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人教版九年级数学下册-相似多边形及位似--知识讲解(包含典型例题讲解)

相似多边形及位似--知识讲解（包含典型例题讲解）

【学习目标】

1、掌握相似多边形的性质及应用；

2、了解图形的位似，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图

形放大或缩小；

3、了解黄金分割值及相关运算.

【要点梳理】

要点一、相似多边形

相似多边形的性质：

（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．

（2）相似多边形的周长比等于相似比．

（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．

要点诠释：

用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：

（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；

（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；

（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.

要点二、位似

1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

2.位似图形的性质:

（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；

（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

要点诠释：

（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.

（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：

图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤

第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；

第二步：作位似中心与各关键点连线；

第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；

第四步：顺次连接各对应点.

要点诠释：

位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.

要点三、黄金分割位似和黄金分割

定义：如图，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即

AP PB =（此时线段AP 叫作线段PB 、AB 的比例中项），则P 点就是线段AB 的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．

要点诠释：

1.黄金分割值：设AB=1，AP=x ，则BP=x -1 ∵

AB AP

AP PB = ∴1

x x =- ∴x x -=12

∴618.02

5≈-=

x (舍负) 2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．

黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．

【典型例题】类型一、相似多边形

1.如图，矩形草坪长20m ，宽16m,沿草坪四周有2m 宽的环形小路，小路内外边缘所形

成的两个矩形相似吗？为什么？

【答案与解析】

因为矩形的四个角都是直角，所以关键是看矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比是否相等.

=，

而

≠，∴

≠

∴矩形ABCD与矩形EFGH 的对应边的比不相等，因而它们不相似.

【总结升华】两个边数相同的多边形，必须同时满足“对应边的比都相等，对应角都相等”这两个条件才能相似，缺一不可.

举一反三

【变式】如图，一张矩形纸片ABCD的长AB=a，宽BC=b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b=（）

A. 2：1

B. ：1

C. 3：

D. 3：2

【答案】B.

提示: ∵矩形纸片对折，折痕为EF，

∴AF=AB=a，

∵矩形AFED与矩形ABCD相似，

∴=，即=，

∴（）2=2，

∴=．故选B．

B C

2.如图，在长8cm ，宽4cm 的矩形中截去一个矩形，使留下的矩形（阴影部分）与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为（）．

A. 2cm 2

B. 4cm 2

C. 8cm 2

D. 16cm 2

【答案】C.

【解析】设留下的矩形的宽为x ，

∵留下的矩形与原矩形相似，

∴

，

∴x=2，

∴留下的矩形的面积为：2×4=8（cm 2）故答案为：8．故选C ．【总结升华】本题主要考查了相似多边形的性质，在解题时要能根据相似多边形的性质列出

方程是本题的关键．

类型二、位似

3. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.

【答案与解析】即是要画一个五边形A ′B ′C ′D ′E ′，要与五边形ABCDE 相似且相似比

为1.5.

画法是：

1．在平面上任取一点O.

2．以O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE.

3．在射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 上分别取点A ′、B ′、C ′、D ′、E ′，使OA ′:OA ＝ OB ′:OB ＝OC ′:OC ＝OD ′:OD ＝OE ′:OE ＝1.5.

4．连结A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′E ′、E ′A ′.

这样：A ′B ′AB ＝B ′C ′BC ＝C ′D ′CD ＝D ′E ′DE ＝A ′E ′AE

＝1.5.

则五边形A ′B ′C ′D ′E ′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似

中心的两侧. 【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.

B C D E A 1

B 1

C 1

D 1

E 1 A

4. 如图，矩形OABC 的顶点坐标分别为O （0，0），A （6，0），B （6，4），C （0，4）.画出以点O 为位似中心，矩形OABC 的位似图形OA ′ B ′ C ′ ，使它的面积等于矩形OABC 面积的

，并分别写出A ′、B ′、C ′三点的坐标.

【答案与解析】

因为矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 是位似图形，面积比为1：4，所以它们的位似比为1：2. 连接OB ，

（1）分别取线段OA 、OB 、OC 的中点A ′、B ′、C ′，连接O A ′、A ′B ′、B ′C ′、 C ′O ，矩形OA ′B ′C ′就是所求的图形.

A ′，

B ′，

C ′三点的坐标分别为A ′（3，0），B ′（3，2），C ′（0，2）. （2）分别在线段OA ，OB ，OC 的反向延长线上截取O A ″、O B ″、O C ″，使OA ″=2

OA ，OB ″=

21OB ，O C ″=2

OC ，连接 A ″B ″、B ″C ″，则矩形O A ″B ″C ″为所求. A ″、B ″、C ″三点的坐标分别为A ″（-3，0），B ″（-3，-2），C ″（0，-2）.

【总结升华】平面直角坐标系内画位似图形，若没有明确指出只画一个，一定要把两种情

况都画在坐标系内，并写出两种坐标. 举一反三

【变式】在已知三角形内求作内接正方形．

【答案】

作法：

（1）在AB 上任取一点G ′，作G ′D ′⊥BC；

（2）以G ′D ′为边，在△ABC 内作一正方形D ′E ′F ′G ′；（3）连接BF ′，延长交AC 于F ；

（4）作FG∥CB，交AB 于G ，从F 、G 分别作BC 的垂线FE ， GD ； ∴四边形DEFG 即为所求．

类型三、黄金分割

5.求做黄金矩形（写出具体做题步骤）并证明. 【答案与解析】宽与长的比是

的矩形叫黄金矩形．（心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．）黄金矩形的作法如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD ；

第二步：分别取AD ，BC 的中点M ，N ，连接MN ；

第三步：以N 为圆心，ND 长为半径画弧，交BC 的延长线于E ；第四步：过E 作EF⊥AD，交AD 的延长线于F ．即矩形DCEF 为黄金矩形．

证明：在正方形ABCD 中，取2AB a =，

∵ N 为BC 的中点，

∴ 1

NC BC a =

=．在Rt DNC △中，

ND ===．

又∵ NE ND =，

∴ 1)CE NE NC a =-=．

∴

CE CD ==

故矩形DCEF 为黄金矩形．

【总结升华】要求熟练掌握多边形相似的比例关系．会利用相似比，求未知线段的长度或比值．

举一反三

【变式】美是一种感觉，当人的肚脐是人的身高的黄金分割点时，人的下半身长与身高之比约为0.618，人的身段成为黄金比例，给人一种美感．某女士身高165cm ，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应穿高跟鞋的高度大约为（） A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm 【答案】D.

C D E

M N