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数值实验题程序设计报告

2015~2016学年华中科技大学研究生课程《数值分析》课程报告

数值实验题程序设计报告

院系:电气与电子工程学院

专业:__ 电气工程_

任课教师:___************* __

学生姓名:__ _**************_

学号:*********** _

电话:__ ************

二○一六年五月

目 录

1 数值实验题1 ................................................................................................................................ 1 1.1 实验1.1病态问题 ..................................................................................................................... 1 1.2问题提出 ..................................................................................................................................... 1 1.3实验内容 ..................................................................................................................................... 1 1.4实验要求 ..................................................................................................................................... 1 1.5实验过程 ..................................................................................................................................... 2 1.5.1当选用19x ε时ess 的变化结果 .............................................................................................. 2 1.5.2当选用18x ε时ess 的变化结果 .............................................................................................. 5 1.6实验程序 ..................................................................................................................................... 8 2 数值实验题2 ................................................................................................................................ 9 2.1实验2.1 多项式插值的振荡现象 ............................................................................................. 9 2.2问题提出 ..................................................................................................................................... 9 2.3实验内容 ..................................................................................................................................... 9 2.4实验要求 ..................................................................................................................................... 9 2.5实验过程 ................................................................................................................................... 10 2.5.1当取f(x)时的实验结果 ......................................................................................................... 10 2.5.2当取h(x)时的实验结果 ........................................................................................................ 13 2.5.3当取g(x)时的实验结果 ........................................................................................................ 17 2.6实验程序 ................................................................................................................................... 20 3数值实验题3 ............................................................................................................................... 21 3.1实验内容 ................................................................................................................................... 21 3.2实验要求 ................................................................................................................................... 21 3.3实验过程 ................................................................................................................................... 21 3.4实验程序 ................................................................................................................................... 22 4数值实验题4 ............................................................................................................................... 23 4.1实验目的 ................................................................................................................................... 23 4.2实验题目 ................................................................................................................................... 23 4.3实验要求 ................................................................................................................................... 23 4.4实验计算过程 ........................................................................................................................... 24 4.4.1采用复化梯形余项公式时,步长h 的计算 ........................................................................ 24 4.4.2采用复化Simpson 余项公式时,步长h 的计算 ................................................................ 24 4.4.3采用复化Gauss-Legendre Ⅰ形公式,步长h 的计算 ......................................................... 24 4.5在MA TLAB 下采用三种复化形公式的实验结果 ................................................................ 24 4.5.1采用复化梯形公式的实验结果 ............................................................................................ 24 4.5.2采用复化Simpson 形公式的实验结果 ................................................................................ 25 4.5.3采用复化Gauss-Legendre Ⅰ形公式的实验结果 ................................................................. 25 4.6实验结果分析 ........................................................................................................................... 26 4.7实验程序 .. (26)

1 数值实验题1

1.1 实验1.1病态问题

实验目的:算法有“优”与“劣”之分,问题也有“好”和“坏”之别。对数值方法的研究而言,所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感,反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。

数值分析的大部分研究课题中,如线性代数方程组、矩阵特征值、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决,当然一般要付出一些代价,如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等。

1.2问题提出

考虑一个高次的代数多项式

20

1

(x)(x 1)(x 2)

(x 20)(x k),i p ==---=-∏ (E.1.1)

显然该多项式的全部根为1,2,…,20,,共计20个,且每个根都是单重的(也称为简

单的),现考虑该多项式的一个扰动 19

(x)0,p x ε+= (E.1.2) 其中,ε是一个非常小的数。这相当于是对方程(E.1.1)中19x 的系数作一个小的扰动。比较方程(E.1.1)和方程(E.1.2)根的差别,从而分析方程(E.1.1)的解对扰动的敏感性。

1.3实验内容

为了实验方便,我们先介绍两个Matlab 函数:“roots ”和“poly ”。

(a)u roots =

其中,若变量a 存储(n+1)维的向量,则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,n a a a +,则输出u 的各分量是多项式方程

11210n n n n a x a x a x a -+++

++=

的全部根,而函数

(v)b poly =

的输出b 是一个(n+1)维变量,它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。

(1,21);ve zeros =

(2)ess;ve =

(poly(1:20)ve).roots +

上述简单的Matlab 程序便得到方程(E.1.2)的全部根,程序中"ess"即是(E.1.2)中的ε

1.4实验要求

(1)选择充分小的ess 反复进行上述实验,记录结果的变化并进行分析。如果扰动项的系数ε很小,我们自然感觉方程(E.1.1)和方程(E.1.2)的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现?表明有些解关于如此的扰动敏感性如何?

(2)将方程(E.1.2)中的扰动项改成18x ε或其他形式,实验中又有怎样的现象出现?

1.5实验过程

1.5.1当选用19x ε时ess 的变化结果

(1)当选用19x ε时,ess 从0、0.00001、0.00005、0.0001、0.0005、0.001、0.005、0.01、0.05、0.1、0.5、1时,所得实验结果如下: t_charpt1_1

对扰动项19加扰动0得到的全部根为: 20.0003 18.9972 18.0112 16.9711 16.0483 14.9354 14.0653 12.9491 12.0334 10.984 10.0061 8.99839 8.00028 6.99997 6 5 4 3 2 1

>> t_charpt1_1

对扰动项19加扰动1e-05得到的全部根为: 22.5961+2.3083i 22.5961-2.3083i 18.8972+5.00563i 18.8972-5.00563i 14.9123+4.95848i 14.9123-4.95848i 12.0289+3.73551i 12.0289-3.73551i 10.059+2.33021i 10.059-2.33021i 8.63829+1.05641i 8.63829-1.05641i 7.70894+0i 7.02801+0i

5.99942+0i 5.00001+0i 4+0i 3+0i 2+0i 1+0i >> t_charpt1_1

对扰动项19加扰动5e-05得到的全部根为: 23.8181+3.00656i 23.8181-3.00656i 19.1747+6.21504i 19.1747-6.21504i 14.6418+5.88103i 14.6418-5.88103i 11.6375+4.34245i 11.6375-4.34245i 9.69262+2.74569i 9.69262-2.74569i 8.32566+1.36609i 8.32566-1.36609i 7.21097+0.165748i 7.21097-0.165748i 5.99712+0i 5.00003+0i 4+0i 3+0i 2+0i 1+0i >> t_charpt1_1

对扰动项19加扰动0.0001得到的全部根为: 24.4447+3.37436i 24.4447-3.37436i 19.2849+6.80828i 19.2849-6.80828i 14.4937+6.29978i 14.4937-6.29978i 11.4483+4.60422i 11.4483-4.60422i

9.52361+2.92023i

9.52361-2.92023i

8.18506+1.49491i

8.18506-1.49491i

7.12254+0.321995i

7.12254-0.321995i

5.99432+0i

5.00006+0i

4+0i

3+0i

2+0i

1+0i

>> t_charpt1_1

对扰动项19加扰动0.0005得到的全部根为: 26.1859+4.4493i

26.1859-4.4493i

19.4861+8.38755i

19.4861-8.38755i

14.0577+7.31715i

14.0577-7.31715i

10.9567+5.2065i

10.9567-5.2065i

9.10466+3.31175i

9.10466-3.31175i

7.84491+1.78143i

7.84491-1.78143i

6.8767+0.56314i

6.8767-0.56314i

5.97383+0i

5.00031+0i

4+0i

3+0i

2+0i

1+0i

>> t_charpt1_1

对扰动项19加扰动0.001得到的全部根为: 27.0817+5.03812i

27.0817-5.03812i

19.5337+9.1664i

19.5337-9.1664i

13.8235+7.77167i

13.8235-7.77167i

10.7211+5.4609i

10.7211-5.4609i 8.91282+3.47317i

8.91282-3.47317i

7.69268+1.89884i

7.69268-1.89884i

6.75761+0.654702i

6.75761-0.654702i

5.95208+0i

5.00061+0i

4+0i

3+0i

2+0i

1+0i

>> t_charpt1_1

对扰动项19加扰动0.005得到的全部根为: 29.5873+6.83652i

29.5873-6.83652i

19.4854+11.2382i

19.4854-11.2382i

13.1507+8.84996i

13.1507-8.84996i

10.1162+6.03078i

10.1162-6.03078i

8.44148+3.82721i

8.44148-3.82721i

7.32676+2.15573i

7.32676-2.15573i

6.46665+0.860285i

6.46665-0.860285i

5.84301+0i

5.00309+0i

3.99999+0i

3+0i

2+0i

1+0i

>> t_charpt1_1

对扰动项19加扰动0.01得到的全部根为: 30.8853+7.86593i

30.8853-7.86593i

19.3654+12.2526i

19.3654-12.2526i

12.7983+9.31692i

12.7983-9.31692i

9.83019+6.26377i

9.83019-6.26377i

8.22775+3.96936i

8.22775-3.96936i

7.16417+2.25903i

7.16417-2.25903i

6.33873+0.945308i

6.33873-0.945308i

5.76415+0i

5.00627+0i

3.99998+0i

3+0i

2+0i

1+0i

>> t_charpt1_1

对扰动项19加扰动0.05得到的全部根为: 34.5342+11.1798i

34.5342-11.1798i

18.7297+14.8984i

18.7297-14.8984i

11.8166+10.3768i

11.8166-10.3768i

9.10803+6.76427i

9.10803-6.76427i

7.70853+4.27124i

7.70853-4.27124i

6.77645+2.48012i

6.77645-2.48012i

6.03817+1.13011i

6.03817-1.13011i

5.49013+0i

5.03659+0i

3.99989+0i

3+0i

2+0i

1+0i

>> t_charpt1_1

对扰动项19加扰动0.1得到的全部根为: 36.4232+13.18i

36.4232-13.18i

18.2486+16.1526i

18.2486-16.1526i

11.3192+10.81i

11.3192-10.81i

8.773+6.95838i

8.773-6.95838i 7.47593+4.38779i

7.47593-4.38779i

6.60562+2.56677i

6.60562-2.56677i

5.90709+1.20368i

5.90709-1.20368i

5.29123+0i

5.10369+0i

3.99978+0i

3+0i

2+0i

1+0i

>> t_charpt1_1

对扰动项19加扰动0.5得到的全部根为: 41.6228+20.0495i

41.6228-20.0495i

16.4581+19.2319i

16.4581-19.2319i

9.98819+11.7151i

9.98819-11.7151i

7.94528+7.34711i

7.94528-7.34711i

6.91849+4.62342i

6.91849-4.62342i

6.20189+2.74667i

6.20189-2.74667i

5.59937+1.36032i

5.59937-1.36032i

5.01648+0.299336i

5.01648-0.299336i

3.99891+0i

3+0i

2+0i

1+0i

>> t_charpt1_1

对扰动项19加扰动1得到的全部根为: 44.1662+24.4655i

44.1662-24.4655i

15.3308+20.5637i

15.3308-20.5637i

9.34248+12.0446i

9.34248-12.0446i

7.57027+7.48405i

7.57027-7.48405i

6.67233+4.70876i 6.67233-4.70876i 6.02566+2.81462i 6.02566-2.81462i 5.46579+1.42161i 5.46579-1.42161i

4.9275+0.362154i 4.9275-0.362154i 3.99784+0i 3+0i 2+0i 1+0i

(2)实验结果分析:当ess 从0不断增大到1时,p(x)方程的根的数值越来越大,逐渐偏离

20

1

(x)(x 1)(x 2)

(x 20)(x k)i p ==---=-∏多项式的精确解,也就是说随着扰动数值的增

加,使得方程根的绝对误差越来越大。

1.5.2当选用18x ε时ess 的变化结果

(1)当选用18x ε时,ess 从0、0.00001、0.00005、0.0001、0.0005、0.001、0.005、0.01、0.05、0.1、0.5、1时,所得实验结果如下: t_charpt1_1

对扰动项18加扰动0得到的全部根为: 20.0003 18.9972 18.0112 16.9711 16.0483 14.9354 14.0653 12.9491 12.0334 10.984 10.0061 8.99839 8.00028 6.99997 6 5 4 3 2 1

>> t_charpt1_1

对扰动项18加扰动1e-05得到的全部根为: 20.9941+1.34421i 20.9941-1.34421i 18.4909+3.24043i 18.4909-3.24043i 15.3108+3.559i

15.3108-3.559i 12.6116+2.8272i 12.6116-2.8272i 10.5793+1.73149i 10.5793-1.73149i 9.04319+0.627188i 9.04319-0.627188i 7.93688+0i 7.00367+0i 5.9999+0i 5+0i 4+0i 3+0i 2+0i 1+0i >> t_charpt1_1

对扰动项18加扰动5e-05得到的全部根为: 21.7395+1.76462i 21.7395-1.76462i 18.7905+4.10569i 18.7905-4.10569i 15.2015+4.37125i 15.2015-4.37125i 12.331+3.43922i 12.331-3.43922i 10.2714+2.17818i 10.2714-2.17818i 8.76563+0.96434i 8.76563-0.96434i

7.78183+0i

7.01929+0i

5.99952+0i

5.00001+0i

4+0i

3+0i

2+0i

1+0i

>> t_charpt1_1

对扰动项18加扰动0.0001得到的全部根为:

22.1231+1.97119i

22.1231-1.97119i

18.9301+4.52168i

18.9301-4.52168i

15.1388+4.74427i

15.1388-4.74427i

12.194+3.70877i

12.194-3.70877i

10.1281+2.36959i

10.1281-2.36959i

8.6372+1.10755i

8.6372-1.10755i

7.65669+0i

7.04171+0i

5.99904+0i

5.00001+0i

4+0i

3+0i

2+0i

1+0i

>> t_charpt1_1

对扰动项18加扰动0.0005得到的全部根为:

23.1837+2.53319i

23.1837-2.53319i

19.2722+5.61216i

19.2722-5.61216i

14.9442+5.66829i

14.9442-5.66829i

11.8325+4.34555i

11.8325-4.34555i

9.7682+2.80861i

9.7682-2.80861i 8.32371+1.43218i

8.32371-1.43218i

7.17799+0.255323i

7.17799-0.255323i

5.99522+0i

5.00006+0i

4+0i

3+0i

2+0i

1+0i

>> t_charpt1_1

对扰动项18加扰动0.001得到的全部根为: 23.724+2.8203i

23.724-2.8203i

19.4236+6.14475i

19.4236-6.14475i

14.8344+6.09209i

14.8344-6.09209i

11.6561+4.62319i

11.6561-4.62319i

9.60113+2.9943i

9.60113-2.9943i

8.1821+1.56759i

8.1821-1.56759i

7.0834+0.388288i

7.0834-0.388288i

5.99064+0i

5.00012+0i

4+0i

3+0i

2+0i

1+0i

>> t_charpt1_1

对扰动项18加扰动0.005得到的全部根为: 25.2126+3.6299i

25.2126-3.6299i

19.7675+7.56069i

19.7675-7.56069i

14.5012+7.13688i

14.5012-7.13688i

11.1924+5.27031i

11.1924-5.27031i

9.18407+3.41403i

9.18407-3.41403i

7.83795+1.86985i

7.83795-1.86985i

6.82468+0.629226i

6.82468-0.629226i

5.95872+0i

5.00061+0i

4+0i

3+0i

2+0i

1+0i

>> t_charpt1_1

对扰动项18加扰动0.01得到的全部根为: 25.9713+4.05715i

25.9713-4.05715i

19.9036+8.2604i

19.9036-8.2604i

14.317+7.61228i

14.317-7.61228i

10.9676+5.54777i

10.9676-5.54777i

8.99167+3.58851i

8.99167-3.58851i

7.68325+1.99414i

7.68325-1.99414i

6.70159+0.72518i

6.70159-0.72518i

5.92688+0i

5.00122+0i

3.99999+0i

3+0i

2+0i

1+0i

>> t_charpt1_1

对扰动项18加扰动0.05得到的全部根为: 28.0714+5.30337i

28.0714-5.30337i

20.1528+10.1377i

20.1528-10.1377i

13.7705+8.76841i

13.7705-8.76841i

10.3818+6.18038i

10.3818-6.18038i

8.51514+3.97458i

8.51514-3.97458i 7.30967+2.26698i

7.30967-2.26698i

6.40434+0.940976i

6.40434-0.940976i

5.78242+0i

5.00626+0i

3.99997+0i

3+0i

2+0i

1+0i

>> t_charpt1_1

对扰动项18加扰动0.1得到的全部根为: 29.1493+5.98286i

29.1493-5.98286i

20.2125+11.071i

20.2125-11.071i

13.4752+9.28466i

13.4752-9.28466i

10.1007+6.44431i

10.1007-6.44431i

8.29727+4.13106i

8.29727-4.13106i

7.14293+2.37702i

7.14293-2.37702i

6.27379+1.02957i

6.27379-1.02957i

5.68401+0i

5.01294+0i

3.99995+0i

3+0i

2+0i

1+0i

>> t_charpt1_1

对扰动项18加扰动0.5得到的全部根为: 32.1625+8.03901i

32.1625-8.03901i

20.1576+13.5784i

20.1576-13.5784i

12.6213+10.505i

12.6213-10.505i

9.37859+7.02492i

9.37859-7.02492i

7.76338+4.46668i

7.76338-4.46668i

6.74346+2.61315i 6.74346-2.61315i 5.96572+1.22155i 5.96572-1.22155i 5.31571+0i 5.0994+0i 3.99973+0i 3+0i 2+0i 1+0i >> t_charpt1_1 对扰动项18加扰动1得到的全部根为:

33.726+9.20171i 33.726-9.20171i 20.0119+14.8203i 20.0119-14.8203i 12.1719+11.0297i 12.1719-11.0297i 9.03762+7.25643i 9.03762-7.25643i 7.52214+4.59761i 7.52214-4.59761i 6.56666+2.70586i 6.56666-2.70586i 5.83089+1.29796i 5.83089-1.29796i 5.13323+0.183663i

5.13323-0.183663i 3.99945+0i 3+0i 2+0i 1+0i

(2)实验结果分析:当 从0不断增大到1时,p(x)方程的根的数值越来越大,逐渐偏离

20

1

(x)(x 1)(x 2)

(x 20)(x k)i p ==---=-∏多项式的精确解,同样也出现了随着扰动数值

的增加,使得方程根的绝对误差越来越大的现象。但是当18x ε时,p(x)方程的根的数值解比19x ε时的相对要小,这说明随着扰动项多项式的次数下降,p(x)多项式的解偏离精确解的程度越小,数值解越来越精确。

1.6实验程序

function t_charpt1_1

%数值实验1.1 变态问题

%输入:[0 20]之间的扰动项及小的扰动常数 %输出:加扰动后得到的全部根

result=inputdlg({'请输入扰动项:在[0 20]之间的整数:'},'charpt1_1',1,{'18'}); Numb=str2num(char(result)); if((Numb>20)|(Numb<0))

errordlg('请输入正确的扰动项:[0 20]之间的整数!'); return; end

result=inputdlg({'请输入(0 1)间的扰动常数:'},'charpt1_1',1,{'0.00001'}); ess=str2num(char(result)); ve=zeros(1,21); ve(21-Numb)=ess;

root=roots(poly(1:20)+ve);

disp(['对扰动项',num2str(Numb),'加扰动',num2str(ess),'得到的全部根为:']); disp(num2str(root));

2 数值实验题2

2.1实验2.1 多项式插值的振荡现象 2.2问题提出

考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数。显然Lagrange 插值中使用的节点越多,插值多项式的次数就越高。我们自然关心插值多项的次数增加时,(x)n L 是否也更加靠近被逼近的函数。Runge 给出的一个例子是极著名并富有启发性的。设区间[-1,1]上函数

2

1

(x)125f x =

+

2.3实验内容

考虑区间[-1,1]的一个等距划分,分点为

21,0,1,2

,,i i x i n n

=-+

=

则拉格朗日插值多项式为

201

(x)(x)125n

n i

i i

L l x ==+∑

其中,(x),i 0,1,2

,i l n =,其中n 是n 次Lagrange 插值基函数。

2.4实验要求

(1)选择不断增大的分点数目2,3,,n =画出原函数发f(x)及插值多项式函数(x)n L 在[-1,1]上的图像,比较并分析实验结果。 (2)选择其他的函数,例如定义在区间[-1,1]上的函数

4

(x),(x)arctanx ,1x h g x

=

=+

重复上述的实验看其结果如何。

2.5实验过程

2.5.1当取f(x)时的实验结果

(1)当2

1

(x)125f x

数值实验题程序设计报告

=+时,n=2,3,6,8,10,…,25,30所得实验图像如下:

n=2时,最大误差为: Max[L(x)-f(x)]=0.6462

数值实验题程序设计报告

n=3 时,最大误差为: max[L(X)-f(X)]=0.7070;

x

y =f (x )o a n d y =l n (x )--

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

00.2

0.4

0.6

0.8

1

x

y =f (x )o a n d y =l n (x )--

n=6;max[L(X)-f(X)]=0.6169;

n=10 时; 最大误差为: max[L(X)-f(X)]=1.5956;

-1

-0.8-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.81

数值实验题程序设计报告

x

y =f (x )o a n d y =l n (x )--

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

00.2

0.4

0.6

0.8

1

数值实验题程序设计报告

x

y =f (x )o a n d y =l n (x )--

n=15 时; 最大误差为: max[L(X)-f(X)]=0.7356;

n=25 时; 最大误差为: max[L(X)-f(X)]=4.6156;

-1

-0.8-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.81

数值实验题程序设计报告

x

y =f (x )o a n d y =l n (x )--

-1

-0.8-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.8

数值实验题程序设计报告

1

x

y =f (x )o a n d y =l n (x )--

n=30 时; 最大误差为: max[L(X)-f(X)]=78.3652;

(2)实验结果分析

从图中可以看出当插值节点很少时,插值的误差很大,插值图象与原图象没有很好重叠在一起,而当随着插值的节点增加,中间能很好的重叠,但是两边出现很大误差,随着n 值的增多,总体上分散的越厉害,最大误差也逐渐增加,在n=3时,最大误差为0.6462,但到了n =30时,已经变成了78.3652,这种随着节点数增多依然不能很好的接近被插值函数的现象称为“龙格现象”,亦称为多项式插值的振荡现象。因此通过增加节点数从而提高插值多项式的次数来逼近被插函数是不可取的。

2.5.2当取h(x)时的实验结果

(1)当 4

(x)1x

h x =+时,n=2,3,6,8,…,10,25,所得实验图像如下:

-1

-0.8-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.81

数值实验题程序设计报告

x

y =f (x )o a n d y =l n (x )--

n=2 时;

n=3时; 最大误差为: max[L(X)-h(X)]=0.5772;

-5

-4-3-2-1

012345

数值实验题程序设计报告

x

y =f (x )o a n d y =l n (x )--

-5

-4-3-2-1

012345

数值实验题程序设计报告

x

y =f (x )o a n d y =l n (x )--

n=6时; 最大误差为: max[L(X)-h(X)]=0.5838;

n=10时; 最大误差为: max[L(X)-h(X)]=0.5965;

数值实验题程序设计报告

x

y =f (x )o a n d y =l n (x )--

-5

-4

-3

-2

数值实验题程序设计报告

-1

01

2

3

4

5

x

y =f (x )o a n d y =l n (x )--

n=15时; 最大误差为: max[L(X)-h(X)]=1.4875

n=25时; 最大误差为: max[L(X)-h(X)]=2255.2357

(2)实验结果分析

-5

-4-3-2-1

012345

数值实验题程序设计报告

x

y =f (x )o a n d y =l n (x )--

-5

-4

-3

-2

-1

01

2

3

4

5

数值实验题程序设计报告

x

y =f (x )o a n d y =l n (x )--

从实验图像可以看出随着插值节点数的增加出现异常的摆动,中间能较好的接近原函数,但两边却出现很大的误差。

2.5.3当取g(x)时的实验结果

(1)当(x)arctanx g 时,n=2,3,6,10…,25所得实验图像如下:

数值实验题程序设计报告

n=2时;最大误差为: max[L(X)-g(X)]=1.2357

数值实验题程序设计报告

n=3时;最大误差为: max[L(X)-g(X)]=0.7532

x

y =f (x )o a n d y =l n (x )--

x

y =f (x )o a n d y =l n (x )--