第四章 整环里的因子分解
第四章 整环里的因子分解
§4.1 不可约、素元、最大公因子
1. 证明:0不是任何元的真因子.
注 这里的0是指整环I 的零元,“任何元”是指整环I 中的任何元. 证明 由于0不能整除整环I 中的非零元,因此0不是整环I 中的非零元的真因子.虽然0整除0,但0与0相伴,因此0不是0的真因子.所以0不是整环I 中任何元的真因子.
2.找出Gauss 整数环},|{][Z Z ∈+==n m ni m i I 的所有单位.
解 假设Z ∈b a ,,使得bi a +是I 中的单位,则存在Z ∈d c ,,使得
1))((=++di c bi a ,
从而,1))((2222=++d c b a .由此可见,i bi a ±±=+,1.所以i ±±,1就是I 中的所有单位.
3.证明:在Gauss 整数环][i I Z =中,3是不可约元,5是可约元.
证明 显然,3和5既不是零元,也不是单位.
设Z ∈d c b a ,,,,使得
3))((=++di c bi a .
于是
9))((2222=++d c b a .
显然322≠+b a .因此122=+b a 或122=+d c ,从而,bi a +是单位或di c +是单位.所以3是不可约元.
由5)2)(2(=-+i i 可知,i +2和i -2都是5的真因子.所以5是可约元.
4.设I 是整环,I b a ∈,,直接证明:
a b a ?=)()(～b .
证明 由于I 是有单位元的交换环,根据定理3.16的推论1(3),aI a =)(,bI b =)(. 因此
?=)()(b a 存在R s r ∈,,使得rb a =,sa b =a ?～b .
5.设p 是整环I 的素元,m a a a p 21|(2≥m ),证明:至少存在一个i a (m i ≤≤1),使i a p |.
证明 我们用数学归纳法来证明.
当2=m 时,根据素元的定义,我们的断言成立.
假设当n m =(2≥n )时,结论成立.当1+=n m 时,根据素元的定义,n a a a p 21|或1|+n a p .若p 不整除1+n a ,则n a a a p 21|.于是,根据归纳假设,至少存在一个i a (n i ≤≤1),使i a p |.所以当1+=n m 时,我们的断言成立.
6.设整环I 中任意两个元的最大公因子都存在,m a a a ,,,21 是I 中m 个不全为零的
元,若m m db a db a db a ===,,,2211 ,证明:
d 是m a a a ,,,21 的最大公因子m b b b ,,,21 ?互素.
证明 假定m m db a db a db a ===,,,2211 .
m b b b ,,,21 不互素
?I 中存在元素',,','21m b b b 和非零、非单位的元素c ,使得
',,','2211m m cb b cb b cb b ===
?I 中存在元素',,','21m b b b 和非零、非单位的元素c ,使得
',,','2211m m dcb a dcb a dcb a ===
d ?不是m a a a ,,,21 的最大公因子.
所以
d 是m a a a ,,,21 的最大公因子m b b b ,,,21 ?互素.
§4.2 惟一分解环
1.证明:整环},|10{]10[Z Z ∈+==n m n m I 不是惟一分解环.
证明 显然,I ∈10,10,5,2,10,5,2都不是单位,也都不是零元,2和5都不是10的相伴元,但是10105210?=?=.所以I 不是惟一分解环.
2.证明:Gauss 整数环][i I Z =中,5是唯一分解元.
证明 首先,由§1习题第2题知,在I 中只有1±和i ±是单位.
其次,显然i ±2都不是零元和单位元.事实上,i ±2是I 中的不可约元.为了阐明这一事实,考察任意的Z ∈d c b a ,,,.若i di c bi a ±=++2))((,则5))((2222=++d c b a ,由此可见,122=+b a 或122=+d c ,从而,bi a +是单位或di c +是单位.因此i ±2没有非平凡的因子.所以i ±2是I 中的不可约元.当然,它们的相伴元)2(i ±-,)2(i i ±,)2(i i ±-也都是不可约元.
现在设Z ∈d c b a ,,,,使得
5))((=++di c bi a . (*) 于是,
25))((2222=++d c b a .
由此可见,122=+b a 或522=+b a .当122=+b a ,i bi a ±±=+,1是I 中的单位,从而,di c +是5的相伴元.这时(*)式不是5的不可约元分解式.当522=+b a 时,bi a +的值只能是如下八个数之一:
i ±2,)2(i ±-,)2(i i ±,)2(i i ±-.
显然,这八个数都是5的真因子.这样一来,根据(*)式可以断言,)2)(2(5i i -+=是5的不可约元分解式,并且:对于5的任意一个不可约元分解式n p p p 215=,必有2=n ;必要
时,交换1p 和2p 的下标和次序后,1p 与i +2相伴且2p 与i -2相伴.所以5是唯一分解元.
2.按惟一分解环定义直接证明定理4.11.
注 定理4.11的内容如下:
在一个惟一分解环I 中,每一个不可约元都是素元.
证明 设I p ∈是一个不可约元.任意给定I b a ∈,,并假设ab p |.于是,存在I c ∈,使得pc ab =.当0=a 或0=b 时,显然a p |或b p |.当a 为单位时,有pc a b 1-=,从而,b p |.同理,当b 为单位时,有a p |.现在假定a 和b 都不是零元和单位.显然,c 不是零元,也不是单位.由于I 是惟一分解环,不妨设
m p p p a 21=,n q q q b 21=,u r r r c 21=.
其中,j p (m j ≤≤1),k q (n k ≤≤1)和l r (u l ≤≤1)都是不可约元.于是, n m u q q q p p p r r pr 212121=. (*) 由于I 是惟一分解环,可以断言:或者存在j (m j ≤≤1),使得p 与j p 相伴,从而,a p |; 或者存在k (n k ≤≤1),使得p 与k q 相伴,从而,b p |.总而言之,a p |或b p |.这样一来,由于I b a ∈,的任意性,我们断言p 是素元.
4.设I 是惟一分解环,m a a a ,,,21 是I 中m (2≥m )个元,证明:在I 中m a a a ,,,21 的最大公因子存在,且任意两个最大公因子互为相伴元.
证明 首先,我们用数学归纳法来证明m a a a ,,,21 有最大公因子.
事实上,定理4.10告诉我们,当2=m 时,结论成立.
假设当n m =2(≥n )时结论成立.现在考察1+=n m 的情形:
根据归纳假设,不妨设a 是n a a a ,,,21 的一个最大公因子.根据定理4.10,可设d 是a 与1+n a 的最大公因子.显然,d 是121,,,,+n n a a a a 的一个公因子.假设'd 是121,,,,+n n a a a a 的一个公因子.则'd 是n a a a ,,,21 一个公因子.由于a 是n a a a ,,,21 的一个最大公因子,因此a d |'.由于1|'+n a d ,因此'd 是a 与1+n a 的公因子.这样一来,由于d 是a 与1+n a 的最大公因子,因此d d |'.所以d 是121,,,,+n n a a a a 的一个最大公因子.
所以当1+=n m 时m a a a ,,,21 有最大公因子.
§4.3 主 理 想 环
1.设I 是主理想环,d 是I b a ∈,的一个最大公因子,证明:I t s ∈?,,使bt as d +=. 证明 根据定理3.16的推论2,),()()(b a b a =+,其中),(b a 表示},{b a 生成的理想.根据定理 4.15,),()(b a d =.因此)()()(d b a =+.由)()(b a d +∈可知,存在I t s ∈,,使bt as d +=.
2.设I 是主理想环,I b a ∈,,证明:b a ,互素I t s ∈??,,使1=+bt as .
证明 根据定义4.8、第1题、定理3.16的推论2以及定理4.15,我们有
b a ,互素?1是a 与b 的一个最大公因子
?存在I t s ∈,,使1=+bt as
)()(1b a +∈?),()()()1(b a b a =+=?
?1是a 与b 的一个最大公因子.
所以
b a ,互素I t s ∈??,,使1=+bt as .
3.设I 是主理想环,I b a ∈,,证明:
(1)若b a ,互素,且bc a |,则c a |;
(2)若b a ,互素,且c a |,c b |,则c ab |.
证明 (1) 当0=a 时,由bc a |可知,0=bc ;由a 与b 互素可知,b 是单位.因此0=c .所以c a |.
当a 是单位时,显然c a |.
假设a 既不是0,也不是单位.由于bc a |,因此bc 既不是0,也不是单位;从而,b 和c 都不是0.若b 是单位,则由bc a |可知c a |.现在假定b 不是单位.由于I 是主理想环,根据定理4.14,I 是惟一分解整环.不妨设
m p p p a 21=,n q q q b 21=,
其中m p p p ,,,21 和n q q q ,,,21 都是R 中的既约元.于是存在I k ∈,使得
c q q q p p kp n m 2121=.
由于a 与b 互素,因此i p (),,2,1m i =与j q (),,2,1n j =不相伴.这样一来,由上式可知,c 可以表示成如下形式:
m p p p k c 21'=.
所以c a |.
(2)显然,当0=a 或0=b 时,0=c ,从而,c ab |;当a 是单位或b 是单位时,c ab |.现在假设a 和b 既不是0,也不是单位.由于I 是主理想环,根据定理4.14,I 是惟一分解整环.不妨设
m p p p a 21=,n q q q b 21=,
其中m p p p ,,,21 和n q q q ,,,21 都是I 中的既约元.于是,
n m q q q p p p ab 2121=,
n m q q q k p p kp c 2121'==.
如果a 与b 互素,那么,i p (),,2,1m i =与j q (),,2,1n j =不相伴.这样一来,因为I 是唯一分解整环,c 可以表示成如下形式:
ab k q q q p p p k c n m ''''2121== .
所以c ab |.
4.在整数环Z 中,求出包含)6(的所有极大理想.
证明 我们知道,整数环Z 是主理想环.设)(a 是包含)6(的一个极大理想.根据定理
4.4,a 是6的真因子.因此2±=a 或3±=a .所以)2()2(-=和)3()3(-=就是包含)6(的所有极大理想.
5.在有理数域Q 上的一元多项式环][x Q 中,理想)23,1(23+++x x x 等于怎样一个主理想?
解 显然,1+x 是13+x 与232++x x 的一个最大公因子.根据定理3.16的推论2和定理4.15, )1()23,1(23+=+++x x x x .
6.证明:)3/(][2+x x Q 是一个域.
证明 首先, 由于Q 是域,根据§3.7中的例1,][x Q 是主理想环.其次,显然32+x 是][x Q 中的不可约元.这样一来,根据定理4.16和定理3.23,)3/(][2+x x Q 是一个域.
§4.4 欧 氏 环
1.证明:域F 是欧氏环.
证明 定义}0{\F 到到}0{ N 的映射φ如下:
1)(=a φ,}0{\F a ∈?.
显然,对于任意的}0{\F a ∈和F b ∈,存在F q ∈,使得0+=aq b .所以F 是欧氏环.
2.证明:整环},|2{]2[Z Z ∈-+=-n m n m 关于*-]2[Z 到}0{ N 的映射222)2(n m n m φ+=-+是一个欧氏环.
证明 考察任意的*-∈]2[Z α和]2[-∈Z β:设2-+=b a α,,2-+=d c β其中Z ∈d c b a ,,,.于是,
222222)(2(22222222-+-+++=+---+=-+-+=b
a bc ad
b a bd a
c b a b a
d c b a d c αβ. 根据带余除法,存在Z ∈v u q q ,,,21,使得
u q b a bd ac ++=+122)2(2,)2(2
1||022b a u +≤≤; v q b a bcd ad ++=-222)2(,)2(2
1||022b a v +≤≤. 令221-+=q q q .则
2
22222222222b a v u q b a bc ad b a bd ac αβ+-++=-+-+++=, 从而
222)2(b
a αv u q αβ+-++=.
注意到]2[,,-∈Z q βα,由上式可知,]2[2)2(22-∈+-+Z b a αv u .令222)2(b a αv u r +-+=,则]2[-∈Z r ,并且
r q αβ+=.
当0≠r 时,
22222
2
||)2(|)2(|||)(αb a v u r r φ?+-+== )(2||22||222222αφb a v b a u ????? ?
???? ??+?+??? ??+= )()(2141αφαφ
? ??+≤. 所以整环]2[-Z 关于*-]2[Z 到}0{ N 的映射φ是一个欧氏环.
3．证明:整环},|2{]2[Z Z ∈+=n m n m 关于*]2[Z 到}0[ N 的映射
|2|)2(22n m n m φ-=+
是一个欧氏环.
证明 令},|2{]2[Q Q ∈+=b a b a .定义*]2[Q 到Q 的映射ψ如下:
|2|)2(22b a b a ψ-=+,*∈+?]2[2Q b a ,
其中Q ∈b a ,.于是,对于任意的*∈++]2[2,2Q d c b a (其中Q ∈d c b a ,,,),我们有
)2()2(d c ψb a ψ+?+|)2)(2(|2222d c b a --=
|)2)(2)(2)(2(|d c d c b a b a -+-+=
|)2)(2)(2)(2(|d c b a d c b a --++=
|)2)()2)((2)()2((|bc ad bd ac bc ad bd ac +-++++=
|)(2)2(|22bc ad bd ac +-+=
)2)()2(bc ad bd ac ψ+++=
))2)(2((d c b a ψ++=.
此外,显然]2[]2[Q Z ?,并且ψ在*]2[Z 上的限制就是φ.
任意给定]2[2,]2[2Z Z ∈+=∈+=*d c βb a α,其中Z ∈d c b a ,,,.为了证明]2[Z 是欧氏环,现在只需阐明存在]2[,Z ∈r q ,使得
r q αβ+=,
其中,0=r 或)()(αφr φ<.
事实上,我们有
2
22222)()2(2)2)(2(b a bc ad bd ac b a d c b a αβ--+-=-+-=.
根据带余除法,存在Z ∈v u q q ,,,21,使得
u b a q bd ac +-=-)2(2221,|2|2
1||022b a u -≤≤; v b a q bc ad +-=-)2(222,|2|2
1||022b a v -≤≤. 令22
1q q q +=.于是,
2222222b a v b a u q αβ-+-+=, 从而,
αb
c v b a u q αβ)222(
2222-+-+= 22222
222b c bu av b a bv au q α-++-++=. 注意到]2[,,Z ∈q βα,由上式可知,2
222b a bv au -+和222b a bu av -+都是整数.令 22222222b
a bu av
b a bv au r -++-+=. 于是,]2[Z ∈r ,并且
r q αβ+=.
当0≠r 时,
)()(r ψr φ=)()222(2222αψb a v b a u ψ?-+-= )(222222222αφb a v b a u ???? ??--??? ??-=
)(22222222αφb a v b a u ????? ?
???? ??-+??? ??-≤ )()(2141αφαφ
? ??+≤.
§4.5 惟一分解环上的一元多项式环
1.证明:设)(),(21x f x f 是][x I 中两个本原多项式,若它们在][x Q 中相伴(Q 为I 的商域),则在][x I 中也相伴.
证明 假设)(),(21x f x f 在][x Q 中相伴,则存在][x Q 中的单位u ,使得)()(21x uf x f =.
由于][x Q 中的单位就是Q 中的非零元,且Q 为I 的商域,因此可设a
b u =,其中b a ,是I 中的非零元.于是,)()(21x bf x af =.这样一来,根据引理1可以断言,)(),(21x f x f 在][x I 中相伴.
2.设I 是惟一分解环,][)(),(x I x g x f ∈,且)()(1x af x f =,)()(1x bg x g =,
I b a ∈,,)(),(11x g x f 是本原多项式,证明:若)(|)(x f x g ,则a b |.
证明 不妨设)()()(x q x g x f =.于是,
)()()(11x g x bq x af =.
由于)(),(11x g x f 是本原多项式,根据上式和引理1可以断言,a ～)(x bq .由此可见,I x q ∈)(,从而,a b |.
3.设)(x f 是][x Z 中首项系数为1的多项式,证明:若)(x f 有有理根a ,则a 是整数. 证明 假定)(x f 有有理根a .则))(()(a x x q x f -=,其中][)(x x q Q ∈.根据引理1,存在Q ∈21,r r 和本原多项式)(),(21x f x f ,使得)()(11x f r x q =,)(22x f r a x =-.于是,
)()()(2121x f x f r r x f =.
根据Gauss 引理,)()(21x f x f 是本原多项式.由于)(x f 的首项系数为1,由上式可知121=r r ,从而,)()()(21x f x f x f =.由此可见,)(2x f 的首项系数为1或1-.这样一来,由)(22x f r a x =-可知,a x x f -=)(2或a x x f +-=)(2.因为)(2x f 是本原多项式,所以a 是整数.
4.域F 上的二元多项式环],[y x F 是惟一分解环,但不是主理想环.
证明 ]][[],[y x F y x F =.由于F 是域,根据定理4.17可以断言,][x F 是欧氏环.根据定理4.18又可以断言,][x F 是惟一分解环.由于]][[],[y x F y x F =,根据定理4.21,可以断言,],[y x F 是惟一分解环.
令A 表示],[y x F 中次数大于或等于1的所有多项式和零多项式组成的集合.显而易见,A 是],[y x F 的一个理想.考察任意的A y x f ∈),(:显然,或者)),((y x f x ?,或者)),((y x f y ?,但是A y x ∈,.因此)),((y x f A ≠.由此可见,A 不是],[y x F 的主理想.所以],[y x F 不是主理想环.
5.证明:1053532),(22---+-=y x y xy x y x f 是],[y x Z 中不可约多项式. 证明 令][x I Z =.则][],[y I y x =Z .由于整数环Z 是惟一分解整环(参看§4.2),根据定理4.22,],[][y x y I Z =也是惟一分解整环.由于
][5)53()1032(),(22y I y y x x x y x f ∈++---=,
53+x 是I 中的不可约元,53+x ?5,)53(|53+-+x x ,53+x ?10322--x x ,根据定理
4.23(Eisenstein 判别法),),(y x f 是],[y x Z 中不可约多项式.
§4.6 因子分解与多项式的根
1.问:][16x Z 中多项式2)(x x f =在16Z 中有多少个根?
答 由直接演算知,][16x Z 中2)(x x f =在16Z 中有如下四个根:]0[,]4[,]8[,]12[.
2.证明:][6x Z 中多项式x x x f -=3)(在6Z 中有6个根.
证明 由直接演算知,6Z 中的]4[],3[],2[],1[],0[和]5[都是][6x Z 中多项式
x x x f -=3)(的根.所以][6x Z 中多项式x x x f -=3)(在6Z 中有6个根.
3.试求][5x Z 中多项式1)(5-=x x f 在5Z 中的根.
解 由于5Z 是特征为5的域,因此55)1(1)(-=-=x x x f .由于5Z 无零因子,因此只有当]1[=x 时)(x f 的值为]0[,从而,)(x f 只有]0[=x 这个根.显然它是5重根.
4.判断:
(1)][3x Z 中多项式1)(2+=x x f 是否可约?
(2)][5x Z 中多项式1)(2+=x x f 是否可约?
解 (1)显然1)(2+=x x f 在3Z 中没有根,所以)(x f 是][3x Z 中的不可约多项式.
(2)显然,5Z 中的]2[是)(x f 的根,所以)(x f 是][5x Z 中的可约多项式.
5.设0ch =I ,][)(x I x f ∈,I a ∈，1≥k ,证明:
a 是)(x f 的k 重根?a 是)(x f 的根,且a 是)('x f 的1-k 重根.
证明 我们有
a 是)(x f 的k 重根
?存在][)(x I x g ∈,使k a x x g x f ))(()(-=,且a 不是)(x g 的根
?存在][)(x I x g ∈,使1)))()((')(()('---+=k a x a x x g x kg x f .
由于0ch =I ,0)(≠a g ,因此0)())((')(≠=-+a kg a a a g a kg ,从而,a 是)('x f 的1-k 重根.所以
a 是)(x f 的k 重根?a 是)(x f 的根,且a 是)('x f 的1-k 重根.
复 习 题 四
1.设整环?
?????∈∈=}0{,2 N Z n m m I n ,找出I 中的所有单位与不可约元. 解 假设n m 2
(其中Z ∈m ,}0{ N ∈n )是单位.于是,存在Z ∈k 和}0{ N ∈s ,使得122=?s n k m .由此可见,存在Z ∈j ,使得j n
m 22±=.反过来,显然,对于任意的Z ∈j ,有 I j ∈±2.显然I j ∈±2
1并且是j 2±的逆元.所以I 中的所有单位为:j 2±,Z ∈j . 假设n m 2
(其中Z ∈m ,}0{ N ∈n )是不可约元.于是,0≠m 且s m 2±≠,Z ∈?s .不妨设
r s p p p m 212±=,
其中1≥r ,Z ∈s ,r p p p ,,,21 为奇素数.若1>r ,则0212222r n s n p p p m ?±=.由于n j p 2
21和
022r p p 都不是单位,这与n m 2是不可约元矛盾.所以1=r ,从而,n s n p m 2
221±=,即存在Z ∈j 和奇素数p ,使得p m j n 22
±=.反过来,设Z ∈j ,p 是奇素数,考察p j 2:显然,I p j ∈2并且既不是零元,也不是单位.假设I k m s n ∈2
,2(其中Z ∈k m ,,}0{, N ∈s n ),并且|2p j s n k m 22?,即存在I l t ∈2(其中Z ∈j ,}0{ N ∈t ),使得s n t j k m l p 2
222?=?.于是, m p |或k p |.当m p |时,我们有
)2(22)(j n j n p
m p m +-??=, 其中
I p
m j n ∈?+-)(2,从而,n j m p 2|2.同理,当k p |时,s j k p 2|2.由此可见,p j 2是素元.因此p j 2±是不可约元.所以I 中的所有不可约元为:p j 2±,Z ∈j ,p 为奇素数. 2.求模8剩余类环8Z 的所有非零理想,以及它们的交.
解 8Z 的非零理想有:8Z ,]}6[],4[],2[],0{[,]}4[],0{[;它们的交是]}4[],0{[.
3.证明:在惟一分解环I 中,任意两个元b a ,都有一个最小公倍元,即I m ∈?,使m b m a |,|,并且若n b n a |,|,则n m |.(用],[b a 表示a 与b 的任意一个最小公倍元.)
证明 设b a ,是惟一分解环I 中任意两个元.根据定理 4.10,b a ,有最大公因子.令),(b a 表示a 与b 的任意一个最大公因子,p b a a ),(=,'),(p b a b =. 由§4.1习题第6题知,p 与'p 互素.令'],[ap b a =.现在我们来阐明],[b a 就是a 与b 的一个最小公倍元.事实上,首先,由],[b a 的定义知],[|b a a .其次,我们有
bp p p b a pp b a ap b a ===='),('),('],[,
从而,],[|b a b .最后,假设I c ∈,使得c a |且c b |,则存在I q q ∈',,使得'bq aq c ==.于是,我们有
''),(),(q p b a pq b a c ==.
当0),(=b a 时,由pq b a aq c ),(==可知0=c ,从而,c b a |],[.当0),(≠b a 时,由等式
''),(),(q p b a pq b a c ==
可知''q p pq =.由于p 与'p 互素,根据等式''q p pq =和§4.3习题第3题可以断言q p |'.设t p q '=.于是,
t b a t ap t pp b a pq b a c ],[''),(),(====,
从而,c b a |],[.所以],[b a 是a 与b 的一个最小公倍元.
4.证明:在一个惟一分解环I 中,ab ～),](,[b a b a .
证明 设),(b a 是a 与b 的任意一个最大公因子,],[b a 是a 与b 的任意一个最小公倍元,p b a a ),(=,'),(p b a b =,'ap m =.由上题知,bp m =,并且m 是a 与b 的一个最小公倍元.此外,我们我们还有
),(),(b a m pb b a ab ==.
此外,由最小公倍元的定义可知,m ～],[b a .因此),(b a m ～),](,[b a b a ,即
ab ～),](,[b a b a .
5.设I 是惟一分解环, ),(,),(),(21x f x f x f n 是][x I 中本原多项式的序列,并且)(|)(1x f x f i i +, ,,,2,1n i =.证明:这个序列只有有限个互不相伴的项.
证明 由于I 是惟一分解环,根据定理4.21,][x I 也是惟一分解环.由惟一分解环的定义可知,][x I 中每个非零元至多有有限个互不相伴的因子.
假设序列 ),(,),(),(21x f x f x f n 中有无限个互不相伴的项.不失一般性,假定其各项互不相伴.由于)(|)(1x f x f i i +, ,,,2,1n i =,因此)(|)(1x f x f i ,N ∈?i .这样一来,)(1x f 有无限个互不相伴的因子.因此0)(1=x f .这与)(1x f 为本原多项式的事实矛盾.所以 ),(,),(),(21x f x f x f n 中只有有限个互不相伴的项.
6.设I 是惟一分解环,][)(),(x I x g x f ∈,且1))(),((=x g x f .证明:
1))()(),()((=+x g x f x g x f .
证明 由于I 是惟一分解环,根据定理4.21,][x I 是惟一分解环.令
d x g x f x g x f =+))()(),()((.
由1))(),((=x g x f 可知,0≠d .假设d 不是单位.则存在素元][)(x I x p ∈,使得d x p |)(,从而,)()(|)(x g x f x p 且)()(|)(x g x f x p +.因为)(x p 是素元,由)()(|)(x g x f x p 可知, )(|)(x f x p 或)(|)(x g x p .又因)()(|)(x g x f x p +,故)(|)(x f x p 且)(|)(x g x p ,这与1))(),((=x g x f 矛盾.所以d 不是单位,从而,1))()(),()((=+x g x f x g x f .
7.设0I 是一个主理想环,I 是整环,且0I ≤I .证明:假若d 是0I 中的a 和b 的一个最大公因子,那么d 也是I 中的a 和b 的一个最大公因子.
证明 设由于d 是0I 中的a 和b 的一个最大公因子.由于0I ≤I ,因此d 也是I 中的a 和b 的一个公因子.设'd 是I 中的a 和b 的任意一个公因子.则存在I b a ∈',',使得
''a d a =,''b d b =.
其次,由于d 是0I 中的a 和b 的一个最大公因子,根据§4.3习题第2题,存在0,I t s ∈,使得bt as d +=,从而,)''('''''t b s a d t b d s a d d +=+=.因此d d |'.所以d 也是I 中的a 和b 的一个最大公因子.
8.设一元多项式环][x I 是主理想环,][)(),(x I x g x f ∈,)(x m 是)(x f 与)(x g 的一个最小公倍元,证明:))(())((())((x g x f x m =.
注 这里假定I 是整环.
证明 由于][x I 是主理想环,根据定理 4.14,][x I 是唯一分解环.由于)(x m 是)(x f 与)(x g 的一个最小公倍元,不妨设
)()()()()(x g x q x f x p x m ==.
显而易见,1))(),((=x q x p .这样一来,对于任意的][)(x I x h ∈,我们有
))(()(x m x h ∈?存在][)(x I x r ∈,使得)()()(x m x r x h =
?存在][)(x I x r ∈,使得)()()()()()()(x g x q x r x f x p x r x h ==
))(())(()(x g x f x h ∈?
?存在][)(),(21x I x r x r ∈,使得)()()()()(21x g x r x f x r x h == )(|)(x h x m ?
))(()(x m x h ∈?.
所以))(())((())((x g x f x m =.
9.证明:
(1)1)(3++=x x x p 是][2x Z 中不可约多项式;
(2))1/(][32++x x x Z 是域.
证明 (1)显然,1)1()0(==p p .因此x 和11+=-x x 都不是)(x p 的因子.由此可见,)(x p 是][2x Z 中不可约多项式.
(2)首先,由于2Z 是域,根据§3.7中的例1,][2x Z 是主理想环.其次,根据
(1),13++x x 是][2x Z 中的不可约元.这样一来,根据定理 4.16和定理
3.23,)1/(][32++x x x Z 是一个域.
10.设I 是一个主理想环,I a ∈≠0.证明:当a 是不可约元时,)/(a I 是一个域;当a 是可约元时,)/(a I 不是整环.
证明 当a 是不可约元时,根据定理4.16和定理3.23,)/(a I 是一个域.当a 是可约元时,存在a 的真因子c b ,,使得bc a =.于是,)()(a a b ≠+,)()(a a c ≠+.但是
)()()()()())())(((a a a a bc a c a b =+=+=++.
这就是说,)(a b +和)(a c +是)/(a I 中的零因子.所以)/(a I 不是整环.
数学北师大版八年级下册因式分解复习课教学设计
第四章因式分解复习教学设计 回顾与思考 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生已经学习了因式分解的两种方法：提公因式法与公式法，逐步认识到了整式乘法与因式分解之间是一种互逆关系，但对因式分解在实际中的应用认识还不够深，应用不够灵敏，对稍繁复的多项式找不出分解因式的策略．因此，教学难点是确定对多项式如何进行分解因式的策略以及利用分解因式进行计算及讨论. 学生活动经验基础：在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论、归纳等活动方法，获得了一些对多项式进行分解因式以及利用分解因式解决实际问题所必须的数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力． 二、教学任务分析 在前几节的学习中，学生已经掌握了提取公因式与公式法的用法，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵敏运用，因此，本节课的教学目标是： 1．知识与技能： （1）使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法；（2）提高学生因式分解的基本运算技能； （3）能熟练地综合运用几种因式分解方法． 2．过程与方法： （1）发展学生对因式分解的应用能力，培养寻求解决问题的策略意识，提高解决问题的能力；
（2）注重学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力．3．情感与态度：通过因式分解综合练习和开放题练习，提高学生观察、分析问题的能力，培养学生的开放意识；通过认识因式分解在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识． 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节：知识回顾——总结归纳——小试牛刀——总结归纳——能力提升――活学活用． 第一环节知识回顾 活动内容：1、举例说明什么是分解因式。 2、分解因式与整式乘法有什么关系？ 3、分解因式常用的方法有哪些？ 4、试着画出本章的知识结构图。 活动目的：学生通过回顾与思考，将本章的主要知识点串联起来．注意事项：学生对因式分解的概念与两种常用方法以及分解因式与整式乘法的互逆关系有了较清晰的认识与理解，但语言叙述严谨性不够，有待加强． 第二环节总结归纳（分五个知识点进行归纳训练） 活动内容：知识点一：对分解因式概念的理解 例1.下列式子从左到右的变形中是分解因式的为（）。活动目的：加深学生对因式分解概念的认识． 注意事项：引导学生说出相应的理由． 活动内容： 知识点二：利用提公因式法分解因式 例2.把下列各式分解因式
高等代数第四章整环里的因子分解
第四章整环里的因子分解 §1、素元、唯一分解 一、整除、单位、相伴元 定义在整环I中，若a=bc，则称a能被b整除，也说b整除a，记为b|a。b不能整除a记作b|a。 定义整环I的一个元ε叫做I的一个单位，假如ε是一个有逆元的元。元b叫做元a的相伴元（a与b相伴），假若b是a 和一个单位ε的乘积：b=εa。 单位元必是单位，反之不然。 例1在整数环Z中，单位即是1和-1，b是a的相伴元?b=±a。在数域F的多项式环F[x]中，单位即是零次多项式c∈F*，g（x）是f（x）的相伴元?g（x）=cf（x）。
定理1 两个单位ε1和ε2的乘积ε1ε2也是单位。单位ε的逆元ε-1也是一个单位。 推论整环I中全体单位的集U关于乘法作成群。 二、素元 定义单位以及元a的相伴元叫做a平凡因子。其余的a的因子，假如还有的话，叫做a的真因子。 定义整环I的一个元p叫做一个素元（注：应是不可约元），假如p0 ≠，p不是单位，并且p只有平凡因子。 例2 在例1的Z中，素元就是素数。在F[x]中，素元就是不可约多项式。 定理2 单位ε同素元p的乘积εp也是一个素元。 定理3整环I的一个非零元a有真因子?a=bc，b和c都不是单位。
推论假定a≠0，并且a有真因子b:a=bc。那么c也是a的真因子。 三、唯一分解 定义一个整环I的一个元a说是在I 里有唯一分解，假如以下条件能被满足：（i）a=p1p2…p r（p i是I的素元） （ii）若同时 a=q1q2…q s（q i是I的素元） 那么r=s 并且我们可以把q i的次序掉换一下，使得 q i=εi p i (εi是 I的单位) 零元和单位都不能唯一分解。 例3 在整环I={}Z +, 3中： a∈ - b a b （1）ε是单位1 = ?。 ? ε = 1 ε2± （2）若4 α2=，则α是素元。 （3）4∈I有两种不同的分解（不相伴分解）： ()()3 + - = - ? = 1 1 3 2 2 4-
第四章整环里的因子分解.doc
第四章 整环里的因子分解 §4.1 不可约、素元、最大公因子 1. 证明:0不是任何元的真因子. 注 这里的0是指整环I 的零元,“任何元”是指整环I 中的任何元. 证明 由于0不能整除整环I 中的非零元,因此0不是整环I 中的非零元的真因子.虽然0整除0,但0与0相伴,因此0不是0的真因子.所以0不是整环I 中任何元的真因子. 2.找出Gauss 整数环},|{][Z Z ∈+==n m ni m i I 的所有单位. 解 假设Z ∈b a ,,使得bi a +是I 中的单位,则存在Z ∈d c ,,使得 1))((=++di c bi a , 从而,1))((2222=++d c b a .由此可见,i bi a ±±=+,1.所以i ±±,1就是I 中的所有单位. 3.证明:在Gauss 整数环][i I Z =中,3是不可约元,5是可约元. 证明 显然,3和5既不是零元,也不是单位. 设Z ∈d c b a ,,,,使得 3))((=++di c bi a . 于是 9))((2222=++d c b a . 显然322≠+b a .因此122=+b a 或122=+d c ,从而,bi a +是单位或di c +是单位.所以3是不可约元. 由5)2)(2(=-+i i 可知,i +2和i -2都是5的真因子.所以5是可约元. 4.设I 是整环,I b a ∈,,直接证明: a b a ?=)()(～b . 证明 由于I 是有单位元的交换环,根据定理3.16的推论1(3),aI a =)(,bI b =)(. 因此 ?=)()(b a 存在R s r ∈,,使得rb a =,sa b =a ?～b . 5.设p 是整环I 的素元,m a a a p 21|(2≥m ),证明:至少存在一个i a (m i ≤≤1),使i a p |. 证明 我们用数学归纳法来证明. 当2=m 时,根据素元的定义,我们的断言成立. 假设当n m =(2≥n )时,结论成立.当1+=n m 时,根据素元的定义,n a a a p 21|或1|+n a p .若p 不整除1+n a ,则n a a a p 21|.于是,根据归纳假设,至少存在一个i a (n i ≤≤1),使i a p |.所以当1+=n m 时,我们的断言成立. 6.设整环I 中任意两个元的最大公因子都存在,m a a a ,,,21 是I 中m 个不全为零的
八年级数学下册《因式分解》复习教案(含答案)
第四章因式分解 ●教学目标 （一）教学知识点 1.复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，使学生进一步理解有关概念，能灵活运用上述方法分解因式. 2.熟悉本章的知识结构图. （二）能力训练要求 通过知识结构图的教学,培养学生归纳总结能力,在例题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力. （三）情感与价值观要求 通过因式分解综合练习,提高学生观察、分析能力；通过应用因式分解方法进行简便运算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识. ●教学重点 复习综合应用提公因式法,运用公式法分解因式. ●教学难点 利用分解因式进行计算及讨论. ●教学方法 引导学生自觉进行归纳总结. ●教具准备 投影片三张 第一张（记作§4.6 A） 第二张（记作§4.6 B） 第三张（记作§4.6 C） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 ［师］前面我们已学习了因式分解概念,提公因式法分解因式,运用公式法分解因式的方法,并做了一些练习.今天,我们来综合总结一下. Ⅱ.新课讲解 （一）讨论推导本章知识结构图 ［师］请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些?
［生］（1）有因式分解的意义,提公因式法和运用公式法的概念. （2）分解因式与整式乘法的关系. （3）分解因式的方法. ［师］很好.请大家互相讨论,能否把本章的知识结构图绘出来呢?（若学生有困难,教师可给予帮助） ［生］ （二）重点知识讲解 ［师］下面请大家把重点知识回顾一下. 1.举例说明什么是分解因式. ［生］如15x3y2+5x2y－20x2y3=5x2y（3xy+1－4y2） 把多项式15x3y2+5x2y－20x2y3分解成为因式5x2y与3xy+1－4y2的乘积的形式,就是把多项式15x3y2+5x2y－20x2y3分解因式. ［师］学习因式分解的概念应注意以下几点: （1）因式分解是一种恒等变形,即变形前后的两式恒等. （2）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止. 2.分解因式与整式乘法有什么关系? ［生］分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形. 如:ma+mb+mc=m（a+b+c） 从左到右是因式分解,从右到左是整式乘法. 3.分解因式常用的方法有哪些? ［生］提公因式法和运用公式法.可以分别用式子表示为: ma+mb+mc=m（a+b+c） a2－b2=（a+b）（a－b） a2±2ab+b2=（a±b）2 4.例题讲解
第四章因式分解复习
第四章因式分解 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生已经学习了因式分解的两种方法：提公因式法与公式法，逐步认识到了整式乘法与因式分解之间是一种互逆关系，但对因式分解在实际中的应用认识还不够深，应用不够灵活，对稍复杂的多项式找不出分解因式的策略．因此，教学难点是确定对多项式如何进行分解因式的策略以及利用分解因式进行计算及讨论. 学生活动经验基础：在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论、归纳等活动方法，获得了一些对多项式进行分解因式以及利用分解因式解决实际问题所必须的数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力． 二、教学任务分析 在前几节的学习中，学生已经掌握了提取公因式与公式法的用法，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的教学目标是： 1．知识与技能： （1）使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法； （2）提高学生因式分解的基本运算技能； （3）能熟练地综合运用几种因式分解方法． 2．过程与方法： （1）发展学生对因式分解的应用能力，培养寻求解决问题的策略意识，提高解决问题的能力； （2）注重学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力．3．情感与态度：通过因式分解综合练习和开放题练习，提高学生观察、分析问题的能力，培养学生的开放意识；通过认识因式分解在实际生活中的应用，培养
浅话边界条件与初始条件
浅话边界条件与初始条件 边界条件 在说边界条件之前，先谈谈初值问题和边值问题。 初值和边值问题： 对一般的微分方程，求其定解，必须引入条件，这个条件大概分两类---初始条件和边界条件，如果方程要求未知量y(x)及其导数y′(x)在自变量的同一点x=x0取给定的值，即y(x0 )=y0，y′(x0)= y0′，则这种条件就称为初始条件，由方程和初始条件构成的问题就称为初值问题; 而在许多实际问题中，往往要求微分方程的解在在某个给定的区间a ≤ x≤b 的端点满足一定的条件，如y(a) = A , y(b) = B则给出的在端点(边界点)的值的条件，称为边界条件，微分方程和边界条件构成数学模型就称为边值问题。 三类边界条件: 边值问题中的边界条件的形式多种多样，在端点处大体上可以写成这样的形式，Ay+By'=C，若B=0，A≠0,则称为第一类边界条件或狄里克莱(Dirichlet)条件;B≠0,A=0，称为第二类边界条件或诺依曼(Neumann)条件;A≠0,B≠0，则称为第三类边界条件或洛平(Robin)条件。 总体来说， 第一类边界条件：给出未知函数在边界上的数值; 第二类边界条件：给出未知函数在边界外法线的方向导数; 第三类边界条件：给出未知函数在边界上的函数值和外法向导数的线性组合。 对应于comsol，只有两种边界条件： Dirichlet boundary(第一类边界条件)—在端点，待求变量的值被指定。
Neumann boundary(第二类边界条件)—待求变量边界外法线的方向导数被指定。 再补充点初始条件： 初始条件，是指过程发生的初始状态，也就是未知函数及其对时间的各阶偏导数在初始时刻t=0的值.在有限元中，好多初始条件要预先给定的。不同的场方程对应不同的初始条件。 总之，为了确定泛定方程的解，就必须提供足够的初始条件和边界条件.边界条件与初始条件是控制方程有确定解的前提。边界条件是在求解区域的边界上所求解的变量或其导数随时间和地点的变化规律。对于任何问题，都需要给定边界条件。初始条件是所研究对象在过程开始时刻各个求解变量的空间分布情况，对于瞬态问题，必须给定初始条件，稳态问题，则不用给定。 对于边界条件与初始条件的处理，直接影响计算结果的精度。 在CFD模拟时，基本边界条件有： 1流动进口边界 包括速度进口边界，压力进口边界，质量进口边界(可压流动)。 在使用流动进口边界时，需要涉及到某些流动参数，如绝对压力，湍动能及耗散率，这些参数要做特殊考虑。关于参考压力，在流场数值计算中，压力总是按相对值表示的，实际求解的压力并不是绝对值，而是相对于进口压力而言的。 在有些情况下，可以通过设定进口压力为0，求解其他点的压力。还有时，为了减小数字截断误差，往往故意抬高或降低参考压力场的值，可使其余各处的计算压力场与整体数值计算的量级相吻合。 2流动出口边界 一般选在离几何扰动足够远的地方来施加。在这样的位置，流动是充分发展的，沿流动方向没有变化。该边界只有在进入计算域的流动是以进口边界条件给定时才使用，而且在只有一个出口的计算域中使用。
高等代数第四章矩阵练习题参考答案
第四章 矩阵习题参考答案 一、 判断题 1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+. 错. 2. 如果2 0,A =则0A =. 错.如2 11,0,011A A A ??==≠ ?--?? 但. 3. 如果2 A A E +=，则A 为可逆矩阵. 正确.2()A A E A E A E +=?+=，因此A 可逆，且1A A E -=+. 4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n . 错.由0AB =可得()()r A r B n +≤.若一个秩等于n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n . 5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B = 错.如112132,,112132A B C ?????? === ? ? ?------?????? ，有,AC AB =但B C ≠. 6．A 为n m ?矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使 .00 0??? ? ??=s I PAQ 正确.右边为矩阵A 的等价标准形，矩阵A 等价于其标准形. 7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆. 正确.由A 可逆可得||0A ≠，又**||AA A A A E ==.因此*A 也可逆，且 11 (*)|| A A A -= .
8．设B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB = 正确.*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又 ()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====. 因此()()*()(**)AB AB AB B A =.由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式AB 的逆可得.**)*(A B AB = 二、 选择题 1．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵()T B B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（B ）. (A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2()AB (D) BAB (A)(D)为对称矩阵，（B ）为反对称矩阵，（C ）当,A B 可交换时为对称矩阵. 2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么（ A ）是对称矩阵. (A) T A A (B) T A A - (C) 2A (D) T A A - 3．以下结论不正确的是（ C ）. (A) 如果A 是上三角矩阵，则2 A 也是上三角矩阵； (B) 如果A 是对称矩阵，则 2A 也是对称矩阵； (C) 如果A 是反对称矩阵，则2A 也是反对称矩阵； (D) 如果A 是对角阵，则2 A 也是对角阵. 4．A 是m k ?矩阵, B 是k t ?矩阵, 若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是（B ） (A ) AB 的第j 行元素全等于零； (B )AB 的第j 列元素全等于零； (C ) BA 的第j 行元素全等于零； (D ) BA 的第j 列元素全等于零；
定解条件和定解问题
定解条件和定解问题 含有未知函数的偏导数的方程叫偏微分方程，常微分方程可以看成是特殊的偏微分方程。方程的分数是1的称为方程式，个数多于1的叫做方程组。方程（组）中出现的未知函数的最高阶偏导数的阶数称为方程（组）的阶数。如果方程（组）中的项关于未知函数及其各阶偏导数的整体来讲是线性的，就称方程（组）为线性的，否则就称为非线性的。非线性又分为半线性、拟线性和完全非线性。 一、定解条件 给定一个常微分方程，有通解和特解的概念。通解只要求满足方程，即满足某种物理定律，而不能完全确定一个物理状态。特解除了要求满足方程还要满足给定的外加（特殊）条件。对偏微分方程也是如此，换句话说，只有偏微分方程还不足以确定一个物理量随空间和时间的变化规律，因为在特定情况下这个物理量还与它的初始状态和它在边界受到的约束有关。描述初始时刻的物理状态和边界的约束情况，在数学上分别称为初始条件（或初值条件）和边界条件（或边值条件），他们统称为定解条件。 初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件，即描述物理过程初始状态的数学条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件，即描述物理过程边界状态的数学条件。 定解条件：初始条件和边界条件的统称。 非稳态问题：定解条件包括初始条件和边界条件。
稳态问题：定解条件为边界条件。 1、弦振动方程 ( 2(,),0,0tt xx u a u f x t x l t -=<<>) 初始条件是指初始时刻（0t =）弦的位移和速度。若以()x ?， ()x ψ分别表示弦上任意点x 的初始位移和初始速度，则初始条件为： 边界条件是指弦在两端点的约束情况，一般有三种类型。 （1）第一类边界条件（狄利克雷(Dirichlet ）边界条件）:已知端点()x a a o a l ===或处弦的位移是()a g t ，则边界条件为： (0,)(0,)u t g t = 或 (,)(,)u l t g l t = 当0()0()0l g t g t ≡≡或时，表示在该点处弦是固定的。 （2）第二类边界条件（诺伊曼（Neumann ）边界条件）：已知端点0x x l ==或处弦所受的垂直于弦线的外力0()g t 或()l g t ，则边界条件为： 0(0,)()x Tu t g t -= 或 (,)()x l Tu l x g t = 当00()0l g g t ≡≡或时，表示弦在端点0x x l ==或处自由滑动。 （3）第三类边界条件（混合边界条件或罗宾（Robin ）边界条件：已知端点处弦的位移和所受的垂直于弦线的外力的和： 000(0,)(0,)g (t),0,x Tu t k u t k -+=> 或 (,)(,)(),0x l l l Tu l t k u l t g t k +=>， (,0)(),0(,0)(), t u x x x l u x x ?ψ=?<
整式的乘除与因式分解知识结构图
同底数幂的乘法：m n a a ?= 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 幂的乘方：()n m a = 幂的乘方，底数不变，指数相乘 积的乘方：a n n b = 积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相 乘 同底数幂的除法： a m n a ÷= （a 0≠,m,n 都是 正整数，并且m>n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减 0a = a 0≠（） 任何不等于0的数的0次幂都等于 整式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的系数、字母 ，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积 的 。如：52 ac bc =g 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘 多项式的 ，再把所的积 如：22132(2)ab ab ab -=g 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 ，再把所得的积相加 如：(8)()x y x y --= 乘法 公式 平方差公式： (a+b)(a-b)= 两个数的 与这两个数的 的积，等于这两个数的 完全平方公式： 2 a+b =（） 2a b -=（） 添括号的法则： 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都 ；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都 。 如：a b c ++= a b c --= 单项式相除，把系数与同底数幂 作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的 。 如：42328x y 7x y ÷= 整式 的除法 多项式除以单项式，先把这个多项式的 除以这个单项式，再把所得的 如：3212a 63)3a a a -+÷=（ 把一个多项式化成几个整式的 ，这样的式子的变形叫做把这个多项式 。也叫做把这个多项式 。 因式分 解 整式乘除 与 因式分解 提公因式法： 2a()3()b c b c +-+= 公式法： 22a b -= 22 a +2ab+ b = 22a -2ab+b = 22()()x p x q +-+=
近世代数第四章整环里的因式分解
第四章整环里的因式分解 §1. 素元、唯一分解 本讲中, 总假定为整环, 为的商域. 1. 整除 定义1 设D为整环, D b ,, 如果存在D a∈ c∈, 使得 则称整除, 记作; 并称是的一个因子, 是的倍元. ?整环中的整除概念是整数环中整除概念的推广, 因此有许多与整数的整除相类似的性质. ?整除有下列常用的性质: (1) 如果, , 则; (2) 如果, , , 则. 2.相伴 定义2整环D的一个元叫做D的一个单位，假如是一个有逆元的元。元叫做元的相伴元，假如是和一个单位的乘积：
定理１两个单位的乘积也是一个单位.单位的逆元也是一个单位. 例１因为整数环的单位仅有１与-１，故任一非零元有２个相伴元：与a -. 例２有四个单位，１，-１，i,-i,所以任一非零元，有四个相伴元： 定义3 单位以及元的相伴元叫做的平凡因子.若还有别的因子，则称为的真因子. ３. 素元 定义4 设D为整环，D p∈，且既非零也非单位，如果只有平凡因子，则称为一个素元. 定理２单位ε与素元的乘积也是一个素元. 定理３整环中一个非零元有真因子的充分且必要条件是： ，这里，都不是单位.
推论设，并且有真因子：.则也是的真因子. 定义5 我们称一个整环D的元在D中有唯一分解，如果以下条件被满足： (i) (为D的素元) (ii) 若同时有 （为的素元） 则有，并且可以调换的次序，使得（为的单位） 整环的零元和单位不能有唯一的分解.所以唯一分解问题研究的 对象只能是非零也非单位的元. 例３给整环.那么有： (1)的单位只有. (2)适合条件的元一定是素元. 首先，；又由(1),也不是单位.设为的因子： 那么
第四章 矩阵分解
矩阵分析
第四章 矩阵分解
§4.1: 矩阵的满秩分解 §4.2: 矩阵的正交三角分解 §4.3: 矩阵的奇异值分解 §4.4: 矩阵的极分解 §4.5: 矩阵的谱分解
矩阵分解前言
矩阵分解定义: 将一个已知矩阵表示为另一些较为简单或 较为熟悉的矩阵的积(或和)的过程称为矩阵分解. 例:(1)对任意n阶正规矩阵A,存在酉阵U∈Un×n使 A=Udiag(λ1,…,λn)U*, 其中λ1,…,λn为A的所有特征值的任一排列. (2)对任意n阶正定矩阵A,存在可逆阵Q∈Cnn×n使A=Q*Q,或存 在唯一正定阵B使A=BB. 矩阵分解意义:有利于研究已知的矩阵. 例如,利用正定阵A的平方根B为正定阵可证: 对任意Hermite阵H,AH或HA都有实特征值.
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( AH～(A1/2)-1AHA1/2=A1/2HA1/2∈Hn×n )
2
初等变换与初等矩阵(p73)
三类初等变换: (行(列)变换←→左(右)乘) (1)将矩阵A的两行互换等价于用第一类初等矩阵P(i,j)左 乘A; (2)将矩阵A的第i行乘以k≠0等价于用第二类初等矩阵 P(i(k))=diag(1,…,1,k,1,…,1)左乘A. (3)将矩阵A的第j行乘以k≠0后再加到第i行等价于左乘第 三类初等矩阵P(i,j(k)).
P (i , j ) =
?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 1 1 1 0 1 1
初等变换与初等矩阵举例
?1 ?? 1 4 7 ? ? 1 4 7 ? ? 0 1 ?? 2 5 8 ? = ? 3 6 9 ? ; ? ?? ? ? ? ? 1 0 ?? 3 6 9 ? ? 2 5 8 ? ? ?? ? ? ? ?1 4 7??1 ? ? 1 7 4? ? 2 5 8?? 0 1? = ? 2 8 5? ? ?? ? ? ? ? 3 6 9?? 1 0? ? 3 9 6? ? ?? ? ? ?
?1 ??1 4 7? ? 1 4 7 ? ? ?? ? ? ? 0.2 ? ? 2 5 8 ? = ? 0.4 1 1.6 ? ; ? ? 1?? 3 6 9 ? ? 3 6 9 ? ? ?? ? ? ?
?1 4 7??1 ? ? 1 4 7 / 9? ? ?? ? ? ? ? 2 5 8?? 1 ? = ? 2 5 8/9? ? 3 6 9?? 1/ 9 ? ? 3 6 1 ? ? ?? ? ? ?
---- i ---- j
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1?
P (i , j ( k )) =
?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1
k 1
? ? ? ? ---? ? ? ---? ? ? 1?
i j
3
?1 ?? 1 2 3? ? 1 2 3 ? ? ?? ? ? ? ? ?4 1 ? ? 4 5 6 ? = ? 0 ?3 ?6 ? ; ? 1?? 7 8 9? ? 7 8 9 ? ? ?? ? ? ?
?3 ? ? 1 2 0 ? ? 1 2 3??1 ? ?? ? ? ? ? 4 5 6?? 1 ? = ? 4 5 ?6 ? ?7 8 9?? 1 ? ? 7 8 ?12 ? ? ?? ? ? ?
4
初等变换与初等矩阵的性质
3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). 将A依次作初等矩阵P1,…,Pr对应的行(列)初等变换等价 于左(右)乘A以可逆矩阵Pr…P1(P1…Pr). 可适当选第一类初等矩阵的乘积P使PA(AP)的行(列)是A 的行(列)的任意排列; 可适当选第三类初等矩阵 P(i,j(k))中的k使P(i,j(k))A的(i,j)元变为0; 可适当选第二类初等矩阵P(i(k))中的k使P(i(k))A的非 零(i,i)元变为1. 存在初等矩阵的乘积P和Q,使PAQ= ,其中r=rankA.
初等变换与初等矩阵的性质续
命题:设A∈Crm×n前r列线性无关,则用初等行变换可把A变为
? Er ? ? 0 ?1 ? ? D? ? = ? ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 1 * * * * *? ? *? *? ? *? ? ? ? ?
一般地,?A∈Crm×n都存在m,n阶可逆阵P和Q使PAQ=
5
证:因前r列线性无关,故用第一类初等矩阵左乘可使A的 (1,1)元≠0. 再用第二类初等矩阵左乘可使a11=1; 最后用若干第三类初等矩阵左乘可使A的第一列=e1. 因前2列线性无关,故新的第2列与e1线性无关且≠0, 故用第一类行变换可使(2,2)元≠0,…可使A的第2列=e2. ….可使A的第r列=er.此时空白处必为0元.
安徽大学 章权兵
1
初中知识结构图
初中语文知识结构图 字音 3.汉字 2.字形 4.含义 5.色彩 9.词语 6.近义词辨析 7.熟语 8.关联词语 点号 12.标点符号 11.误用辨析 47 27.基础知识13.常见修辞格 初15.修辞 中辞格辨 语词类 文20.语法17.短语 18.复句 19.辨析修改病句 21.作家作品 24.文学文化常识22.名篇名句 23.文化常识 45.知识体系26.语言表达——25.简明、连贯、得体 28.常见实词 31.文章内容的归纳，中心的概括29.常见虚词 34.古代诗文阅读30.一词多义 32.实词、虚词 33.文章内容的理解（翻译、断句） 35.文体知识 36.依据作品内容进行的合理推断 37.作文作品语言、表达技巧和形象的鉴赏 38.文学作品思想内容、作者态度的评价 44.现代文阅读39.重要句子的理解和解释 40.重点词语的理解 41.文中信息的分析和筛选 42.内容的归纳，中心的概括 43.结构的分析，思路的把握 46.中考复习
初中数学知识结构图 1.有理数（正数与负数） 2.数轴 6.有理数的概念 3.相反数 4.绝对值 5.有理数从大到小比较 7.有理数的加法、加法运算律 17.有理数8.有理数的减法 9.有理数的加减混和运算 10.有理数的乘法、乘法运算 16.有理数的运算11.有理数的除法、倒数 12.有理数的乘方 21.代数式13.有理数的混和运算 22、列代数式14.科学记数法、近似数与有效数字 23、代数式的值15.用计算器进行简单的数的运算 18.单项式 27、整式的加减20、整式的概念19、多项式 24、合并同类项 25、去括号与添括号 26、整式的加减法 28、等式及其基本性质 29、方程和方程的解、解方程 32、一元一次方程30、一元一次方程及其解法 198 31、一元一次方程的应用 初、二元一次方程组的解法 中36、相关概念及性质 数193 39、二元一次方程组37、三元一次方程组及其解法举例 学数、一次方程组的应用 . 与43、一元一次不等式40、一元一次不等式及其解法代45、一元一次不等式41、不等式的解集 数和一元一次不等、一元一次不等式组42、不等式和它的基本性质 式组46、同底数幂的乘法、单项式的乘法 47、幂的乘法、积的乘方 51、整式的乘法48、单项式与多项式相乘 49、多项式的乘法 56、整式的乘除50、平方差与完全平方根 52、多项式乘以单项式 55、整式的除法53、单项式除以单项式 54、同底数幂的除法 57、提取 61、方法58、运用公式法 63、因式分解59、分组分解法 62、意义60、其他分解法66、含字母系数的 65、分式的乘除法——64、分式的乘除运算一元一次方程 69、可化为一元一次方程的分式方程及其应用67、分式方程解法、
武汉大学《现代控制理论》数学知识回顾 第四章 矩阵的范数-特征值矩阵分解法
现代控制理论讲义
第四章 矩阵范数和奇异值分解 4.1 引言 在这一讲中，我们将引入矩阵范数的概念。之后会介绍矩阵的奇异值分解或者叫SVD。SVD 揭示了矩阵的2范数，它的值意义更大：它使一大类矩阵扰动问题得以解决，同时也为后面稳定鲁棒性的概念打下基础；它还解决了所谓的完全最小二乘问题，该问题是我们前面讲的最小二乘问题的推广；还帮我们澄清在矩阵求逆计算中碰到的态性的概念。在下一讲中，我们会花更大的篇幅来叙说SVD的应用。 例 4.1 为了提高大家对矩阵范数研究和应用的兴趣，我们首先从一个例子开始，该例子提出了与矩阵求逆有关的矩阵态性问题。我们所感兴趣的问题是矩阵求逆对矩阵扰动的敏感程度。 考虑求下列矩阵的逆 马上就可以求得 现在我们假设对一个受到扰动的矩阵求逆 求逆后，结果就成了 在这里表示A中的扰动，表示中的扰动。显然中一项的变化 会导致中的变化。如果我们解，其中，得到 ，加入扰动后，解得。 在这个结果中，我们仍然可以清楚的看到开始数据仅有的变化，却导致解产生 的变化。 以上例子中我们看到的要比在标量情况下差的多。如果是标量，那么
，所以的倒数中小数部分的变化和的变化在同一量级上。 因此，在上例中的现象完全是在矩阵的时候才出现的。看上去好像和是近似奇异的事实有关——因为它的列几乎不独立，且它的行列式值要比它的最大元素小很多，等等。随后（见下一讲），我们会找到衡量奇异程度的合理方法，同时还要说明在求逆情况下，这种方法和灵敏度的关系如何。 在理解这种灵敏度和扰动的细节关系之前，我们首先要找到度量向量和矩阵量级的方法。在第一讲中我们已经引入了向量范数的概念，所以我们现在来看一下矩阵范数的定义。 4.2 矩阵范数 一个维复数矩阵可以看成（有限维）赋范向量空间中的一个算子： 其中，这里的范数指的是标准欧氏范数。定义的归纳2-范数如下： 术语“归纳”是指在向量和的范数的基础上，使得以上矩阵范数的定义有意义。该定 义中，归纳范数表示矩阵在中单位圆上向量扩大的倍数，也就是说，它表示矩阵的增益。 除了用2-范数来度量向量和，我们还可以用范数，感兴趣的是的情 况。它的定义是： 需要考虑的一个很重要的问题是，在第一讲向量范数定义的情况下，归纳范数是否是真正的范数呢？下面，我们来回顾定义范数的三个条件： 现在我们证明是上的范数——利用前面的定义： 1．对任意都有，所以。进一步有，因为 是在单位圆上的最大值。 2．对任意的，由得。 3．三角不等式仍然成立，因为：
第四章线性方程组直接法,矩阵三角分解
第四章 习题答案 1。用Gauss 消去法解方程组 1231231 2323463525433032 x x x x x x x x x ++=?? ++=??++=? 解:方程组写成矩阵形式为12323463525433032x x x ?????? ? ? ? = ? ? ? ? ? ????? ?? 对其进行Gauss 消去得12323441 4726002x x x ?? ???? ? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?????-?? 得方程组12312323 32346 131 44 822 24 x x x x x x x x x ++=?=-???? -=-?=????=?-=-?? 2。用Gauss 列主元素消去法解方程组 1233264107075156x x x -?????? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?-???? ?? 解：因为第一列中10最大,因此把10作为列主元素 1233264107075156x x x -?????? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?-??????12r r ????→1231070732645156x x x -?????? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?-???? ?? 21 3113 10122 31070716106101055052 2r r r r x x x +-? ??? ? ?-?? ? ? ? ? ????→-= ? ? ? ? ? ??? ? ?????23 r r ????→123107075505221 61061010x x x ? ??? ? ?-?? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ?? ? ?-????
北师大版数学八下因式分解教案
第四章因式分解 4.1 分解因式 备课时间：2015年11月授课时间：2015年11月 教学目标: 知识与技能：经历探索因式分解方法的过程，体会数学知识之间的整体联系（整式乘法与因式分解）。 过程与方法：了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系。 情感态度与价值观：感受整式乘法在解决问题中的作用。 教学重难点： 探索因式分解方法的过程，了解因式分解的意义。 教学过程： 创设情景，导出问题： 首先教师进行章首导图教学，指出本章将要学习和探索的对象.教师进行情景的多媒体演示。 章首图力图通过一幅形象的图画——对开的两量列车和有对比性的两个式子，向大家展现了本章要学习的主要内容，并渗透本章的重要思想方法——类比思想，让学生体会因式分解与整式乘法之间的互逆关系。 993-99能被100整除吗？你能把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？ 探索交流，概括概念： 想一想：993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流。 小明是这样做的：
（1）小明在判断993-99能否被100整除时是怎么做的？ （2）993-99还能被哪些正整数整除。 答案：（1）小明将993-99通过分解因数的方法，说明993-99是100的倍数，故993-99能被100整除。 （2）还能被98，99，49，11等正整数整除。 归纳：在这里，解决问题的关键是把一个数化成几个数积的乘积。 议一议：现在你能尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？ 鼓励学生类比数的分解将a3-a分解。 做一做：计算下列各式： （1）（m+4）（m-4）= ; （2）（y-3）2= ； （3）3x（x-1）= ； （4）m（a+b+c）= . 根据上面的算式填空： （1）3x2-3x=（）（） （2）m2-16=（）（）
因式分解单元分析
（一）教材的地位和作用 多项式因式分解是代数式中的重要内容，它与前面的整式及后面的分式联系极为密切。因式分解的教学是在整式四则运算的基础上进行的，因式分解的理论依据就是多项式乘法的逆变形。这部分内容在分式的通分和约分有着直接的应用，在解方程、二次根式及将三角函数式进行恒等变形等方面有着广泛的应用，也是中考的一个重要考点，可以说因式分解是代数恒等变形的一个重要工具，所以这部分知识掌握的好坏直接影响着学生今后对代数知识的学习和应用。 （二）教学的目标和要求 从教材作用及适应中考要求我确定如下教学目标： 1、知识目标：A、理解因式分解的概念。B、掌握因式分解的方法及一般步骤。C、会对多项式进行因式分解。 2、能力目标：A、通过知识结构图的教学，培养学生归纳总结能力。 B、通过因式分解综合练习，提高学生观察、分析能力。 3、德育目标：A、培养学生运用数学知识解决实际问题的意识。B、培养学生勇于探索、迎难而上的坚强品质。 （三）教学的重点和难点 重点：因式分解的基本方法的运用 难点：学生对分解因式的方法、技巧的掌握 二、教法与学法 因式分解是数学教学的难点之一，采用知识点归纳因式分解的有关知识，使因式分解教学条理化、系统化，达到分散难点，最终突破难点
的目的；因式分解的理论比较深，分解因式的方法多，变化技巧性较高，为了学生更好的掌握本节的内容，我采用“提供练习――引导观察――发现归纳”，让学生总结出分解因式的方法的对应关系，再通过适当的练习实践，及时消化巩固，让学生获取知识。在引导观察的过程中，启发学生发现问题、解决问题，调动学生积极参与讨论，肯定成绩，使其具有成就感，提高他们学习的兴趣和学习的积极性。
因式分解复习专题
第一部分、因式分解 一、知识梳理 1、因式分解的概念： 注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解. 2、提取公因式法 注：i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. ii 公因式的构成：①系数： ②字母： ） ③指数： 3、运用公式法 ⅰ）平方差公式： 注意：①条件：两个二次幂的差的形式； ②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式； ③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么. ⅱ）完全平方公式： 注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式； , ②其首尾两项是两个符号相同的平方形式； ③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）； ④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量. 补充：常见的两个二项式幂的变号规律： ①22()()n n a b b a -=-； ②2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数） 4、十字相乘法 借助十字叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.（1）对于二次项系数为l 的二次三项式,2q px x ++ 寻找满足,ab q a b p =+=的 a b 、，则有22()()();x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++（2）对于二次项系数不 为1的二次三项式该怎么办呢 5、分组分解法 （ 定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如 22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：
唯一分解环上的一元多项式环的因子分解
唯一分解环上的一元多项式环的因子分解 王高峡 (湖北三峡学院理工学院数学系 宜昌 443000) 摘 要 本文提供了一个求唯一分解环I 上的多项式的落在I 的商域中的全部根的方法并 得到了一个判别商域上的多项式不可约的充分条件. 关键词 唯一分解环; 商域; 素元; 整除 中国图书分类号 O 153.3多项式环的因子分解在代数里占一个特别重要的地位.在这篇文章里,我们提供了一个求唯一分解环I 上的一元多项式f (x )的所有属于I 的商域Q 的根的方法.并给出了I [x ]的一个多项式在Q [x ]里不可约的一个判别法. 下面我们总是假设I 是唯一分解环,Q 是I 的一个商域. 引理1[1] 一个唯一分解环有以下性质: (1)若一个素元p 能够整除ab ,那么p 能够整除a 或b . (2)n 个元a 1,a 2,…,a n 在此唯一分解环里有最大公因子. 定义 I [x ]的一个元f (x )叫做一个本原多项式,假如f (x )的系数的最大公因子是单位.引理2[1] 假定f (x )=g (x )·h (x ),那么f (x )是本原多项式,当且仅当g (x )和h (x )都是本原多项式的时候. 引理3[1] Q [x ]的每一个不等于零的多项式f (x )都可以写成f (x )=b a f 0(x )的样子,这里a ,b ∈I ,f 0(x )是I [x ]的本原多项式.若是 g 0(x )也有f 0(x )的性质,那么 g 0(x )=εf 0(x ) (ε是I 的单位) 引理4[1] 如果I [x ]的一个非零多项式f (x )在Q [x ]里能够分解成两个次数较低的多项式的乘积,那么它一定能在I [x ]里分解成两个次数较低的多项式的乘积. 证设f (x )=g (x )·h (x ),其中g (x ),h (x )∈Q [x ],且 (g (x ))< (f (x )), (h (x ))< (f (x )).令 f (x )=af 1(x ) 由引理3可设g (x )=s 1r 1g 1(x ), h (x )=s 2r 2 h 1(x ),这里f 1(x ),g 1(x ),h 1(x )都是I [x ]的本原多项式,a ,r 1,r 2,s 1,s 2∈I 于是 f (x )=af 1(x )=s 1r 1s 2r 2 g 1(x )h 1(x )由引理2和引理3知 f 1(x )=εg 1(x )h 1(x ) (ε是I 的单位) 这样, f (x )=(a εg 1(x ))h 1(x ) 这里 a εg 1(x ),h 1(x )∈I [x ]且次数都低于f (x )的次数. 第21卷第5期1999年10月 湖北三峡学院学报JOUR NAL OF HUBEI THREE GORGE S UNIVERSITY Vol .21 No .5Oct .1999 收稿日期:1999-01-04