相似三角形中考真题试题汇编

图3

A E

D

B

C

图8

相似三角形中考真题试题汇编

二、填空题

6、（2008年江苏省南通市）已知∠A ＝40°，则∠A 的余角等于＝________度.

8、（2008年荆州）两个相似三角形周长的比为2:3，则其对应的面积比为___________. 9、（2008年庆阳市） 两个相似三角形的面积比S 1:S 2与它们对应高之比h 1:h 2之间的关系为 ． 10、（2008年庆阳市） 如图8，D 、E 分别是ABC △的边AB 、AC 上的点，则使AED △∽ABC △的条件是 ．

11、（2008年?南宁市）如图4，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC

⊥CE ，ED=1，BD=4，那么AB=

13、(2008年广东梅州市) 如图3，要测量A 、B 两点间距离，在O 点打桩，取OA 的

中点 C ，OB 的中点D ，测得CD =30米，则AB =______米．

14、（2008新疆建设兵团）如图，一束光线从y 轴上点A （0，1）发出，经过x 轴上点C 反射后，经过点B （6，2），则光线从A 点到B 点经过的路线的长度为 ．（精确到0.01）

15、如图，ABC △中，AB AC >，D E ，两点分别在边AC AB ，上，且DE 与BC 不平行．请填上一个．．你认为合适的条件： ，使ADE ABC △∽△． （不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！） 17、（2008上海市）如果两个相似三角形的相似比是1:3，那么这两个三角形面积的比是 ． 18、 （2008上海市）如图，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果

2

3

BE BC =，那么BF

FD

= ． 一、选择题

1、（2008湖北襄樊）如图1,已知AD 与VC 相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°, ∠D=30°,则∠AOC 的大小为（ ）

A.60°

B.70°

C.80°

D.120°

E

A

B

C

D O

图1 B

A D

E

B

第18题图

C

A

B

C

D

F

2、（2008湘潭市） 如图，已知D 、E 分别是ABC ?的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且1ADE DBCE S S :=:8,四边形 那么:AE AC 等于（ ） A ．1 : 9 B ．1 : 3 C ．1 : 8

D ．1 : 2

3、(2008 台湾)如图G 是?ABC 的重心，直线L 过A 点与BC 平行。若直线CG 分别与AB 、

L 交于D 、E 两点，直线BG 与AC 交于F 点，则?AED 的面积：四边形ADGF 的面积=？( )

(A) 1：2 (B) 2：1 (C) 2：3 (D) 3：2

4、(2008 台湾) 图为?ABC 与?DEC 重迭的情形，其中E 在BC 上，AC 交DE 于F 点， 且AB // DE 。若?ABC 与?DEC 的面积相等，且EF =9，AB =12，则DF =？( ) (A) 3 (B) 7 (C) 12 (D) 15 。

5、（2008浙江金华）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P 处放一水平的平面镜,光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8那么该古城墙的高度是（ ） A 、6米 B 、8米 C 、18米 D 、

24米

F

E

D C 60°

图

2

(第2题图)

6、(2008 青海)如图，DEF △是由ABC △经过位似变换得到的，点O 是位似中心，

D E F ，，分别是OA OB OC ，，的中点，则DEF △与ABC △的面积比是（ ）

A ．1:6

B ．1:5

C ．1:4

D ．1:2

7、（2008 青海 西宁）给出两个命题：①两个锐角之和不一定是钝角；②各边对应成比例的两个多边形一定相似．( ) A ．①真②真 B ．①假②真 C ．①真②假 D ．①假②假

8、（2008海南省）如图2所示，Rt △ABC ∽Rt △DEF ，则cosE 的值等于（ ） A. 12

第4题

A B

C

D

E

9、 （2008湖北荆州）如图，直角梯形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝CD ，E 为梯形内一点，且∠BEC ＝90°，将△BEC 绕C 点旋转90°使BC 与DC 重合，得到△DCF ，连EF 交CD 于M ．已知BC ＝5，CF ＝3，则DM:MC 的值为 （ ） A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:4

10、（2008贵州贵阳)如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么它们的面积比是（ ） A.1:2

B ．1:4

C

．

D ．2:1

11、（2008湖南株洲）4．如图，在ABC ?中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，若

6BC =，则DE 等于

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

12、 (2008 青海)如图，DEF △是由ABC △经过位似变换得到的，点O 是位似中心，

D E F ，，分别是OA OB OC ，，的中点，则DEF △与ABC △的面积比是（ ）

A ．1:6

B ．1:5

C ．1:4

D ．1:2

C

A B

D O E

F

第18题图

13、（2008青海西宁）给出两个命题：①两个锐角之和不一定是钝角；②各边对应成比例的两个多边形一定相似．( ) A ．①真②真

B ．①假②真

C ．①真②假

D ．①假②假

14、已知ABC DEF △∽△，相似比为3，且ABC △的周长为18，则DEF △的周长为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．54

15、（2008山东潍坊）如图,Rt △ABAC 中,AB ⊥AC ,AB =3,AC =4,P 是BC 边上一点,作PE ⊥AB 于E,PD ⊥AC 于

D ,设BP =x ,则PD+P

E =（ ）

A.35

x + B.45

x - C.7

2

D.

212125

25

x x -

16、 （2008山东烟台）如图，在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c

满足的关系式是（ ）

A 、b a c =+

B 、b ac =

C 、222b a c =+

D 、22b a c ==

A

B

C

D

E

P

17、（2008年广东茂名市）如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，

AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的 （ ） Ａ．91 Ｂ．92 Ｃ．31 Ｄ．9

4

18、(2008 江苏 常州)如图,在△ABC 中,若D E ∥BC,AD DB =1

2

,DE=4cm,则BC 的长为（ ） A.8cm

B.12cm

C.11cm

D.10cm

19、（2008 江西南昌）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）

20、(2008 重庆)若△ABC∽△DEF，△ABC 与△DEF 的相似比为2︰3，则S △ABC ︰S △DEF 为（）

A 、2∶3 B、4∶9 C、2∶3 D 、3∶2

（第7题） A ． B ． C ． D ．

C

（（第10题图）

21、(2008 湖南 长沙)在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，

一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（ ） A 、4.8米

B 、6.4米

C 、9.6米

D 、10米

22、（2008江苏南京）小刚身高1.7m ，测得他站立在阳关下的影子长为0.85m 。紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起手臂超出头顶 A.0.5m B.0.55m C.0.6m D.2.2m

33、（2008湖北黄石）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC △相似的是（ ）

三、解答题

1、（2008广东）如图5，在△ABC 中，BC>AC ， 点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平

分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连结EF. （1）求证：EF ∥BC.

（2）若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积.

2、（2008山西太原）如图，在ABC 中，2BAC C ∠=∠。

A ．

B ．

D ．

A

B

（1）在图中作出ABC 的内角平分线AD 。（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明）

（2）在已作出的图形中，写出一对相似三角形，并说明理由。 提示：（1）如图，AD 即为所求。

3、（2008湖北武汉）（本题6分）如图，点D ，E 在BC 上，且FD ∥AB ，FE ∥AC 。 求证：△ABC ∽△FDE ．

4、 （2008年杭州市）（本小题满分10分）

如图：在等腰△ABC 中，CH 是底边上的高线，点P 是线段CH 上不与端点重合的任意一点，连接AP 交BC 于点E,连接BP 交AC 于点F.

(1) 证明：∠CAE=∠CBF; (2) 证明：AE=BF;

(3) 以线段AE ，BF 和AB 为边构成一个新的三角形ABG （点E 与点F 重合于点G ），记△

ABC 和△ABG 的面积分别为S △ABC 和S △ABG ,如果存在点P,能使得S △ABC =S △ABG ,求∠C 的取之范围。

F

E

C

B

A

B

H

5、（2008佛山21）如图，在直角△ABC 内，以A 为一个顶点作正方形ADEF ，使得点E 落在BC 边上.

(1) 用尺规作图，作出D 、E 、F 中的任意一点 (保留作图痕迹，不写作法和证明. 另

外两点不需要用尺规作图确定，作草图即可)；

(2) 若AB = 6，AC = 2，求正方形ADEF 的边长.

6、（2008年陕西省）阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种．．测量方案． （1）所需的测量工具是： ； （2）请在下图中画出测量示意图；

（3）设树高AB 的长度为x ，请用所测数据（用小写字母表示）求出x ．

B

C

第21题图

7、（2008年江苏省南通市）如图，四边形ABCD 中，AD ＝CD ，∠DAB ＝∠ACB ＝90°，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为F ，DE 与AB 相交于点E. （1）求证：AB ·AF ＝CB ·CD

（2）已知AB ＝15cm ，BC ＝9cm ，P 是射线DE 上的动点.设DP ＝xcm （x ＞0），四边形BCDP 的面积为ycm 2

.

①求y 关于x 的函数关系式；

②当x 为何值时，△PBC 的周长最小，并求出此时y 的值.

8、(2008 湖南 怀化)如图10，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG,AE 与

CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ．

求证：（1）CG AE =；

（2）.MN CN DN AN ?=?

第20

题

D P

A

E

F C

B

9、(2008 湖南 益阳)△ABC 是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG ，使正方形的一条边DE 落在BC 上，顶点F 、G 分别落在AC 、AB 上. Ⅰ.证明：△BDG ≌△CEF ；

Ⅱ. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.

小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱ．．．．a ．和Ⅱ．．b ．的两个问题中选择一个你喜．．．．．．．．．．．．

欢的问题解答．．．．．．. ．如果两题都解，只以Ⅱ．．．．．．．．．．a ．的解答记分．．．．．. Ⅱa . 小聪想：要画出正方形DEFG ，只要能计算出正方形的边长就能求出BD 和

CE 的长，从而确定D 点和E 点，再画正方形DEFG 就容易了.

设△ABC 的边长为2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化) .

A

B

C

D E

F

G

图 (1)

A

B C

F

G

Ⅱb . 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是： ①在AB 边上任取一点G’，如图作正方形G’D’E’F’；

②连结BF’并延长交AC 于F ；

③作FE ∥F’E’交BC 于E ，FG ∥F ′G ′交AB 于G ，GD ∥G ’D ’交BC 于

D ，则四边形DEFG 即为所求.

你认为小明的作法正确吗？说明理由.

10、(2008 湖北 恩施) 如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC 和

AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC =∠AGF =90°，它们的斜边长为2，若?ABC

固定不动，?AFG 绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E (点D 不与点B 重合,点E 不与点C 重合),设BE =m ，CD =n.

（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明. （2）求m 与n 的函数关系式，直接写出自变量n 的取值范围.

A

B

C

D E F

G

图 (3)

G ′

F ′

E ′

D ′

（3）以?ABC 的斜边BC 所在的直线为x 轴，BC 边上的高所在的直线为y 轴，建立平

面直角坐标系(如图12).在边BC 上找一点D ，使BD =CE ，求出D 点的坐标，并通过计算验证BD 2＋CE 2=DE 2.

（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD 2＋CE 2=DE 2是否始终成立,若成立,请证明,

若不成立,请说明理由.

11、 （08浙江温州）如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于

Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．

（1）求点D 到BC

的距离DH 的长；

（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．

A B

C

D E

R P

H Q

（第1题图）

12、（08山东省日照市）在△ABC 中，∠A＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．

（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？

（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？

13、(2008安徽)如图，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别交AC CD ，于点P Q ，．

（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）； （2）求::BP PQ QR ．

B

图 1

第20题

A B

C

D E

P

O

R

14、（2008 山东 临沂）如图，□ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD DE 2

1

。 ⑴求证：△ABF ∽△CEB;

⑵若△DEF 的面积为2，求□ABCD 的面积。

15、 (2008 浙江 丽水)为了加强视力保护意识，小明想在长为3.2米，宽为4.3米

的书房里挂一张测试距离为5米的视力表．在一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、丙三位同学设计方案新颖，构思巧妙．

（1）甲生的方案：如图1，将视力表挂在墙ABEF 和墙ADGF 的夹角处，被测试人站立在

对角线AC 上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由．

（2）乙生的方案：如图2，将视力表挂在墙CDGH 上，在墙ABEF 上挂一面足够大

的平面镜，根据平面镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙ABEF 米处．

（3）丙生的方案：如图3，根据测试距离为5m 的大视力表制作一个测试距 为3m 的小视

第21题图

F

A

D

E

B

C

力表．如果大视力表中“E ”的长是3.5cm ，那么小视力表中相应“E ”的长是

多少cm ？

16、（2008年福建宁德）如图，E 是□ABCD 的边BA 延长线上一点，连接EC ，交AD 于F ．在不添加辅助线的情况下，请找出图中的一对相似三角形，并说明理由．

17、(2008 黑龙江)如图，在平面直角坐标系中，点(30)C -，，点A B ，分别在x 轴，y 轴的正半轴上，且满足2310OB OA -+-=． （1）求点A ，点B 的坐标．

（2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连结AP ．设ABP △的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点A B P ，，为顶点的三角形与AOB △相似？若存在，请直接写出点P

H

H

（图1）

（图2） （图3）

（第22题）

3.5㎝

A

C

F

3m

B

5m

D

A F

B C

E

18、在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），

过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．

（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？

（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？

19、（08中山）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB 重合，直角边不重合，已知AB=8

，BC=AD=4，AC 与BD 相交于点E ，连结CD ．

(1)填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD 是 梯形. (2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.

B

D 图 2

B

图 1

图 3

(3)如图10，若以AB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ΔABD 不动，将ΔABC 向x 轴的正方向平移到ΔFGH 的位置，FH 与BD 相交于点P ，设AF=t ，ΔFBP 面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值值范围.

.

20、(2008年福建省福州市)（本题满分13分）

如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由； （2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；

（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？

D

C

B

A

E

图9 E D

C

H

F

G B

A

P

y

x

图10

（第21题）

21、(2008年广东梅州市)本题满分8分．

如图8，四边形ABCD是平行四边形．O是对角线AC的中点，过点O的直线EF 分别交AB、DC于点E、F，与CB、AD的延长线分别交于点G、H．

（1）写出图中不全等的两个相似三角形（不要求证明）；

（2）除AB=CD，AD=BC，OA=OC这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段，请选出其中一对加以证明．

图8

22、(2008年广东梅州市)本题满分8分．

如图10所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F．

（1）求证：?ADE∽?BEF；

（2）设正方形的边长为4，AE=x，BF=y．当x取

什么值时，y有最大值?并求出这个最大值．