高中数学《圆的一般方程》导学案
2.2 圆的一般方程
[学习目标] 1.掌握圆的一般方程及其特点． 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小． 3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.
【主干自填】
1．圆的一般方程的定义
当□01D ＋E －4F >0时，称二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0为圆的一般方程．
2．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的图形
(1)当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示以□02? ????－D 2，－E 2为圆心，以□0312 D 2＋E 2－4F 为半径的圆．
(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点□04? ????－D 2，－E 2. (3)当D 2＋E 2－4F <0时，方程□05不表示任何图形． 3．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点M (x 0，y 0)和圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．则其位置关系如下表：
位置关系 代数关系
点M 在□06圆外 x 20＋y 2
0＋Dx 0＋Ey 0＋F >0
点M 在□07圆上 x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＝0
点M 在□
08圆内 x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F <0
【即时小测】
1．思考下列问题
(1)方程x2＋y2＋2x－2y＋3＝0是圆的一般方程吗？为什么？
提示：此方程不表示圆的一般方程．
∵D2＋E2－4F＝22＋(－2)2－4×3＝－4<0.
∴此方程不表示任何图形．
(2)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时需要具备什么条件？
提示：需同时具备三个条件．
①A＝C≠0②B＝0③D2＋E2－4AF>0
2．如果过A(2,1)的直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，则l的方程为() A．x＋y－3＝0 B．x＋2y－4＝0
C．x－y－1＝0 D．x－2y＝0
提示：A由题意知直线l过圆心(1,2)，由两点式可得l的方程为y－1
2－1＝
x－2 1－2
，
即x＋y－3＝0.
3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()
A．(2,3) B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
提示：D
例1判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程．
(1)x2＋y2＋2x＋1＝0；
(2)x2＋y2＋2ay－1＝0；
(3)x2＋y2＋20x＋121＝0；
(4)x2＋y2＋2ax＝0.
[解](1)原方程可化为(x＋1)2＋y2＝0，它表示点(－1，0)，不表示圆．
(2)原方程可化为x2＋(y＋a)2＝a2＋1，它表示圆心在(0，－a)，半径为a2＋1的圆，标准方程为x2＋(y＋a)2＝(a2＋1)2.
(3)原方程可化为(x＋10)2＋y2＝－21<0，故方程不表示任何曲线，故不能表示圆．
(4)原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2.
①当a＝0时，方程表示点(－a,0)，不表示圆；
②当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，半径为|a|的圆，标准方程为(x＋a)2＋y2＝a2.
类题通法
二元二次方程是否表示圆的判定方法
对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆；也可以由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F 是否为正，确定它是否表示圆．
[变式训练1]下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－5x＝0.
解(1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆．
(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项．
∴它不能表示圆．
(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴它不能表示圆．
(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为? ????
x－
5
4
2＋y2＝? ????542，
∴它表示以
?
?
?
?
?
5
4
，0为圆心，5
4
为半径长的圆.
例2已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆一般方程、圆心坐标和外接圆半径．
[解]解法一：设△ABC的外接圆方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A，B，C在圆上，
∴
??
?
??1＋16＋D＋4E＋F＝0，
4＋9－2D＋3E＋F＝0，
16＋25＋4D－5E＋F＝0，
∴
??
?
??D＝－2，
E＝2，
F＝－23，
∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.
解法二：设△ABC的外接圆方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵A、B、C在圆上，
∴
??
?
??(1－a)2＋(4－b)2＝r2，
(－2－a)2＋(3－b)2＝r2，
(4－a)2＋(－5－b)2＝r2，
解得
??
?
??a＝1，
b＝－1，
r＝5，
即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，
∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0.
解法三：∵k AB ＝4－3
1＋2＝1
3，k AC ＝4＋51－4＝－3，
∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .
∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形． ∴圆心是线段BC 的中点， 坐标为(1，－1)，r ＝1
2|BC |＝5. ∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25. 展开得一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0.
类题通法
待定系数法求圆的方程的规律
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D 、E 、F .
[变式训练2] 经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程．
解 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P ，Q 点的坐标分别代入得 ????? 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.
①②
令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③
设x1，x2是方程③的两根，则x1＋x2＝－D，x1x2＝F.
由|x1－x2|＝6得(x1＋x2)2－4x1x2＝36，
有D2－4F＝36.④
由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8
或D＝－6，E＝－8，F＝0，
所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0
或x2＋y2－6x－8y＝0.
易错点?二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时，忽略D2＋E2－4F>0 [典例] 已知定点P(m,2)在圆x2＋y2－2mx－y＋m2＋m＝0的外部，求实数m 的取值范围．
[错解] ∵点P(m,2)在圆外，
∴m2＋4－2m2－2＋m2＋m>0，
∴m>－2.
[错因分析] 错解的根本原因是没理解圆的一般方程的定义．
[正解]∵点P(m,2)在圆外，
∴m2＋4－2m2－2＋m2＋m>0，即m>－2，
∵方程x2＋y2－2mx－y＋m2＋m＝0表示圆，
∴(－2m)2＋(－1)2－4(m2＋m)>0，即m<1 4.
∴－2 课堂小结 1.圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r 2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件. 2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程. 3.对于曲线的轨迹问题，要作简单地了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤. 1．能将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0 答案 C 解析 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心． 2．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则k 的取值范围是( ) A ．k >1 B ．k <1 C ．k ≥1 D ．k ≤1 答案 B 解析 由D 2＋E 2－4F ＝16＋4－20k >0得k <1，故k <1时所给方程表示圆． 3．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)所表示的曲线关于y ＝x 对称，则必有( ) A ．D ＝E B ．D ＝F C ．E ＝F D ．D ＝ E ＝F 答案 A 解析 方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)所表示的曲线为圆，圆关于直线y ＝x 对称，故圆心在直线y ＝x 上．∴－E 2＝－D 2，即E ＝D . 4．已知圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0.那么当圆面积最大时，圆心坐标为________． 答案 (0，－1) 解析 将圆的方程配方后得 ? ?? ??x ＋k 22 ＋(y ＋1)2＝1－34k 2. ∴当k ＝0时，r 最大为1，面积最大，此时圆心为(0，－1)． 时间：25分钟 1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的标准方程为( ) A ．(x －2)2＋(y －3)2＝16 B ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝16 C ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝16 D ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝16 答案 C 解析 将x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0配方得：(x ＋2)2＋(y －3)2＝16. 2．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围是( ) A.? ? ???－∞，12 B ．(－∞，0) C.? ????12，＋∞ D.? ? ???－∞，12 答案 A 解析 由x 2 ＋y 2 －x ＋y ＋m ＝0，得? ????x －122＋? ?? ??y ＋122＝1 2－m .∵该方程表示圆， ∴12－m >0，即m <1 2. 3．若圆x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有点都在第二象限，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，－1) C ．(1，＋∞) D ．(2，＋∞) 答案 D 解析 由x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0得(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，其圆心坐标 为(－a,2a )，半径为2，由题意知????? －a <0， 2a >0， |－a |>2， |2a |>2， 解得a >2，故选D. 4．过A (－1,5)，B (5,5)，C (6，－2)三点的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋4x －2y －20＝0 B ．x 2＋y 2－4x ＋2y －20＝0 C ．x 2＋y 2－4x －2y －20＝0 D ．x 2＋y 2＋4x ＋4y －20＝0 答案 C 解析 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A (－1,5)，B (5,5)，C (6，－2)三点分别代入，得???? ? －D ＋5E ＋F ＝－26，5D ＋5E ＋F ＝－50， 6D －2E ＋F ＝－40， 解得???? ? D ＝－4， E ＝－2， F ＝－20， 故选C. 5．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( ) A. 5 B ．3＋5 C ．14－6 5 D ．14＋65 答案 D 解析 由题意，知圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝9的圆心为(－2,1)，半径r ＝3.圆心(－2,1)到坐标原点的距离为(－2)2＋12＝5，故x 2＋y 2的最大值为(3＋5)2＝14＋ 6 5. 6．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( ) A ．2 B.2 2 C ．1 D.2 答案 D 解析 因为圆心坐标为(1，－2)，所以圆心到直线x －y ＝1的距离d ＝ |1＋2－1| 2 ＝ 2. 7．已知点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－x ＋y －4＝0的外部，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析 ∵点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－x ＋y －4＝0的外部，∴(a ＋1)2＋(a －1)2－(a ＋1)＋(a －1)－4>0，即2a 2－4>0，∴a >2或a <－ 2. 8．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________． 答案 5 解析 由题意，得直线l 过圆心M (－2，－1)，则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5. 9．若不同的四点A (5,0)，B (－1,0)，C (－3,3)，D (a,3)共圆，则a 的值为________． 答案 －3或7 解析 设A ，B ，C 三点所在的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.由题意得???? ? 25＋5D ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，9＋9－3D ＋3E ＋F ＝0， 即???? ? 5D ＋F ＋25＝0，D －F －1＝0，3D －3E －F －18＝0. 解得D ＝－4，E ＝－25 3，F ＝－5.故所求圆的方程 为x 2＋y 2－4x －253y －5＝0.由点D (a,3)在圆上知a 2＋9－4a －25 3×3－5＝0，即a 2－4a －21＝0，解得a ＝－3或7. 10．求经过A (4,2)、B (－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程． 解设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0得x2＋Dx＋F＝0， ∴圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D. 令x＝0得y2＋Ey＋F＝0， ∴圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E. 由题设x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2. ∴D＋E＝－2.① 又A(4,2)，B(－1,3)在圆上， ∴16＋4＋4D＋2E＋F＝0，② 1＋9－D＋3E＋F＝0.③ 由①②③解得D＝－2，E＝0，F＝－12. 故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.