线性控制系统教案5-Youla参数化2
第五章：Youla 参数化和H-∞最优控制
The Youla Parametrization and H-∞ Optimal Control
5.1 稳定分式表示(stable fractional representation-SFR) 称((),())G s K s 是内部稳定的，或()K s 镇定()G s 。
图5.1 标准反馈系统 求出 (负反馈条件下)
1
11
1()()()()()eu I KG I KG K H s G I KG I GK ----??
+-+=??++?
?
SFR 意义下的单模阵(幺模阵, unimodular)： ()U s 与
1()U s -都是稳定有理分式，即
1
(),()U s U s RH -∞∈。 设11()()()()()G s N s D s D
s N s --== ， 11()()()()()K s Y s X s X
s Y s --== ， (),(),(),(),(),(),(),()N s D s D s N s Y s X s X s Y s RH ∞
∈ 定义： 右互质(right coprime)
如果 ()()()N s N s U s = ()()()D s D s U s = 只对单模阵 ()U s 成立，则称()N s 与()D s 右互质；
这时称 1
()()()G s N s D s -= 是不可约的(irreducible)
怎样判定()N s 与()D s 右互质？
存在稳定分式矩阵(),()X s Y s 使得()()()()X s N s Y s D s I +=。
如果1
()()()G s N s D s -= 是不可约的(irreducible)，则()G s 的极点是
()D s 的零点。
SFR 表示不是唯一的。 按(),()G s K s 上面的表示，
111
1()()()()()eu D YD XN Y
D YD XN X H s N YD XN Y
I N YD XN X ----??
+-+=??+-+??
定理：图5.1所示反馈系统内部稳定的充要条件是
YD XN +是单模阵，即1
,()YD XN YD XN RH -∞++∈。
不失一般性，可以设YD XN I +=，进而，可以得到，如果()K s 镇定()G s ，则存在(),(),(),(),(),(),(),()N s D s D s N s Y s X s X s Y s RH ∞
∈ ， 使得11()()()()()G s N s D s D
s N s --== ， 11()()()()()K s Y s X s X s Y s --== ， 且满足 00
Y
X I D X
N D I N Y ??-????
=??????-?
???
?
?
。 所有控制器的参数化
由上式可以得到()()()Y RN
D X RD N s I -++= ，R 为任意稳定有理真分式，则所有控制器的Youla 参数化表示为：
1(){:()(),,det()0}S G K K Y RN X RD R RH Y RN -∞
==-+∈-≠ 。 如果()G s 是稳定的，则闭环系统内部稳定(()K s 镇定()G s )当且
仅当1
()Q K I GK -=+是(指数)稳定的。
(按定理3.5，得出如果G 稳定，闭环系统稳定当且仅当Q 稳定.)
这时 1
()I KG K Q -+=，
1()I KG I QG -+=-， 1()()I GK G I GQ G -+=-，1()S I GK I GQ -=+=-灵敏度函数。
因此可得任意控制器为
1
()K I QG Q -=-，即 1(){:(), , det()0}S G K K I QG Q Q RH I QG -∞==-∈-≠
---所有控制器的Youla 参数化表示。
稳定的传递函数集是一个环(ring )—stable fractional representations
例5.1 2
3()1
4s s G s s s -+??
=??+-?
?
1
1
4(2)(4)
3 4(1)(4)41
023 41
40
4s s s s s s s s s s s s s s --??---+??=????++++????
??-+????=-?
???++??+??
（问题：上例中()G s 的MFD 描述是怎样的？） 10
1
0010232(4)(2)442(4)011
40(10)(1)
10410s s s s s s s s s s s s s s ?
?????
??
-+????????+=-+-+-+??????????-
++????
+++??++??????所以1
1
00()2(4)(2)42(4)2(10)(1)
1010K s s s s s s s s s -?
???
??
????==-+-++???
???-
-??
+++??+??
?? 检验：10
100232(2)10421
40
(1)
44s s s s s s s s s s ?
?
??
??-+???
??
?+=--+-????????-
-++????++??+??
??
另一方面，0(2)(4)
34412(4)(1)(4)
441010s s s s s s s s s s s s ????--+-+??????+-=+???????
?+++++?????
?+??
， 则 (),(),(),(),(),(),(),()N s D s D s N s Y s X s X s Y s 确定。
5.2 H-∞最优化问题 H-∞ Optimization problem 不精确已知被控对象的标准反馈结构如图
6.1(P185)。
无摄动时如图6.2(P186)，设11122122()()()()()P s P s P s P s P s ??
=????
使得11122122, z P w P u y P w P u =+=+。使用反馈u Ky =得到
1
111222
21[()]:(,)l z P P K I P K P w F P K w -=+-= 实际设计中通常要求：min imize (,)
l F P K ∞
这就是H-∞最优化问题 H-∞ Optimization problem 本章内容：1) 问题是怎样产生(引出)的？
2) 怎样用状态空间算法求解.
问题求解的思路：首先应使系统稳定，给出所有镇定控制器的结构(给出所有控制器的参数化表示)；然后从控制器中选出最优的。
5.2.1 一个有启发意义的例子：灵敏度最小 A motivating example: sensitivity minimization
图 6.3(P187)所示，SISO 系统，设d 是未知扰动，但频谱限制在0b ωω≤≤，寻找一个控制器K 使得扰动对输出y 的影响最小
minimize , or minimize sup ()S S j ω
ω∞
1()S I GK -=+---灵敏度函数，在该频率段上幅值最小，但超出该段
将导致噪声放大，使稳定性(裕度)变差。 通常设计取权函数
()1, 0; ()1, b b W j W j ωωωωωω≈≤≤>
则最小化问题 minimize sup ()()W j S j ω
ωω。
如定义1
()Q K I GK -=+，则
1()I KG K Q
-+=，
1
()I KG I QG -+=-，1()()I GK G I GQ G -+=-。灵敏度函数
1()S I GK I GQ -=+=-。
这时优化问题转化为 s t a b l e
m i n i m i z e s u p ()()
Q W I G Q j ω
ω- 应用Youla 参数化方法使我们转化设计问题作为一个几乎不受约束的优化问题(Q 任意取，保证系统正则稳定)。
该例显示：Youla 参数化可以简化优化问题。如果J WS =取幅值最
小，则最优值*
J 是常值，即全通函数。因此，选择权函数是至关重要的，这是一个敏感的(sensible)工程问题。
注意：有时最优解是不可实现的；即问题可能无解(解是非正则控制器)。有的问题不用Youla 参数化求解，不是H-∞问题。
5.3 H-∞控制问题公式化 The H-∞ problem formulation 5.3.1 几个H-∞问题的例子 灵敏度最小 sensitivity minimization
1
111222
21(,)()l F P K P P K I P K P -=+- 11(,)()[()]l F P K W I GK W I GK I GK --=+=-+
11122122, , , P W P WG P I P G ==-==-
一般考虑1121,P P 是方形情况，当12P 行比列多(21P 列比行多)更复杂。 加摄动下的鲁棒性 Robustness to additive perturbations
如图6.4，6.5(P190-191)，摄动?的界依赖于与频率有关的函数
(())(), for each j r j σωωω?<
由小增益定理，如果
1
()1K I GK -∞
?-<，则闭环系统鲁棒稳定。
1
11
11
1
()()() ()
K I GK rr K I GK r rK I GK rK I GK -----∞
∞
∞
-∞
?-=?-≤??-<-
转化为标准形式 1
(,)()l F P K r K I
G K
-=
- 则111221220, , , P P rI P I P G ====
混合特性和鲁棒性目标
Mixed performance and robustness objective
为了得到好的干扰抑制性能(disturbance-rejection performance)和鲁棒稳定性(robust stability)，通常要求保持
S I S ??-?
小
（在量值上）小 不能同时实现。在不同频率域上加权 设12(,)()l W S F P K W I S ??
=??-??
11111221222, , , 0W G W P P P I P G W G -????
====-????
????
5.3.2 性能鲁棒：一个未解决的(unsolved)问题
有些重要的设计问题不能转化为H-∞问题，如性能鲁棒当存在未建模摄动时。某些性能鲁棒问题可以转化为如下问题：
1,minimize (,)l K D
DF P K D -∞
其中D 是对角的，可通过迭代求解D 或K ，给定D 求K 是标准H-∞问题，给定K 求D 是凸(convex)优化问题。同时求最优的K 和
D 不易实现。
5.4 Youla 参数化The Youla (or Q) parametrization 5.4.1 fractional representations 分式表示
推广矩阵分式描述Matrix Fraction Description (MFD)到(稳定)分式表示
11()()()()()G s U s V s V
s U s --== (), (), (), ()U s V s V
s U s 是稳定的传递函数，而且(), ()U s V s 右互质，(), ()V
s U s 左互质。重新定义单模阵(幺模阵unimodular)。 (), ()U s V s 右互质：
1, , stable U WX V ZX X X -==?，1i.e., ,X X H -∞∈
定理5.1(Bezout ’s theorem):
()U s 和()V s 右互质当且仅当存在()X s 和()Y s 使得
XU YV I +=。
线性系统的分式表示：
设()G s 有能稳能检测实现(,,,)A B C D ，状态空间表示
x
Ax Bu y Cx Du =+=+ 取反馈u Fx v =+， ()()x
A BF x Bv y C DF x Dv =++=++
1
()[()]()()()u s F sI A BF B I v s M s v s -=--+= 1()[()()]()()()y s C DF sI A BF B D v s N s v s -=+--+=
则
11
()()()()G s C sI A B D N s M s --=-+= 应证明(),()N s M s 右互质(后面证) 另一方面，(与书中推导不同)
x
Ax Bu y Cx Du =+=+ ? ()() (x
A HC x Hy
B HD u y Cx Du
=+-++=+ 观测器)
进而，得
11[()][()()]C sI A HC H I y C sI A HC B HD D u ----+=--++
()()M s y N s u = ? 1()()()
G s M s N s -=
5.4.2 所有镇定控制器的参数化
Parametrization of all stabilizing controllers 正反馈系统(图6.4，图2.2 P103)内稳定等价于
1
1111()()()
()I K I KG I KG K G I G I KG I GK ------??--??
=????---????指数稳定。 定理5.2: 设稳定分式表示：
11G NM M
N --== ，11K UV V U --== 则闭环系统内稳定当且仅当
1
M U N V -?????
?和 1
V U N M -??
-??-??
是稳定的(即是单模阵)。 证明：
11
00I K M M U G I V N V --??????
=????????????
00M V ??????与M U N V ??????
右互质，1
I K G I -??????与1
I K G I --??
??-??有相同的稳定性。
定理5.3: 闭环系统内稳定，1
1G NM M N --== ，11K UV V U --== ，
则,,,,,,,M N M
N U V U V 可以被选择满足 00M U I V U
N V I N M ??-????=??????-??????
(*) 如果
11G NM M N --== 对应能稳能检测实现(,,,)A B C D ，则 (,,,)M A BF B F I =+
(,,,)N A BF B C DF D =++ (,,,)M
A HC H C I =+ (,,,)N
A HC
B HD
C
D =++ (,,,)V
A HC
B HD F I =++- (,,,0)U
A HC H F =+- (,,(),)V A BF H C DF I =+-+ (,,,0)U A BF H F =+-
0,[],,()M U F I A BF B H N V C DF D I ????????=+- ???????+????????
0,[()],,F I V U A HC B HD H C D I N M ??
??-????=+-+ ???????--????????
定理5.4: 设1100000
K U V V U --== ，11G NM M N --== 满足 00
000M U I V U N V I N M ????-??=??????-??????
则11G NM M
N --== 的任意镇定控制器可以表示为 11110000
()()()()K UV V
U U MQ V NQ V QN U QM ----===++=++ 这里，任意Q H ∞∈。 几点说明：
① 每取一个Q H ∞∈，K 都是控制器； ② 每一个控制器都能表示上面形式； ③ 已知一个控制器，所有控制器都可求。
――――――――――――――――
作业：
1. 设系统传递函数为2
112()112s s s G s s
s s +????++=??
????++??
① 求()G s 的Smith-McMillan 标准形.
② 求右互质多项式矩阵(),()M s N s ，使1
()()()G s N s M s -=. ③ 求右互质稳定分式矩阵11
(),()M s N s ，使1
11()()()G s N s M s -=.
④ 求使系统((),())G s K s 内部稳定的所有镇定控制器()K s 的参数化表示.
Grasshopper 参数化建筑设计应用
Grasshopper 参数化建筑设计应用 摘要：在各种常用的参数化辅助设计软件当中，Rhinoceros 和Grasshopper 组成 的参数化设计平台是目前最为流行、使用得最为广泛的一套设计平台，Grasshopper独特的可视化编程建模，适合于前期方案构思阶段的快速实验。Grasshopper 采用并行数据控制方式。使得简单的程序可以处理复杂的的数据控制。它不需要太多任何的程序语言的知识就可以通过一些简单流程方法达到设计师所 想要的模型。Grasshopper 其很大的价值在于它是以自己独特的方式完整记录起始模型（一个点或一个盒子）和最终模型的建模过程，从而达到通过简单改变起始 模型或相关变量就能改变模型最终形态的效果。当方案逻辑与建模过程联系起来时，grasshopper可以通过参数的调整直接改变模型形态。这无疑是一款极具特点、简单易行的参数化设计的软件。 关键词：参数化设计；Grasshopper；模型；变量绪论参数化建模技术在辅助 建筑设计上的应用越来越广泛，参数化设计，对应的英文是Parametric Design 标 准的英语表达是：ParametricDesign is designing by numbers.（Prof.Herr from ShenZhen University）。 它是一种建筑设计方法该方法的核心思想是，把建筑设计的要素都变成某个 函数的变量，通过改变函数，或者说改变算法，人们能够获得形态各异的建筑设 计方案。通过对Grasshopper 在建筑设计应用中的研究，可以帮助我们更好的理 解参数化设计建筑本身对建筑行业的影响，参数化概念的引入，可以对复杂形体 建筑构造进行精确调节，在保持固有衍生关系的前提下，进行最优化设计；并且 可以引入相应数学算法，使建筑自身在一个严密逻辑下进行自我设计。 一、Grasshopper 参数化设计概述1、目前参数化软件应用现状：参数化设计 工具随时间的发展和参数化设计的广泛应用，由一开始的应用其他领域的软件逐 渐发展到应用为建筑领域专门开发的软件。如动画领域的Maya、3dsmax,虽然是 为动画产业设计的软件，但其中有大量功能经恰当使用也可用来定义物体间的几 何逻辑关系。 UG、TopSolid 拥有明确的几何逻辑、强大的造型控制能力、极为准确的建模 功能以及直接将模型转化为施工图纸的建造服务功能。它们虽属工业化设计软件 却被用于辅助建筑设计。还有一类专门为建筑师开发的软件或插件。如以CATIA 为平台GT 开发的Digital Project、以RHINO 为平台的Grasshopper、Autodesk 公司 开发的Revit、以MicroStation 为平台开发的Generative Component 等。上述软件 可被应用于项目的不同阶段，也有各自不同优势。Revit Architecture 软件经过逐 渐的改进，目前已经具有了非常完善的建筑参数化设计与作图功能，其提供的族(Famliy)模型编写平台能够为建筑师较快掌握，建立特定制图环境所需的参数化模型、详图构件与标准符号。DP 主要应用于整个工程全面设计、生产、管理的较好选择。 2、Grasshopper 编程建模在各种常用的参数化辅助设计软件当中，Rhinoceros 和Grasshopper 组成的参数化设计平台是目前最为流行、使用得最为广泛的一套设计平台，Rhinoceros 建模软件拥有强大的造型能力和Grasshopper 独特的可视化编程建模，两者结合比较适合于前期方案构思阶段的快速实验。Grasshopper 采用并行数据控制方式。使得简单的程序可以处理复杂的的数据控制。它不需要太多任何的程序语言的知识就可以通过一些简单流程方法达到设计师所 想要的模型。
《线性代数》课程教学大纲
《线性代数》课程教案大纲 课程代码：课程性质：专业基础理论课必修 适用专业：工科类各专业总学分数： 总学时数：修订年月： 编写年月：执笔：韩晓卓、李锋 课程简介(中文)： 线性代数是理、工、经管各专业重要的基础课之一。它是以讨论有限维空间线性理论为主，具有较强的抽象性与逻辑性，是数学的一个重要分支，其理论与方法已广泛应用于其它科学领域中。主要包括：矩阵、行列式、线性方程组、秩问题、矩阵的特征值和特征向量、二次型等内容。 课程简介(英文)： , . , , . . , , , , , , . 一、课程目的 《线性代数》是高等院校工科专业学生必修的一门基础理论课。它是以讨论有限维空间线性理论为主，具有较强的抽象性与逻辑性。通过本课程的学习，使学生比较系统地获得线性代数中的行列式、矩阵、线性方程组、矩阵和向量组的秩，矩阵的特征值和特征向量等方面的基本概念、基本理论和基本方法，培养学生独特的代数思维模式和解决实际问题的能力，同时使学生了解线性代数在经济方面的简单应用,并为学生学习后继课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 二、课程教案内容及学时分配 (一）教案内容 第一章行列式(学时) 教案内容：
二阶三阶行列式；阶行列式的定义；行列式的性质（证明选讲）；行列式按行(列)展开（定理证明选讲，行列式按某行（列）展开选讲）；克莱姆法则。 本章的重点与难点： 重点：行列式的性质；行列式按一行（列）展开定理；克莱姆法则的应用。 难点：阶行列式的定义的理解；阶行列式计算。 第二章矩阵(学时) 教案内容： 矩阵的概念；矩阵的运算（矩阵的加、减法；数乘；乘法；矩阵转置；方阵的幂；方阵的行列式）；几种特殊的矩阵（对角矩阵，数量矩阵，三角形矩阵，单位矩阵，对称矩阵与反对称矩阵）；分块矩阵（分块阵及其运算，分块对角阵）；逆矩阵（可逆阵的定义；奇异阵，伴随阵与逆阵的关系；逆阵的性质，二阶上三角分块阵的求逆方法）；本章的重点与难点： 重点：矩阵的运算规律；逆矩阵的性质以及求法； 难点：矩阵的乘积及分块矩阵的乘积；逆矩阵（抽象矩阵的逆矩阵）的求法。 第三章矩阵的初等变换与线性方程组(学时) 教案内容： 矩阵的初等变换（初等矩阵定义；初等矩阵与矩阵初等变换的关系。用初等变换求矩阵的逆）；矩阵的秩（矩阵的秩的定义；矩阵的秩与其子式的关系；初等变换求矩阵的秩）。线性方程组的消元解法（消元解法与初等行变换的关系；线性方程组有唯一解、无穷多组解和无解的讨论；线性方程组有解的判别定理；齐次线性方程组有非零解的充分和必要条件）； 本章的重点与难点： 重点：利用初等变换求矩阵的逆矩阵与矩阵的秩；利用初等变换求线性方程组的通解。 难点：利用初等变换求线性方程组的通解。
第十六章二端口网络
第十六章二端口网络 16-1 求题16-1图所示各二端口网络的开路阻抗矩阵Z。 (a) (b) (c) (d) 题16-1 图 16-2 求题16-2图所示二端口网络的短路导纳矩阵Y。 16-3 求题16-3图所示二端口网络的短路导纳矩阵Y。 题16-2 图题16-3 图16-4 求题16-4图所示各二端口网络的开路阻抗矩阵Z和短路导纳矩阵Y。 (a) (b) (c) 题16-4 图 16-5求题16-5图所示二端口网络的开路阻抗矩阵Z 和短路导纳矩阵Y。 16-6求题16-3图所示二端口网络的混合参数矩阵H 和逆混合参数矩阵G。 题16-5 图
16-7 求题16-7图所示二端口网络的混合参数矩阵H。 16-8 求题16-8图所示二端口网络的逆混合参数矩阵G。 题16-7 图题16-8 图 16-9 求题16-4图所示各二端口网络的传输矩阵T和逆传输矩阵T'。 16-10 写出题16-10图所示二端口网络的传输矩阵T，并验证关系式：AD-BC=1 题16-10 图题16-12 图 16-11 根据上题(16-10)所求得的传输矩阵T，计算该网络的逆传输矩阵T'、开路阻抗矩阵Z、短路导纳矩阵Y、混合参数矩阵H和逆混合参数矩阵G。 16-12 试求题16-12图所示网络的开路阻抗参数，并用这些参数求出该二端口网络的T形等效模型。 16-13 试绘出对应于下列各短路导纳矩阵的任意一种等效二端口网络模型，并标出各端口电压、电流的参考方向。 Y Y = - ? ? ? ? ? ?=- ? ? ? ? ? ? 52 03 100 520 16-14 试绘出对应于下列各开路阻抗矩阵的任意一种等效二端口网络模型，并标出各端口电压、电流的参考方向。 ? ? ? ? ? ? - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + + = ? ? ? ? ? ? = 4 4 2 3 ) ( )c( 2 3 2 2 4 1 ) ( )b( 2 1 1 3 ) ( )a(s s s s s s s Z Z Z 16-15 题16-15图所示网络可视为由两个Γ形网络级联而成的复合二端口网络，试求其传输参数A、B、C、D。 16-16 求题16-16图所示复合二端口网络的传输参数矩阵T。 题16-15 图题16-16 图
习题解答第16章(二端口网络)
第十六章(二端口网络)习题解答 一、选择题 1．二端口电路的H 参数方程是 a 。 a ．???+=+=22212122121111U H I H I U H I H U b ． ???+=+=22212122 121111I H U H U I H U H I c ．???+=+=22222112122111U H I H U U H I H I d ． ???+=+=2 2212112 121112I H U H I I H U H U 2．图16—1所示二端口网络的Z 参数方程为 b 。 a ．??????---+j1j4j4j43； b ．?? ????----j1j4j4j43； c ．??????--j1j4j4j43； d ．?? ????--+j1j4j4j43 3．无任何电源的线性二端口电路的T 参数应满足 d 。 a ．D A = b ．C B = c ．1=-AD BC d ．1=-BC AD 4．两个二端口 c 联接，其端口条件总是满足的。 a ．串联 b ．并联 c ．级联 d ．a 、b 、c 三种 5．图16—2所示理想变压器的各电压、电流之间满足的关系为 d 。 a ． n u u 121=，n i i =2 1 ； b ． n u u =21，n i i 121-=； c ． n u u 121-=，n i i =2 1； d ． n u u =21，n i i 121=； 二、填空题 1．图16—3（a ）所示二端口电路的Y 参数矩阵为Y = ?? ??? ?--Y Y Y Y ，图16—3 （b ）所示二端口的Z 参数矩阵为Z = ?? ????Z Z Z Z 。
神经网络实现非线性系统设计范本
神经网络实现非线性系统设计
毕业设计（论文） 中文题目神经网络实现非线性系统设计英文题目 Neural Network Nonlinear System 院系： 年级专业： 姓名： 学号： 指导教师： 职称： 月日
【摘要】神经网络具有极强的非线性及自适应自学习的特性，常被用来模拟判断、拟合和控制等智能行为，成功渗透了几乎所有的工程应用领域，是一个在人工智能方向迅速发展的具有重大研究意义的前沿课题。 本文前两章主要介绍了神经网络的发展背景和研究现状，还有BP 网络的结构原理及相关功能。然后，对如何利用GUI工具和神经网络原理设计非线性系统的基本流程进行了详细的阐述。最后，经过利用Matlab软件进行编程，以及是经过对BP神经网络算法及函数的运用，研究其在函数逼近和数据拟合方面的应用，并分析了相关参数对运行结果的影响。 【关键词】BP网络，GUI，非线性系统 【ABSTRACT】Neural network has a strong nonlinear and adaptive self-organizing properties, often used to simulate the behavior of intelligent decision-making, cognitive control, and the successful penetration of almost all engineering applications, is a rapid development in the direction of artificial intelligence
_参数化实现_设计的一个建筑实例杭州奥体中心体育游泳馆
杭州奥体中心体育游泳馆(以下简称“体育游泳馆”)位于杭州奥体博览中心内北侧，北临钱塘江，西临七甲河，是一座集合了体育馆、游泳馆、商业设施和停车设施等复杂内容的庞大综合体建筑，总建筑面积近40万平米。建筑形态分为上下两个部分，下部是一个形式低调的大平台，内部包含了以商业设施和地下停车为主的功能空间，平台上部放置了一个形态生动的巨大的非线性曲面，把体育馆、游泳馆两个最主要的功能空间覆盖其中。这一非线性曲面通过长短轴连续变化的一系列剖面椭圆连缀放样而成，曲面内的支撑结构和曲面外表皮分块相互对应，保持了内外一致，分格体系呈菱形网格状分布，使曲面成为巨大的网壳体。由于这一形态从造型到构造用传统手段难以完成设计、优化和输出，因此设计者从方案阶段引入了参数化手段直至施工图设计结束。借助参数化手段，设计者应用了一系列逻辑强烈的数学方式对网壳主体和各子体加以描述并确定其形态，对网壳结构和内外表面进行有效划分和组织，对空间构件进行定位，对围护结构构造和内外节点进行设计和控制，并且从实际加工角度对构件进行了逐次优化。同时，还在建筑内部进行了BIM 设计，使上部网壳围护结构的构造、空间结构、内外幕墙、雨水、采光、通风等系统等与下部功能对应的各系统全部虚拟搭建起来，并进行了三维的校核和调整。
之间最大的区别所在。
1. 通过参数化编程进行造型的区域 2. BIM的区域 DesIgn cycle anD aPPlIcatIon software 设计周期和应用软件 各软件分工和使用阶段如下： 平面工作由Microstation完成。方案时期的基础形态由Rhino生成，3DSMAX进行细节加工；初步设计时期引入GC对造型进行参数化，特殊部位使用Rhino生成，Catia进行综合并输出；施工图阶段由GC转移至Rhino平台，并采用Rhinoscript+Grasshopper实现从总体造型到特殊部位全过程的参数化，Catia进行整合、细化和BIM，并在Catia中实现输出。 图5
同济大学线性代数教案第一章线性方程组与矩阵
线性代数教学教案 第一章线性方程组与矩阵 授课序号01 1112121 2 n n m m mn a a a a a a ?? ?? ??? ，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为
n a ???. 212 n n n nn a a a ? ??? . 1112 00n n nn a a a a ?? ?? ? ? ?与上三角矩阵200 n nn a ? ??? . 000 0n a ??? ??? ，或记为100 1? ???? . 负矩阵的定义：对于矩阵()ij m n a ?=A ，称矩阵21 22 n m m m mn mn b a b a b ?? +++? ，
a b+
21 2 n m m mn a a a ????，转置矩阵212.m n n nm a ? ??? 矩阵的转置满足的运算规律（这里k 为常数，A 与B 为同型矩阵）阶方阵()ij a =A 如果满足222n n m mn n a x +21 2 n m m mn a a a ????称为该线性方程组的系数矩阵n x ???，m b = ? ??? β，有：
2221122221 21122n n n m m mn n m m mn n a a a x a x a x a x ??? ? =??? ???? ? ++ +????? . 再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示：=Ax β.
授课序号02 21 2 t s s st ????A A A ，21 2 t s s st ? = ? ??? B B B B ，的行数相同、列数相同，则有 21 22 t s s s st st ?? ±±±? B A B A B . 111221 2 t s s st ? ? ??? A A A A A ，都有21 2 t s s st k k ? ??? A A A .
产品级参数化设计
第三章产品级参数化设计 本章所研究的是关于产品级的参数化设计问题，为此，拟订“产品模块化、模块参数化”的技术思路来对小型热风微波耦合干燥设备模块化设计进行研究。 3.1参数化设计概述 传统的CAD设计主要针对零件级别的建模，对产品设计本身缺乏有效的支撑，只有最后的结果，不注重整个设计过程，有输入数据量大，操作难度大，无参数设计功能，不能自动更新现有模型，设计周期长，效率低，工作量重复等缺点。 参数化设计过程中，Revit Building是一中重要思想，它在保证参数化模型约束不变的的条件下，通过修改模型的基本尺寸参数来驱动参数化模型，完成模型更新从而获得新模型的现代化设计方法。模型的设计不是一蹴而就的，往往经过一个复杂的过程，在设计初期，设计人员对产品的认识较浅，不能完全确定设计其边界条件，并不能一次性设计出满足产品要求的所有条件。随着时间的推移，研究的深入，设计人员通过不断的修改模型的尺寸和造型，摸索研究之后，一步一步设计出满足所有条件的产品。由此可知，设计是一个不断修改，不断更新数据并且不断满足模型约束条件的过程，这种精益求精，追求完美的过程促进了CAD系统中参数化设计的产生华和发展。参数化设计大大提高了设计的效率，缩短了设计周期的同时大大减少了设计人员的工作强度和工作压力。 目前，参数化设计已经实际运用并且不断的发展壮大，已经成为现代设计与制造，机械设计系统等方向的研究热点，与之相关的各种CAD软件系统也不断的设计完善自己的参数化设计系统和功能，满足未来设计发展的需要。另外，对于标准化，系列化产品，参数化设计尤为重要，对于此次热风微波耦合干燥系列产品，采用参数化设计技术是非常好的选择。 3.1.1 参数化设计定义 参数化设计是机械CAD系统的一项非常关键技术，从最初的概念设计到详细设计，到最后形成产品，它贯穿产品设计的全过程。参数化设计是将参数化的产品模型用数学中一一对应关系来表示，而不是确定其数值，当某些参数变化时，与之相关的其他参数也将随之改变，达到几何更改控制几何形状的目的。这种快速反应的尺寸驱动，高效的图形修改功能，为产品设计、产品造型、产品更新修改，产品系列化设计等提供了有效的手段。其核心是通过产品约束的表达方式，使用设计好的一组尺寸参数和约束来描述产品模型的几个图形，能够充分满足相同或者相近几何拓扑关系的设计需求，充分体现设计者的设计思想。 根据参数化设计对象不同，可以将参数化设计分成两种：零件级参数化设计和产品级参数化设计。目前，广泛应用于实践的是零件级参数化设计方法，主要是指在单个零部件的内部通过尺寸参数和约束控制零件的参数化模型，当尺寸参数和约束发生变化时，参数化零件模型自动更新。相对于零件级参数化设计，产品级参数化设计是一种更加高级的参数化设计方法，它更加注重零部件之间的相互关联关系，当某一个零件的参数修改后，与该零件相关的其他零部件也将完成同步更新，这种更新包括形状的更新和尺寸的更新。由此可知，产品
线性代数教案设计
线性代数 课程教案 学院、部 系、所 授课教师 课程名称线性代数 课程学时45学时 实验学时 教材名称 年月日 线性代数课程教案
授课类型 理论课 授课时间 3 节 授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式 §1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换 本授课单元教学目标或要求： 1. 会用对角线法则计算2阶和3阶行列式。 2. 知道n 阶行列式的定义。 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：行列式的定义 1. 计算排列的逆序数的方法 设12n p p p 是1,2,,n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。 先看有多少个比1p 大的数排在1p 前面，记为1t ； 再看有多少个比2p 大的数排在2p 前面，记为2t ； …… 最后看有多少个比n p 大的数排在n p 前面，记为n t ； 则此排列的逆序数为12n t t t t =+++ 。 2. n 阶行列式 121211 1212122212() 1 2(1)n n n n t p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a = = -∑ 其中12n p p p 为自然数1,2,,n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数，求和符号∑是对所有排列 12()n p p p 求和。 n 阶行列式D 中所含2n 个数叫做D 的元素，位于第i 行第j 列的元素ij a ，叫做D 的(,)i j 元。 3. 对角线法则：只对2阶和3阶行列式适用 1112 112212212122 a a D a a a a a a = =-
proe参数化设计实例
实验二 Proe参数化设计实验 一、程序参数化设计实验 1、实验步骤 （1）建立实验模型见图1，具体包括拉伸、打孔及阵列操作。 图1 （2）设置参数。在工具D=300、大圆高度H=100、边孔直径DL=50、阵列个数N=6、中孔直径DZ=100、中孔高度DH=100，见图2。
图2 （3）建立参数和图形尺寸的联系。在工具关系，建立如下关系：D1=D、D0=H、D10=DL、NUM=N、D3=DZ、D2=DH。其中NUM是图形中阵列个数的名称改变后得到的。 （4）建立程序设计。在工具程序，建立程序如下： INPUT DZ NUMBER "输入中孔直径值==" DH NUMBER "输入中孔高度值==" H NUMBER "输入大圆高度值==" D NUMBER "输入大圆直径值==" N NUMBER "输入阵列数目==" DL NUMBER "输入边孔直径值==" END INPUT 将此程序保存后，在提示栏中输入所定义的各个参数的值：大圆直径D=500、大圆高度H=20、边孔直径DL=20、阵列个数N=8、中孔直径DZ=150、中孔高度DH=200。 （5）最后生成新的图形见图3 图3 2、实验分析 本实验通过程序的参数化设计，改变了大圆直径、大圆高度、边孔直径、阵列个数、中孔直径、中孔高度的值，得到了我们预想要的结果。
二、族表的参数化设计 1、实验步骤 （1）建立半圆键模型。见图1 图1 （2）建立族表。通过工具族表，单击“在所选行处插入新实例”按钮，建立四个子零件名，再单击“添加/删除表列”按钮，建立所需要改变的尺寸（主要的标准尺寸h、b、d ）。见图2 1 图2 （3）校验族的实例和字零件的生成。单击按钮“校验族的实例”，校验成功后，
第九章 双口网络
第九章 双口网络分析 一、基本要求 对于双口网络，主要分析端口的电压和电流，并通过端口的电压和电流关系来表征网络的电特性，而不涉及网络内部电路的工作状况。 1、熟练掌握Y 、Z 、A 、H 参数相对应的双口网络方程，理解这些方程各自参数的物理意义，记住互易、对称的特点，会求参数； 2、熟练掌握双口网络的T 型和π型等效电路，会利用的等效电路解题； 3、掌握双口网络在串联、并联、级联连接方式时的分析方法；会利用级联求参数； 4、掌握双口网络的网络函数的求解方法，会借助网络函数计算响应。 二、本章主要内容 1、双口的参数和方程 （1）Y 参数方程和Y 参数 写成矩阵形式为： Y 参数矩阵：[]?? ????=22211211Y Y Y Y Y Y 参数也称短路导纳参数 互易性： 对称性：若二端口网络为对称网络，除满足2112Y Y =外，还满足2211Y Y =。 注意： 对称二端口是指两个端口电气特性上对称， 电路结构左右对称的一般为对称二端口， 结构不对称的二端口，其电气特性可能是对称的，这样的二端口也是对称二端口。 （2）Z 参数方程和Z 参数： 写成矩阵形式为：
Z 参数矩阵：[]??????=2221 1211 Z Z Z Z Z Z 参数也称开路阻抗参数 互易性： 2112Z Z = 对称性：2112Z Z =和2211Z Z = （3）A 参数方程和A 参数： 在许多工程实际问题中，往往希望找到一个端口的电压、电流与另一个端口的电压、电流之间的直接关系。 A 参数用来描绘两端口网络的输入和输出或始端和终端的关系。 写成矩阵形式为： A 参数矩阵： Y 参数也称短路导纳参数 互易性： （4）H 参数方程和H 参数： 写成矩阵形式为： H 参数矩阵： ?????-=-=2 2222112122111I A U A I I A U A U ??????-??????=??????222121121111I U A A A A I U
基于Solidworks的零件参数化设计
基于Solidworks的零件参数化设计摘要：论述了利用Visual C++ 6.0对Solidworks进行二次开发的基本原理和一些关键技术，开发了可以与Solidworks无缝集成的动态链接库DLL，并且介绍了一个简单的应用实例的实现。 0 引言 Solidworks是一款非常优秀的三维机械软件，其易学易用、全中文界面等特点深受广大工程技术人员喜欢。随着学习和使用Solidwork的人员越来越多，企业为了提高效率和市场竞争力，必然有快速开发新产品、形成自身产品特色的需求，而且对于一些存在着许多重复性的劳动的产品设计需要缩短产品的开发周期。因此有必要对SolidWorks进行二次开发，使其能够在输入少量变化参数的情况下迅速生成所有产品模型并装配，最终生成工程图。 SolidWorks二次开发分两种，一种是基于OLE Automation的IDispatch技术，一般常用于Visual Basic、Delphi编程语言的接口，通过IDispatch接口暴露对象的属性和方法，以便在客户程序中使用这些属性并调用它所支持的方法，此种技术只能开发EXE 形式的程序，所开发的软件不能直接加挂在SolidWorks 系统下，无法实现与SolidWorks 的集成；另一种开发方式是基于COM的，这种技术可以使用最多的SolidWorks API(Application Programming Interface，应用程序接口) 函数。实际上SolidWorks 本身就是用Visual C++编写的，所以使用Visual C++通过COM接口
开发，可以实现对SolidWorks底层的开发并且代码的执行效率高。因为本文开发的是SolidWorks DLL(Dynamic Link Library，动态链接库) 插件，故采用基于COM的开发方式。 1 SolidWorks二次开发原理 1.1 SolidWorks API中的术语 COM（Component Object Model，组件对象模型）技术是SolidWorks API的基础，COM对象是一种包含接口、属性和事件以对象形式封装的实体，它以接口的方式提供服务，这种接口是COM 对象与使用COM对象的客户程序进行通信的唯一通道。 OLE (Object Linking and Embedding，对象的链接和嵌入)可以使应用程序之间能够通过数据嵌入或链接的方式共享数据。它是SolidWorks API构造的基础，是深入理解SolidWorks API的关键。SolidWorks API是SolidWorks作为OLE自动化服务器提供的属性和方法，我们开发的插件就是使用这些接口的OLE客户。 1.2 开发工具Visual C++ 6.0 SolidWorks API是基于COM组件技术构造的，SolidWorks通过COM技术为开发人员提供了强大的二次开发接口，因此Visual C++ 6.0作为当今最流行的软件开发工具之一，是程序员的首选编程利器。它提供了强大的集成开发环境，用以方便、有效地管理、编写、编译、跟踪C++程序，大大加速了程序员的工作，提高了程序代码
线性代数教学大纲
线性代数Ⅰ课程教学大纲 一课程基本情况 课程名称：线性代数。 课程名称（英文）： Linear Algebra。 课程编号：B11071。 课程总学时：40学时（全部为课堂讲授）。 课程学分：2学分。 课程分类：必修，考试课。 开课学期：第3学期。 开课专业：适合对数学类基础课要求较高的理工类本科专业，包括物理学(S)、计算机科学与技术(S)、农业机械化及其自动化、机械设计制造及其自动化、电气工程与自动化、电子信息工程、土木工程、工程管理等专业。 先修课程：无。 后续课程：大学物理等基础课和各专业相应专业课。 二课程的性质、地位、作用和任务 《线性代数》是高等学校上述各专业的重要基础课。由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题，尤其是在计算机日益普及的今天，解大型线性方程组、求矩阵的特征值与特征向量等已成为科学技术人员经常遇到的课题，因此学习和掌握线性代数的理论和方法是掌握现代科学技术以及从事科学研究的重要基础和手段，同时也是实现我院上述各专业培养目标的必备前提。本课程的主要任务是学习科学技术中常用的矩阵方法、线性方程组及其有关的基本计算方法。使学生具有熟练的矩阵运算能力及用矩阵方法解决一些实际问题的能力。从而为学生进一步学习后续课程和进一步提高打下必要的数学基础。 三主要容、重点及深度 了解行列式的定义，掌握行列式的性质及其计算。理解矩阵（包括特殊矩阵）、逆矩阵、矩阵的秩的概念。熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律。理解逆矩阵存在的充要条件，掌握矩阵的求逆的方法。掌握矩阵的初等变换，并会求矩阵的秩。理解n维向量的概念。掌握向量组的线性相关和线性无关的定义及有关重要结论。掌握向量组的极大线性无关组与向量组的秩。了解n 维向量空间及其子空间、基、维数等概念。理解克莱姆（Cramer）法则。理解非齐次线性方程组有解的充要条件及齐次线性方程组有非零解的充要条件。理解齐次线性方程组解空间、基础解系、通解等概念。熟练掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。掌握矩阵的特征值和特征向量的概念及其求解方法。了解矩阵相似的概念以及实对称矩阵与对角矩阵相似的结论。了解向量积及正交矩阵的概念和性质。了解二次型及其矩阵表示，会用配方法及正交变换法化二次型为标准形。了解惯性定理、二次型的秩、二次型的正定性及其判别法。
网络控制系统与传统控制系统区别
网络控制系统与传统控制系统区别 摘要：本文对网络控制系统与传统控制系统发展过程，功能特点，主要方法和当前研究热点进行了简要概述。 关键词：网络控制系统传统控制系统区别 1.前言 随着计算机技术和网络技术的不断发展，控制系统正在向智能化、数字化和网络化的方向发展。本文简要回顾了控制网络的发展, 阐述了它与信息网络发展过程的相似性，分析了目前流行的现场总线控制系统的组成及其存在的问题。对于工业以太网做了简单介绍，提出了控制网络结构发展的趋势。 2.计算机控制系统的发展 计算机及网络技术与控制系统的发展有着紧密的联系。最早在50年代中后期，计算机就已经被应用到控制系统中。60年代初，出现了由计算机完全替代模拟控制的控制系统，被称为直接数字控制（Direct Digital Control, DDC ）。70年代中期，随着微处理器的出现，计算机控制系统进入一个新的快速发展的时期，1975年世界上第一套以微处理为基础的分散式计算机控制系统问世，它以多台微处理器共同分散控制，并通过数据通信网络实现集中管理，被称为集散控制系统（Distributed Control System, DCS）。 进入80年代以后，人们利用微处理器和一些外围电路构成了数字式仪表以取代模拟仪表，这种DDC的控制方式提高了系统的控制精度和控制的灵活性，而且在多回路的巡回采样及控制中具有传统模拟仪表无法比拟的性能价格比。 80年代中后期，随着工业系统的日益复杂，控制回路的进一步增多，单一的DDC控制系统已经不能满足现场的生产控制要求和生产工作的管理要求，同时中小型计算机和微机的性能价格比有了很大提高。于是，由中小型计算机和微机共同作用的分层控制系统得到大量应用。 进入90年代以后，由于计算机网络技术的迅猛发展，使得DCS系统得到进一步发展，提高了系统的可靠性和可维护性，在今天的工业控制领域DCS仍然占据着主导地位，但是DCS不具备开放性，布线复杂，费用较高，不同厂家产品的集成存在很大困难。 从八十年代后期开始，由于大规模集成电路的发展，许多传感器、执行机构、驱动装置等现场设备智能化，人们便开始寻求用一根通信电缆将具有统一的通信协议通信接口的
非线性网络控制系统的分析与设计
非线性网络控制系统的分析与设计 文章针对具有未知输入和不确定扰动信号的非线性系统，研究一类以观测器为基础的量化网络化系统故障检测问题。首先，引入时变量化器，对输出信号采用离散量化处理。模拟工业中真是的非线性系统，针对基础的原系统建立故障检测滤波器，最后，通过原系统与观测器的比较，搭建故障检测滤波器误差系统。最后，给出Matlab仿真实例，验证文中方法的有效性。 标签：故障检测滤波器；网络化系统；量化器NCS 前言 NCSs是集自动控制技术、计算机技术和通信技术发展于一体，目前被越来越多的应用于复杂的远程控制系统中，从而实现对终端的远程控制，改变了传统的控制模式。 关于非线性的NCSs的建模和设计要复杂很多，无论是在数学模型的建立，还是工业控制方面的设计，相关的非线性的研究并不是很成熟。文章的设计方法将推广到非线性网络控制系统，设计关于非线性的模型，利用对数量化器联合分析。并最终MATLAB的仿真来判断文章的NCSs模型的稳定性。 1 离散对数量化器 信息在被传输过程中，要经过量化、分割，变为离散信号，才能适用与非线性模型中。这里，首先要将输出信号进行量化，量化分段函数如式（1）： 文章中采用静态对数量化器，设计如下量化标准： 其中，？字是量化密度，u0是初始向量。 每一部分分段函数对应着不同的量化条件，最终应用到整个分段函数达到全部的量化标准。对数量化器定义如式（2）： 2 系统描述 非线性被控对象描述为： （3） 其中，A、B1、B2、C、N1为具有适当维数的已知实常数矩阵， 为状态向量，为输出向量，为L2范数有界的不确定扰动信号向量，为要检测的故障信号向量，g（x（k））为已知的非线性向量函数且满足g（0）=0
网络化系统集成优化控制的实现
网络化系统集成优化控制的实现 复杂系统的优化控制问题是近年来研究工作的热点之一，传统的动态大系统递阶控制都是在精确模型的前提下获得的，然而许多实际系统的数学模型仅仅是实际的某种近似，精确模型难以获得，从而难以获得实际系统的最优控制。RobertS针对实际和模型存在差异的情况下，首先提出了动态系统优化与参数估计集成(简称DISOPE)方法，该方法通过迭代求解基于模型最优控制向题和参数估计问题，获得实际问题的真实最优解。将非线性动态大系统递阶控制方法与动态系统优化与参数估计集成方法相结合可形成非线性动态大系统DISOPE算法。 Becerra和Robelts针对连续非线性动态大系统给出了一种递阶DISOPE算法，提出了非线性离散动态大系统的两种递阶优化方法，求解实际非线性离散动态大系统的最优控制。实际中的大系统或复杂系统往往具有分布的区域性和网络化性等特征，同时，随着计算机网络技术和自动控制技术的发展，网络环境下自动化技术得到了飞速的发展，为网络化系统的集成优化控制问题的研究创造了条件。 1、网络化系统及其集成优化控制问题 （1）网络化系统及其特征 复杂系统往往具有分布的区域性和网络性等特征。网络化系统是指网络化的复杂系统，即网络环境下的复杂系统，其特征是通过计算机络将各子系统相连构成一个网络化的复杂大系统，网络环境可以是局域网或是btemet网络。随着计算机网络及其技术的发展，网络通讯技术得到了极大的提高，网络的规模也得到了大大地提升，使得原来分散较难实现的数据输出和交换，可以在一个“贯通”的网络环境中实现，其信息的传输均依赖网络进行。本文研究的网络化系统的集成优化控制是指对网络环境下复杂系统的集成优化控制。 （2）网络化系统的集成优化控制问题 实际系统中的优化问题无处不在，同时由于计算机网络及其技术的发展，使得分散的、具有区域特征的复杂系统形成了具有鲜明特征的网络化系统，对网络化系统的集成优化控制问题进行研究具有重要的理论意义和实际应用价值。本文就是将集成优化控制方法与网络自动化技术相结合，对网络化系统的集成优化控制方法进行了研究。
燕山大学电路原理课后习题答案第九章
第九章习题(作业：1（b,c ），2（c,d ）5(2,3),6(2,3)） 习题9（本章答案为大部分复频域形式，相量法答案只需将ωj s →） 9-1 求图示各二端口网络的短路导纳矩阵Y 。 (a) (b) R (c) (d) 题9-1图 解： (a)Y 参数方程为?? ??? + -=-=R s U R s U s sCU s I R s U R s U s I ) ()()()()()()(2122211，整理可得 S sC R R R R Y ] 111 1[][+-- = (b)将该图等效变换为图9-1-1， 图9-1-1 由例9-1结果易知 S Y ]22 .008.008 .022 .0[ ][--= (c)设原网络端口变量如图9-1-2所示，对此电路列节点电压方程：
R ) s 图9-1-2 ??? ???? +++-=--+=-+=)()1 4()()43()(3)()()()()(1)()11()(232121121232222 1211s U R R s U R R s I R s U s U R s U s I s U R s U R R s I 所以 ]144311 1[][3 22 12 2 1 R R R R R R R Y +--- += (d) 设端口变量如图9-1-3所示， ) s ) (s I 图9-1-3 D s U R R R R R R R R R R R R s U s I Y ?++= +++= = =) )((1 ) ()(32413 23 2414 10 )(11112 式中341324421321R R R R R R R R R R R R D +++=?， 同理D s U R R R R s U s I Y ?-= = =) ) ()(43210 )(12212，由于网络为无源线性双口网络，则2112Y Y = D s U R R R R s U s I Y ?++= = =) )(() ()(42310 )(22221 所以]) )(() )(([ ][42314 3214 3213241D D D D R R R R R R R R R R R R R R R R Y ?++?-?-?++= 其中431421432321R R R R R R R R R R R R D +++=?
线性代数教案
《线性代数》 授课教案 刘思圆 第一章行列式 本章说明与要求: 行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题： (1) 行列式的定义；
(2) 行列式的基本性质及计算方法； (3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)． 本章的重点是行列式的计算，要求在理解n 阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n 阶行列式． 计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法． 行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件． 。本章的重点：行列式性质；行列式的计算。 。本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。 §1.1 二阶与三阶行列式 行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题． 设有二元线性方程组 ?? ?=+=+2 2221211 112111b x a x a b x a x a (1) 用加减消元法容易求出未知量x 1，x 2的值，当a 11a 22–a 12a 21≠0 时，有 ??? ??? ?--=--=2112221121 1211221 1222112122211a a a a a b b a x a a a a b a a b x (2) 这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号 2112221122 211211a a a a a a a a -= 为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号． 根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成 222 121212221a b a b b a a b = -，2 21 111211211b a b a a b b a = -， 如果记22 21 1211a a a a D = ，22 2 1211a b a b D = ，2 21 1112b a b a D = 则当D ≠0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成
线性代数教案
线性代数》 授课教案 刘思圆 第一章行列式 本章说明与要求: 行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问 题： (1) 行列式的定义； (2) 行列式的基本性质及计算方法； (3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则) ． 本章的重点是行列式的计算，要求在理解n 阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n 阶行列式． 计算行列式的基本思路是：按行(列) 展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法． 行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则) ．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件． 本章的重点：行列式性质；行列式的计算 本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。
§1.1 二阶与三阶行列式行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题． 设有二元线性方程组 (1) 用加减消元法容易求出未知量x1，x2 的值，当a11a22 –a12a21≠0 时，有 (2) 这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2) 这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号 为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线) 上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的 对角线(又叫次对角线) 上两个元素的乘积，取负号． 根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成