2018年全国二卷数学(含详解答案)
2018年全国二卷数学(含详解答案)
2018年全国二卷数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共
60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．
12i
12i
+=-
A ．
43i 55-- B ．43i 55
-+ C ．
34i 55
--
D ．
34i 55
-+
2．已知集合(){}2
23A x y x y x y =+∈∈Z Z
，≤，，，则A 中元素的
个数为
A ．9
B ．8
C ．5
D ．4 3．函数
()2
e e x x
f x x --=
的图像大致为
4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0 5．双曲线
22
22
1(0,0)x y a b a b -=>>3
和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选
取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112 B ．114 C ．115
D ．118
9．在长方体11
1
1
ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1
3AA =，则异
面直线1
AD 与1
DB 所成角的余弦值为
A ．15
B 5
C 5
D 2
10．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值
是
A ．π
4
B ．π2
C ．3π4
D ．π 11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足
(1)(1)
f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…
A ．50-
B ．0
C ．2
D ．50 12．已知1
F ，2
F 是椭圆
22
221(0)x y C a b a b
+=>>：的左、右焦点，
A
是C
的左顶点，点P 在过A
3
的直线
上，12
PF F △为等腰三角形，12
120F F P ∠=?，则C 的离
心率为
A ． 2
3
B ．12
C ．13
D ．14
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．曲线
2ln(1)
y x =+在点
(0,0)
处的切线方程为
__________． 14．若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥??
-+≥??-≤?
，
，， 则z x y =+的最大值
为__________．
15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．
16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余
弦值为78
，SA 与圆锥底面所成角为45°，若
SAB
△的面积为515，则该圆锥的侧面积为
__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．学科*网（一）必考题：共60分。
17．（12分）
记n S为等差数列{}n a的前n项和，已知17
a=-，
315
S=-．
（1）求{}n a的通项公式；
（2）求n S，并求n S的最小值．
18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投
资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1217
，，…，）建立模型①：?30.413.5
=-+；根据2010年至2016年的数据（时
y t
间变量t的值依次为127
，，…，）建立模型②：?9917.5
=+．
y t
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．（12分）
设抛物线24
=
：的焦点为F，过F且斜率为
C y x
k k>的直线l与C交于A，B两点，||8
(0)
AB=．（1）求l的方程；学科&网
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
20．（12分）
如图，在三棱锥P ABC
-中，22
==，
AB BC
====，O为AC的中点．
PA PB PC AC
4