆的圆心到原点的距离为

A. 35 B. 321 C. 3 5 2 D. 34 (8)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A. 0 B. 2 C. 4 D.14 (9)已知等比数列{}=-== 24531),1(4,41 a a a a a a n 则满足 C A. 2 B. 1 C. 2 1 D. 81 （10）已知A,B 是球O 的球面上两点，为该球面上动点，C AOB ,90?=∠若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为 A. 36π B. 64π C. 144π D.256π (11)如图，长方形的边AB=2，BC=1,O 是AB 的中点，点P 沿着边BC,CD,与DA 运动，记的图像大致为则数两点距离之和表示为函到将动点)(),(,,x f x f B A P x BOP =∠ x P O D C B A

历年高考数学真题精选45 排列组合

历年高考数学真题精选（按考点分类）专题45 排列组合（学生版）一．选择题（共20小题） 1．（2009?全国卷Ⅰ）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( ) A．150种B．180种C．300种D．345种2．（2010?广东）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是() A．1205秒B．1200秒C．1195秒D．1190秒3．（2007?全国卷Ⅱ）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有() A．10种B．20种C．25种D．32种4．（2006?湖南）在数字1，2，3与符号+，-五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是() A．6B．12C．24D．18 5．（2009?陕西）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为() A．432B．288C．216D．108 6．（2014?辽宁）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为() A．144B．120C．72D．24 7．（2012?浙江）若从1，2，3，?，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有() A．60种B．63种C．65种D．66种8．（2012?北京）从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位

湖北省八校2015届高三第一次联考理科数学试卷(解析版)

湖北省八校2015届高三第一次联考理科数学试卷（解析版）一、选择题 1．已知复数∈+=a ai z (21R ），i z 212-=，若2 1 z z 为纯虚数，则=||1z （） A ．2 B ．3 C ．2 D ．5 【答案】D 【解析】由于 ()()()5 422521221221i a a i ai i ai z z ++-=++=-+=为纯虚数，则1=a ，则=1z 5，故选择D. 考点：复数的概念，复数的代数运算，复数的模 2．如图给出的是计算11112462014 ++++L 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（） A ．2013≤i B ．2015≤i C ．2017≤i D ．2019≤i 【答案】B 【解析】由程序知道，2,4,6,2014i =L 都应该满足条件，2016=i 不满足条件，故应该选择B. 考点：算法，程序框图 3．设2 2 4a x dx π ππ-? ?=+ ????，则二项式6(展开式中含2x 项的系数是（） A ．192- B ．193 C ．6- D ．7 【答案】A 【解析】由于()2 2222 22 2 cos sin cos sin 24a x dx x x dx xdx x π ππππππππ- --- ? ?=+=-=== ???? ?? 则6( 含2x 项的系数为192)1(25 16-=-C ，故选择A.

考点：定积分，二项式定理 4．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（） A ． 314 B ．4 C ．3 10 D ．3 【答案】B 【解析】几何体如图，体积为：422 1 3=?，故选择B 考点：三视图，几何体的体积 5．“5≠a 且5-≠b ”是“0≠+b a ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分条件也非必要条件【答案】D 【解析】5≠a 且5-≠b 推不出0≠+b a ，例如2,2-==b a 时0=+b a 0≠+b a 推不出5≠a 且5-≠b ，例如6,5-==b a ，故“5≠a 且5-≠b ”是“0≠+b a ”的既不充分又不必要条件，故选择D 考点：充要条件 6．已知实数等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论中一定成立的（） A ．若03>a ，则02013a ，则02014 a ，则02013>S