14.2017-2020上海市高三数学二模分类汇编：应用题

19（2019松江二模）. 国内某知名企业为适应发展的需要，计划加大对研发的投入，据了解，该企业原有100名技术人员，年人均投入m 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名（*x ∈N 且[45,60]x ∈），调整后研发人员的年人均投入增加2x %，技术人员的年人均投入调整为3()50

x m a -万元. （1）要使这100x -名研发人员的年总投入恰好与调整前100名技术人员的年总投入相同， 求调整后的技术人员的人数；

（2）是否存在这样的实数a ，使得调整后，在技术人员的年人均投入不减少的情况下，研 发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入？若存在，求出a 的范围，若不存在，说 明理由.

19（2019静安二模）.某文化创意公司开发出一种玩具（单位：套）进行生产和销售．根据以往经验，每月生产x 套玩具的成本p 由两部分费用（单位：元）构成：

a.固定成本（与生产玩具套数x 无关），总计一百万元；

b. 生产所需的直接总成本50x +1100x 2．

（1）问：该公司每月生产玩具多少套时，可使得平均每套所需成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多少？

（2）假设每月生产出的玩具能全部售出，但随着x 的增大，生产所需的直接总成本在急剧增加，因此售价也需随着x 的增大而适当增加.设每套玩具的售价为q 元，q =a +x b (a,b ∈R ).若当产量为15000套时利润最大，此时每套售价为300元，试求a 、b 的值．（利润=销售收入-成本费用）

19（2020普陀二模）. 某小区楼顶成一种“楔体”形状，该“楔体”两端成对称结构，其内部为钢架结构（未画出全部钢架，如图1所示，俯视图如图2所示），底面ABCD 是矩形，10AB =米，50AD =米，屋脊EF 到底面ABCD 的距离即楔体的高为1.5米，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直且与底面的交线为GH ，5AG =米，FO 为立柱且O 是GH 的中点.

（1）求斜梁FB 与底面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）求此楔体ABCDEF 的体积.

19（2020闵行二模）. 如图，A 、B 两地相距100公里，两地政府为提升城市的抗疫能力，决定在A 、B 之间选址P 点建造储备仓库，共享民生物资，当点P 在线段AB 的中点C 时，建造费用为2000万元，若点P 在线段AC 上（不含点A ），则建造费用与P 、A 之间的距离成反比，若点P 在线段CB 上（不含点B ），则建造费用与P 、B 之间的距离成反比，现假设P 、A 之间的距离为x 千米（0100x <<），A 地所需该物资每年的运输费用为2.5x 万元，B 地所需该物资每年的运输费用为0.5(100)x -万元，()f x 表示建造仓库费用，()g x 表示两地物资每年的运输总费用（单位：万元）.

（1）求函数()f x 的解析式；

（2）若规划仓库使用的年限为n （*N n ∈），()()()H x f x ng x =+，求()H x 的最小值，并解释其实际意义.

19（2020宝山二模）. 据相关数据统计，2019年底全国已开通5G 基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进5G 通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个.

（1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有 基站多少万个. （精确到0.1万个）

（2）如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后 新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个才能完成 计划？（精确到1万个）

19（2020金山二模）. 随着疫情的有效控制，人们的生产生活逐渐向正常秩序恢复，位于我区的某著名赏花园区重新开放，据统计研究，近期每天赏花的人数大致符合以下数学模型

（*N n ∈）：以611200150016()30032400728234006502936n n n f n n n n -+≤≤???=?+≤≤??-≤≤??

表示第n 个时刻进入园区的人数，

以0115()4005000162882002936n g n n n n ≤≤??=-≤≤??≤≤?

表示第n 个时刻离开园区的人数.设定每15分钟为一

个计算单位，上午8点15分作为第1个计算人数单位，即1n =，8点30分作为第2个计

算单位，即2n =，依次类推，把一天内从上午8点到下午5点分成36个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）.

（1）试分别计算当天12：30至13：30这一小时内，进入园区的游客人数(19)(20)f f + (21)(22)f f ++和离开园区的游客人数(19)(20)(21)(22)g g g g +++；

（2）请问，从12点（即16n =）开始，园区内游客总人数何时达到最多？并说明理由.

19（2020奉贤二模）. 甲、乙两地相距300千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过100千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v （千米/小时）的平方成正比，比例系数为b （0b >），固定部分为1000元.

（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/小时）的函数，丙指出这个函数的定义域；

（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

19（2020松江二模）. 新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，某地政府决定为防护服生产企业

A 公司扩大生产提供x （[0,10]x ∈）

（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，A 公司在收到政府x （万元）补贴后，防护服产量将增加到12(6)4t k x =?-+（万件），其中k 为工厂工人的复工率（[0.5,1]k ∈），A 公司生产t 万件防护服还需投入成本(20850)x t ++（万元）.

（1）将A 公司生产防护服的利润y （万元）表示为补贴x （万元）的函数；

（2）对任意的[0,10]x ∈（万元），当复工率k 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？ （精确到0.01）

19（2020崇明二模）. 某开发商欲将一块如图所示的四边形空地ABCD 沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的施工区域，经测量，边界AB 与AD 的长都是2千米，60BAD ∠=?，

120BCD ∠=?.

（1）如果105ADC ∠=?，求BC 的长（结果精确到0.001千米）；

（2）围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材？（不计损耗，结果精确到0.001千米）

19（2020浦东二模）. 疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案，方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x （万元）的50%，经测算政府决定采用函数模型()44x b f

x x

=-+（其中b 为参数）作为补助款发放方案. （1）判断使用参数12b =是否满足条件，并说明理由；

（2）求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围.

19（2020长宁二模）. 培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N ，已知向水中每投放1个单位的物质N ，x （单位：天）时刻后水中含有物质N 的量增加/ymol L ，

y 与x 的函数关系可近似地表示为16806212612x y x x x ?-≤≤?=+??-<≤?，根据经验，当水中含有物质

的量N 不低于4/mol L 时，物质N 才能有效发挥作用.

（1）若在水中首次投放1个单位的物质N ，计算物质N 能持续有效发挥作用几天？

（2）若在水中首次投放1个单位的物质N ，第8天再投放1个单位的物质N ，试判断第8天至第12天，水中所含物质N 的量是否始终不超过6/mol L ，并说明理由.

19（2020虹口二模）. 某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为R 的圆内做一个关于圆心对称的“H 型”图形，“H ”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖直的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的

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倍，设O 为圆心，2AOB α∠=，记“H ”型图形的面积为S .

（1）将AB 、AD 用R 、α表示，并将S 表示成α的函数；

（2）为了突出“H ”型图形，设计时应使S 尽可能大，则当α为何值时，S 最大？并求出S 的最大值.

19（2020徐汇二模）. 某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为503米、圆心角为60°的扇形OAB 草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点M 、N 在线段OB 上，另两个顶点P 、Q 分别在弧AB 、线段OA 上.

（1）若45PON ∠=?，求此红旗图案的面积S ；

（2）求组成的红旗图案的最大面积.

19（2020杨浦二模）. 某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{}n I ，{}n I 表示第n 周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：

策略A ：环境整治，“虫害指数”数列满足：1 1.020.20n n I I +=-；

策略B ：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足：1 1.080.46n n I I +=-；

当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除.

（1）设第一周的虫害指数1[1,8]I ∈，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？

（2）设第一周的虫害指数13I =，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？

19（2020嘉定二模）. 某村共有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为2万元，为了调整产业结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工，据估计，若能动员x （*x ∈N ）户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入比上一年提高2%x ，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为92()50

a x -（0a >）万元. （1）在动员x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前100户农民的总年收入，求x 的取值范围；

（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求a 的最大值.

19（2020青浦二模）. 上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利. 已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，*t ∈N ，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当210t ≤≤时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为()p t .

（1）求()p t 的表达式，并求在该时段内发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；

（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t

-=-（元），问当发车时间 间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？

19（2020黄浦二模）. 某公园计划在矩形空地上建造一个扇形花园，如图1所示，矩形ABCD 的AB 边与BC 边的长分别为48米与40米，扇形的圆心O 为AB 中点，扇形的圆弧端点E 、F 分别在AD 与BC 上，圆弧的中点G 在CD 上.

（1）求扇形花园的面积（精确到1平方米）；

（2）若在扇形花园内开辟出一个矩形区域1111A B C D 为花卉展览区，如图2所示，矩形1111A B C D 的四条边与矩形ABCD 的对应边平行，点1A 、1B 分别在OE 、OF 上，点1C 、1D 在扇形的弧上，某同学猜想：当矩形1111A B C D 面积最大时，两矩形1111A B C D 与ABCD 的形状恰好相同（即长与宽之比相同），试求花卉展览区1111A B C D 面积的最大值，并判断上述猜想是否正确（请说明理由）.