2012高考数学必考题型解答策略：选修系列

选修系列解答策略

命题趋势

几何证明选讲是高考的选考内容，主要考查相似三角形的判定与性质，射影定理，平行线分线段成比例定理；圆的切线定理，切割线定理，相交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目难度不大，以容易题为主．对本部分的考查主要是一道选考解答题，预测2012年仍会如此，难度不会太大．

矩阵与变换主要考查二阶矩阵的基本运算，主要是以解答题的形式出现．预测在2012年高考主要考查(1)矩阵的逆矩阵；(2)利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程．

坐标系与参数方程重点考查直线与圆的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化；直线，圆与椭圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，题目不难，考查“转化”为目的．预测2012高考中，极坐标、参数方程与直角坐标系间的互化仍是考查的热点，题目容易．

不等式选讲是高考的选考内容之一，主要考查绝对值的几何意义，绝对值不等式的解法以及不等式证明的基本方法(比较法、分析法、综合法)．关于含有绝对值的不等式的问题．预测2012年高考在本部分可能会考查不等式的证明或求最值问题．

备考建议

选考内容由各省市自行选择内容和数量，选修系列包括几何证明选讲（选修4-1）、矩阵与变换（选修4-2）、坐标系与参数方程（选修4-4）、不等式选讲（选修4-5）等几部分内容。纵观近几年来的全国卷与各省市的试卷，试题在选择题、填空题、解答题中都有可能出现，题目不难；通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查数形结合与分类讨论等数学思想与方法的灵活应用能力。从各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变：（1）理解三角形和圆的知识．（2）理解直线、圆和圆锥曲线的参数方程及应用．（3）了解矩阵与变换的内容．（4）掌握绝对值不等式、数学归纳法等证明方法。

解答策略

选考题在高考试题中出现，是新课改的一大成果，包括平面几何证明选讲、矩阵与变换、参数方程与极坐标、不等式证明选讲四个专题的解答题各一道，所涉及试题一般比较简单，是大家应着力突破的部分几何证明选讲是考查同学们推理能力、逻辑思维能力的好资料，题目以证明题为主，特别是一些定理的证明和用多个定理证明一个问题的题目，我们更应注意．

重点把握以下内容：1．射影定理的内容及其证明；2．圆周角与弦切角定理的内容及证明；3．圆幂定理的内容及其证明；4．圆内接四边形的性质与判定；5．平行投影的性质与圆锥曲线的统一定义．矩阵与变换

1．伸压变换是指沿着特定坐标轴方向伸长或者压缩的变换，我们不能简单地把伸压变换理解为把平面上的点向下压，或者向上拉伸．2．在旋转变换中的θ为一个实数，叫做旋转角．当θ>0时，旋转的方向是逆时针，当θ<0时，旋转的方向则是顺时针．我们一般是讨论逆时针方向．3．投影变换不是一一映射．投影变换不仅仅依赖于投影的目标直线(点)，还依赖于投影的方向．4．矩阵的乘法对应着变换的复合，

这样简单的变换可以复合成较为复杂的变换，反过来一些较复杂的几何变换实际上可以分解为若干简单的变换．(可以用二阶矩阵表示的)5．矩阵的乘法与数的乘法之间有着很多本质的区别，同样矩阵乘法的性质与数的乘法之间也有着本质的区别．6．关于特征值与特征向量的讨论与矩阵变换性质、矩阵的乘积、行列式以及线性方程组的解等有密切的联系，或说是所学知识的一个综合使用．本部分的学习在本专题中既是重点，又是难点．大家可先从一些具体的几何变换的不变量入手，体会特征向量是客观存在的，并且是重要的，逐渐从直观到抽象更好地理解特征向量的概念．

1．极点的极径为0，极角为任意角，即极点的坐标不是惟一的．极径ρ的值也允许取负值，极角θ允许取任意角，当ρ<0时，点M(ρ，θ)位于极角θ的终边的反向延长线上，且OM ＝|ρ|，在这样的规定下，平面上的点的坐标不是惟一的，即给定极坐标后，可以确定平面上惟一的点，但给出平面上的点，其极坐标却不是惟一的．这有两种情况：①如果所给的点是极点，其极径确定，但极角可以是任意角；②如果所给点M 的一个极坐标为(ρ，θ)(ρ≠0)，则(ρ，2k π＋θ)，(－ρ，(2k ＋1)π＋θ)(k ∈Z)也都是点M 的极坐标．这两种情况都使点的极坐标不惟一，因此在解题的过程中要引起注意．

2．在进行极坐标与直角坐标的转化时，要求极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同，在这个前提下才能用转化公式．同时，在曲线的极坐标方程和直角坐标方程互化时，如遇约分，两边平方，两边同乘以ρ，去分母等变形，应特别注意变形的等价性．

3．对于极坐标方程，需要明确：①曲线上点的极坐标不一定满足方程．如点P(1,1)在方程ρ＝θ表示的曲线上，但点P 的其他形式的坐标都不满足方程；②曲线的极坐标方程不惟一，如ρ＝1和ρ＝－1都表示以极点为圆心，半径为1的圆．

4．同一个参数方程，以不同量作为参数，一般表示不同的曲线．

5．任何一个参数方程化为普通方程，从理论上分析都存在扩大取值范围的可能性．从曲线和方程的概念出发，应通过限制普通方程中变量的取值范围，使化简前后的方程表示的是同一条曲线，原则上要利用x ＝f(t)，y ＝g(t)，借助函数中求值域的方法，以t 为自变量，求出x 和y 的值域，作为普通方程中x 和y 的取值范围．

6．直线还有其他形式的参数方程，但只有????? x ＝x 0＋tcos αy ＝y 0＋tsin α中的参数才具有特定的意义，因此若直线

的参数方程是?????

x ＝x 0＋at y ＝y 0＋bt (t 是参数，a 2＋b 2≠1)，则要通过换元(b ≥0时，令t ′＝a 2＋b 2t ；b<0时，令t ′＝－a 2＋b 2t)将方程化为上述标准方程后再应用上述结论，否则会导致错误．

不等式选讲

1．对于两个不等式的加法，即：a>b ，c>d ?a ＋c>b ＋d ，也就是说两个同向不等式可以相加．但是对于两个不等式相减时，要慎重使用，这时往往转化为两个同向不等式后，再相加．

2．对于不等式的各项取倒数问题，一定要分清各项的符号，对于同号的，可运用深化(2)；若不同号，可根据符号进行判定．

3．解含绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值．常用的方法是：①由定义分段讨论；②利用绝对值不等式的性质；③平方．

4．解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分类讨论．注意：①要考虑参数的取值范围；②用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏．5．利用绝对值的定义和几何意义来分析，绝对值的特点是解决带有绝对值符号问题的关键，如何去掉绝对值符号，一定要认真总结规律与方法．6．绝对值不等式的证明通常与放缩法联系在一起，放缩常用如下绝对值不等式：

①|a ＋b|≤|a|＋|b|；②|a －b|≤|a －c|＋|c －b|.

7．注意柯西不等式等号成立的条件?a 1b 2－a 2b 1＝0，这时我们称(a 1，a 2)，(b 1，b 2)成比例，如果b 1≠0，

b 2≠0，那么a 1b 2－a 2b 1＝0?a 1a 2＝b 1b 2

.若b 12b 2＝0，我们分情况说明：①b 1＝b 2＝0，则原不等式两边都是0，自然成立；②b 1＝0，b 2≠0，原不等式化为(a 21＋a 22)b 22≥a 22b 2

2，是自然成立的；③b 1≠0，b 2＝0，原不等式和②的道理一样，自然成立．正是因为b 12b 2＝0时，不等式恒成立，因此我们研究柯西不等式时，总是假

定b 12b 2≠0，等号成立的条件可写成a 1a 2＝b 1b 2

.

典型例题

考点一、几何证明选讲

相似三角形判定定理及性质定理是高考考查的重点之一．除相似三角形的性质定理外，还要注意两个相似形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方，这是相似形的性质，也是经常被考查的知识点，此类问题的求解关键是合理、准确地找到相似比．

例：已知在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，E 是AC 的中点，ED 交AB 的延长线于F ，求证：AB AC ＝DF AF

.

【证明】 ∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝∠BAC ＝90°，

∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠C ＝90°，∴∠1＝∠C ，∴△ABD ∽△CAD ，∴AB AC ＝BD AD

. 又∵E 是AC 的中点，∴DE ＝EC ，∴∠3＝∠C .又∵∠3＝∠4，∠1＝∠C ，∴∠1＝∠4，

又有∠F ＝∠F ，∴△FBD ∽△FDA ，∴BD AD ＝DF AF ，∴AB AC ＝DF AF

. 【名师点睛】三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法．一般的思考程序是：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的

两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．

圆周角、弦切角和圆的切线问题1．圆周角定理及其推论与弦切角定理

及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或

角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的

点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．

例：如图所示，⊙O 的直径为6，AB 为⊙O 的直径，C 为圆周上一点．BC

＝3，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于

D 、

E ，求∠DAC 的大小及线段AE 的长．

证明：由已知△ABC 是直角三角形，易知∠CAB ＝30°，由于直线l 与⊙O

相切，由弦切角定理知∠BCF ＝30°，由∠DCA ＋∠ACB ＋∠BCF ＝180°，

知∠DCA ＝60°，故在Rt △ADC 中，∠DAC ＝30°.连结BE ，如图所示，

∠EAB ＝60°＝∠CBA ，则Rt △ABE ≌Rt △BAC ，所以AE ＝BC ＝3.

【名师点睛】利用圆的有关性质寻找角与角之间的关系以及利用三角形全

等或相似是解决此类问题的关键．

相交弦定理、切割线定理的应用

1．相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证

明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．

2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相

似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．

例：如图所示，⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，过A 点作⊙O 1的切线交⊙O 2于

点E ，连结EB 并延长交⊙O 1于点C ，直线CA 交⊙O 2于点D.

(1)当点D 与点A 不重合时，试猜想线段EA ＝ED 是否成立？证明你的结论；

(2)当点D 与点A 重合时，直线AC 与⊙O 2有怎样

的位置关系？此时若BC ＝2，CE ＝8，求⊙O 1的直径．

【解】 (1)EA ＝ED 成立．证明如下：

连结AB ，在EA 的延长线上取点F ，如图(1)所示．

∵AE 是⊙O 1的切线，切点为A ，∴∠FAC ＝∠ABC .

∵∠FAC ＝∠DAE ，∴∠ABC ＝∠DAE .

∵∠ABC 是⊙O 2内接四边形ABED 的外角，

∴∠ABC ＝∠D ，∴∠DAE ＝∠D ，∴EA ＝ED .

(2)当点D 与点A 重合时，直线CA 与⊙O 2只有一个公共点，所以直线CA 与⊙O 2相切．如图(2)所示，由弦切角定理知：∠1＝∠3，∠2＝∠4， 又∠1＝∠2，∴∠3＝∠4＝ 3180°＝90°，∴AC 与AE 分别为⊙O 1和⊙O 2的直径，∴由切割线定理知：AC 2＝CB 2CE ，而CB ＝2，

CE ＝8，∴AC 2＝238＝16，AC ＝4，故⊙O 1的直径为4.

【名师点睛】应用相交弦定理、切割线定理及推论的证明题的常见解决方法有：(1)找过渡乘积式证明等积式成立；(2)为三角形相似提供对应边成比例的条件；(3)利用等积式来证明有关线段相等．

考点二、矩阵与变换

几种常见的变换

1．求变换后的解析式常采用数形结合的方法，先观察是属于哪一种变换，然后利用解析几何中的相关点法(亦称转移法)来解．

2．对于已知变换前后的象和原象，要求变换矩阵这类问题，我们显然无法对所有的变换进行一一尝试，用待定系数法解题可起到事半功倍的效果．通过具体的矩阵对平面上给定图形(如正方形、三角形)的变换，应充分地认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影变换．

例：已知△ABC 经过矩阵M 的变换后变成了△A ′B ′C ′，且A (1,0)，B (1，－1)，C (0，－1)，A ′(1,0)，B ′(0，－1)． (1)试求出矩阵M ，并说明它的变换类型；(2)试求出点C ′的坐标．

【解】 (1)设M ＝??????a b c d ，依题意得??????a b c d ??????10＝??????10且??????a b c d ?????? 1－1＝????

??0－1， ∴????? a ＝1，c ＝0，a －b ＝0，c －d ＝－1.

∴????? a ＝1，b ＝1，c ＝0，d ＝1.∴M ＝??????1 10 1，它是沿x 轴方向的切变变换． (2)∵??????1

10 1 ??????0－1＝????

??－1－1，故点C ′的坐标是(－1，－1)． 【名师点睛】伸压、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合．

矩阵的乘法

对于几何意义明确的矩阵变换，应注意几何意义在解题中的应用．还要注意矩阵的知识并不是孤立存在的，解题时应该注意矩阵与其他知识的有机结合．另外对运算律的灵活运用将有助于我们简化运算，但要十分注意的是，有些运算律(如交换律和消去律)在矩阵的乘法运算中并不成立．

例：设矩阵00a M b ??= ???

（其中a ＞0，b ＞0）．（I ）若a=2，b=3，求矩阵M 的逆矩阵M -1；（II ）若曲线C ：x 2+y 2

=1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ’：1y 4x 22

=+，求a ，b 的值 解：（I ）设矩阵M 的逆矩阵11122x y M x y -??= ???，则110.01MM -??= ???又2003M ??= ???

，

所以112220100301x y x y ??????= ? ? ?????

??，所以112221,20,30,31,x y x y ==== 112211,0,0,,23x y x y ====即故所求的逆矩阵1102.103M -?? ?= ? ? ??

? （II ）设曲线C 上任意一点(,)P x y ，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点'(',')P x y ， 则00a b ?? ???'',''

x x ax x y y by y =?????=? ? ?=?????即又点'(',')P x y 在曲线'C 上，所以2

2''14x y +=,,则 222214a x b y +=为曲线C 的方程，又已知曲线C 的方程为22224,1, 1.

a x y

b ?=?+=?=??故又2,0,0, 1.a a b b =?>>?=?

所以 【名师点睛】在解决通过矩阵进行平面曲线的变换时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆．

逆矩阵、特征值及特征向量

如果向量α是属于λ的特征向量，将它乘以非零实数t 后所得的新向量t α与向量α共线，故t α也是属于λ的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量就可以表示属于这个特征值的共线的所有特征向量了．

例：求矩阵2112??????

的特征值及对应的特征向量. 解：特征多项式222

1()(2)14312f λλλλλλ--==--=-+--

由()0f λ=，解得121,3λλ== 将11λ=代入特征方程组，得0,0

--=??--=?x y x y 0?+=x y ,可取11????-??为属于特

征值λ1=1的一个特征向量同理,23λ=时,由0,00x y x y x y -=??-=?-+=?,所以可取11??????

为属于特征值23λ=的一个特征向量．综上所述,矩阵2112??????有两个特征值1213λλ==，；属于11λ=的一个特征向量为11????-??

，属于23λ=的一个特征向量为11??????

【名师点睛】(1)关于特征值问题的一般解法如下：给定矩阵A ＝??????

a b c

d ，向量α＝??????x y ，若有特征值λ，

则??????a b c

d ??????x y ＝λ??????x y ，即??????λ－a －b －c λ－d ??????x y ＝??????00，所以????

??λ－a －b －c λ－d ＝0，即λ2－(a ＋d )λ＋(ad －bc )＝0. (2)对于矩阵来说，矩阵的一个特征向量只是属于A 的一个特征值；属于矩阵A 的不同特征值的特征向量相互之间一定不共线，若α是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量，则对任意的非零常数k ，k α也是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量．

考点三、坐标系与参数方程

极坐极系与直角坐标系的互化

1．极坐标的四要素：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可． 2．极坐标和直角坐标互化关系式????

? x ＝ρcos θy ＝ρsin θ或????? ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0是解决该类问题的关键．

3．若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．

例：在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos(θ－

6π )上的动点，试求PQ 的最大值．

【解】ρ＝12sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝12y ，即x 2＋(y －6)2＝62.ρ＝12cos(θ－π6

) ＝12cos θcos π6＋12sin θsin π6

＝63cos θ＋6sin θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－63x －6y ＝0， 即(x －33)2＋(y －3)2＝62，两圆圆心距为33－02＋3－62＝36＝6，两圆半径均为6，所以PQ 的最大值为6＋236＝18.

【名师点睛】圆的极坐标方程，简单类型有ρ＝r ，ρ＝2r cos θ，ρ＝2r sin θ.一般形式有ρ＝a sin(θ±α)和ρ＝a cos(θ±α)．解这类问题，可以将圆的极坐标方程化为直角坐标方程．

参数方程与普通方程的互化

1．化参数方程为普通方程

消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消去法；②加减消去法；③乘除消去法；④三角恒等式消去法．

2．化普通方程为参数方程

只要适当选取参数t ，确定x ＝φ(t )，再代入普通方程，求得y ＝φ(t )，即可化为参数方程 例：在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为???

?? x ＝2＋2t y ＝1－t ，(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为????? x ＝2cos θy ＝sin θ.(θ为参数)，试在椭圆C 上求一点P ，使得点P 到直线l 的距离最小．

【解】法一：直线l 的普通方程为x ＋2y －4＝0.设P (2cos θ，sin θ)，点P 到直线l 的距离为

d ＝|2cos θ＋2sin θ－4|5＝15?

???4－22sin ????θ＋π4.所以当sin ????θ＋π4＝1时，d 有最小值， 此时sin θ＝sin ????????θ＋π4－π4＝sin ????θ＋π4cos π4－cos ????θ＋π4sin π4＝22，cos θ＝cos ???

?????θ＋π4－π4 ＝cos ????θ＋π4cos π4＋sin ????θ＋π4sin π4＝22.所以点P 的坐标为????2，22.从而椭圆C 上到直线l 的距离最小的点P 的坐标为?

??

??2，

22. 法二：设与直线l 平行的直线l ′的方程为x ＋2y ＝m .当l ′与C 只有一个公共点且l ′与l 距离最小时，l ′

与C 的公共点即为所求的点P .椭圆的普通方程为x 24＋y 2＝1.由?????

x 24＋y 2＝1，x ＋2y ＝m ，消去x ，得8y 2－4my ＋m 2－4＝0.因为l ′与C 只有一个公共点，所以Δ＝16m 2－32(m 2－4)＝0.解得m ＝22或－2 2.l ′与l 的距离为d ＝|m －4|5

.所以当m ＝22时，d 最小，此时点P 坐标为????2，22. 【名师点睛】法一借助了三角函数的知识，较为方便，这也是参数方程的一个优点，其实质是减少了变量的个数，最终归结到某一个变量来研究．

极坐标、参数方程的综合应用

利用极坐标、参数方程与普通方程间的转化，把点、线和曲线等问题转化为熟知内容，进而解决有关问题． 例：（1）已知点c 极坐标为(2,)3π

，求出以C 为圆心，半径r=2的圆的极坐标方程（写出解题过程）

； （2）P 是以原点为圆心，r=2的圆上的任意一点，Q(6,0)，M 是PQ 中点，当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹的参数方程。

解：1M M ρθ（）如图所示，设为圆上一点， (,),MOC 33π

π

θθ∠=--则或，

244cos()43πρρθ+--=由余弦定理得4cos()3π

ρθ∴-极坐标方程为=。 （2）依题意x 2cos o M x y P 2cos ,2sin ).y=2sin θθθθ=???

的参数方程为设（,),点（ M PQ Q

60M ∴ 为中点，（，），的参数方程为62sin x x 3cos 22sin y=sin y 2

θθθθ+?=?=+??????=??即 例：在直接坐标系xOy 中，直线l 的方程为x-y+4=0，曲线C 的参数方程为x y sin ααα

?=??=??（为参数）． （I ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为（4，2

π），判断点P 与直线l 的位置关系；（II ）设点Q

是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．

解：（I ）把极坐标系下的点(4,)

2P π

化为直角坐标，得P （0，4）

。因为点P 的直角坐标（0，4）满足直线l 的方程40x y -+=，所以点P 在直线l 上

（II ）因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为,sin )αα，从而点Q 到直线l 的距离为

由此得，当cos()16π

α+=-时，d

【名师点睛】1.平面直角坐标系：需要了解解析几何中的基本知识，如两点间距离公式，椭圆，双曲线，抛物线方程的建立以及一般的求轨迹方程的方法. 求轨迹方程的一般步骤.(1)建立恰当的直角坐标系,设动点M(x,y);(2)根据题目条件,找出动点M 所适合的等量关系式;(3)列方程,即利用x,y 表示上述等量关系式;(4)化简上述方程为最简形式;(5)检验.验证所得到的方程与曲线是否满足一一对应关系.

求轨迹方程的常用方法有:定义法、待定系数法、直接法、代入法、参数法、几何法等.

2．极坐标与极坐标方程：会在极坐标系中刻画点的位置，体会在极坐标系和直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。

3．柱坐标与球坐标：借助具体的实例（如圆形体育台场的座位、地球的经纬度等）了解在柱坐标系中，球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画空间中点的位置的方法相比较，体会它们的区别.会进行柱坐标,球坐标与直角坐标的互化.

考点四、不等式选讲

绝对值不等式

绝对值不等式的常见类型及其解法

1．形如|f (x )|＜a ，|f (x )|＞a (a ∈R)型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法，即(1)当a ＞0时，|f (x )|＜a ?－a ＜f (x )＜a .|f (x )|＞a ?f (x )＞a 或f (x )＜－a .(2)当a ＝0时，|f (x )|＜a 无解．|f (x )|＞a ?f (x )≠0. (3)当a ＜0时，|f (x )|＜a 无解．|f (x )|＞a ?f (x )有意义．

2．含有两个绝对值的不等式的解法

(1)零点分段法

零点分段法解绝对值不等式的步骤：a.求零点；b.划分区间、去绝对值号；c.分别解去掉绝对值的不等式；d.取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值．注意：在利用分类讨论解决含多个绝对值的不等式时，应做到分类不重、不漏；在某个区间上解出不等式后，不要忘了与前提条件求交集．

(2)利用|x －a 1|±|x －a 2|的几何意义

利用数形结合法，把绝对值问题转化为数轴上的动点x 到两个定点a 1、a 2的距离之和(差)的问题． 例：解下列不等式：

(1)1＜|x －2|≤3；(2)|2x ＋5|＞7＋x ；(3)|x 2－9|≤x ＋3；(4)|x －1|＋|x ＋2|＜5.

【解】 (1)∵1＜|x －2|≤3，∴1＜x －2≤3或－3≤x －2＜－1，

即3＜x ≤5或－1≤x ＜1，∴原不等式的解集为{x |3＜x ≤5或－1≤x ＜1}．

(2)∵|2x ＋5|＞7＋x ，∴2x ＋5＞7＋x 或2x ＋5＜－7－x ，即x ＞2或x ＜－4，∴原不等式的解集为{x |x ＞2或x ＜－4}．

(3)∵|x 2－9|≤x ＋3，∴－x －3≤x 2－9≤x ＋3，即?????

x 2－9≥－x －3，x 2－9≤x ＋3，解之得x ＝－3或2≤x ≤4， ∴原不等式的解集为{x |x ＝－3或2≤x ≤4}．

(4)∵|x －1|＋|x ＋2|＜5，∴当x ≥1时，原不等式等价于x －1＋x ＋2＜5，即2x ＜4，∴x ＜2， ∴1≤x ＜2，当－2＜x ＜1时，原不等式等价于1－x ＋x ＋2＜5即3＜5恒成立， ∴－2＜x ＜1； 当x ≤－2时，原不等式等价于1－x －x －2＜5即x ＞－3，∴－3＜x ≤－2，

综上所述，原不等式的解集为{x |－3＜x ＜2}．

【名师点睛】绝对值不等式的解法主要是转化为不含绝对值的不等式或不等式组处理，而去掉绝对值的方式主要有以下三种：(1)利用常见的等价命题；(2)对绝对值内的式子符号进行讨论；(3)两边平方(必须保证两边都是正数)．

不等式证明

用算术－几何平均不等式与柯西不等式证明不等式时，可直接应用其结论，可将要证的不等式拆成若干个不等式的和或积．

例：设a ，b ，c 为正数且各不相等，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ＞9a ＋b ＋c

.

【证明】 ∵a ，b ，c 均为正数，∴a ＋b ＞0，b ＋c ＞0，c ＋a ＞0.

∵2(a ＋b ＋c )＝(a ＋b )＋(b ＋c )＋(a ＋c )，∴2(a ＋b ＋c )(1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c

) ＝[(a ＋b )2＋(b ＋c )2＋(c ＋a )2]2[(1a ＋b )2＋(1b ＋c )2＋(1a ＋c

)2] ≥(a ＋b 3 1a ＋b ＋b ＋c 31b ＋c ＋c ＋a 31c ＋a

)2＝9，∴2 (a ＋b ＋c )(1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a )≥9， 当且仅当a ＋b ＝b ＋c ＝c ＋a ，即a ＝b ＝c 时，等号成立．又a ，b ，c 各不相等，等号不成立，

∴2(a ＋b ＋c )(1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a )＞9，即2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ＞9a ＋b ＋c

. 【名师点睛】证明不等式的方法较多，如比较法、分析法、综合法等，准确选择适当的证明方法是解题的关键，对所证明的不等式整体结构特点要仔细分析才能选准证明方法．

用重要不等式求最大(小)值

用算术－几何平均不等式求最大(小)值，要注意“一正、二定、三相等”．用柯西不等式求最大(小)值，一要创造使用定理的条件，二要注意等号成立的条件．

例：已知实数a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝1，求4a ＋4b ＋4c 2的最小值，并求出取最小值时a ，b ，c 的值．

【解】 由均值不等式，得4a ＋4b ＋4c 2≥3 34a 24b 24c 2＝3 3

4a ＋b ＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 2时取等号)．

因为a ＋b ＋c ＝1，所以a ＋b ＝1－c .则a ＋b ＋c 2＝c 2－c ＋1＝????c －122＋34，当c ＝12

时，a ＋b ＋c 2取得最小值34.从而当a ＝b ＝14，c ＝12

时，4a ＋4b ＋4c 2取最小值，最小值为3 2. 【名师点睛】注意利用均值不等式的条件，利用a ＋b ＋c ＝1，转化为二次函数求最值，本题的处理非常巧妙，要注意学习和借鉴．

突破训练

1如图3，,AB CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，他们相交于

AB 的中点P ，23

a PD =，30OAP ∠=?，则CP ＝_____． 【解析】因为点P 是AB 的中点，由垂径定理知， OP AB ⊥.

在Rt OPA ?中，cos302

BP AP a === .由相交弦定理知，BP AP CP DP ?=?，

即2223a CP a ?=?，所以98

CP a =． 2、如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，

且EC =ED ．（I ）证明：CD //AB ；（II ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，

使得EF =EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆．

解：（I ）因为EC=ED ，所以∠EDC=∠ECD.因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，

所以∠EDC=∠EBA.故∠ECD=∠EBA ，所以CD//AB.

（II ）由（I ）知，AE=BE ，因为EF=FG ，故∠EFD=∠EGC

从而∠FED=∠GEC.

连结AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠FAE=∠GBE ，

又CD//AB ，∠EDC=∠ECD ，所以∠FAB=∠GBA.

所以∠AFG+∠GBA=180°.故A ，B ，G ，F 四点共圆

3、如图，圆1O 与圆2O 内切于点A ，其半径分别为1r 与212()r r r >，

圆1O 的弦AB 交圆2O 于点C （1O 不在AB 上），求证：:AB AC 为

定值。

证明：连结AO 1，并延长分别交两圆于点Ｅ和点Ｄ连结BD 、CE ，

因为圆O 1与圆O 2内切于点A ，所以点O 2在AD 上，故AD ，

AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径。

从而2ABD ACE π∠=∠=

，所以BD//CE ， 于是1122

2.2r r AB AD AC AE r r ===所以AB ：AC 为定值。 4、如图，ABC ?的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E

（I ）证明：ABE

?ADC ?（II ）若ABC ?的面积AE AD S ?=2

1，求BAC ∠的大小。

证明：（Ⅰ）由已知条件，可得BAE CAD ∠=∠因为AEB ACB

∠∠与是同弧上的圆周角，所以AEB ACD ∠∠=故△ABE ∽△ADC. （Ⅱ）因为△ABE ∽△ADC ，所以

AB AD AE AC

=，即AB 2AC=AD 2AE. 又S=12AB 2ACsin BAC ∠，且S=12

AD 2AE ，故AB 2ACsin BAC ∠= AD 2AE. 则sin BAC ∠=1，又BAC ∠为三角形内角，所以BAC ∠=90°. ……10分 5、已知矩阵1121A ??=?

???，向量12β??=????，求向量α，使得2A αβ=． 解：2111132212143A ??????==????????????设2321.,432x x A y y ααβ????????===????????????????

由得，从而321,43 2.x y x y +=??+=?解得11,2,.2x y α-??=-==????

所以 6、在平面直角坐标系

xOy 中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k 为非零实数，矩阵M=??????100k ,N=??

????0110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值。

[解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10分。 解：由题设得0010011010k k MN ??????==????????????由00220010001022k k --??????=??????--??????

，可知A 1（0，0）、B 1（0，-2）、C 1（k ，

-2）。计算得△ABC 面积的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是||k ，则由题设知：||212k =?=。所以k 的值为2或-2。

7、已知矩阵M=11a b ?? ???

，20c N d ??= ???，且2020MN ??= ?-??， （Ⅰ）求实数,,,a b c d 的值；（Ⅱ）求直线3y x =在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程。

【解析】（Ⅰ）由题设得02200220c ad bc b d +=??+=??+=-??+=?，解得112

2

a b c d =-??=-??=??=?；

（Ⅱ）因为矩阵M 所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线3y x =上的两（0，0），（1，

3），由001111-????= ???-????00?? ???，131111-????= ???-????22-?? ???

得：点（0，0）

，（1，3）在矩阵M 所对应的线性变换下的像是（0，0），（-2，2），从而直线3y x =在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程为y x =-。8、

在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ??=??=?（?为参数）的右焦点且与直线423x t y t =-??=-?

（t 为参数）平行的直线的普通方程。

解：由题设知，椭圆的长半轴长5a =，短半轴长3b =

，从而4c ==，所以右焦点为（4，0），将已知直线的参数方程化为普通方程：220.x y -+=故所求直线的斜率为12

，因此其方程为1(4),2402

y x x y =---=即 9、已知P 为半圆C ：cos sin x y θθ=??

=? （θ为参数，πθ≤≤0）上的点，点A 的坐标为（1,0），O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧 AP 的长度均为3

π。（I ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标；（II ）求直线AM 的参数方程。

解：（Ⅰ）由已知，M 点的极角为3π，且M 点的极径等于3π，故点M 的极坐标为（3π，3

π）

（Ⅱ）M

点的直角坐标为（,66π），A （0,1）故直线AM

的参数方程为1(1)66x t y t π?=+-????=??

（t 为参数） 10、在极坐标系中，已知圆2cos ρθ=与直线3cos ρθ+4sin ρθ+a=0相切，求实数a 的值。

解：22cos ρρθ=，圆ρ=2cos θ的普通方程为：22222,(1)1x y x x y +=-+=，直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0的普通方程为：340x y a ++=，又圆与直线相切，

1,=解得：2a =，

或8a =-。 11、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为???==??

sin cos y x （?为参数），曲线C 2的参数方程为

?

??==??sin cos b y a x （0>>b a ，?为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2

π时，这两个交点重合． （I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；（II ）设当α=4

π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α=4

π-时，l 与C 1，C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积． 解： （I ）C 1是圆，C 2是椭圆. 当0α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两点间的距离为2，所以a =3. 当2πα=

时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，

b ），因为这两点重合，所以b =1. （II ）C 1，C 2的普通方程分别为222

21 1.9x x y y +=+=和 当4πα=时，射线l 与C 1交点A 1

的横坐标为2x =，与C 2交点B 1的横坐标为

10x '=当4

πα=-时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此，四边形A 1A 2B 2B 1为梯形.故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(22)()2.25

x x x x ''+-= 12、解不等式：|21|3x x +-<

解：原不等式可化为210,210,(21)3,(21) 3.x x x x x x -≥-

或 解得1412.232x x ≤<-<<或所以原不等式的解集是4|2.3x x ??-<

?

13、已知函数()||f x x a =-。（Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，求实数a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。

【解析】（Ⅰ）由()3f x ≤得||3x a -≤，解得33a x a -≤≤+，

又已知不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，所以3135

a a -=-??+=?，解得2a =。

（Ⅱ）当2a =时，()|2|f x x =-，设()=()(5)g x f x f x ++，于是()=|x-2||3|g x x ++

=21,<35,3221,>2x x x x x ---??-≤≤??+?

，所以当x<-3时，g(x)>5；当-3x 2≤≤时，g(x)>5；当x>2时，g(x)>5。 14、设不等式11-x 2＜的解集为M ．（I ）求集合M ；（II ）若a ，b ∈M ，试比较ab+1与a+b 的大小． 解：（I ）由|21|11211,0 1.x x x -<-<-<<<得解得所以{|01}.M x x =<<

（II ）由（I ）和,a b M ∈可知0

故1.ab a b +>+

15、已知c b a ,,均为正数，证明：36)111(

2222≥+++++c

b a

c b a ，并确定c b a ,,为何值时，等号成立。 （证法一）因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式得2

1222

331113(),3()a b c abc abc a b c -++≥++≥ ①所以2

231119()abc a b c -??++≥ ??? ②故22222233111()3()9()a b c abc abc a b c -+++++≥+.

又22333()9()

abc abc -+≥= ③所以原不等式成立. 当且仅当a=b=c 时，①式和②式等号成立。当且仅当2

2

333()9()abc abc -=时，③式等号成立。即当且仅当a=b=c=143时，原式等号成立。

（证法二）因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥

所以222

a b c ab bc ac ++≥++ ①同理222111111a b c ab bc ac

++≥++ ② 故2222111()a b c a b c ++++

+111333ab bc ac ab bc ac ≥+++++≥③所以原不等式成立. 当且仅当a=b=c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c ，222

()()()3ab bc ac ===时，③式等号成立。即当且仅当a=b=c=143时，原式等号成立。

2012江苏高考数学试题及答案

绝密★启用前 2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）个年级的学生中抽取容量为

7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA = 则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 22 214x y m m -=+的离心率 m 的值为 ▲ ． 9．如图，在矩形ABCD 中，2AB BC =，点E 为点F 在边CD 上，若AB AF AE BF 10．设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[-011()x ax f x <+-?? =≤， ，其中a b ∈R ， ．若122f ?? ?????，则12π???的值为 ▲ ． 8150x +=，若直线2y kx =-上至少存 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ．[来 )+∞， ，若关于x 的不等式()f x c <的值为ln a c c +，则b a 的取值范围是 ▲ ． 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 在ABC ?中，已知3AB AC BA BC = ． A （第9题）

（1）求证：tan 3tan B A =； （2 ）若cos C = 求A 的值． 16．（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D 不同于点C ），且AD DE F ⊥， 为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ． 曲线上，其中，其飞行高度为18．（本小题满分16分） 已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；

2012年山东高考文科数学试题及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 文科数学 第Ⅰ卷(共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. (1)若复数z 满足(2)117i(i z i -=+为虚数单位)，则z 为 (A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i (2)已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则()U A B U e为 (A){1,2,4} (B){2,3,4} (C){0,2,4} (D){0,2,3,4} (3)函数21 ()4ln(1) f x x x = +-+的定义域为 (A)[2,0)(0,2]-U (B)(1,0)(0,2]-U (C)[2,2]- (D)(1,2]- (4)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是 A 样本数据都加2后所得数据，则A ， B 两样本的下列数字特征对应相同的是 (A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差 (5)设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为 2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2 x π =对称.则下列判断正确的是 (A)p 为真 (B)q ?为假 (C) p q ∧为假 (D)p q ∨为真 (6)设变量,x y 满足约束条件22, 24,41,x y x y x y +≥?? +≤??-≥-? 则目标函数3z x y =-的取值范围 是 (A)3[,6]2- (B)3[,1]2-- (C)[1,6]- (D)3[6,]2 - (7)执行右面的程序框图，如果输入a ＝4，那么输出的n 的值为 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 (8)函数2sin (09)63x y x ππ?? =-≤≤ ??? 的最大值与最小值之和为 (A)23- (B)0 (C)－1 (D)13-- (9)圆2 2 (2)4x y ++=与圆2 2 (2)(1)9x y -+-=的位置关系为 (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离 (10)函数cos622x x x y -= -的图象大致为

2012年浙江省高考数学试卷(文科)答案与解析

2012年浙江省高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）（2012?浙江）设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3， 2．（5分）（2012?浙江）已知i是虚数单位，则=（） 3．（5分）（2012?浙江）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（）

形，面积是× ∴三棱锥的体积是 4．（5分）（2012?浙江）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平

6．（5分）（2012?浙江）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵 D ． ，（（，

7．（5分）（2012?浙江）设，是两个非零向量．则下列命题为真命题的是（）|+|=|||，则⊥ ⊥|+|=||| |+|=|||，使得=λ =λ|+|=||| |+|=|||||+||?=|+||2||||?|||与 |+|||| |+|=|||||+|?=|||2||||?=|||| 与反向，因此存在实数，使得λ，所以 ?=||||||=|，因此≠|||||+|||| 8．（5分）（2012?浙江）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）

B 转化成（ =++≥+2当且仅当=

≥ 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．（4分）（2012?浙江）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为160． ∴每个个体被抽到的概率是， ×=160 12．（4分）（2012?浙江）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取 两点，则该两点间的距离为的概率是． 的种数， =10其中两点间的距离为

江苏高考数学应用题题型归纳

应用题题型归纳 在备考中,需要重点关注以下几方面问题: 1、掌握常见函数如二次函数、三次函数、有理分式函数(尤其二次分式函数 、无理函数等最值的求法,用导数求函数最值要引起重视; 2、加强阅读理解能力的培养,对图形的辨认、识别、分析寻找等量关系式的训练要加强; 3、对于由图标(尤其表格)给出的函数应用题的训练要重视; 4、应用题的背景图形可能由平面多边形、空间多面体转为由平面曲线,如圆,抛物线等围成的图形;空间旋转体等的面积、体积的最值问题 5、熟悉应用题的解题过程:读题、建模、求解、评价、作答、 一、利润问题 1、某种商品原来每件售价为25元,年销售8万件. (1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新与 营销策略改革,并提高定价到．x 元.公司拟投入21(600)6 x -万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入15 x 万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入．．．与总投入．．． 之与？并求出此时商品的每件定价. 2某小商品2012年的价格为8元/件,年销量为a 件,现经销商计划在2013年将该商品的价格降至5、5元/件到7、5元/件之间,经调查,顾客的期望价格为4元/件,经测算,该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格与顾客期望价格的差成反比,比例系数为k ,该商品的成本价格为3元/件。 (1)写出该商品价格下降后,经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式。 (2)设2k a =,当实际价格最低定为多少时,仍然可以保证经销商2013年的收益比2012年至少增长20%？ 3、近年来,某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用15年 的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为0、5、 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能与电能互补供电的模式、 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费C (与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位:平方米)之间的 函数关系就是 ()(0,20100k C x x k x = ≥+)、 记F 为该村安装这种太阳能供 电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之与、 (1)试解释(0)C 的实际意义, 并建立F 关于x 的函数关系式; (2)当x 为多少平方米时, F 取得最小值?最小值就是多少万元? 4、某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交(13)a a ≤≤元的管理费,预计当每件商品的售价为(79)x x ≤≤元时,一年的销售量为2(10)x -万件. (Ｉ)求该连锁分店一年的利润L (万元)与每件商品的售价x 的函数关系式()L x ;

山东省2012年春季高考数学试题

山东省2012年春季高考数学试题 一、选择题 1.已知全集U={1,2,3},集合M={1,2},则C u M 等于（ ）A. {1} B.{3} C.{1,2} D.{1,2,3} 2.若a,b 均为实数，且a>b ，则下列关系正确的是（ ）A.-b>-a B. a 2>b 2 C.b a > D.|a|>|b| 3.已知函数y=f(x)的定义域是不等式组?? ?<≥+0 2-x 0 1x 的解集，则函数y=f(x)的图象可以是（ ） 4.已知1和4的等比中项是log 3x,则实数x 的值是（ ）A.2或21 B.3或31 C.4或41 D.9或9 1 5．已知函数y=f(x)(x ∈R)是偶函数，且在区间［0,+∞)上是增函数，则下列关系正确的是( ) A. f(-1)>f(2)>f(-3) B. f(2)>f(-1)>f(-3) C. f(-3)>f(2)> f(-1) D. f(-3)> (-1)>f(2) 6.已知角α的终边经过点P(-1,3)，则sin α的值是（ ）A.31- B.103 C.1010- D. 10103 7.如图所示，已知P,Q 是线段AB 的两个三等分点，O 是线段Ab 外的一点，设等于 则，OP ,==（ ） A.b a 3131+ B. b a 3 231+ C. b a 3132+ D. b a 3232+ 8.如果?p 是真命题，p ∨q 也是真命题，那么下列说法正确的是（ ） A.p,q 都是真命题 B. p 是真命题,q 是假命题 C. p,q 都是假命题 D. p 是假命题,q 是真命题 9.若直线ax-2y-3=0与直线x+4y+1=0互相垂直，则实数a 的值是（ ）A.8 B.-8 C. 2 1 D.-2 1 10.已知以坐标原点为顶点的抛物线，其焦点在x 轴正半轴上，且焦点到准线的距离是3，则抛物线的标准方程是（ ） A.y 2=6x B. y 2=-6x C.y 2=3x D.y 2 =-3x 11.已知二次函数f(x)=x2+(m+1)x+m-1的图象经过原点，则f(x)<0de x 的取值集合是（ ） A.（0,2） B.（-2,0） C.（-∞，0）∪（2，+∞） D.（-∞，-2）∪（0，+∞） 12.已知lga+lgb=0(其中a ≠1, b ≠1),则函数f(x)=a x 与g(x)=b x 的图象（ ） A.关于坐标原点对称 B. 关于x 轴对称 C. 关于y 轴对称 D. 关于直线y=x 对称 13.椭圆1892 2=+y x 的离心率是（ ） A.31 B.317 C. 42 D.3 22 14.编排一张由4个语言类节目和2个舞蹈类节目组成的演出节目单，若要使2个舞蹈类节目不相邻，则不同排法的种数是（ ） A.120 B.240 C.360 D.480 15.若M , N 表示两个集合，则M ∩N=M 是M ?N 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 16.若α，β为任意实数，则下列等式恒成立的是（ ）A.5α×5β=5αβ B. 5α+5β=5α+β C. (5α)β=5α+β D. βαβα -=55 5 17.已知二次函数y=x 2 -4x+3 图象的顶点是A ，对称轴是直线l ，对数函数y=log 2x 的图象与x 轴相交于点B,与直线l 相交于点C ，则△ABC 的面积是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 18. 已知平行四边形OABC ，=（4,2），OC ＝（2,6），则与夹角的余弦值是（ ） A 2 2. B.-2 2 C.5 5 D.-5 5 19.函数f(x)=sinx+3cos(π-x)的单调递增区间是( ) A.Z k k k ∈++-],26 ,265[ππ ππ B. Z k k k ∈++- ],265, 26 [ππππ C. Z k k k ∈++-],23 ,232[ππ ππ D. Z k k k ∈++- ],23 2, 23[ππ ππ 20.若(a+b)n 展开式的第4项与第7项得系数相等，则此展开式共有（ ）A.8项 B.9项 C.10项 D.11项

2012年北京市高考数学理科试卷及答案解析

2012北京理科高考试卷及答案解析精校版 一、选择题共8小题。每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项. 1．已知集合A={x ∈R ｜3x+2>0﹜，B={x ∈ R ｜(x+1)(x-3)>0﹜则A ∩B=( ) A ．（﹣∞，﹣1） B.｛21,3-- ｝ C. ﹙2 ,33 -﹚ D.（3，＋∝） 2. 设不等式组02 02x y ≤≤?? ≤≤? 表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个 点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） A.4π B.22π- C.6 π D. 44π- 3.设,a b R ∈.“0a =”是‘复数a bi +是纯虚数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A. 2 B .4 C.8 D. 16 5.如图. ∟ACB=90o，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E.则（ ） A. CE ·CB=AD ·DB B. CE ·CB=AD ·AB C. 2AD AB CD = D.2 CE EB CD = 6.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( ) A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 7.某三梭锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ） A.28+ B. 30+ C.56+ D.60+ 8.某棵果树前n 前的总产量S 与看，前m

A.5 B.7 C.9 D.11 二.填空题共6小题。每小题5分。共30分. 9.直线21x t y t =+?? =--? (t 为参数)与曲线3cos 3sin x y α α=??=? (α为参数)的交点个数为 10.已知{}n a 等差数列n S 为其前n 项和，若11 2 a =，23S a =，则2a = ，n S = 11.在△ABC 中，若2a =，7b c +=，1 cos 4 B =-，则b = 12.在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60o.则OAF 的面积为 13.己知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点.则DE CB 的值为 14.已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①x R ?∈，有()0f x <或 ()0g x <；②(,4)x ?∈-∞-，使得()()0f x g x < 则m 的取值范围是 三、解答题公6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共13分）已知函数(sin cos )sin 2()sin x x x f x x -= 。（1）求f （x ）的定义域及最小正周期；（2） 求f （x ）的单调递增区间。 16. （本小题共14分） 如图1，在Rt △ABC 中，∟C=90°，BC=3，AC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∠BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A1DE 的位置，使A1C ⊥CD,如图2. （1）求证：A1C ⊥平面BCDE ； （2）若M 是A1D 的中点，求CM 与平面A1BE 所成角的大小； （3）线段BC 上是否存在点P ，使平面A1DP 与平面A1BE 垂直？ 说明理由 17．（本小题共13分） 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活 图2 图1 A C C B

2013年山东省高考数学试卷(文科)答案与解析

2013年山东省高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一．选择题：本题共12个小题，每题5分，共60分． 1．（5分）（2013?山东）复数z=（i为虚数单位），则|z|（） =， ． 2．（5分）（2013?山东）已知集合A、B全集U={1、2、3、4}，且?U（A∪B）={4}，B={1， 3．（5分）（2013?山东）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）

4．（5分）（2013?山东）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（） 4 S= V=

5．（5分）（2013?山东）函数f（x）=的定义域为（） = 6．（5分）（2013?山东）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为﹣1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为（）

7．（5分）（2013?山东）△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1， B b= =得：=== cosA= 8．（5分）（2013?山东）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q ．．．．

x=时， 10．（5分）（2013?山东）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（） B =91 （． 11．（5分）（2013?山东）抛物线C1：的焦点与双曲线C2： 的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，B

2012年浙江省高考数学试卷(理科)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012?浙江）设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（?R B）=（） A．（1，4）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）2．（5分）（2012?浙江）已知i是虚数单位，则=（） A．1﹣2i B．2﹣i C．2+i D．1+2i 3．（5分）（2012?浙江）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 4．（5分）（2012?浙江）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（） A．B．C．D． 5．（5分）（2012?浙江）设，是两个非零向量（） A． 若|+|=||﹣||，则⊥B． 若⊥，则|+|=||﹣|| C． 若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λD． 若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||﹣|| 6．（5分）（2012?浙江）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（） A．60种B．63种C．65种D．66种 7．（5分）（2012?浙江）设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则列数{S n}有最大项 B．若数列{S n}有最大项，则d＜0 C．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n＞0 D．若对任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列 8．（5分）（2012?浙江）如图，F1，F2分别是双曲线C：（a，b＞0）的在左、右焦点，B是虚轴的端点， 直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是（）

2012年江苏高考数学试卷含答案和解析

2012年江苏省高考数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．（5分）已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则A∪B=_________． 2．（5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取_________名学生． 3．（5分）设a，b∈R，a+bi=（i为虚数单位），则a+b的值为_________． 4．（5分）图是一个算法流程图，则输出的k的值是_________． 5．（5分）函数f（x）=的定义域为_________． 6．（5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是_________． 7．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为_________ cm3．

8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为_________． 9．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则 的值是_________． 10．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）=其中a，b∈R．若=，则a+3b的值为_________． 11．（5分）设a为锐角，若cos（a+）=，则sin（2a+）的值为_________． 12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_________． 13．（5分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为_________． 14．（5分）已知正数a，b，c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是_________． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）在△ABC中，已知． （1）求证：tanB=3tanA； （2）若cosC=，求A的值．

2012山东高考数学分数整体偏低

2012山东高考数学分数整体偏低 18日从山东大学高考评卷组了解到，在以往两名阅卷员同评一篇作文的基础上，今年的语文知识题也采用了“双评”的方式，这也意味着语文学科卷二部分首次实现了全“双评”。此外，今年的数学阅卷工作已经过半。但让很多阅卷员感叹不已的是，今年的数学得分普遍偏低，很多大题甚至出现了大批零分。 今年山东大学承担了山东省高考语文、数学、理科综合三个学科卷二部分的网上评阅工作，而山东师范大学则负责英语和文科综合的评阅。“我们一个物理题，学科领导能找出很多种解题方式，有时一道题光标准答案就两页。“山大评卷组负责人陈炎介绍，他们在各学科标准答案制定过程中，花费了大量的心血。针对往年很多题目只有一种标准解法，考生使用其他方式解答可能会不得分的情况，14日当天各学科领导小组都对试卷进行了仔细的研究，确保考生不会因为计算方式、演算方法的不同而失分。 在以往语文学科只有作文题实行“双评”的基础上，今年的语文知识题也实行了双评，这样就减少了因单个评卷员对标准把握不当，而影响考生最终成绩的可能性。“两名老师给分差距过大时，我们再采用第三评的方式，尽可能实现零差距评分。”阅卷点工作人员透露，正是因为山东省语文阅卷

员对标准的严格把握，在历年的高考阅卷中，山东省的语文卷误差率一向是全国最低的。 18日从数学阅卷现场获悉，今年的数学阅卷工作已经过半。但让很多阅卷员感叹不已的是，今年的数学得分普遍偏低，很多大题甚至出现了大批零分。“立体几何题阅得特别快，很多学生根本就空着，连做都没做。”一名参与文科数学第19题阅卷的工作人员说，作为计算题的第三题，在以往的高考中，这道12分的题目往往被老师和考生认为是“送分题”，而今年这一道立体几何题得分情况却不容乐观，大部分考生只能拿到2分左右，更有不少学生吃了“零蛋”。 而在理科数学阅卷现场，大部分考生的分数同样惨淡。“现在这道题得阅了有23万份了，光零分的就有5万份。”一名阅卷员透露，传统的压轴题理科数学第21题，今年能得到满分13分者寥寥，绝大多数的学生都只能作出第一问，仅拿到2到4分。与之相对，同样是压轴难题的22题，平均分也集中在2分左右。据了解，今年的数学二卷不仅计算题难见高分，4道填空题也难有满分学生，大部分考生的填空最后1题也多为零分。 “今年的理科数学平均分应该在100分左右吧，后面两道大题、填空最后一题很多都是零分，倒数第三题也只能拿到几分，文科数学则会更低一些。”一名参与阅卷的一线数学老师介绍，根据他现场了解到的情况，再加上对一卷选择题

2012年北京市高考数学试卷(文科)答案与解析

2012年北京市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．（5分）（2012?北京）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B= ）， } } 2．（5分）（2012?北京）在复平面内，复数对应的点的坐标为（） =，能求出在复平面内，复数对应的点的坐标．= =1+3i ∴在复平面内，复数对应的点的坐标为（ 3．（5分）（2012?北京）设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）

B =4 4．（5分）（2012?北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）

5．（5分）（2012?北京）函数f（x）=的零点个数为（） （ 在定义域上为增函数， 在定义域上为增函数 ＞ 的零点个数为

，当且仅当 所以 ， ，∴ 7．（5分）（2012?北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（） 8+60+66+120+12 = ，

=10 =6 ． 8．（5分）（2012?北京）某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．（5分）（2012?北京）直线y=x被圆x2+（y﹣2）2=4截得的弦长为．

的距离为 2 故答案为： 10．（5分）（2012?北京）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=，S2=a3，则a2= 1，S n=． = +=1 = 11．（5分）（2012?北京）在△ABC中，若a=3，b=，，则∠C的大小为． =，可求得∠ b=，

2007年全国高考数学-山东理科

2007年高考数学山东卷（理科）详细解析 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。 1 若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则21z =-的θ值可能是 （A ） 6π （B ） 4π （C ）3π （D ） 2 π 【答案】:D 【分析】：把2 π 代入验证即得。 2 已知集合{}1,1M =-，1124,2x N x x Z +?? =<<∈???? ，则M N ?= （A ）{}1,1- （B ） {}1- （C ）{}0 （D ） {}1,0- 【答案】:B 【分析】：求{}1124,1,02x N x x Z +?? =<<∈=-???? 。 3下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 （A ）(1),(2) （B ） (1),(3) （C ）(1),(4) （D ） (2),(4) 【答案】:D 【分析】：从选项看只要判断正方体的三视图都相同就可以选出正确答案。 4 设11,1,,32 a ? ?∈-??? ? ，则使函数y x α =的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 （A ）1,3 （B ） 1,1- （C ）1,3- （D ） 1,1,3- 【答案】:A 【分析】：观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。 5 函数sin(2)cos(2)63 y x x π π =+ ++的最小正周期和最大值分别为 （A ）,1π （B ） π （C ）2,1π （D ） 2π【答案】:A 【分析】：化成sin()y A x ω?=+的形式进行判断即cos 2y x =。 6 给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=， ()() ()1()() f x f y f x y f x f y ++= -。下列函数中不满足其中任何一个等式的是

2012山东省春考数学真题

山东省2012年春季高考 数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共75分） 一．选择题（本大题25个小题，每小题3分，共75分，在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上） 1.已知全集{1,2,3}U =，集合{1,2}M =，则U M e等于 .A {1} .B {3} .C {1,2} .D {1,2,3} 2.若均为实数，且a b >，则下列关系正确的是 .A b a ->- .B 22a b > . C > . D a b > 3.已知函数 ()y f x =的定义域是不等式组10 20 x x +≥?? ->- .B (2)(1)(3)f f f >->- .C (3)(2)(1)f f f ->>- .D (3)(1)(2)f f f ->-> 6.已知角α的终边经过点(1,3)P -，则sin α的值是

.A 13- .B 310 . C 10- . D 10 7.如图所示，已知,P Q 是线段的两个三等分点，O 是线段AB 外的一点，设，,OA a OB b ==uu r uur r r ， 则OP uur 等于 .A 1133a b +r r .B 12 33a b +r r .C 2133a b +r r .D 2233 a b +r r 8.如果p ?是真命题，p q ∨也是真命题，那么下列说法正确的是 .A ,p q 都是真命题 .B p 是真命题，q 是假命题 .C ,p q 都是假命题 .D p 是假命题，q 是真命题 9.若直线230ax y --=与直线410x y ++=互相垂直，则实数a 的值是 .A 8 .B 8- .C 12 .D 1 2 - 10.已知以坐标原点为顶点的抛物线，其焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离是3，则抛物线的标准方程是 .A 26y x = .B 26y x =- .C 23y x = .D 23y x =- 11.已知二次函数 2()(1)1f x x m x m =+++-的图像经过原点，则使 ()0f x <的x 的取值集合是 . A (0,2) . B (2,0)-. C (,0)(2,)-∞+∞U .D (,2)(0,)-∞-+∞U 12.已知lg lg 0a b +=（其中1,1a b ≠≠），则函数()x f x a =与()x g x b =的图像 .A 关于坐标原点对称 .B 关于x 轴对称 .C 关于y 轴对称 .D 关于直线y x =对称 A O

2012年北京高考数学真题及答案(文科)

绝密★使用完毕前 2012年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷） 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 （1）已知集合{ A x =∈R|320} x+>，{ B x =∈R|(1)(3)0} x x +->，则A B= I （A）(,1) -∞-（B） 2 (1,) 3 --（C） 2 (,3) 3 -（D）(3,) +∞ （2）在复平面内，复数10i 3i+ 对应的点的坐标为 （A）(1,3)（B）(3,1)（C）(1,3) -（D）(3,1) - （3）设不等式组 2, 2 x y ? ? ? ≤≤ ≤≤ 表示的平面区域为D．在区域D内随机取一个点，则此点到坐 标原点的距离大于2的概率是 （A）π 4 （B） π2 2 - （C） π 6 （D） 4π 4 - （4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为 （A）2 （B）4 （C）8 （D）16 数学（文）（北京卷）第 1 页（共10 页）

数学（文）（北京卷） 第 2 页（共 10 页） （5）函数()12 1()2 x f x x = -的零点个数为 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （6）已知{}n a 为等比数列．下面结论中正确的是 （A ）13a a +≥22a （B ）2213a a +≥222a （C ）若13a a =，则12a a = （D ）若31a a >，则42a a > （7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的 表面积是 （A ）28+ （B ）30+（C ）56+（D ）60+ （8）某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系 如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为 （A ）5 （B ）7 （C ）9 （D ）11 正（主）视图 侧（左）视图 俯视图 4 2 3 4

2012江苏高考数学试卷答案与解析

2012江苏高考数学试卷答案与解析 一.填空题： 1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B = ▲ ． 【答案】 {}6,4,2,1 【解析】根据集合的并集运算，两个集合的并集就是所有属于集合A 和集合B 的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，它们的元素是1 ，2，4，6，所以答案为{}6,4,2,1. 【点评】本题重点考查集合的运算.容易出错的地方是审错题目，把并集运算看成交集运算.属于基本题，难度系数较小. 2. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生． 【答案】15 【解析】根据分层抽样的方法步骤，按照一定比例抽取，样本容量为50，那么根据题意得：从高三一共可以抽取人数为：1510 350=?人，答案 15 . 【点评】本题主要考查统计部分知识：抽样方法问题，分层抽样的具体实施步骤.分层抽样也叫做“按比例抽样”，也就是说，要根据每一层的个体数的多少抽取，这样才能够保证样本的科学性与普遍性，这样得到的数据才更有价值、才能够较精确地反映总体水平，本题属于容易题，也是高考热点问题，希望引起重视． 3. 设a b ∈R ，，117i i 12i a b -+= -（i 为虚数单位），则a b +的值为 ▲ ． 【答案】8 【解析】据题i i i i i i i i bi a 355 1525)21)(21()21)(711(21711+=+=+-+-=--=+，所以 ,3,5==b a 从而 8=+b a . 【点评】本题主要考查复数的基本运算和复数相等的条件运用，属于基本题，一定要注意审题，对于复数的除法运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，再者，需要注意分母实数化的实质. 4. 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．

2012年高考数学理(北京卷)含答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理)(北京卷) 本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题共40分) 选择题共8小题。每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项. 已知集合A={x∈R｜3x+2>0﹜·B={x∈R｜(x+1)(x-3)>0﹜则A∩B=( ) A．（﹣∞，﹣1） B.｛﹣1，-?｝ C. ﹙﹣?，3﹚ D.（3，＋∝） 2. 设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点.则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（） A. B. C. D. 3.设a，b∈R.“a=O”是‘复数a+bi是纯虚数”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（） A. 2 B .4 C.8 D. 16 5.如图. ∠ACB=90o。CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC 交于点E.则( ) A. CE·CB=AD·DB B. CE·CB=AD·AB C. AD·AB=CD 2 D.CE·EB=CD 2 6.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( ) A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 7.某三梭锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（） A. 28+6

B. 30+6 C. 56+ 12 D. 60+12 8.某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系 如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年 平均产量最高。m值为（） A.5 B.7 C.9 D.11 第二部分(非选择题共110分) 二.填空题共6小题。每小题5分。共30分. 9.直线(t为参数)与曲线(“为多α数)的交点个数为 10.已知﹛﹜等差数列为其前n项和.若=，=，则= 11.在△ABC中，若α=2，b+c=7,=-，则b= 12.在直角坐标系xOy中.直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A 在x轴上方。若直线l的倾斜角为60o.则△OAF的面积为 13.己知正方形ABCD的边长为l，点E是AB边上的动点.则.的值为 14.已知f(x)=m(x-2m)（x+m+3）,g(x)=-2，若同时满足条件： ①x∈R，f(x) ＜0或g(x) ＜0 ②x∈(﹣∝, ﹣4),f(x)g(x) ＜0 则m的取值范围是 三、解答题公6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共13分） 已知函数。 求f（x）的定义域及最小正周期； 求f（x）的单调递增区间。 16. （本小题共14分） 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥

2012年江苏省高考数学试卷答案与解析

2012年江苏省高考数学试卷答案与解析

2012年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．（5分）（2012?江苏）已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则 A ∪B= {1，2，4，6} ． 考点： 并集及其运算． 专题： 集合． 分 析： 由题意，A ，B 两个集合的元素已经给出，故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可 解 答： 解：∵A={1，2，4}，B={2，4，6}， ∴A ∪B={1，2，4，6} 故答案为{1，2，4，6} 点评： 本题考查并集运算，属于集合中的简单计算题，解题的关键是理解并的运算定义

2．（5分）（2012?江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 15 名学生． 考点： 分层抽样方法． 专题： 概率与统计． 分 析： 根据三个年级的人数比，做出高二所占的比例，用要抽取得样本容量乘以高二所占的比 例，得到要抽取的高二的人数． 解 答： 解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之 比为3：3：4， ∴高二在总体中所占的比例是=， ∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本， ∴要从高二抽取， 故答案为：15 点 评： 本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例，这就

是在抽样过程中被抽到的概率，本题是一个基础题． 3．（5分）（2012?江苏）设a ，b ∈R ，a+bi=（i 为虚数单位），则a+b 的值为 8 ． 考点： 复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要 条件． 专题： 数系的扩充和复数． 分 析： 由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i ，再由进行计算即可得到a+bi=5+3i ， 再由复数相等的充分条件即可得到a ，b 的值，从而得到所求的答案 解 答： 解：由题，a ，b ∈R ， a+bi= 所以a=5，b=3，故a+b=8 故答案为8 点 评： 本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的 四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌

2012高考北京理科数学试题及答案(高清版)

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试 数学理工农医类(北京卷) 本试卷共150分．考试时长120分钟． 第一部分(选择题共40分) 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合A＝{x∈R|3x＋2＞0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)＞0}，则A∩B＝() A．(－∞，－1) B．{－1， 2 3 -} C．( 2 3 -，3) D．(3，＋∞) 2．在复平面内，复数10i 3i+ 对应的点的坐标为() A．(1,3) B．(3,1) C．(－1,3) D．(3，－1) 3．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为() A．2 B．4 C．8 D．16 5．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则() A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·AB C．AD·AB＝CD2 D．CE·EB＝CD2 6．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为() A．24 B．18 C．12 D．6 7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()

A ．28+ B ．30+ C ．56+ D ．60+8．某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 第二部分(非选择题 共110分) 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．直线2,1x t y t =+??=--?(t 为参数)与曲线3cos 3sin x y α α =??=?(α为参数)的交点个数为________． 10．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若11 2 a =，S 2＝a 3，则a 2＝________，S n ＝________． 11．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，1 cos 4 B =- ，则b ＝________． 12．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线 y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________． 13．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ?的值为________， DE DC ?的最大值为________． 14．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2．若同时满足条件： ①x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0； ②x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )＜0． 则m 的取值范围是________． 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．已知函数(sin cos )sin2()sin x x x f x x -= ． (1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间． 16．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6．D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2．