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中考数学常见题型几何动点问题

中考数学常见题型几何

动点问题

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

中考数学压轴题型研究（一）——动点几何问题

例1：在△ABC 中，∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM, (1)求△ABC 的面积；

(2)现有动点P 从A 点出发，沿射线AB 向点B 方向运动，动点Q 从C 点出发，沿射线CB 也向点B 方向运动。如果点P 的速度是4CM/秒，点Q 的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，△PBQ 的面积是△ABC 的面积的一半？

(3)在第（2）问题前提下，P,Q 两点之间的距离是多少？

例2: ()已知正方形ABCD 的边长是1，E 为CD 边的中点， P 为正方形ABCD 边上的一个动点，动点P 从A 点出发，沿A →B → C →E 运动，到达点E.若点P 经过的路程为自变量x ，△APE 的面积为函数y ，

（1）写出y 与x 的关系式

(2)求当y ＝1

时，x 的值等于多少

例3：如图1 ，在直角梯形ABCD 中，∠B=90°，DC ∥AB ，动点P 从B 点出发，沿梯形的边由B →C → D → A 运动，设点P 运动的路程为x ,△ABP 的面积为y , 如果关于x 的函数y 的图象如图2所示，那么△ABC 的面积为（） A ．32 B ．18 C ．16 D ．10

例4：直线3

y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q

、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，

速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；

（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；

A C B

A O Q

B y

（3）当48

S =

时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．

例5：已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．

（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；

（2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形

MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．

例6：如图（3），在梯形ABCD 中，906DC AB A AD ∠==∥，°，厘米，4DC =厘米，BC 的坡度34i =∶，动点P 从A 出发以2厘米/秒的速度沿AB 方向向点B 运动，动点Q 从点B 出发以3厘米/秒的速度沿B C D →→方向向点D 运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也

随之停止．设动点运动的时间为t 秒．（1）求边BC 的长；

（2）当t 为何值时，PC 与BQ 相互平分；

（3）连结PQ ，设PBQ △的面积为y ，探求y 与t 的函数关系式，求t 为何值时，y 有最大值最大值是多少

图

C P

A M N

二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。

例7：如图，已知ABC

△中，10

AB AC

==厘米，8

BC=厘米，点D

为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，

同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD

△与CQP

△是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使

BPD

△与CQP

△全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC

△三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC

△的哪条边上相遇？

例8：如图，在梯形ABCD

中，3545

AD BC AD DC AB B

====?

∥，，，．动点M从

B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．

（1）求BC的长．

（2）当MN AB

∥时，求t的值．

（3）试探究：t为何值时，MNC

△为等腰三角形．

例9：（如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90o，AB ＝12cm ，AD ＝8cm ，BC ＝22cm ，AB 为⊙O 的直径，动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度运动，P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t (s )． (1)当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？

例10. 如图，在矩形ABCD 中，BC =20cm ，P ，Q ，M ，N 分别从A ，B ，C ，D 出发沿AD ，BC ，CB ，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ =x cm(0x )，则AP =2x cm ，CM =3x cm ，DN =x 2cm ．

（1）当x 为何值时，以PQ ，MN 为两边,以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边构成一个三角形；

（2）当x 为何值时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形；

（3）以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由．练习

M N

（第25题）

1．正方形ABCD 的边长为2cm ，在对称中心O 处有一钉子．动点P ，Q 同时从点A 出发，点P 沿A B C →→方向以每秒2cm 的速度运动，到点C 停止，点Q 沿A D →方向以每秒1cm 的速度运动，到点D 停止．P ，Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x 秒后橡皮筋扫过的面积为

2cm y ．

（1）当01x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式；（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值；

触及

（3）当12x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从钉子到运动停止时POQ ∠的变化范围；

数图

（4）当02x ≤≤时，请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函象．

[解] （1）当01x ≤≤时，2AP x =，AQ x =，21

y AQ AP x ==，即2y x =．

（2）当1

ABCD ABPQ S S =

正方形四边形时，橡皮筋刚好触及钉子， 22BP x =-，AQ x =，()211222222x x -+?=?，4

x ∴=．

（3）当4

x ≤≤时，2AB =，

22PB x =-，AQ x =，

2223222

AQ BP x x y AB x ++-∴==?=-，

即32y x =-．

作OE AB ⊥，E 为垂足．

当4

x ≤≤时，22BP x =-，AQ x =，1OE =， BEOP OEAQ y S S =+梯形梯形12211122x x +-+=?+?32x =，即3

y x =．

90180POQ ≤∠≤或180270POQ ≤∠≤ （4）如图所示：

1 O

1 2 x

B C

O D Q A B

P C

Q A

1 O

1 2 x