数学分析练习题
数学分析练习题
函数
函数概念
1． 证明下列不等式： (1) x y x y - ≥ - ； (2) 1212n n x x x x x x ++ ≤ +++ ；
(3) 1212(||||||n n x x x x x x x x |+++| ≥ ||- + ++）
. 2．求证 ||||||
1||1||1||a b a b a b a b + ≤ + ++ + +
.
3．求证
||max(,)22a b a b a b + -
=
+ ； ||min(,)22
a b a b a b + -
=
- . 4．已知三角形的两条边分别为a 和b ，它们之间的夹角为θ ，试求此三角形的面()s θ ，并求其定义域.
5．在半径为r 的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表为其高的函数，并求此函数的定义域.
6．某公共汽车路线全长为 20km ，票价规定如下：乘坐 5km 以下（包括5km ）者收费 1 元；超过 5km 但在15km 以下（包括 15km ）者收费 2 元；其余收费 2 元 5 角. 试将票价表为路程的函数，并作出函数的图形.
7．一脉冲发生器产生一个三角波. 若记它随时间t 的变化规律为()f t ，且三个角分别有对应关系(0)0f = ，(10)20f = ，(20)0f = ，求()20f t t (0≤≤) ，并作出函数的图形.
8．判别下列函数的奇偶性： (1) 4
2()12
x f x x = + - ；
(2) ()sin f x x x = + ；
(3) 2
2()x f x x e - = ；
(4) ()lg(f x x = .
9．判别下列函数是否是周期函数，若是，试求其周期：
(1) 2()cos f x x = ； (2) ()cos sin 23
x x
f x = +2 ；
(3) ()cos f x x π
= 4
；
(4) ()f x . 10．证明 2()1x f x x
=
+
在 (,) -∞ +∞ 有界. 11．用肯定语气叙述函数无界，并证明21
()f x x =
在(0,1)
无界. 12．试证两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，一个奇函数和一个偶函数的乘积是奇函数.
13．设()f x 为定义在(,) -∞ +∞ 内的任何函数，证明()f x 可分解成奇函数和偶函数之和.
14．用肯定语气叙述：在(,) -∞ +∞ 上 (1) ()f x 不是奇函数；
(2) ()f x 不是单调上升函数； (3) ()f x 无零点； (4) ()f x 无上界.
复合函数与反函数
1． 设()1x f x x 1-
=
+
，求证 (())f f x x = . 2． 求下列函数的反函数及其定义域： (1) 11
2y x x x
= (+) , 1 < < +∞ ；
(2) 12
x x y e e x - = ( - ) , -∞ < < +∞ ；
(3) 2,1,,4,2,4.
x
x x y x x x -∞ < < ??
= 1≤ ≤?? < <+∞?
3．设()f x ，()g x 为实轴上单调函数，求证(())f g x 也是实轴上的单调函数.
4．设
2
,0,1,
0,()(),0.,0.x x x x f x g x x x x x ≤ - - ≤ ?? = = ?? > - > ??
求复合函数(())f g x ，()g f x ( ). 5．设
()f x ，求n f f
f x () () 次
.
6．设 ()|1|||f x x x + - 1 - ＝，试求n f f
f x () () 次
.
7．设 1
()f x x =
1-
，求(())f f x ，((()))f f f x ，1(
)()f f x .
初等函数
1．对下列函数分别讨论函数的定义域和值域，奇偶性，周期性，有界性，并作出函数的图形：
(1) ||y x = ； (2) []y x x = - ；
(3) tan ||y x = ；
(4) y (5) 2sin y x = ；
(6) sin cos y x x = | | + | |.
2．若已知函数()y f x = 的图形，作函数
1()y f x = ，2()y f x = - ，3()y f x = --
的图形，并说明123y y y , , 的图形与y 的图形的关系.
3．若已知函数(),()f x g x 的图形，试作函数
[()()()()y f x g x f x g x 1
=
+ ±- ] 2
的图形，并说明y 的图形与()f x 、()g x 图形的关系.
4． 作出下列函数的图形： (1) sin y x x = ； (2) 1sin y x =
. 5．符号函数
0,0,0,1,0,x y sgn x x x 1 , > ??
= = = ??- < ?
试分别作出sgn x ，sgn )x (2 ，sgn(2)x - 的图形.
6．作出下列函数的图形： (1) cos y sgn x = ；
(2) ]22x y x ??
= [ - ?? ??
.
数列的极限
1． 用定义证明下列数列的极限为零： (1) 21
lim 1n n n →∞+ +
；
(2) sin lim n n n →∞
；
(3) lim n n π
→∞
；
(4) 2(1)lim n
n n n →∞ + - - 1
；
(5) lim n →∞
；
(6) 10lim !n
n n →∞
；
(7) lim 1n n n
a a →∞ ( > ) ； (8) !
lim n n n n →∞
； (9) 2123lim n n
n →∞ + + + +
；
(10) 1
lim 1n n a a n -→∞
(
+ ) , >
. 2．用定义证明： (1) 223lim 21n n n n →∞
+3
= 2
- ；
(2) lim n →∞ 1 ；
(3) lim n n x →∞ = 1 ，其中 1,1,n n n n
x n n n
-
? ?? = ?
+ ? ??为偶数，为奇数；
(4) lim n n x →∞ = 3 ，其中 31,1(1,2,)22n n k n x n k k n n k ?
? 3 = ?
3 + ?
=
= 3 + = ??
? = 3 + ?
?
，，. 3．用定义证明：
(1) 若lim n n a a →∞
= ，则对任一正整数k ，有lim n k n a a +→∞
= ；
(2) 若lim n n a a →∞
= ，则lim |n n a a →∞
|| = | .反之是否成立？
(3) 若lim n n a a →∞
= ，且a b > ，则存在N ，当n N > 时，有n a b > ；
(4) 若lim n n a a →∞
= ，且0n a >
，则n .
4．极限的定义改成下面形式是否可以？（其中“ ? ”是逻辑符号，表示“存在”.） (1) ε ? > 0 ，0N ? > ，当n N ≥ 时,有n x a ε |-|<； (2) ε ? > 0 ，0N ? > ，当n N > 时,有n x a ε ≤ |-|；
(2) ε ? > 0 ，0N ? > ，当n N > 时,有n x a M ε < |-|（M 为常数）. 5．若 {}n n x y 收敛，能否断定{}n x 、{}n y 也收敛？ 6．设 (1,)n n x a y n ≤ ≤ = 2, ，且lim ()0n n n y x →∞
- = ，求证：
lim n n x a →∞
= ，lim n n y a →∞
= .
7．利用极限的四则运算法则求极限： (1) 3232321lim 32
n n n n n n →∞ + - + 2 - +；
(2) 11
(2)3lim (2)3n n
n n n ++→∞- +
- + ； (3) 112
lim 1144
n
n n
→∞1 + + +
2 1
+ + + ； (4) lim )n n →∞
+ 10 .
8．求下列极限： (1) 111
lim ()12(1)n n n →∞ + + + 2 3 + ；
(2) 222
111
lim (
)(1)(2)n
n n n →∞
+ + + + ； (3) 2
lim n n →∞
+
+；
(4) 2132
1
lim ()2
2
2n
n n →∞
- + + +
； (5) lim (1cos n n →∞
；
(6) lim n →∞ ；
(7) lim n
n 2→∞
2 ) ；
(8) lim [(1)]n n n n n →∞
+ - ，01a < < ；
(9) lim 2n n n
→∞132-1
24；
(10) 1
1lim n n →∞
3
5 (2-)
；
(11) lim n →∞
； (12) n .
9．证明：若{}n a ，{}n b 中一个是收敛数列，另一个是发散数列，则{}n n a b ± 是发散数列；又问{}n n a b 和(0)n n n a b b ?? ≠ ????
是否也是发散数列？为什么？ 10．设(1)n n x = - ，证明{}n x 发散. 11．若
12,,,m a a a 为m 个正数，证明：
12lim max(,,,)m n a a a →∞
.
12．设lim n n a a →∞
= ，证明：
(1) []
lim n n n a
a n
→∞ = ；
(2) 若0,0n a a > > ，则1
n
.
13．利用单调有界原理，证明lim n n x →∞
存在，并求出它：
(1) 12
2,x x
n = 3, ； (2) 1,2,n x x n = 3, ；
(3) n
n c x n = （c>0）
！
； (4) 101
,1,1,1n n n x
x x n x -- = 1
= + = 2, + . 14．若11,0(),
x a y b a b = > 0 = > <
11,2
n n
n n x y x y ++ + =
证明：lim lim n n n n x y →∞
→∞
= .
15．证明：若0n a > ，且1
lim 1n
n n a l a →∞+ = > ，lim n n a →∞ = 0.
16．设lim n n a a →∞
= ，证明：
(1) 12lim n
n a a a a n
→∞ + + +
=
；
（又问，它的逆命题成立否？） (2) 若0n a > ，则n a . 17．应用上题的结果证明下列各题：
(1) 113
lim n n n
→∞1
1
+ ++ +
2 = 0 ； (2) 1(
0)n a > ；
(3)
1n ；
(4) 0n ；
(5) lim n n n →∞+ +
= 1 ；
(6) 若1lim ()n n
n n
b
a b b +→∞ = >0，则
n a .
18．用定义证明下列数列为无穷大量： (1) { ；
(2) {}n
！； (3) {}ln n ； (4) 113n
11
+ ++ + 2.
19．利用1lim 1n
n e n →∞
??
+ = ???，求下列极限：
(1) 1lim 1n
n n →∞
??
- ???；
(2) 1lim 11n n n →∞
?
? + ?+??； (3) 1lim 12n n n →∞
?
? + ???
；
(4) 21lim 1n
n n →∞
?
? + ???
.
函数的极限
1．用极限定义证明下列极限： (1) 2131
lim 2
9x x x →- - = - ；
(2) 23
31
lim 69x x x → -
= - ； (3)
1
2x → ； (4) 1(2)(1)
lim 03
x x x x →--
= - ；
(5) 2
3x → ；
(6) 21
(1)1
lim 21x x x x →-
= - ； (7) 23
lim 9x x
x →
= ∞ - ； (8) 1
lim 12
x x x →∞
-
= + ； (9) 2lim 1x x x
x →∞ + = ∞ + ；
(10) 225
lim 11
x x x →∞ - = - .
2．用极限的四则运算法则求下列极限： (1) 2201
lim 21x x x x → - - - ；
(2) 2211
lim 21x x x x → - - - ；
(3) 323
0(1)(13)
lim 2x x x x x → - + - + ；
(4) 1
x → ；
(5) 3
x → ； (6) 22356
lim x x x x x → - + - 8 + 15
；
(7) 11
lim 1
n m x x x → - - （,n m 为正整数）；
(8) 4
x → .
3．设()0f x > ，证明：若0
lim ()x x f x A → = ，则0
lim x x → n ≥ 2.
4．证明：若0
lim ()x x f x A → = ，则0
lim |()|||x x f x A → = ，但反之不真.
5．求下列函数字所示点的左右极限：
(1) 2
1,()1,2,1,
x f x x x x ? 0 , > ?
= 1 , = ?? + < ? 在=1x ；
(2) 21sin ,
(),x x f x x
x x ?
, > 0? = ?? 1+ , < 0?
在=0x ； (3) 2
||1
(),1x f x x x = + 在=0x ；
(4) 11()[],f x x x = - 在1
=x n
，n 是正整数；
(5) 2
,()0,,0,
x x f x x x x ? 2 , > 0?
= 0 , = ?? 1+ < ? 在=x 0 .
6．求下列极限： (1) 221
lim 21
x x x x →∞ - - - ；
(2) lim x →+∞
；
(3) lim x x →+∞
) ；
(4) lim x x →-∞
) ；
(5) 223lim x x x
x
→∞ + ；
(6) 2sin lim 4x x x
x →+∞
- ； (7) cos lim x x x
x
→-∞
-
；
(8) lim x →+∞
.
7．用变量替换求下列极限： (1) 01
lim []x x x
+→ ；
(2) 0
lim ln (0)a
x x x a +
→ > ； (3) ln lim 0a
x x
a x →+∞
( > ) ；
(4) 1lim x
x x →+∞
.
8．设()f x 在(,)a +∞ 上单调上升，lim n n x →∞
= +∞，若lim ()n n f x A →∞
= ，求证：lim ()x f x A →+∞
=
（A 可以为无穷）.
9．设()f x 在集合X 上定义，则()f x 在X 上无界的充要条件是：存在,n x X ∈ 1,2,n = ，使lim ()|n f x →∞
| = +∞ .
10．利用重要极限求极限： (1) 0sin 2lim x x
x
→
；
(2) 2
2
0sin lim (sin )x x x → ；
(3) 0
tan 3lim sin 5x x
x
→
； (4) 3
2sin sin lim x x x
x → - 2
；
(5) 2
0cos 5cos 3lim x x x
x → -
；
(6) 3
tan sin lim x x x
x → - ； (7) 0arctan lim x x
x
→ ；
(8) 0
x → ；
(9) 0x → ；
(10) 0cos(arccos )
lim x n x n x
→
( )为奇数；
(11) 4
tan 1
lim 4
x x x π
π→
-
-
； (12) sin lim ,sin x mx
m n nx
π
→
（为整数）
； (13) 2
cos lim 2
x x x π
π
→
-
；
(14) 1
lim sin x x x
→+∞ ；
(15) lim x →+∞
；
数学分析试题库--证明题
数学分析题库（1-22章） 五．证明题 1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何B b A a ∈∈,有b a <； （2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A = 2.设A ，B 是非空数集，记B A S ?=，证明： （1）{}B A S sup ,sup max sup =； （2）{}B A S inf ,inf min inf = 3. 按N -ε定义证明 3 52325lim 22=--+∞→n n n n 4.如何用ε-N 方法给出a a n n ≠∞ →lim 的正面陈述？并验证|2n |和|n )1(-|是发散数列. 5.用δε-方法验证： 3) 23(2lim 221-=+--+→x x x x x x . 6． 用M -ε方法验证： 2 11lim 2- =-+-∞ →x x x x . 7 . 设a x x x =→)(lim 0 ?，在0x 某邻域);(10δx U ?内a x ≠)(?，又.)(lim A t f a t =→证明 A x f x x =→))((lim 0 ?. 8.设)(x f 在点0x 的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列{}n x ， （1）)(0x U x n ?∈，0x x n →， （2）0010x x x x n n -<-<+，都有A x f n n =∞ →)(lim ， 则A x f x x =→)(lim 0 . 9. 证明函数 ? ? ?=为无理数为有理数x ， x x x f ,0,)(3 在00=x 处连续，但是在00≠x 处不连续.
18数学分析-1复习题试题及参考答案
18数学分析-1复习题参考答案 一、选择题 1.函数1 ()ln(2) f x x = -的连续区间是 （ B ） A. (2,)+∞ ; B. (2,3)(3,)?+∞; C. (,2)-∞ ; D. (3,)+∞. 2.若函数x x x f = )(，则=→)(lim 0 x f x （ D ）. A.0 ; B.1- ; C.1 ; D.不存在. 3.下列变量中，是无穷小量的为（ C ）. A.1ln (0)x x +→; B.cos (0)x x →;C.ln (1)x x → ;D.22(2)4 x x x -→-. 4. 1lim(1)1 n n n →∞ + =+（ B ）. 1 2.1 ...-A B e C e D e 5.1lim(1)1 →∞ + =-n n n （ B ）. 12.1...-A B e C e D e 6.下列两个函数是同一函数的是 （ C ） A. ()3,()f x x x ?=+=41 ()ln ,()ln 4 f x x x x ?== ; C. 2 2 ()sin cos ,()1f x x x x ?=+= ; D. 2 (1)(),()11 x f x x x x ?-= =-- . 7.22 39 lim 712 x x x x →-=-+ ( C ) A.0 ; B.25- ; C.6- ; D. 7 6 . 8．0sin 2lim →=x x x （ D ） A. 0 ; B. 1 ; C. 3 ; D . 2 . 9.=→x x x 1 sin lim 2 （ C ）. 1 1A B C D ∞-
数学分析期末考试题
数学分析期末考试题 一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分， 共20分） 1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ ） A ?? =-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( B 0)(=?-a a dx x f C ?? -=-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( D )(2)(a f dx x f a a =?- 3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A ? 1 1dx x B ? ∞ +1 1dx x C ? +∞ sin xdx D ?-1 131dx x 4、级数 ∑∞ =1 n n a 收敛是 ∑∞ =1 n n a 部分和有界且0lim =∞ →n n a 的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ） A ∑∞ =1n n a 和 ∑∞ =1 n n b 收敛， ∑∞ =1 n n n b a 也收敛 B ∑∞ =1 n n a 和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 C ∑∞ =1n n a 收敛和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 D ∑∞=1 n n a 收敛和∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =1 n n n b a 发散 6、 )(1 x a n n ∑∞ =在[a ，b ]收敛于a （x ），且a n （x ）可导，则（ ） A )()('1'x a x a n n =∑∞ = B a （x ）可导 C ?∑? =∞ =b a n b a n dx x a dx x a )()(1 D ∑∞ =1 )(n n x a 一致收敛，则a （x ）必连续 7、下列命题正确的是（ ）
数学分析试题库--选择题
数学分析题库（1-22章） 一．选择题 １．函数7 12arcsin 162 -+-= x x y 的定义域为（ ）. （A ）[]3,2； (B)[]4,3-； (C)[)4,3-； (D)()4,3-. ２．函数)1ln(2 ++ =x x x y ()+∞<<∞-x 是( ）. （A ）偶函数; (B)奇函数; (C)非奇非偶函数; (D)不能断定. ３．点0=x 是函数x e y 1 =的（ ）. （A ）连续点; (B)可去间断点; (C)跳跃间断点; (D)第二类间断点. ４．当0→x 时，x 2tan 是（ ）. （A ）比x 5sin 高阶无穷小 ; (B) 比x 5sin 低阶无穷小; (C) 与x 5sin 同阶无穷小; (D) 与x 5sin 等价无穷小. ５．x x x x 2) 1 ( lim -∞ →的值（ ）． （A ）e; (B) e 1; (C)2e ; (D)0. ６．函数f(x)在x=0x 处的导数)(0' x f 可定义 为（ ）． （A ） 0) ()(x x x f x f -- ; (B)x x f x x f x x ?-?+→) ()(lim ; (C) ()()x f x f x ?-→?0lim ; (D)()() x x x f x x f x ??--?+→?2lim 000 . ７．若()() 2 102lim =-→x f x f x ，则()0f '等于（ ）. （A ）4; (B)2; (C) 2 1; (D)4 1, ８．过曲线x e x y +=的点()1,0处的切线方程为（ ）. （A ）()021-=+x y ; (B)12+=x y ; (C)32-=x y ; (D)x y =-1. ９．若在区间()b a ,内，导数()0>'x f ，二阶导数()0>''x f ，则函数()x f 在区间内 是（ ）. （A ）单调减少，曲线是凹的; (B) 单调减少，曲线是凸的; (C) 单调增加，曲线是凹的; (D) 单调增加，曲线是凸的. 10．函数()x x x x f 933 12 3 +-= 在区间[]4,0上的最大值点为（ ）. （A ）4; (B)0; (C)2; (D)3.
数学分析大一上学期考试试题 B
数学分析第一学期期末考试试卷（B 卷） 一、叙述题（每题5分，共10分） 1.上确界； 2.区间套的定义。 二、填空题（每题4分，共20分）1.函数|3|ln 3)(--=x x x f 的全部间断点是. 2.定义在]1,0[区间上的黎曼函数的连续点为. 3.)1ln()(2 x x f +=,已知5 6)2()(lim 000=--→h h x f x f h ,=0x .4.正弦函数x y sin =在其定于内的拐点为.5.点集}1)1({n S n +-=的所有聚点为.三、计算题(每题4分，共28分)（1）求]1 21 11[lim 222n n n n n ++++++∞→ ；（2）求30sin tan lim x x x x -→；（3）求)1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→；（4）求2210)21(e lim x x x x +-→；（5）求)1ln(2x x y ++=的一阶导； （6）求3)(sin )(+=x x x f 的一阶导； （7）求???==; cos ,sin 22t t y t t x 的一阶导。四、讨论题（共12分）1.极限x x 1sin lim 0 →是否存在，说明原因。2.设000)()(=≠?????-=-x x x e x g x f x ,其中)(x g 具有二阶连续导数,且
1)0(,1)0(-='=g g .求)(x f '并讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性. 五、证明题（共30分）1.证明.x x f 2cos )(=在),0[+∞上一致连续. 2.设f 在],[b a 上连续,],[,,,21b a x x x n ∈ ，另一组正数n λλλ,,,21 满足121=+++n λλλ .证明：存在一点],[b a ∈ξ，使得 )()()()(2211n n x f x f x f f λλλξ+++= . 3.设函数)(x f 在[]b a ，上连续,在),(b a 内可导,且0>?b a .证明存在),(b a ∈ξ，使得)()()()(1 ξξξf f b f a f b a b a '-=-.
数学分析(1)复习题
数学分析（1）复习题（一） 一、按要求写出下列定义的数学描述（4?/5=20/） 1、A x f x ≠+∞ →)(lim 的X -ε正面描述为 2、由Cauchy 收敛准则，若数列{}n x 收敛，则 3、η为非空数集S 的下确界即 4、a 为无限集合S 的聚点即 5、区间套[]{}n n b a ,的定义为 二、计算题（8?/6=48/） 1、求2 1 0)sin (lim x x x x →. 2、求)sin 2 sin 1(sin lim 2 2 2 n n n n n +???++++∞ →π π π . 3、确定x x x f sin )(=的间断点并判断其类型. 4、设x x x x f x x sin )(sin +=，求)(x f '. 5、x y 3sin =，求)(n y . 6、求x e x x f 2)(=带有Lagrange 余项的n 阶Maclaurin 展式. 7、设)7ln 12(4-=x x y ，试确定其凹凸区间及拐点. 8、确定,,b a 使函数???≥++<+=0,10,2)(2x bx x x a e x f x 在0=x 处连续. 三、证明题（4?/8=32/） 1、用δε-定义证明.10 3 1lim 2 3 =+→x x x 2、设)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，证明至少存在(),,b a ∈ξ使得下式成 立： .ln )()()(a b f a f b f ξξ'=- 3、证明：若f 在[]b a ,上连续，)(lim x f x +∞ →存在且有限，则f 在[)+∞,a 上一致连续.
4、设f 在()+∞,a 内可微并且,0)(lim ='+∞ →x f x 证明0) (lim =+∞ →x x f x . 数学分析（1）复习题（二） 一、单项选择题（5?/3=15/） 1、=∞→n n n 2lim （ ） A.0；B 、2 1；C 、1；D 、2. 2、设函数是n 次多项式，则=+)()1(x f n （ ） A 、n ；B 、n+1；C 、0；D 、1. 3、如果当0→x 时,)(x f 是x 的高价无穷小量,则=→x x f x sin ) (lim 0 ( ). A. 2 1 ； B 、0； C 、2； D 、1. 4、设f 在x 的某邻域内有有定义，则下列命题哪一个为假？（ ） A.f 在点x 可微，则f 在点x 连续； B 、f 在点x 不连续，则f 在点x 一定不可导； C 、f 在点x 连续，则f 在点x 可微； D 、f 在点x 可导当且仅当f 在点x 可微. 5、函数2)(x x f =与x x g =)(定义在[)∞,0上，它们在定义区间上是一致连续的 吗？（ ） A.两个都是一致连续的； B 、两个都不是一致连续的； C 、f 是一致连续的，g 不是一致连续的； D 、f 不是一致连续的，g 是一致连续的. 二、填空题（5?/3=15/） 1、如果要使函数x x x f 1 sin )(=在点0=x 连续，需重新定义=)0(f 2、设1)(0='x f ，则=--+→h h x f h x f h ) ()(lim 000 3、函数???≤>+=,1,, 1,)(2x x x b ax x f 在1=x 处可导，则=+2013b a 4、设)(x y y =由方程e xy e y =+确定，则=')0(y 5、设???-=-=t y t t x cos 1sin ，则 == 2 π t dx dy
数学分析试题及答案解析
2014 ---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?（ ）. 2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]????= dx x g dx x f dx x g x f （ ）. 3. 若()?+∞a dx x f 绝对收敛，()?+∞a dx x g 条件收敛，则()()?+∞ -a dx x g x f ][必然条件收敛（ ）. 4. 若()?+∞ 1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1 n n f 收敛（ ） 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）. 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散 于正无穷大（ ）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到 的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（ ） A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相 等，则（ ）
A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞=--+12111n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B. 若1lim 1<=+∞→ρn n n u u ，则级数∑n u 一定收敛； C. 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D. 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散； 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（ ） A. ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的； C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；
数学分析试题集锦
June21,2006 2002 1.(10) lim x→0( sin x1?cos x . 2.(10)a≥0x1=√2+x n n=1,2,... lim n→∞ x n 3.(10)f(x)[a,a+α]x∈[a,a+α]f(x+α)?f(x)= 1 1?x2+arcsin x f′(x). 5.(10)u(x,y)u ?2u ?x?y + ?2u x2+y2dx dy dz,?z=
x2+y2+z2=az(a>0) 8.(10) ∞ n=1ln cos1 ln(1+x2) 2 √ (2).{n . ?x (4). L(e y+x)dx+(xe y?2y)dy.L O(0,0),A(0,1),B(1,2) O B OAB. √ 2.(15)f(x)=3
4. 15 f (x )[0,1] sup 0 (5).e x=1+x+x2 n1 4≤e x+y?2. 5.(12)F(x)= Γf(xyz)dxdydy,f V={(x,y,z)|0≤x≤t,0≤y≤t,0≤z≤t}(t>0), F′(t)=3 a+n √ 2 n(a>0,b>0) (2).lim n→∞ 10x n√ 2 0dx 3 . (5).F(t)= x2+y2+z2=t2f(x,y,z)dS, f(x,y,z)= x2+y2,z≥ x2+y2 《数学分析》考试试题 一、叙述题 1叙述闭区间套定理； 2用肯定的形式叙述函数)(x f 在数集D 上无上阶； 3叙述Rolle 微分中值定理； 二、计算题 1 求极限x x x x )1 1(lim -+∞→ ； 2 求摆线???-=-=t y t t x cos 1sin π20≤≤t ， 在π=t 处的二阶导数22dx y d 的值； 3 设x e x f =)(2，求不定积分?dx x x f ) ( ； 4 求不定积分?-+dx e e x x 1arctan 2 ； 三、讨论题 1讨论函数=)(x f ?????≤0 , 00 , 1sin x x x x 在0=x 点处的左、右导数； 2设221)(x n nx x f n += ，[]A e x .∈ ，)0(+∞ A e 2 1 ）、、（ =n ，讨论)(x f n 在[]A e .上的单调性的最大值点； 四、证明题 1用定义证明21121lim =-+∞→x x x ； 2证明：方程033=+-c x x ，（其中c 为常数）在[]1,0上可能有两个不同的实根； 3若数列{}n x 收敛于a （有限数），它的任何子列{} k n x 也收敛于a 。 （十一） 一年级《数学分析》考试题 一（ 满分 1 0 分，每小题 2 分）判断题： 1 设数列}{n a 递增且 （有限）. 则有}sup{n a a =. ( ) 2 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义. 若对)(0x U x n ∈?,当 0x x n →时, 数列)}({n x f 都收敛于同一极限. 则函数)(x f 在点0x 连续. ( ) 3 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义. 若存在实数A ,使0→?x 时, ),()()(00x x A x f x x f ?=?--?+ 则)(0x f '存在且A x f =')(0. ( ) 4 若),(0)( ,0)()(2121x f x f x f x f ''<<''='='则有).()(21x f x f >( ) 数学分析1 期末考试试卷（A 卷） 一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ， 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。 （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。 （A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（ ）。 （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（ ） 。 （A ）() )(x f e f e x x ----。 （B ）() )(x f e f e x x +---。 （C ） () )(x f e f e x x --- 。 （D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3 π =x 处取得极值，则（ ）。 （A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3 (,1π f a =是极大值。 （C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。 数学分析题库（1-22章） 五．证明题 1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何B b A a ∈∈,有b a <； （2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A = 证 由（1）可得B A inf sup ≤.为了证B A inf sup =，用反证法.若B A inf sup π，设 B y A x A B ∈∈?=-,,sup inf 0ε，使得0ε≥-x y . 2.设A ，B 是非空数集，记B A S ?=，证明： （1）{}B A S sup ,sup max sup =； （2）{}B A S inf ,inf min inf = 证（1）若A ，B 中有一集合无上界，不妨设A 无上界，则S 也是无上界数集，于是+∞=+∞=S A sup ,sup ，结论成立.若A ，B 都是有上界数集，且A B sup sup ≤，现设法证明:sup sup A S = （ⅰ）S x ∈?，无论A x ∈或B x ∈，有;sup A x ≤ （ⅱ）000,,sup ,x A x A εε??∈->>于是,0S x ∈ 0sup .x A > 同理可证（2）. 3. 按N -ε定义证明 3 52325lim 22=--+∞→n n n n 证 3 5 23252 2---+n n n ) 23(34 32-+= n n ≤ 2234n n ? （n>4） n 32=， 取? ?? ???+??????=4,132max εN ，当n>N 时， 3 5 23252 2---+n n n <ε. 注 扩大分式是采用扩大分子或缩小分母的方法.这里先限定n>4，扩大之后的分式 2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 学院班级学号（后两位）姓名 一. 1.若f 2.. . . 二. 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（） A.不连续 B.连续 C.可微 D.不能确定 2.若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（） A.()x f 在[]b a ,上一定不可积； B.()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C.()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D.()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定 4. A.B.C.D.5.A.B.C.D.三.1.()()()n n n n n n n +++∞→ 211lim 2.()?dx x x 2cos sin ln 四.判断敛散性（每小题5分，共15分） 1.dx x x x ? ∞ +++-0 2 113 2.∑ ∞ =1 !n n n n 3.()n n n n n 21211 +-∑ ∞ = 五.判别在数集D 上的一致收敛性（每小题5分，共10分） 1.()()+∞∞-=== ,,2,1,sin D n n nx x f n 2. 求七.八. 2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》B 卷?答案 学院班级学号（后两位）姓名 一、 二.三. 而n 分 2.解：令t x 2sin =得 ()dx x f x x ? -1=()() t d t f t t 222 2sin sin sin 1sin ? -----------------2分 =tdt t t t t t cos sin 2sin cos sin ? =?tdt t sin 2-----------------------------------4分 《数学分析Ⅱ》期中考试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、曲线2x 2 +3y 2 + z 2 =9, z 2 =3x 2 + y 2 在点 ( 1, -1, 2 )的法平面方程是（ 1 ） A 、8x+10y+7z-12=0； B 、8x+10y+7z+12=0； C 、8x -10y+7z-12=0； D 、8x+10y+7z+12=0 2、L 为单位圆周，则 L y ds =? （ 4 ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3、L 为从( 1, 1, 1 )到( 2, 3, 4 )的直线段，则 L zdx xdz +? = （ 3 ） A 、3 B 、5 C 、7 D 、9 4、 ()1 3x y x y dxdy +≤+?? =（ 2 ） A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 5、 02 11(,)y dy f x y dx --? ? ，改变积分顺序得（ 1 ） A 、2 110 (,)x dx f x y dy -?? B 、2 111(,)x dx f x y dy --?? C 、 2 11 (,)x dx f x y dy +? ? D 、2 11 1 (,)x dx f x y dy +-?? 6、V=[-2, 5]?[-3, 3]?[0,1]，则 2()V xy z dv +??? =（ 3 ） A 、1 B 、7 C 、14 D 、21 7、密度为1的均匀单位圆盘对于它的直径的转动惯量为( 4 ) A 、π B 、 π/2 C 、π/3 D 、π/4 8、曲面S 为上半单位球面z =S yzdxdz ?? =（ 2 ） A 、π/2 B 、 π/4 C 、π/6 D 、π/8 9、函数2 3 u x y xz =++的梯度场在（1,1,1）的旋度为（ 2 ） A 、（1,1,1） B 、（0,0,0） C 、（1,0,1） D 、（0,1,1） 10、下面反常积分收敛的有（ 3 ）个。 0cos x e xdx -∞ ? ，10 ? ，3cos ln x dx x +∞?，20?，1+∞? A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 二、填空题（28分，每空4分） 1、区域Ω由1z =与22 z x y =+围成的有界闭区域，则 (,,)f x y z dv Ω ??? 在直角坐标下的三 次积分为 柱坐标下三次积分 2014 —--201５学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题（每小题3分,共２１分)（正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?( ） ． ２．若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[] ????= dx x g dx x f dx x g x f （ )． 3． 若()? +∞a dx x f 绝对收敛，()? +∞ a dx x g 条件收敛，则()()?+∞-a dx x g x f ][必然条件收敛（ )。 ４． 若()? +∞1 dx x f 收敛，则必有级数()∑∞ =1 n n f 收敛（ ) 5． 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛,则{}n n g f +也在区间Ｉ上内闭一致收敛（ ）。 ６。 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发 散于正无穷大( ). 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ). 二. 单项选择题（每小题3分，共15分) 1．若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上( ) A.不连续 Ｂ． 连续 C ．可微 D 。不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积,而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不 相等,则（ ） Ａ． ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C 。 ()x f 在[]b a ,上一定可积,并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D 。 ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 Ｂ．绝对收敛 C.条件收敛 D ． 不确定 4。设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是( ） A ．若0lim =∞ →n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B 。 若1lim 1 <=+∞→ρn n n u u ,则级数∑n u 一定收敛; C ． 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D 。 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当,则级数∑n u 一定发散; 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是( ) A 。 ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B ． ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的; C ． ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； 中央财经大学2014—2015学年 数学分析期末模拟考试试卷（A 卷） 姓名： 学号： 学院专业： 联系方式： 一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ， 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。 （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。 （A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（ ）。 （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（ ） 。 （A ）() )(x f e f e x x ----。 （B ）() )(x f e f e x x +---。 （C ） () )(x f e f e x x --- 。 （D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+ =在3 π =x 处取得极值，则（ ） 。 （A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3 (,1π f a =是极大值。 （C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 3 x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。 数学分析试题及答案解析,（1） 20xx ---20XX学年度第二学期《数学分析2》A试卷学院班级学号（后两位）姓名题号一二三四五六七八总分核分人得分一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若在连续，则在上的不定积分可表为（）. 2.若为连续函数，则（）. 3. 若绝对收敛，条件收敛，则必然条件收敛（）. 4. 若收敛，则必有级数收敛（） 5. 若与均在区间I上内闭一致收敛，则也在区间I上内闭一致收敛（）. 6. 若数项级数条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大（）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若在上可积，则下限函数在上（） A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若在上可积，而在上仅有有限个点处与不相等，则（） A. 在上一定不可积； B. 在上一定可积,但是； C. 在上一定可积，并且； D. 在上的可积性不能确定. 3.级数 A.发散 B.绝对收敛C.条件收敛 D. 不确定 4.设为任一项级数，则下列说法正确的是（） A.若，则级数一定收敛； B. 若，则级数一定收敛； C. 若，则级数一定收敛； D. 若，则级数一定发散； 5.关于幂级数的说法正确的是（） A. 在收敛区间上各点 是绝对收敛的； B. 在收敛域上各点是绝对收敛的； C. 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. 在收敛域上是绝对并且一致收敛的； 三.计算与求值（每小题5分，共10分） 1. 2. 四. 判断敛散性（每小题5分，共15分） 1. 2. 3. 五. 判别在数集D上的一致收敛性（每小题5分，共 10分） 1. 2. 六．已知一圆柱体的的半径为 R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面角向斜上方切割，求从圆 柱体上切下的这块立体的体积。（本题满10分）七. 将一 等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上），且上底边距水表 面距离为10米，已知三角形底边长为20米，高为10米，求该三角 形铁板所受的静压力。(本题满分10分) 八. 证明：函 数在上连续，且有连续的导函数.（本题满分9分） 20xx ---20XX 学年度第二学期《数学分析2》B卷答案学院班级 学号（后两位）姓名题号一二三四五六七八 总分核分人得分一、判断题（每小题3分，共21分， 正确者括号内打对勾，否则打叉） 1.? 2.? 3.? 4. ? 5. ? 6. ? 7. ?二.单项选择题（每小题3分，共15分） 1. B ; 2. C ; 3.A ; 4.D; 5.B 三.求值与计算题（每小题5分，共 10分） 1. 解：由于-------------------------3分而 ---------------------------------4分故由数列极限的迫敛性 北京大学2017年硕士研究生招生考试试题 (启封并使用完毕前按国家机密级事项管理) 考试科目：数学基础考试1(数学分析)考试时间:2016年12月25日上午 专业：数学学院各专业(除金融学和应用统计专业) 方向：数学学院各方向(除金融学和应用统计方向) ————————————————————————————————————————说明：答题一律写在答题纸上(含填空题、选择题等客观题),写在此试卷上无效. 1.(10分)证明lim n !+1Z 2 sin n x p 2x dx =0.2.(10分)证明1X n =111+nx 2sin x n ?在任何有限区间上一致收敛的充要条件是?>12.3.(10分)设1X n =1a n 收敛.证明lim s !0+1X n =1a n n s =1X n =1a n . 4.(10分)称 (t )=(x (t );y (t )),(t 2属于某个区间I )是R 2上C 1向量场(P (x;y );Q (x;y ))的积分曲线,若x 0(t )=P ( (t )),y 0(t )=Q ( (t ));8t 2I ,设P x +Q y 在R 2上处处非0,证明向量场(P;Q )的积分曲线不可能封闭(单点情形除外). 5.(20分)假设x 0=1;x n =x n 1+cos x n 1(n =1;2; ),证明:当x !1时,x n 2=o ?1n n ?.6.(20分)假如f 2C [0;1];lim x !0+f (x ) f (0)x =?<ˇ=lim x !1 f (x ) f (1)x 1 .证明:8 2(?;ˇ);9x 1;x 22[0;1]使得 =f (x 2) f (x 1)x 2 x 1 .7.(20分)设f 是(0;+1)上的凹(或凸)函数且 lim x !+1xf 0(x )=0(仅在f 可导的点考虑 极限过程).8.(20分)设 2C 3(R 3), 及其各个偏导数@i (i =1;2;3)在点X 02R 3处取值都是0.X 0点的?邻域记为U ?(?>0).如果 @2ij (X 0) á3 3是严格正定的,则当?充分小时,证明如下极限存在并求之: lim t !+1t 32? U ?e t (x 1;x 2;x 3)dx 1dx 2dx 3: 9.(30分)将(0; )上常值函数f (x )=1进行周期2 奇延拓并展为正弦级数: f (x ) 4 1X n =112n 1 sin (2n 1)x:该Fourier 级数的前n 项和记为S n (x ),则8x 2(0; );S n (x )=2 Z x 0sin 2nt sin t dt ,且lim n !1S n (x )=1.证明S n (x )的最大值点是 2n 且lim n !1S n 2n á=2 Z 0sin t t dt .考试科目：数学分析整理：Xiongge ，zhangwei 和2px4第1页共??页 2003南开大学年数学分析 一、设),,(x y x y x f w -+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w 解：令u=x+y,v=x-y,z=x 则z v u x f f f w ++=； )1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w 二、设数列}{n a 非负单增且a a n n =∞ →lim ，证明a a a a n n n n n n =+++∞ →1 21 ] [lim 解：因为an 非负单增，故有n n n n n n n n n na a a a a 1 1 21)(][≤ +++≤ 由 a a n n =∞ →lim ；据两边夹定理有极限成立。 三、设? ? ?≤>+=0 ,00),1ln()(2 x x x x x f α试确定α的取值围，使f(x)分别满足： （1） 极限)(lim 0x f x + →存在 （2） f(x)在x=0连续 （3） f(x)在x=0可导 解：（1）因为 )(lim 0x f x + →=)1ln(lim 20x x x ++ →α=)]()1(2[lim 221420n n n x x o n x x x x +-++--→+ α极限存在则2+α0≥知α2-≥ (2)因为)(lim 0 x f x - →=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α （3）0)0(='- f 所以要使f(x)在0可导则1->α 四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++?)(22与积分路径无关 解；令U=22 y x +则ydy xdx y x f l ++?)(22=2 1du u f l )(?又f(x)在R 上连续故存在F （u ） 使dF(u)=f(u)du=ydy xdx y x f ++)(22 所以积分与路径无关。 （此题应感小毒物提供思路） 五、 设 f(x)在[a,b]上可导， 0)2 (=+b a f 且 M x f ≤')(,证明 2) (4)(a b M dx x f b a -≤?数学分析考题2
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