线性代数详细答案
第一章 行列式
习题1.1
1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。
因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有
3
)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。
因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以
)
3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。
如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以
)3(33)
(3)3()
3)(3()3)(3(3
32
2
22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=
-+-+=
++。
综上所述，我们有)3(Q 是数域。
（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。 （反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=?
∈?,，从而有
q ab qb a p p 2)()(222++==。
由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。
如果0=a ，则2
qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。
如果0=b ，则有a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。
所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ?。 同样可得)()(p Q q Q ?。
（4）因为有无数个互异的素数，所以由（3）可知在Q 和?之间存在无穷多个不同的数域。
2. 解：（1）)1(-P 是数域，证明略（与上面类似）。
（2）)1(-Q 就是所有的实部和虚部都为有理数的复数所组成的集合。 而=-=-?)1()1(C 复数域。
（3）)1(-Z 不是数域，这是因为他关于除法不封闭。例如
)1(2
1
-?Z 。 3. 证明：（1）因为K F ,都是数域，所以K Q F Q ??,，从而K F Q ??。故K F ?含
有两个以上的复数。
任给三个数K F c K F b a ?∈≠?∈0,,，则有F c b a ∈,,且K c b a ∈,,。因为K F ,是数域，所以有F c a ab b a ∈±,,且K c a ab b a ∈±,,。所以K F c
a
ab b a ?∈±,,。 所以K F ?是数域。
（2）K F ?一般不是数域。例如)3(),2(Q K Q F ==，我们有K F ?∈3,2，但是K F ??=326。
习题1.2
2. 解：项651456423123a a a a a a 的符号为 =-+)
312645()234516()1(ττ
习题1.3
1．证明：根据行列式的定义
11
111111
1
=
121212
()
12(1)
n n
n
j j j j j nj j j j a a a τ-∑
1
ij a =
12
12
()
(1)n n
j j j j j j τ-∑
=0。
所以上式中(-1)的个数和(+1)的个数一样多，(-1)是由奇排列产生的，而(+1)是由偶排列产生的。同时根据行列式的定义这里包括了所有的n 阶排列，故可以得到全体n 阶排列中奇排列的个数与偶排列的个数一样多，各占一半。
2．解 (1) 199819992000
2001
20022003
200420052006
32
C C -199819991200120021200420051
21
C C -199811200111200411
=0； （2）
1
001022003304
4--3241C C C C -+10000
2
0003604008
-下三角形
1268=96???；
（3）
1110
1101101101112131R R R R --1
11000
1101
0101
1
1
--24R 1
1100
11101
1
11--32R R +111001
1100
1
2
0011
-
43
R R +1110
011100120003
上三角形1113=3???；
（4）
222222a b c
a a
b b
c a b c
c
c a b ------123
R R R ++2222a b c a b c a b c b b c a b c
c
c a b
++++++----
提取公因子
111()2222a b c b b c a
b c
c c a b ++----
2131
(2)(2)R b R R c R --111()000
a b c b c a
c a b
++------=3
()a b c ++。
（5）72222272222272222272
222275
12i
i C C =+∑152222
157222
152722
152272152227
12,3,4,5
i R R i -=1522220
500000500000500
0005
上三角形
515555535????=?。
3．解：（1）11
121321
222331
32
33
x y x y x y x y x y x y x y x y x y 提取每行的公因子
1
231231
231
2
3
y y y x x x y y y y y y 性质4
0。
（2）左端
1
4,3,2
i i C C i --=2
22
2
212325
212325212325212325
a a a a
b b b b
c c c c
d d d d ++++++++++++4332C C C C --
2222
2122212221222122
a a
b b
c c
d d ++++=0=右端。
（3）121
112
112211
2
11
111
1
n n n n n a a a a b a a a a b a a a a b -----+++12,
i R R i n
-=12112
1
10000000
n n a a a b b b --
上三角形
12
1n b b b -。
（4）原式（先依次12211,,,C C C C C C n n n n ------ ）=。
。。=?
??>=2,2
,n if n if 。 （5）原式（先依次12211,,,R R R R R R n n n n ------ ）=。。。=??
?>=2
,2
,n if n if 。
4．解：设展开后的正项个数为x 。则由行列式的定义有!2)!(n x x n x D -=--=。又因为
=D （利用n i R R i ,,3,2,1 =+）
2
210210
01
（下三角行列式）1
2
-=n 。所以有
2
!
2,!22
11
n x n x n n +=-=--。
5．证明：（1）左端
123C C C ++提取公因子
11111112222222333
33332a b c c a a b a b c c a a b a b c c a a b ++++++++++++2131
C C C C --
1111122222333
3
3
2a b c b c a b c b c a b c b c ++--++--++--1233
C ;(1)C C C C ++-2(-1)1
11
22233
3
2a b c a b c a b c =右端。
（2）利用性质5展开。 6．解：（3）与上面3（3）类似可得。 7．解：利用行列式的初等变换及性质5。
8．解：
1122110000
00000111
11
n n a a a a a a ----
-11,2,
,1
i i C C i n ++=-
1210000000
00001
2
3
1n a a a n n
-----下三角形
121(1)n n na a a --。
9．证明：设原行列式=D 。则对
D
进行依次如下变换后
∑=+??5
2
14323
14
,10,100,10,10i i C C C C C C 所得的行列式D ′第一列由题设中所给的5个数
字构成。从而由行列式的定义可知D ′可被23整除。又由行列式的性质知D ′D 1010=。因为23是素数，且1010不可能被23整除，所以D 可以被23整除。
习题1.4
1．解：(1) 0
000
00
000x
a b c
y d
e z f
g h k u l
v
5按第行展开00
000
0x
a b y v e
z g
h k
u
按第4列展开000
x a b vu y e z
按第1列展开
0y xuv
e
z
=xyzuv ；
(2)
1111
2341
3412
4123
1
4,3,2
i i
R R
i
-
-
=
1111
1230
1131
1311
-
-
1
2,3,4
i
R R
i
-
=
1111
0121
0040
0400
-
-
-
按第1列展开
121
040
400
-
-
-
1.27(4)
-
习题第题3(31)
2
(1)(1)(4)(4)
-
----=16；
(3)方法一01000
00100
00010
a b c d e
e d c b a
按第1列展开
1000
0100
0010
a
d c b a
+51
1000
(1)
0100
0010
b c d e
e
+
-
第2个行列式按第4列展开241
100
(1)010
001
a e e
+
+-=22
a e
-；
方法二逐次均按第2行展开可得同样结果, 具体解法可参见下例。
(4)逐次按第2行展开
1
2
3
1
0001
0000
000
0000
1000
n
n
a
a
a
a
a
-
=
1
3
2
01
00
10
n
a
a
a
a
==
1
231
1
1
n
n
a
a a a
a
-
=
2311
(1)
n n
a a a a a
-
-；
(5)
123
111
221232
222
123
222
331233
110001
000
111
000
x x x
a b c
a b x x x c
x x x
a b x x x c
36
C
123
111
222231
222
123
222
333231
111000
000
111
000
x x x
a b c
a b c x x x
x x x
a b c x x x
-35
R
123222123222231111222
3
3
3
2
3
11110000000001
1
1x x x x x x a b c x x x a b c a b c x x x 45R 1232221231112222
3
1222
3
3
3
2
3
1111000000000111x x x x x x a b c a b c x x x a b c x x x -
=2
123(,,)D x x x -=222313221()()()x x x x x x ----；
(6)
23
11
11122144
188
x x x --=(1,2,2,)D x -=(2)(2)(1)(22)(21)(21)x x x +-------
2
12(1)(4)x x =--；
（7）换行后可得到范德蒙行列式； （8）先把第一行加到第三行，再提取第三行的公因式，
换行后可得到范德蒙行列式。
2
．解：
(1)
0000
00
0000000000
x y x y x x y y
x 按第1列展开
11000
0(1)00
x
y x y x
x
+
-
+100000(1)0
000
n y
x
y y x x y
+- =1
(1)
n
n n x y ++-；
(2) 123123
1
231
2
3
111n
n n n
a a a a a a a a a a a a a a a a +++12,3,
,i R R i n
-
=12
311
100
1010
1
1
n
a a a a +---12n
i
i C C =+∑ =1+
1
n
i
i a =∑；
（此处有笔误）