当前位置：文档库 › 培优易错难题二次函数辅导专题训练附答案解析

培优易错难题二次函数辅导专题训练附答案解析

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；

（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）9

；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣

3）．

【解析】

试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；

（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；

（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；

（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．

试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），

∴

930

b c

++=

，解得

，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；

（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣

（x﹣3

）2+

．∵a=﹣1＜0，∴当x=

时，线段PD的长度有最大值

；

（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．

综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；

（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析

式为y=kx+b（k≠0），则

k b

，解得：

，∴直线BC的解析式为y=﹣

3x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．

点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．

2．已知，点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y＝mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．

（1）判断顶点M是否在直线y＝4x+1上，并说明理由．

（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．

（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（1

，y1），D（

，y2）

都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．

【答案】（1）点M在直线y＝4x+1上；理由见解析；（2）x的取值范围是x＜0或x＞

5；（3）①当0＜b＜1

时，y1＞y2，②当b＝

时，y1＝y2，③当

＜b＜

时，y1＜

y2．

【解析】

【分析】

（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；

（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．【详解】

（1）点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，

∴M的坐标是（b，4b+1），

把x＝b代入y＝4x+1，得y＝4b+1，

∴点M在直线y＝4x+1上；

（2）如图1，

直线y＝mx+5交y轴于点B，

∴B点坐标为（0，5）又B在抛物线上，

∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，解得b＝2，

二次函数的解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，

当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，

∴A（5，0）．

由图象，得

当mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；

（3）如图2，

∵直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，

A（5，0），B（0，5）得

直线AB的解析式为y＝﹣x+5，

联立EF，AB得方程组

5 y x

y x

=-+

，

解得

，

∴点E（4

5，

），F（0，1）．

点M在△AOB内，

1＜4b+1＜21

，

∴0＜b＜4

．

当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣1

＝

﹣b，∴b＝

，

且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y＝4x+1上，

综上：①当0＜b＜1

时，y1＞y2，

②当b＝1

时，y1＝y2，

③当1

＜b＜

时，y1＜y2．

【点睛】

本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解（2）的关键是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解（3）的关键是解方程组得出顶点M的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a＜0时，点与对称轴的距离越小函数值越大．

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？

（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求

K 点坐标．

【答案】（1）y=38

x 2﹣

x ﹣3 （2）运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910

（3）K 1（1，﹣278

），K 2（3，﹣158）

【解析】【详解】

试题分析：（1）把点A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a 、b 的解析式，通过解方程组求得它们的值；

（2）设运动时间为t 秒．利用三角形的面积公式列出S △PBQ 与t 的函数关系式S △PBQ =﹣9

（t ﹣1）2+

．利用二次函数的图象性质进行解答；（3）利用待定系数法求得直线BC 的解析式为y=3

4x ﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征

可设点K 的坐标为（m ，3

8m 2﹣34

m ﹣3）．

如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．结合已知条件和（2）中的结果求得S △CBK =

4．则根据图形得到：S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK?m+12

?EK?（4﹣m ），把相关线段的长度代入推知：﹣

34m 2+3m=9

4．易求得K 1（1，﹣278

），K 2（3，﹣158）．

解：（1）把点A （﹣2，0）、B （4，0）分别代入y=ax 2+bx ﹣3（a≠0），得

4230

16430

a b a b --=??

+-=?，解得3834a b ?=????=-??

，

所以该抛物线的解析式为：y=3

8x 2﹣34

x ﹣3；

（2）设运动时间为t 秒，则AP=3t ，BQ=t ． ∴PB=6﹣3t ．

由题意得，点C 的坐标为（0，﹣3）．在Rt △BOC 中，

．如图1，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ．

∴QH ∥CO ， ∴△BHQ ∽△BOC ， ∴

HB OC BG

=，即

Hb 35

=，

∴HQ=

t ． ∴S △PBQ =12PB?HQ=12（6﹣3t ）?35t=﹣910t 2+9

5t=﹣910（t ﹣1）2+910

．

当△PBQ 存在时，0＜t ＜2 ∴当t=1时，

S △PBQ 最大=

910

．答：运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910

；（3）设直线BC 的解析式为y=kx+c （k≠0）．把B （4，0），C （0，﹣3）代入，得

3k c c +=??

=-?，解得3k 4c 3

?=???=-?，

∴直线BC 的解析式为y=3

x ﹣3． ∵点K 在抛物线上．

∴设点K 的坐标为（m ，3

8m 2﹣34

m ﹣3）．

如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．则点E 的坐标为（m ，

m ﹣3）．

∴EK=3

m﹣3﹣（

m2﹣

m﹣3）=﹣

m2+

m．

当△PBQ的面积最大时，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=

9 10

．

∴S△CBK=9

．

S△CBK=S△CEK+S△BEK=1

EK?m+

?EK?（4﹣m）

×4?EK

=2（﹣3

m2+

m）

=﹣3

m2+3m．

即：﹣3

m2+3m=

．

解得 m1=1，m2=3．

∴K1（1，﹣27

），K2（3，﹣

）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．

4．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.

(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?

(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?

【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．

【解析】

【分析】

（1）根据售量与售价x（元/件）之间的关系列方程即可得到结论．

（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．

【详解】

解：（1）根据题意得，（60﹣x）×10+100＝3×100，

解得：x＝40，

60﹣40＝20元，

答：这一星期中每件童装降价20元；

（2）设利润为w，

根据题意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）×10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000

＝﹣10（x﹣50）2+4000，

答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．

【点睛】

本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．

5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；

（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；

（3）符合条件的点P的坐标为（7

，

）或（

，﹣

），

【解析】

分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；

（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接

DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为

负倒数设直线PC的解析式为y=-1 3

x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-

x+3，再解方程组

223

y x x

y x

?-++

＝

得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物

线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．

详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

即y=ax2﹣2ax﹣3a，

∴﹣2a=2，解得a=﹣1，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），

设直线AC的解析式为y=px+q，

把A（﹣1，0），C（0，3）代入得

p q

-+=

，解得

，

∴直线AC的解析式为y=3x+3；

（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点D的坐标为（1，4），

作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），

∵MB=MB′，

∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，

而BD的值不变，

∴此时△BDM的周长最小，

易得直线DB′的解析式为y=x+3，

当x=0时，y=x+3=3，

∴点M的坐标为（0，3）；

（3）存在．

过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，

∵直线AC的解析式为y=3x+3，

∴直线PC的解析式可设为y=﹣1

x+b，把C（0，3）代入得b=3，

∴直线PC的解析式为y=﹣1

x+3，

解方程组

223

y x x

y x

?-++

＝

，解得

或

，则此时P点坐标为（

，

）；

过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，

把A（﹣1，0）代入得1

+b=0，解得b=﹣

，

∴直线PC的解析式为y=﹣1

3x﹣

，

解方程组

223

y x x

y x

?-++

＝

，解得

或

?=-

，则此时P点坐标为（

，﹣

）.

综上所述，符合条件的点P的坐标为（7

，

）或（

，﹣

）.

点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

6．如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．

（1）求点B ，C 的坐标；

（2）判断△CDB 的形状并说明理由；

（3）将△COB 沿x 轴向右平移t 个单位长度（0＜t ＜3）得到△QPE ．△QPE 与△CDB 重叠部分（如图中阴影部分）面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．【答案】(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ)CDB ?为直角三角形；

(Ⅲ)22333(0)22

1933(3)2

22t t t S t t t ?-+<≤??=??=-+<

【解析】【分析】

（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B ，C 的坐标．（2）分别求出△CDB 三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB 为直角三角形．（3）△COB 沿x 轴向右平移过程中，分两个阶段： ①当0＜t≤3

时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形； ②当

2＜t ＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形．【详解】

解：(Ⅰ)∵点()1,0A -在抛物线()2

1y x c =--+上，

∴()2

011c =---+，得4c =

∴抛物线解析式为：()2

14y x =--+，

令0x =，得3y =，∴()0,3C ；令0y =，得1x =-或3x =，∴()3,0B . (Ⅱ)CDB ?为直角三角形.理由如下：由抛物线解析式，得顶点D 的坐标为()1,4. 如答图1所示，过点D 作DM x ⊥轴于点M ，

则1OM =，4DM =，2BM OB OM =-=.

过点C 作CN DM ⊥于点N ，则1CN =，1DN DM MN DM OC =-=-=. 在Rt OBC ?中，由勾股定理得：22223332BC OB OC =+=+=；在Rt CND ?中，由勾股定理得：2222112CD CN DN =+=+=；在Rt BMD ?中，由勾股定理得：22222425BD BM DM =+=+=.

∵222BC CD BD +=， ∴CDB ?为直角三角形.

(Ⅲ)设直线BC 的解析式为y kx b =+， ∵()()3,0,0,3B C ，

∴303k b b +=??=?

，

解得1,3k b =-=，

∴3y x =-+，

直线QE 是直线BC 向右平移t 个单位得到，

∴直线QE 的解析式为：()33y x t x t =--+=-++；设直线BD 的解析式为y mx n =+， ∵()()3,0,1,4B D ， ∴30

m n m n +=??

+=?，解得：2,6m n =-=，

∴26y x =-+.

连续CQ 并延长，射线CQ 交BD 交于G ，则3,32G ?? ???

. 在COB ?向右平移的过程中： (1)当3

t <≤

时，如答图2所示：

设PQ 与BC 交于点K ，可得QK CQ t ==，3PB PK t ==-. 设QE 与BD 的交点为F ，则：26

3y x y x t

=-+??

=-++?.

解得32x t

y t

=-??

=?，

∴()3,2F t t -.

111

222

QPE PBK FBE F S S S S PE PQ PB PK BE y ???=--=

?-?-? ()2

21113333232222

t t t t t =??---?=-+. (2)当

t <<时，如答图3所示：

设PQ 分别与BC BD 、交于点K 、点J . ∵CQ t =，

∴KQ t =，3PK PB t ==-.

直线BD 解析式为26y x =-+，令x t =，得62y t =-， ∴(),62J t t -.

PBJ PBK S S S PB PJ

PB PK ??=-=

?-? ()()()2

11362322

t t t =

---- 219322

t t =-+. 综上所述，S 与t 的函数关系式为：22333022193332

22t t t S t t t ??

?-+<≤ ????

?=?

?=-+<< ?????.

7．如图，直线y ＝-

x-3与x 轴，y 轴分别交于点A ，C ，经过点A ，C 的抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3与x 轴的另一个交点为点B(2，0)，点D 是抛物线上一点，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，连接AD ，DC ．设点D 的横坐标为m ． (1)求抛物线的解析式；

(2)当点D 在第三象限，设△DAC 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出S 的最大值及此时点D 的坐标；

(3)连接BC ，若∠EAD ＝∠OBC ，请直接写出此时点D 的坐标．

【答案】(1)y ＝14x 2+x ﹣3；(2)S △ADC =﹣34

(m+3)2+274；△ADC 的面积最大值为27

4；此时D(﹣3，﹣15

)；(3)满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21). 【解析】【分析】

（1）求出A 坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE 与AC 的交点为点F.设点D 的坐标为：(m ，

14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣1

m ﹣3)，根据S △ADC ＝S △ADF +S △DFC 求出解析式，再求最值；（3）①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ．

②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y ＝3

x+9，解方程组求出函数图像交点坐标. 【详解】

解：(1)在y ＝﹣

x ﹣3中，当y ＝0时，x ＝﹣6，即点A 的坐标为：(﹣6，0)，

将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y ＝ax 2+bx ﹣3得：

36630

4230

a b a b --=??

+-=?，解得：141

a b ?=?

??=?，

∴抛物线的解析式为：y ＝14

x 2

+x ﹣3； (2)设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣1

m ﹣3)，设DE 与AC 的交点为点F.

∴DF ＝﹣12m ﹣3﹣(14m 2+m ﹣3)＝﹣14m 2﹣3

m ， ∴S △ADC ＝S △ADF +S △DFC

＝12DF?AE+1

2?DF?OE ＝1

DF?OA ＝

12×(﹣14m 2﹣3

m)×6 ＝﹣34m 2﹣9

2m ＝﹣34

(m+3)2+274，

∵a ＝﹣

＜0， ∴抛物线开口向下，

∴当m ＝﹣3时，S △ADC 存在最大值274

，又∵当m ＝﹣3时，

m 2+m ﹣3＝﹣154，

∴存在点D(﹣3，﹣

，使得△ADC 的面积最大，最大值为274

； (3)①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ． ②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y ＝

x+9，由23

134

y x y x x ?=+

????=+-??，解得60x y =-??=?或821x y =??=?，

此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，满足条件，综上所述，满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)

【点睛】

本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．.

8．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过A （﹣1，0），B （3，0）两点，且与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE 交x 轴于点E ，连接BD ．（1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）点P 是线段BD 上一点，当PE ＝PC 时，求点P 的坐标．

【答案】（1）y ＝﹣x 2+2x +3；（2）点P 的坐标为（2，2）．

【分析】

（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；

（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，设出点P的坐标为（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标．

【详解】

解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，

∴

930

b c

--+=

-++=

，解得

，

∴所求的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图，连接PC，PE．

抛物线的对称轴为x＝

22(1)

-=-

＝1．

当x＝1时，y＝4，

∴点D的坐标为（1，4）．

设直线BD的解析式为y＝kx+b，

则

30 k b

k b

，

解得

．

∴直线BD的解析式为：y＝2x+6，

设点P的坐标为（x，﹣2x+6），又C（0，3），E（1，0），

则PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，

∵PC＝PE，

∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，

解得，x＝2，

则y＝﹣2×2+6＝2，

∴点P的坐标为（2，2）．

本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．

9．当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y （本）与销售单价x （元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．

（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠(06)a a <≤元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a 的值．

【答案】（1）10500(3038)y x x =-+；（2）2a =．【解析】【分析】

（1）根据题意列函数关系式即可；

（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．根据题意得到w=（x-20-a ）（-10x+500）=-10x 2+（10a+700）x-500a-10000（30≤x≤38）求得对称轴为x ＝35+1

a ，且0＜a ≤6，则30＜35+

12a ≤38，则当1

352x a =+时，w 取得最大值，解方程得到a 1=2，a 2=58，于是得到a=2．【详解】

解：（1）根据题意得，()()2501025105003038y x x x =--=-+；（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．

()()()()220105001010700500100003038w x a x x a x a x =---+=-++--

对称轴为x ＝35+12a ，且0＜a ≤6，则30＜35+1

a ≤38，则当1

352

x a =+时，w 取得最大值， ∴1135201035500196022a a x a ?????

---++= ? ????

?????

∴122,58a a ==（不合题意舍去），

∴2a =．【点睛】

本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，正确的理解题意，确定变量，建立函数模型．

10．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M （1，3）的特征线有：x =1，y =3，y =x +2，y =﹣x +4．

问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC ，点B 在第一象限，A 、C 分别在

x 轴和y 轴上，抛物线21

()4

y x m n =

-+经过B 、C 两点，顶点D 在正方形内部．（1）直接写出点D （m ，n ）所有的特征线；

（2）若点D 有一条特征线是y =x +1，求此抛物线的解析式；

（3）点P 是AB 边上除点A 外的任意一点，连接OP ，将△OAP 沿着OP 折叠，点A 落在点A ′的位置，当点A ′在平行于坐标轴的D 点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP 上？

【答案】（1）x =m ，y =n ，y =x +n ﹣m ，y =﹣x +m+n ；（2）21

(2)34

y x =-+；（3）抛物923-23

12距离，其顶点落在OP 上．【解析】

试题分析：（1）根据特征线直接求出点D 的特征线；

（2）由点D 的一条特征线和正方形的性质求出点D 的坐标，从而求出抛物线解析式；（2）分平行于x 轴和y 轴两种情况，由折叠的性质计算即可．

试题解析：解：（1）∵点D （m ，n ），∴点D （m ，n ）的特征线是x =m ，y =n ，y =x +n ﹣m ，y =﹣x +m +n ；

（2）点D 有一条特征线是y =x +1，∴n ﹣m =1，∴n =m +1．∵抛物线解析式为

21()4y x m n =-+，∴21

()14

y x m m =-++，∵四边形OABC 是正方形，且D 点为正方

形的对称轴，D （m ，n ），∴B （2m ，2m ），∴21

(2)24

y m m n m =-+=，将n =m +1带入得到m =2，n =3；

∴D （2，3），∴抛物线解析式为21

(2)34

y x =

-+．（3）①如图，当点A ′在平行于y 轴的D 点的特征线时：

根据题意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，

∴MN=

，∴抛物线需要向下平移的距离=

923

．

②如图，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，设A′（p，3），则OA′=OA=4，OE=3，EA′=22

-=7，∴A′F=4﹣7，设P（4，c）（c＞0），，在Rt△A′FP中，（4﹣

7）2+（3﹣c）2=c2，∴c=1647

，∴P（4，

1647

），∴直线OP解析式为

y=47

x，∴N（2，

827

），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣

827 -

=127

．

综上所述：抛物线向下平移923

或

127

距离，其顶点落在OP上．

点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，解答本题的关键是用正方形的性质求出点D的坐标．

二次函数的定义专项练习30题有答案

二次函数的定义专项练习30题（有答案） 1．下列函数中，是二次函数的有（） 2y=③y=x（1﹣x）④y=﹣x（②1﹣2x）（1+2x）①y=1 A．1个B．2 个C．3个D．4 个 2．下列结论正确的是（） 2．A是二次函数y=ax B．二次函数自变量的取值范围是所有实数C．二次方程是二次函数的特例 D．二次函数自变量的取值范围是非零实数 3．下列具有二次函数关系的是（） A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．正方形的面积y与边长x ）是二次函数，则m等于（）4．若y=（2﹣m ±2 B．2 C．﹣2 D．不A．能确定 2）是二次函数，则m的值是（（m+m）5．若y= B．m =2 C．m=﹣A．1或m=3 D．m =3 ±2m=1

222中，二次函数的个数为（x），y=（x﹣1）6．，下列函数y=3x﹣x，，y=x（﹣2）5个4个D．．A．2个B．3个 C ）7．下列结论正确的是（二次函数中两个变量的值是非零实数A． xB．二次函数中变量的值是所有实数 2． C +bx+cy=ax的函数叫二次函数形如2 D ．c的值均不能为零二次函数y=axa+bx+c中，b，）8．下列说法中一定正确的是（ 2．A c为常数）一定是二次函数，函数y=ax（其中+bx+ca，b B．圆的面积是关于圆的半径的二次函数路程一定时，速度是关于时间的二次函数． C 圆的周长是关于圆的半径的二次函数．D 2）是二次函数的条件是（m﹣n）x+mx+n．函数9y=（n ≠n是常数，且m≠0 B．m、A．m、n是常数，且m 可以为任何常数m、nn≠0 D．C．m、n是常数，且）．下列两个量之间的关系不属于二次函数的是（10 ．速度一定时，汽车行使的路程与时间的关系 A ．质量一定时，物体具有的动能和速度的关系 B ．质量一定时，运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系 C ．从高空自由降落的物体，下降的高度与下降的时间的关系D ）11．下列函数中，y是x二次函数的是（22 DC．．A．y=x﹣1 B．1 y﹣=x+2x =xy210 y=x+﹣ 个函数：12．下面给出了6 222 y=y=；﹣②y=xy=x﹣3x；③；y=④（x⑥+x+1）；⑤①y=3x．﹣1；）其中是二次函数的有（个D．4 C2A．1个B．个．3个 2）之间的关系是（t（g为常量），h13．自由落体公式与h=gt 以上答案都不对D．一次函数C．二次函数A．正比例函数 B．的值一定是_________+kx+1是二次函数，那么k．﹣14．如果函数y=（k3 ）

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练及答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣4 3 与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线 y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=3 2 ．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=3 2 列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到 22x x x x Q P F E ++=，22 y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．【详解】

二次函数专项复习经典试题集锦(含答案)

二次函数专项复习经典试题集锦（含答案）一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点 ),(a c b M 在（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是532+-=x x y ，则有（） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（） B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x

7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0N ，0>P C. 0>M ，0P D. 0N ，0

x 时，求使y ≥2的x 的取值围.

初中二次函数计算题专项训练与答案

初中二次函数计算题专项训练及答案：___________班级：________考号：_______ 1、如下图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴上. （1）求的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由. 2、如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（－1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与轴的正半轴交于点C。（1）求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式。（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数表达式。（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论。 3、已知；函数是关于的二次函数，求： (1)满足条件m的值。 (2)m为何值时，抛物线有最底点?求出这个最底点的坐标，这时为何值时y随的增大而增大? (3)m为何值时，抛物线有最大值?最大值是多少?这时为何值时，y随的增大而减小． 4、如图所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB 的直线为轴建立平面直角坐标系．（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．

二次函数提高难题练习及答案二

5. （ 2014?珠海，第22题9分）如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2）．将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°．得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH．（1）若抛物线l：y=ax2+bx+c经过G、O、E三点，则它的解析式为：y=x2﹣x；（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E 两点之间（不含点R、E）运动，设△PQH的面积为s，当时，确定点Q的横坐标的取值范围．

12．（2014?舟山，第24题12分）如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y=x2上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交x轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为m，△BED 的面积为S．（1）当m=时，求S的值．（2）求S关于m（m≠2）的函数解析式．（3）①若S=时，求的值； ②当m＞2时，设=k，猜想k与m的数量关系并证明．

13.（2014年广东汕尾，第25题10分）如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为 A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 16.（2014?武汉，第25题12分）如图，已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线y=x2交于A，B两点．（1）直线AB总经过一个定点C，请直接出点C坐标；（2）当k=﹣时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；（3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°，求点D到直线AB的最大距离．

二次函数培优专项练习

学习必备欢迎下载 1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是 2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为２.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与抛物线y= - 2x 2 相同，这个函数解析式为________。３.如果函数1)3(2 32 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数, 则k 的值是______ ４.已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线2 1y x =-上，下列说法中正确的是（） A ．若12y y =，则12x x = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y > D ．若120x x <<，则12y y > ５. 抛物线 c bx x y ++=2 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为 322--=x x y ，则b 、c 的值为 A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 ★６.抛物线5)43()1(2 2+--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。M ＝７.二次函数52 -+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。且函数值有最小值，则m 的取值范围是 8.函数245 (5)21a a y a x x ++=-+-, 当a =_______时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是二次函数. 9.抛物线2 )13(-=x y 当x 时，Y 随X 的增大而增大 10.抛物线42 ++=ax x y 的顶点在X 轴上，则a 值为 ★11.已知二次函数2 )3(2--=x y ，当X 取1x 和2x 时函数值相等，当X 取1x +2x 时函数值为 12.若二次函数k ax y +=2 ，当X 取X1和X2（21x x ≠）时函数值相等,则当X 取X1+X2时，函数值为 13.若函数2)3(-=x a y 过（２.９）点，则当X ＝４时函数值Y ＝ ★14.若函数k h x y ---=2 )(的顶点在第二象限则， h 0 ，k 0 15.已知二次函数当x=2时Y 有最大值是１.且过（３.０）点求解析式？ 16.将121222--=x x y 变为n m x a y +-=2)(的形式，则n m ?=_____。 ★17. 已知抛物线在X 轴上截得的线段长为６.且顶点的顶点到x 轴的距离是3, 那么c 的值等于（）（A ）8 （B ）14 （C ）8或14 （D ）-8或-14 19.二次函数y=x 2 -(12-k)x+12,当x>1时，y 随着x 的增大而增大，当x<1时，y 随着x 的增大而减小，则k 的值应取（）（A ）12 （B ）11 （C ）10 （D ）9 20.若0 Ｂ．1a < Ｃ．1a ≥ Ｄ．1a ≤ 30.抛物线y= (k 2-2)x 2 +m-4kx 的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= - 2 1 +2上，求函数解析式。 31.已知二次函数图象与x 轴交点（2,0）(-1,0)与y 轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。 32.y= ax 2 +bx+c 图象与x 轴交于A 、B 与y 轴交于C ，OA=2，OB=1 ，OC=1，求函数解析式 32.抛物线562 -+-=x x y 与x 轴交点为A ，B ，（A 在B 左侧）顶点为C.与Y 轴交于点D (1)求△ABC 的面积。 (2)若在抛物线上有一点M ，使△ABM 的面积是△ABC 的面积的２倍。求M 点坐标(得分点的把握) （3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得 △QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. 4)在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBAC 是等腰梯形，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由

中考数学易错题专题训练-二次函数练习题及答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15. 【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1， ∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5）， ∴S△OA′B′=1 2 ×（2+5）×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的

人教版数学九年级上册《二次函数》综合练习题及答案

二次函数综合练习题附答案 ●基础巩固 1.如果抛物线y =－2x 2+mx －3的顶点在x 轴正半轴上，则m =______. 2.二次函数y =－2x 2+x － 2 1，当x =______时，y 有最______值，为______.它的图象与x 轴______交点(填“有”或“没有”). 3.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图1所示. ①这个二次函数的表达式是y =______；②当x =______时，y =3；③根据图象回答：当x ______时，y >0. 4.某一元二次方程的两个根分别为x 1=－2，x 2=5，请写出一个经过点(－2，0)，(5，0)两点二次函数的表达式：______.(写出一个符合要求的即可) 5.不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是______，此时关于一元二次方程2x 2－6x +m =0的解的情况是______(填“有解”或“无解”). 6.某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为______(只写一个)，此类函数都有______值(填“最大”“最小”). 7.如图2，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m). 8.若抛物线y=x 2－(2k+1)x+k 2+2，与x 轴有两个交点，则整数 k 的最小值是______. 9.已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图1所示，由抛物线的特征你能得到含有a 、b 、c 三个字母的等式或不等式为______(写出一个即可). 10.等腰梯形的周长为60 cm ，底角为60°，当梯形腰x=______

二次函数压轴题专题分类训练

中考二次函数压轴题专题分类训练题型一：面积问题【例1】如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝ 8 9 S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式练习】 1.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由． 2.如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交图2

于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大并求出最大面积． 3．如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点. （1）求抛物线的解析式; （2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P ,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由． C E D G A x y O B F

二次函数单元测试题A卷(含答案)

第22章二次函数单元测试题(A卷) (考试时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列函数不属于二次函数的是（） A．y=（x﹣1）（x+2）B．y=（x+1）2 C．y=2（x+3）2﹣2x2D．y=1﹣x2 2．二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（） A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）3．若将函数y=3x2的图象向左平行移动1个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（） A．y=3（x﹣1）2﹣2 B．y=3（x+1）2﹣2 C．y=3（x+1）2+2 D．y=3（x﹣1）2﹣2 4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（） A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D． 5．给出下列函数：①y=2x；②y=﹣2x+1；③y=（x＞0）；④y=x2（x＜﹣1）．其中，y随x 的增大而减小的函数是（） A．①②B．①③C．②④D．②③④6．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（） A．B． C．D．

7．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分的对应值如下表，则y＞0时，x的取值范围是（） A．﹣1＜x＜2 B．x＞2或x＜﹣1 C．﹣1≤x≤2D．x≥2或x≤﹣1 8．抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点为（） A．二个交点B．一个交点C．无交点D．三个交点9．在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y 与x的函数关系式为（） A．y=πx2﹣4 B．y=π（2﹣x）2C．y=﹣（x2+4）D．y=﹣πx2+16π10．如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（） A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共18分） 11．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是． 12．二次函数y=x2﹣4x+5的最小值为． 13．抛物线y=x2+x﹣4与y轴的交点坐标为． 14．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价元，最大利润为元．

初中二次函数计算题专项训练及答案

初中二次函数计算题专项训练及答案姓名：___________班级：________考号：_______ 1、如下图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴上. （1）求的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由. 2、如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（－1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与轴的正半轴交于点C。（1）求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式。（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数表达式。（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论。 3、已知；函数是关于的二次函数，求： (1)满足条件m的值。 (2)m为何值时，抛物线有最底点?求出这个最底点的坐标，这时为何值时y随的增大而增大? (3)m为何值时，抛物线有最大值?最大值是多少?这时为何值时，y随的增大而减小． 4、如图所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB 的直线为轴建立平面直角坐标系．（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．

2017二次函数应用题专题训练

作品编号：DG13485201600078972981 创作者：玫霸* 2017二次函数应用题专题训练 1.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元,设每吨材料售价为x元,该经销店的月利润为y元．（1）当每吨售价为240元时，计算此时的月销售量；（2）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由． 2.(2010德州)为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙店一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元. （1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？

3.（2010恩施）恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．（1）若存放x 天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y 元，试写出y 与x 之间的函数关系式．（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用）（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 4(2010河北)某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y =100 1 x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳100 1x 2 元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）．（1）当x = 1000时，y = 元/件，w 内 = 元；（2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a 的值；（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内

人教版初中数学九年级上册二次函数综合题训练及答案

二次函数中考综合题 1、如图11，抛物线与轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）. (1)求a的值及直线AC的函数关系式； (2)P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N. ①求线段PM长度的最大值； ②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与 △APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由. 解：（1）由题意得6=a(-2+3)(-2-1)∴a=-21分 ∴抛物线的函数解析式为y=-2(x+3)(x-1)与x轴交于B（-3，0）、 A（1，0）设直线AC为y=kx+b，则有0=k+b 6=-2k+b解得k=-2 b=2 ∴直线AC为y=-2x+2 （2）①设P的横坐标为a(-2≤a≤1)，则P（a,-2a+2），M（a,-2a2-4a+6）4分 ∴PM=-2a2-4a+6-(-2a+2)=-2a2-2a+4=-2a2+a+14+92 =-2a+122+92 ∴当a=-12时，PM的最大值为92 ②M1（0，6） M2（-14，678） 2、如图9，已知抛物线y=x2–2x＋1的顶点为P， A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点O′，过点B和P的直线l 交y轴于点C，连结O′C，将△ACO′沿O′C翻折后，点A落在点D的位置． (1) (3分) 求直线l的函数解析式；图9 (2) (3分) 求点D的坐标； (3) (3分) 抛物线上是否存在点Q，使得S△DQC= S△DPB? 若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

实际问题与二次函数-详解与练习(含答案)

. 初中数学专项训练：实际问题与二次函数（人教版）一、利用函数求图形面积的最值问题一、围成图形面积的最值 1、只围二边的矩形的面积最值问题例1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。（1）设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式；（2）当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？分析：关键是用含x 的代数式表示出矩形的长与宽。解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米），根据题意，得：x x x x y 18)18(2 +-=-=；又∵180,0 180 ＜x＜x ＞x ＞∴?? ?- （2）∵x x x x y 18)18(2 +-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值，即当9) 1(218 2=-?-=- =a b x 时，81)1(41804422max =-?-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。 2、只围三边的矩形的面积最值例2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（2 50x -）（米），根据题意，得：x x x x y 252 1 )250( 2+-=-=；又∵500,02 500 ＜x＜＞x x ＞∴??? ??- ∵x x x x y 2521)250( 2+-=-=中，a=2 1 -＜0，∴y 有最大值，即当25) 2 1(2252=-?- =-=a b x 时，2625) 2 1(42504422max =-?-=-=a b ac y

中考二次函数大题综合训练(附答案)

2 1、如图，抛物线 y x bx c 与x 轴交与A （1,0）,B （- 3 ，0）两点，（1 ）求该抛物线的解析式；（2 ）设（ 1 ）中的抛物线交 y 轴与 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由 . 2、（2009 年兰州）如图 17 ，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为所在直线为 x 轴建立直角坐标系 . （1）直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标；（2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架” AD- DC- CB ，使 C 、D 点在抛物线上， A 、B 点在地面 OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？二次函数综合训练 6 米，底部宽度 OM 为 12 米. 现以 O 点为原点， OM

y 3 x 6 y 5x 3、如图，直线4分别与 x轴、y轴交于 A、B两点，直线4与AB 交于点 C，与过点 A 且平行于 y 轴的直线交于点 D．点 E从点 A 出发，以每秒向左运动．过点 E 作 x 轴的垂线，分别交直线 AB 、OD 于 P、Q 两点，形 PQMN ，设正方形 PQMN 与△ACD 重叠部分（阴影部分）的面积为运动时间为 t （秒）． 1 ）求点 C 的坐标．（ 1 分） 2）当 0

二次函数复习专项练习

二次函数专项练习一、二次函数图像及其性质有关 1、经过原点的抛物线是（） A y=2x 2+x B 2 21) y x =+ （ C y=2x2-1 D y=2x2+1 2、已知反比例函数 x k y=的图象如图所示，则二次函数2 2 2k x kx y+ - =的图象大致为（） 4．在反比例函数y= x k 中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=kx2＋2kx的图象大致是（） 5．二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象大致为（） 6二次函数y=ax2＋bx＋c与一次函数y=ax＋c在同一坐标系中的图象大致是图中的（） 7在同一坐标系中，函数y=ax2＋bx与y=x b 的图象大致是图中的（） y O x y O x y O x y O x y O x A B C D

8图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2 ＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（） 9．如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2 ＋bx ＋c 的大致图象为（） 10．函数y=ax 2 ＋bx ＋c 和y=ax ＋b 在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（）二、与移动有关 1、抛物线y= 2 1x 2 向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是 A 、y= 2 1 (x －3)2－2 B 、y= 21(x －3)2+2 C 、y=21(x+3)2－2 D 、y=2 1 (x+3)2+2 2．将抛物线y=2x 2 向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线，其表达式为（） A ．y=2（x ＋1）2＋3 B ．y=2（x －1）2 －3 C ．y=2（x ＋1）2－3 D ．y=2（x －1）2 ＋3 3．将抛物线y=3x 2 －2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线为（） A ．y=3（x ＋2）2＋1 B ．y=3（x －2）2 －1 C ．y=3（x ＋2）2－5 D ．y=3（x －2）2 －2 4．抛物线y=2x 2 向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为．

实际问题与二次函数练习题及答案

26.3 实际问题与二次函数 1．某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，计划全商场日营业额(指每天卖出商品所收到的总金额)为60万元，由于营业性质不同，分配到三个部的售货员的人数也就不等，根据经验，各类商品每1万元营业额所需售货员人数如表（1），每1万元营业额所得利润情况如表（2）。商场将计划日营业额分配给三个经营部，设分配给百货部，服装部和家电部的营业额分别为x ，y 和z （单位：万元，x 、y 、z 都是整数）。（1）请用含x 的代数式分别表示y 和z ；（2）若商场预计每日的总利润为C （万元），且C 满足19≤C ≤19.7。问商场应如何分配营业额给三个经营部？各应分别安排多少名售货员？ 2.某宾馆有50个房间供游客居住。当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆每天对每个房间需支出20元的各种费用。房价为多少时，宾馆利润最大？ 3. 心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力初步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y 随时间t 的变化规律有如下关系（04黄冈）（1）讲课开始后第5分钟与讲课开始第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？（3）一道数学题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力达到180，那么经过适当安排，老师能否在注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 224100(010)240(1020) 7380(2040)t t t y t t t ?-++<≤??=<≤??-+<≤??

九年级数学《二次函数》综合练习题及答案

相关文档

 二次函数专题训练

二次函数专题训练题

二次函数难题训练

二次函数培优专题训练

二次函数培优专题

二次函数综合训练题

相关文档

教学设计——二次函数专题训练点的存在性问题

(完整版)初中数学二次函数专题经典练习题(附答案)

二次函数培优专项练习

(完整)初三二次函数专题训练及解析

二次函数专题训练题

数学二次函数的专项培优练习题(含答案)及答案

最新初中数学二次函数专项训练及答案

初中数学二次函数专题训练与答案

广州中考数学易错题专题复习-二次函数练习题

(完整版)二次函数的图像和性质专项练习题

(完整版)初三数学二次函数专题训练(含标准答案)-

二次函数综合训练专题

二次函数专题训练(一)

初中二次函数计算题专项训练与答案

初三数学二次函数专题训练(含答案)

二次函数专项复习经典试题集锦(含答案)

二次函数应用题专题训练

初中数学二次函数专题训练及答案

《二次函数的应用》专题练习

2017二次函数应用题专题训练

最新文档

幼儿园小班科学《小动物过冬》PPT课件教案

2021年春新青岛版(五四制)科学四年级下册 20.《露和霜》教学课件

自然教育课件

小学语文优质课火烧云教材分析及课件

(超详)高中语文知识点归纳汇总

高中语文基础知识点总结(5篇)

高中语文基础知识点总结(最新)

高中语文知识点整理总结

高中语文知识点归纳

高中语文基础知识点总结大全

超详细的高中语文知识点归纳

高考语文知识点总结高中

高中语文知识点总结归纳

高中语文知识点整理总结

高中语文知识点归纳

高中语文知识点归纳(大全)

高中语文知识点总结归纳(汇总8篇)

高中语文基础知识点整理

化工厂应急预案

化工消防应急预案(精选8篇)

培优 易错 难题二次函数辅导专题训练附答案解析

二次函数的定义专项练习30题有答案

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练及答案

二次函数专项复习经典试题集锦(含答案)

培优易错难题二次函数辅导专题训练附答案解析