专题强化练五
一、选择题
1.设f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (2)=0,当x >0时,有xf′(x )-f (x )
x2
<0恒成立,则不等式x 2f (x )>0的解集是()
A .(-2,0)∪(2,+∞)
B .(-2,0)∪(0,2)
C .(-∞,-2)∪(2,+∞)
D .(-∞,-2)∪(0,2)
解析:当x >0时,????
??f (x )x ′=xf′(x )-f (x )
x2<0,
所以φ(x )=f (x )
x 在(0,+∞)上为减函数,又φ(2)=0,
所以当且仅当0<x <2时,φ(x )>0,此时x 2f (x )>0. 又f (x )为奇函数,所以h (x )=x 2f (x )也为奇函数. 故x 2f (x )>0的解集为(-∞,-2)∪(0,2). 答案:D
2.(2018·贵阳联考)已知函数f (x )的定义域为[-1,4],部分对应值如下表:
f (x )的导函数y =f ′(x )y =f (x )-a 的零
点的个数为()
A .1
B .2
C .3
D .4
解析:根据导函数图象,知2是函数的极小值点,函数y =f (x )的大致图象如
图所示.
由于f (0)=f (3)=2,1<a <2,所以y =f (x )-a 的零点个数为4.
答案:D 3.(2018·广东二模)已知函数f(x)=e x-ln
x,则下面对函数f(x)的描述正确的是()
A.?x∈(0,+∞),f(x)≤2
B.?x∈(0,+∞),f(x)>2
C.?x0∈(0,+∞),f(x0)=0
D.f(x)min∈(0,1)
解析:因为f(x)=e x-ln x的定义域为(0,+∞),
且f′(x)=e x-1
x=
xex-1
x,
令g(x)=x e x-1,x>0,
则g′(x)=(x+1)e x>0在(0,+∞)上恒成立,
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,
又g(0)·g(1)=-(e-1)<0,
所以?x0∈(0,1),使g(x0)=0,则f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)
上单调递增,
则f(x)min=f(x0)=e x0-ln x0,
又e x0=1
x0,x0=-ln x0,所以f(x)min=
1
x0+x0>2.
答案:B
4.若函数f(x)在R上可导,且满足f(x)-xf′(x)>0,则()
A.3f(1)<f(3) B.3f(1)>f(3)
C.3f(1)=f(3) D.f(1)=f(3)
解析:由于f (x )>xf ′(x ),则????
??f (x )x ′=xf′(x )-f (x )x2<0恒成立,因此
y =f (x )x
在R 上是单调减函数,
所以f (3)3<f (1)
1
,即3f (1)>f (3).
答案:B
5.(2018·佛
山
市
质检
)已知函数f (x )=
???ln x ,x >1,
12x +12
,x≤1,若m <n ,且f (m )=f (n ),则n -m 的最小值是()
A .3-2ln 2
B .e -1
C .2
D .e +1
解析:作出函数y =f (x )的图象如图所示.
若m <n ,且f (m )=f (n ), 则当ln x =1时,得x =e , 因此1<n ≤e ,-1<m ≤1. 又ln n =12m +1
2
,即m =2ln n -1.
所以n -m =n -2ln n +1,
设h (n )=n -2ln n +1(1<n ≤e),则h ′(n )=1-2
n .
当h ′(n )>0,得2<n ≤e ;当h ′(n )<0,得1<n <2. 故当n =2时,函数h (n )取得最小值h (2)=3-2ln 2.
答案:A
二、填空题
6.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27π
dm 3,且用料最省,则圆柱的底面半径为________dm.
解析:设圆柱的底面半径为R dm ,母线长为l dm ,则V =πR 2l =27π,所
以l =
27
R2
,要使用料最省,只需使圆柱形水桶的表面积最小. S 表=πR 2+2πRl =πR 2+2π·
27R , 所以S ′表=2πR -
54π
R2
. 令S ′表=0,得R =3,则当R =3时,S 表最小.
答案:3
7.对于函数y =f (x ),若其定义域内存在两个不同实数x 1,x 2,使得x i f (x i )=1(i =1,2)成立,则称函数f (x )具有性质P .若函数f (x )=
ex a
具有性质P ,则实数a 的取值范围为________.
解析:依题意,xf (x )=1,即xex
a
=1在R 上有两个不相等实根,
所以a =x e x 在R 上有两个不同的实根,令φ(x )=x e x ,
则φ′(x )=e x (x +1),
当x <-1时,φ′(x )<0,φ(x )在(-∞,-1)上是减函数; 当x >-1时,φ′(x )>0,φ(x )在(-1,+∞)上是增函数.
因此φ(x )极小值为φ(-1)=-1
e
.
在同一坐标系中作y =φ(x )与y =a 的图象,又当x <0时,φ(x )=x e x <0.
由图象知,当-1
e
<a <0时,两图象有两个交点.故实数a 的取值范围为
? ??
??-1e ,0. 答案:? ??
??-1e ,0
8.(2018·江苏卷改编)若函数f (x )=2x 3-ax 2+1(a ∈R)在(0,+
∞)内有且只有一个零点,则f (x )在[0,1]上的最大值是________.
解析:f ′(x )=6x 2-2ax =2x (3x -a )(a ∈R),
①当a ≤0时,f ′(x )>0在(0,+∞)上恒成立,则f (x )在(0,+∞)上单调递增.又f (0)=1,所以此时f (x )在(0,+∞)内无零点,不满足题意,因此a >0.
②当a >0时,令f ′(x )=0得x =a
3
.
当0<x <a 3时,f ′(x )<0,f (x )为减函数;当x >a
3
时,f ′(x )>0,f (x )为增函
数,所以x >0时,f (x )有极小值,为f ? ??
??a 3=-a3
27+1.
因为f (x )在(0,+∞)内有且只有一个零点,
所以f ? ??
??
a 3=0,所以a =3.
所以f (x )=2x 3-3x 2+1,则f ′(x )=6x (x -1).
当x ∈(0,1)时,f ′(x )<0,故f (x )在x ∈[0,1]上是减函数,
所以f (x )max =f (0)=1.
答案:1
三、解答题
9.已知函数f (x )=
x -1
x
-ln x .
(1)求f (x )的单调区间; (2)求证:ln e2x ≤x +1
x
.
(1)解:f (x )=x -1x -ln x =1-1
x
-ln x ,
f (x )的定义域为(0,+∞).
f ′(x )=1x2-1x =1-x x2
,
令f ′(x )>0?0<x <1,令f ′(x )<0?x >1,
所以f(x)=1-1
x-ln x在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
(2)证明:要证ln
e2
x≤
1+x
x,即证2-ln x≤1+
1
x,
即证1-
1
x-ln x≤0.
由(1)可知,f(x)=1-1
x-ln x在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以f(x)在(0,+∞)上的最大值为f(1)=1-1-ln 1=0,即f(x)≤0,
所以1-1
x-ln x≤0恒成立.原不等式得证.
10.已知函数f(x)=e x-1,g(x)=x
+x,其中e是自然对数的底数,e=2.718 28…
(1)证明:函数h(x)=f(x)-g(x)在区间(1,2)上有零点;
(2)求方程f(x)=g(x)的根的个数,并说明理由.
(1)证明:由题意可得h(x)=f(x)-g(x)=e x-1-x-x,
所以h(1)=e-3<0,h(2)=e2-3-2>0,
所以h(1)·h(2)<0,
所以函数h(x)在区间(1,2)上有零点.
(2)解:由(1)可知,h(x)=f(x)-g(x)=e x-1-x-x.
由g(x)=x+x知x∈[0,+∞),
而h(0)=0,则x=0为h(x)的一个零点.
又h(x)在(1,2)内有零点,
因此h(x)在[0,+∞)上至少有两个零点.
h′(x)=e x-1
2x-1
2-1,记φ(x)=e
x-
1
2x-
1
2-1.
则φ′(x)=e x+
1
4x-
3
2,
当x∈(0,+∞)时,φ′(x)>0,则φ(x)在(0,+∞)上递增.易知φ(x)在(0,
+∞)内只有一个零点,
所以h(x)在[0,+∞)上有且只有两个零点,所以方程f(x)=g(x)的根的个数为2.
11.(2018·佛山质检)设函数f(x)=e(x2-ax+a)
ex(a∈R).
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线过点M(2,3),求a的值;
(2)设g(x)=x+
1
x+1-
1
3,若对任意的n∈[0,2],存在m∈[0,2],使得f(m)
≥g(n)成立,求a的取值范围.
解:(1)因为f(x)=
e(x2-ax+a)
ex,所以f′(x)=e·
(2x-a)ex-(x2-ax+a)ex
e2x=
-
(x-2)(x-a)
ex-1
.
又f(1)=1,即切点为(1,1),
所以k=f′(1)=1-a=
3-1
2-1
,解得a=-1.
(2)“对任意的n∈[0,2],存在m∈[0,2],使得f(m)≥g(n)成立”,等价于
“在[0,2]上,f(x)的最大值大于或等于g(x)的最大值.”
因为g(x)=x+1
x+1-
1
3,g′(x)=
x2+2x
(x+1)2
≥0,
所以g(x)在[0,2]上单调递增,
所以g(x)max=g(2)=2.
令f′(x)=0,得x=2或x=a.
①当a≤0时,f′(x)≥0在[0,2]上恒成立,f(x)单调递增,
f(x)max=f(2)=(4-a)e-1≥2,解得a≤4-2e;
②当0<a<2时,f′(x)≤0在[0,a]上恒成立,f(x)单调递减,f′(x)≥0在
[a,2]上恒成立,f(x)单调递增,
f(x)的最大值为f(2)=(4-a)e-1或f(0)=a e,
所以(4-a )e -1≥2或a e ≥2.
解得a ≤4-2e 或a ≥2e ,所以2
e
≤a <2;
③当a ≥2时,f ′(x )≤0在[0,2]上恒成立,f (x )单调递减,
f (x )max =f (0)=a e ≥2,解得a ≥2
e
,所以a ≥2.
综上所述,a ≤4-2e 或a ≥2
e
.
故a 的取值范围为(-∞,4-2e]∪[2
e
,+∞).
满分示范练——函数与导数
【典例】 (2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )=ln x +ax 2+(2a +1)x .
(1)讨论函数f (x )的单调性;
(2)当a <0时,证明:f (x )≤-3
4a -2.
(1)解:f (x )的定义域(0,+∞).
f ′(x )=1
x +2ax +2a +1=(2ax +1)(x +1)x
,
若a ≥0,则当x ∈(0,+∞)时,f ′(x )>0,
故f (x )在(0,+∞)上单调递增.
若a <0时,当x ∈?
????
0,-12a 时,f ′(x )>0; 当x ∈?
??
??
-12a ,+∞时,f ′(x )<0.
故f (x )在?
??
??
0,-12a 上单调递增,在?
??
??-12a ,+∞上单调递减.
(2)证明:由(1)知,当a <0时,f (x )在x =-1
2a 处取得最大值,最大值为f ? ??
?
?-12a
=ln ? ??
??-12a -1-1
4a ,
所以f (x )≤-
34a -2等价于ln ? ??
??-12a -1-14a ≤-3
4a -2, 即ln ? ????-12a +1
2a
+1≤0,
设g (x )=ln x -x +1,则g ′(x )=1
x
-1.
当x ∈(0,1)时,g ′(x )>0;x ∈(1,+∞)时,g ′(x )<0. 所以g (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
故当x =1时,g (x )取得最大值,最大值为g (1)=0.
所以当x >0时,g (x )≤0,
从而当a <0时,ln ? ????-12a +1
2a
+1≤0,
即f (x )≤-3
4a
-2.
高考状元满分心得
1.得步骤分:抓住得分点的步骤,
“步步为赢”,求得满分.如第(1)问中,求导正确,分类讨论;第(2)问中利用
单调性求g (x )的最小值和不等式性质的运用.
2.得关键分:解题过程不可忽视关键点,有则给分,无则没分,如第(1)
问中,求出f (x )的定义域,f ′(x )在(0,+
∞)上单调性的判断;第(2)问,f (x )在x =-12a 处最值的判定,f (x )≤-
3
4a
-2等价转化为ln ? ????-12a +1
2a
+1≤0等.
3.得计算分:解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1)问中,求导f ′(x )准确,否则全盘皆输,第(2)问中,准确计算f (x )在x =-
1
2a
处的最大值.
[解题程序]第一步:求函数f (x )的导函数f ′(x );
第二步:分类讨论f (x )的单调性; 第三步:利用单调性,求f (x )的最大值;
第四步:根据要证的不等式的结构特点,构造函数g (x );
第五步:求g (x )的最大值,得出要证的不等式;
第六步:反思回顾,查看关键点、易错点和解题规范. [跟踪训练](2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )=x -1-a ln x .
(1)若f (x )≥0,求a 的值;
(2)设m 为整数,且对于任意正整数n ,? ????1+12(1+1
22)·…·? ??
?
?1+12n <m ,求m 的最小值.
解:(1)f (x )的定义域为(0,+∞),
①若a ≤0,因为f ? ??
??12=-1
2+a ln 2<0,所以不满足题意.
②若a >0,由f ′(x )=1-a x =x -a
x
知,
当x ∈(0,a )时,f ′(x )<0;当x ∈(a ,+∞)时,f ′(x )>0. 所以f (x )在(0,a )上单调递减,在(a ,+∞)上单调递增.
故x =a 是f (x )在(0,+∞)的唯一最小值点. 因为f (1)=0,所以当且仅当a =1时,f (x )≥0,
故a =1.
(2)由(1)知当x ∈(1,+∞)时,x -1-ln x >0.
令x =1+1
2n ,得ln ? ????1+12n <12n
,
从而ln ? ????1+12+ln ? ????1+122+…+ln ? ????1+12n <12+122
+…+12n =1-1
2n <1.
故? ????1+12? ????1+122·…·? ??
??
1+12n <e.
又? ????1+12? ????1+122·…·? ????1+12n >? ????1+12? ????1+122·? ????1+123=135
64
>2,
所以当n ≥3时,?
????1+12?
??
??1+122·…·?
??
??
1+12n ∈(2,e),
由于? ????1+12? ??
??1+122·…·(1+1
2n )<m ,且m ∈N *.
所以整数m 的最小值为3.
高三数学选择题专题训练(一) 1.已知集合{}1),(≤+=y x y x P ,{ }1),(22≤+=y x y x Q ,则有 ( ) A .Q P ?≠ B .Q P = C .P Q P = D .Q Q P = 2.函数11)(+-=x x e e x f 的反函数是( ) A .)11( 11)(1<<-+-=-x x x Ln x f B .)11(11)(1-<>+-=-x x x x Ln x f 或 C .)11( 11)(1 <<--+=-x x x Ln x f D .)11(11)(1-<>-+=-x x x x Ln x f 或 3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,369-=S ,10413-=S ,等比数列{}n b 中,55a b =,77a b =, 则6b 的值 ( ) A .24 B .24- C .24± D .无法确定 4.若α、β是两个不重合的平面, 、m 是两条不重合的直线,则α∥β的一个充分而非必要 条件是 ( ) A . αα??m 且 ∥β m ∥β B .βα??m 且 ∥m C .βα⊥⊥m 且 ∥m D . ∥α m ∥β 且 ∥m 5.已知n n n x a x a a x x x +++=++++++ 102)1()1()1(,若n a a a n -=+++-509121,则n 的 值 ( ) A .7 B .8 C .9 D .10 6.已知O ,A ,M ,B 为平面上四点,则)1(λλ-+=,)2,1(∈λ,则( ) A .点M 在线段A B 上 B .点B 在线段AM 上 C .点A 在线段BM 上 D .O ,A ,M ,B 四点共线 7.若A 为抛物线24 1x y = 的顶点,过抛物线焦点的直线交抛物线于B 、C 两点,则AC AB ?等于 ( ) A .31- B .3- C .3 D .43- 8.用四种不同颜色给正方体1111D C B A ABCD -的六个面涂色,要求相邻两个面涂不同的颜色, 则共有涂色方法 ( ) A .24种 B .72种 C .96种 D .48种 9.若函数x x a y 2cos 2sin -=的图象关于直线π8 7=x 对称,那么a 的值 ( ) A .2 B .2- C .1 D .1-
一.解答题(共30小题) 1.(2012?上海)已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足.(1)设c n=3n+6,{a n}是公差为3的等差数列.当b1=1时,求b2、b3的值; (2)设,.求正整数k,使得对一切n∈N*,均有b n≥b k; (3)设,.当b1=1时,求数列{b n}的通项公式. 2.(2011?重庆)设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2,a3=a2+4. (Ⅰ)求{a n}的通项公式; ( (Ⅱ)设{b n}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n+b n}的前n项和S n. 3.(2011?重庆)设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n(n∈N*). (Ⅰ)若a1,S2,﹣2a2成等比数列,求S2和a3. (Ⅱ)求证:对k≥3有0≤a k≤. 4.(2011?浙江)已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R)设数列的前n 项和为S n,且,,成等比数列. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及S n; ` (Ⅱ)记A n=+++…+,B n=++…+,当a≥2时,试比较A n与B n的大小. 5.(2011?上海)已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6,b n=2n+7(n∈N*).将集合{x|x=a n,n∈N*}∪{x|x=b n,n∈N*}中的元素从小到大依次排列,构成数列c1,c2,
(1)写出c1,c2,c3,c4; (2)求证:在数列{c n}中,但不在数列{b n}中的项恰为a2,a4,…,a2n,…; (3)求数列{c n}的通项公式. 6.(2011?辽宁)已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=﹣10 * (I)求数列{a n}的通项公式; (II)求数列{}的前n项和. 7.(2011?江西)(1)已知两个等比数列{a n},{b n},满足a1=a(a>0),b1﹣a1=1,b2﹣a2=2,b3﹣a3=3,若数列{a n}唯一,求a的值; (2)是否存在两个等比数列{a n},{b n},使得b1﹣a1,b2﹣a2,b3﹣a3.b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在,求{a n},{b n}的通项公式;若不存在,说明理由. 8.(2011?湖北)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5. (I)求数列{b n}的通项公式; ] (II)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列{S n+}是等比数列. 9.(2011?广东)设b>0,数列{a n}满足a1=b,a n=(n≥2) (1)求数列{a n}的通项公式; (4)证明:对于一切正整数n,2a n≤b n+1+1.
一、选择题 1.函数f (x )=1 2x 2-ln x 的最小值为( ) A 。1 2 B .1 C .0 D .不存在 解析:选A 。因为f ′(x )=x -1x =x 2-1 x ,且x >0。 令f ′(x )>0,得x >1;令f ′(x )<0,得0 高三数学小题训练(10) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分;共50分. 1.已知函数x b x a x f cos sin )(-=(a 、b 为常数,0≠a ,R x ∈)在4 π =x 处取 得最小值,则函数)4 3( x f y -=π 是( ) A .偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B .偶函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 C .奇函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 D .奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 2.已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ?? -???? 上的最小值是2-,则ω的最小值等于 ( ) (A )23 (B )3 2 (C )2 (D )3 3.将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π?? =- ??? 平移,平移后的图象如图所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是( ) A .sin()6y x π =+ B .sin()6y x π =- C .sin(2)3y x π=+ D .sin(2)3 y x π =- 4.设0a >,对于函数()sin (0)sin x a f x x x π+= <<,下列结论正确的是( ) A .有最大值而无最小值 B .有最小值而无最大值 C .有最大值且有最小值 D .既无最大值又无最小值 5.已知1,3,.0,OA OB OAOB ===点C 在AOC ∠30o =。 设(,)OC mOA nOB m n R =+∈,则 m n 等于 ( ) (A ) 1 3 (B )3 (C )33 (D 3 6.与向量a =71,,22b ?? = ??? ?? ? ??27,21的夹解相等,且模为1的向量是 ( ) (A) ???- ??53,54 (B) ???- ??53,54或?? ? ??-53,54 (C )???- ??31,322 (D )???- ??31,3 22或??? ??-31,322 7.如图,已知正六边形123456PP P P P P ,下列向量的数量积中最大的是( ) (A )1213,PP PP (B )1214,PP PP (C )1215,PP PP (D ) 1216,PP PP 8.如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值,则( ) A .111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B .111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C .111A B C ?是钝角三角形,222A B C ?是锐角三角形 D .111A B C ?是锐角三角形,222A B C ?是钝角三角形 9.已知不等式1 ()()9a x y x y ++≥对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a 的最小值为 ( ) (A)8 (B)6 (C )4 (D )2 10.若a ,b ,c >0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为 ( ) (A )3-1 (B) 3+1 (C) 23+2 (D) 23-2 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 11.cos 43cos77sin 43cos167o o o o +的值为 12.已知βα,??? ??∈ππ,43,sin(βα+)=-,53 sin ,13124=??? ??-πβ则os ??? ? ? +4πα=___. 数列 20.(本小题满分12分) 已知等差数列{}n a 满足:22,5642=+=a a a ,数列{}n b 满足n n n na b b b =+++-12122 ,设数列{}n b 的前n 项和为n S 。 (Ⅰ)求数列{}{}n n b a ,的通项公式; (Ⅱ)求满足1413< (1)求这7条鱼中至少有6条被QQ 先生吃掉的概率; (2)以ξ表示这7条鱼中被QQ 先生吃掉的鱼的条数,求ξ的分布列及其数学期望E ξ. 18.解:(1)设QQ 先生能吃到的鱼的条数为ξ QQ 先生要想吃到7条鱼就必须在第一天吃掉黑鱼,()177 P ξ== ……………2分 QQ 先生要想吃到6条鱼就必须在第二天吃掉黑鱼,()61667535 P ξ==?= ……4分 故QQ 先生至少吃掉6条鱼的概率是()()()1166735P P P ξξξ≥==+== ……6分 (2)QQ 先生能吃到的鱼的条数ξ可取4,5,6,7,最坏的情况是只能吃到4条鱼:前3天各吃掉1条青鱼,其余3条青鱼被黑鱼吃掉,第4天QQ 先生吃掉黑鱼,其概率为 64216(4)75335P ξ==??= ………8分 ()6418575335 P ξ==??=………10分 所以ξ的分布列为(必须写出分布列, 否则扣1分) ……………………11分 故416586675535353535 E ξ????= +++=,所求期望值为5. (12) 20.∵a 2=5,a 4+a 6=22,∴a 1+d=5,(a 1+3d )+(a 1+5d )=22, 解得:a 1=3,d=2. ∴12+=n a n …………2分 在n n n na b b b =+++-1212 2 中令n=1得:b 1=a 1=3, 又b 1+2b 2+…+2n b n+1=(n+1)a n+1, ∴2n b n+1=(n+1)a n+1一na n . ∴2n b n+1=(n+1)(2n+3)-n (2n+1)=4n+3,高三数学小题训练(10)(附答案)
高三数学数列专题训练(含解析)
最新高考数学压轴题专题训练(共20题)[1]