概率论与数理统计作业及解答

概率论与数理统计作业及解答

概率论与数理统计作业及解答

第一次作业

★1. 甲, 乙, 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹, 设事件A , B , C 分别表示甲, 乙, 丙击中目标, 则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示. 事件E ={事件,,A B C 最多有一个发生},则E 的表示为

;E ABC ABC ABC ABC =+++或;AB AC BC =U U 或;AB AC BC =U U

或;AB ACBC =或().ABC ABC ABC ABC =-++

(和A B +即并A B U ,当,A B 互斥即AB φ=时,A B U 常记为A B +.) 2. 设M 件产品中含m 件次品, 计算从中任取两件至少有一件次品的概率.

22

1M m

M C C --或1122

(21)(1)m M m m M

C C C m M m M M C -+--=- ★3. 从8双不同尺码鞋子中随机取6只, 计算以下事件的概率.

A ={8只鞋子均不成双},

B ={恰有2只鞋子成双},

C ={恰有4只鞋子成双}.

61682616()32()0.2238,143C C P A C ===1414

8726

16()80

()0.5594,143C C C P B C === 22128626

16()30

()0.2098.143

C C C P C C === ★4. 设某批产品共50件, 其中有5件次品, 现从中任取3件, 求:

(1)其中无次品的概率; (2)其中恰有一件次品的概率.

(1)34535014190.724.1960C C == (2)21455350990.2526.392

C C C == 5. 从1～9九个数字中, 任取3个排成一个三位数, 求: (1)所得三位数为偶数的概率; (2)所得三位数为奇数的概率.

(1){P 三位数为偶数}{P =尾数为偶数4

},9=

(2){P 三位数为奇数}{P =尾数为奇数5

},9

=

或{P 三位数为奇数}1{P =-三位数为偶数45

}1.99

=-=

6. 某办公室10名员工编号从1到10,任选3人记录其号码,求:(1)最小号码为5的概率;(2)最大号码为5的概率.

记事件A ={最小号码为5}, B ={最大号码为5}.

(1) 253101();12C P A C ==(2) 2

43101

().20

C P B C ==

7. 袋中有红、黄、白色球各一个,每次从袋中任取一球,记下颜色后放回,共取球三次,

求下列事件的概率:A ={全红},B ={颜色全同},C ={颜色全不同},D ={颜色不全同},E ={无黄色球},F ={无红色且无黄色球},G ={全红或全黄}.

311(),327P A ==1()3(),9P B P A ==33333!2(),339A P C ===8

()1(),9

P D P B =-=

3328(),327P E ==311(),327P F ==2

()2().27

P G P A ==

☆.某班n 个男生m 个女生(m ≤n +1)随机排成一列, 计算任意两女生均不相邻的概率.

☆.在[0, 1]线段上任取两点将线段截成三段, 计算三段可组成三角形的概率. 14

第二次作业

1. 设A , B 为随机事件, P (A )=0.92, P (B )=0.93, (|)0.85P B A =, 求:(1)(|)P A B , (2)()P A B ∪. (1)

()()

0.85(|),()0.850.080.068,()10.92

P AB P AB P B A P AB P A ==

==?=-

()()()()()()P AB P A P AB P A P B P AB =-=-+0.920.930.0680.058,

=-+=

()0.058

(|)0.83.()10.93

P AB P A B P B =

==-

(2)()()()()P A B P A P B P AB =+-U 0.920.930.8620.988.=+-=

2. 投两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率. 记事件A ={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}, B ={(1,6),(6,1)}.

21(|).63

P B A ==

★.在1—2000中任取一整数, 求取到的整数既不能被5除尽又不能被7除尽的概率. 记事件A ={能被5除尽}, B ={能被7除尽}.

4001

(),

20005

P A ==取整2000285,7??

=????28557(),2000400P B ==200057,57??=?????

57(),2000P AB = ()()1()1()()()P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=--+U U

1575710.686.54002000

=--+=

3. 由长期统计资料得知, 某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4/15, 刮风(用B 表示)的概率为7/15, 既刮风又下雨的概率为1/10, 求P (A |B )、P (B |A )、P (A B ).

()1/103(|),()7/1514P AB P A B P B ===()1/103

(|),()4/158

P AB P B A P A ===

()()()()P A B P A P B P AB =+-U 47119

.

15151030

=+-=

4. 设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是1/2,若第一次落下未摔破,第二次落下时摔破的概率是7/10,若前二次落下未摔破,第三次落下时摔破的概率是9/10,

试求落下三次而未摔破的概率．

记事件i A ={第i 次落下时摔破},1,2,3.i =

1231213121793()()(|)(|)111.21010200

P A A A P A P A A P A A A ???

???==---= ???????????

5. 设在n 张彩票中有一张奖券,有3个人参加抽奖,分别求出第一、二、三个人摸到奖券

概率．

记事件i A ={第i 个人摸到奖券},1,2,3.i =

由古典概率直接得1231

()()().P A P A P A n ===

或212121111

()()()(|),1n P A P A A P A P A A n n n

-====-

31231213121211

()()()(|)(|).12n n P A P A A A P A P A A P A A A n n n n

--====--

或 第一个人中奖概率为11

(),

P A n

=

前两人中奖概率为12122()()(),P A A P A P A n +=+=解得21

(),P A n

=

前三人中奖概率为1231233()()()(),P A A A P A P A P A n ++=++=解得31

().P A n

=

6. 甲、乙两人射击, 甲击中的概率为0.8, 乙击中的概率为0.7, 两人同时射击, 假定中靶与否是独立的.求(1)两人都中靶的概率; (2)甲中乙不中的概率; (3)甲不中乙中的概率. 记事件A ={甲中靶},B ={乙中靶}.

(1) ()()()0.70.70.56,P AB P A P B ==?=

(2) ()()()0.80.560.24,P AB P A P AB =-=-= (3)

()()()0.70.560.14.P AB P B P AB =-=-=

★7. 袋中有a 个红球, b 个黑球, 有放回从袋中摸球, 计算以下事件的概率: (1)A ={在n 次摸球中有k 次摸到红球}; (2)B ={第k 次首次摸到红球};

(3)C ={第r 次摸到红球时恰好摸了k 次球}.

(1) ();()

k n k

k n k

k k n n

n

a b a b P A C C a b a b a b --????== ? ?+++????

(2) 1

1

();()

k k k

b a ab P B a b a b a b --??

== ?

+++??

(3) 1111

().()r

k r

r k r

r r k k k

a b a b P C C C

a b a b a b ------????== ? ?+++????

8.一射手对一目标独立地射击4次, 已知他至少命中一次的概率为80

.81

求该射手射击一次命中目标的概率.

设射击一次命中目标的概率为,1.p q p =-4801121,,1.818133

q q p q =-

===-= 9. 设某种高射炮命中目标的概率为0.6, 问至少需要多少门此种高射炮进行射击才能以0.99的概率命中目标.

(10.6)10.99,n -<-0.40.01,n <由50.40.01024,=60.40.01,<得 6.n ≥ ☆.证明一般加法(容斥)公式

11

11

()()()()(1)().n

n n n i i i i j i

j k

i i i i j

i j k

P A P A P A A P A A A P A -===<<<=-+

++-∑∑∑U L

I

证明 只需证分块111,,k k n k i i i i i i A A A A A A +?L L L 只计算1次概率．(1,,n i i L 是1,,n L 的一个排列,1,2,,.k n =L )分块概率重数为

1,,k i i A A L 中任取1个-任取2个1(1)k -++-L 任取k 个,即

121(1)1k k k k k C C C --++-=?L

121(1)(11)0.k k k k k k C C C -+++-=-=L

将,U I 互换可得对偶加法(容斥)公式

11

11

()()()()(1)().n

n

n n i i i i j i

j

k i i i i j

i j k

P A P A P A A P A A

A P A -===<<<=-+

++-∑∑∑I

U U U L U

☆.证明 若A , B 独立, A , C 独立, 则A , B ∪C 独立的充要条件是A , BC 独立.

证明

(())()()()()

P A B C P AB AC P AB P AC P ABC ==+-U U ()()()()()P A P B P A P C P ABC =+- 充分性:?

(())()()()()(),P A B C P A P B P A P C P ABC =+-U 代入()()()P ABC P A P BC = ()(()()())P A P B P C P BC =+-()(),P A P B C =U 即,A B C U 独立. 必要性:?

(())()()P A B C P A P B C =U U ()(()()())P A P B P C P BC =+-

()()()()()()P A P B P A P C P A P BC =+-()()()()()P A P B P A P C P ABC =+- ()()(),P ABC P A P BC =即,A BC 独立.

☆.证明：若三个事件A 、B 、C 独立，则A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立． 证明 因为

[()]()()()()()()()()()()()

[()()()()]()()()

P A B C P AC BC P AC P BC P ABC P A P C P B P C P A P B P C P A P B P A P B P C P A B P C ==+-=+-=+-=U U U

[()]()()()()[()()]()()()P AB C P ABC P A P B P C P A P B P C P AB P C ==== [()]()()()()()()()()

[()()]()()()P A B C P AC B P AC P ABC P A P C P A P B P C P A P AB P C P A B P C -=-=-=-=-=-

所以A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立. 第三次作业

1. 在做一道有4个答案的选择题时, 如果学生不知道问题的正确答案时就作随机猜测. 设他知道问题的正确答案的概率为p , 分别就p =0.6和p =0.3两种情形求下列事件概率: (1)学生答对该选择题; (2)已知学生答对了选择题,求学生确实知道正确答案的概率. 记事件A ={知道问题正确答案},B ={答对选择题}.

(1) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+113,444

p p

p -=+=+