奥数--三阶幻方

三阶幻方（二）

同学们：我们今天继续学习三阶幻方，通过上次学习，同学们初步掌握了求三阶幻方的方法。下面我们就利用这些方法求三阶、四阶等幻方。

（一）学习指导与解答

例1. 在下图的33?的阵列中填入了1～9的自然数，构成了大家熟悉的三阶幻方。现在另有一个33?的阵列，请选择九个不同的自然数填入九个方格中，使其中最大者为20，最小者大于5，且每一横行，每一竖行及每条对角线上三个数的和都相等。

492

3

57816

152013141618191217

图1 图2

分析：所给的三阶幻方中填入的是1～9这九个不同的自然数，其中最大的为9，最小的为1，要使新编制的幻方中最大数为20，而91120+=，因此，如果在所给幻方中各数都增加11，就能构成一个新幻方，并且满足最大数为20，最小数大于5。见图。

例2. 在33?的阵列中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列的位置上填6，如图3，请你在其它方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和为36。

5

6

A B C D E

F

G

56 图3

图4

分析：为了叙述方便，我们将其余空格的数字用字母表示，如图4。因为幻和为36，所以可求出中心数为：

36312÷=，即C =12

从第二行可求出D =-+=3612618() 从对角线中可求出E =-+=3612519() 从第一列可求出A =-+=3661911() 从第一行可求出B =-+=3651120() 从第二列可求出F =-+=3620124() 从第三列可求出G =-+=3651813() 得到三阶幻方如下：

1120

5

6

1218194

13

从上面的例题我们不难看出：要填出一个三阶幻方，中心数起着至关重要的作用。利用幻和＝中心数×3这个关系式，在已知幻和的情况下，可先求出中心数，在已知中心数的情况下，可求出幻和，以便其它数的求出。

例3. 将1～9这九个数字分别填入图1中所示的空格中，使得前两行所构成的两个三位数之和等于第三行的三个数，并且相邻（上下或左右）的两个数奇偶性不同。

分析：由于1、5已填好，按照奇偶相间的要求，五个奇数应在四个角及中心，如图2。

例4. 写出一个三阶幻方，使其幻和为24。

因为三阶幻方，幻和为24，所以其9个数的和为24372?=，假设这9个数为

n n n n n n n n n ----++++43211234，，，，，，，，，所以9728n n ==，，这9个数为4、

5、6、7、8、9、10、11、12用这9个数排成一个三阶幻方，如图：

5

12710

869

4

11

例5. 从1～13这13个数中挑出12个数，填入图1中的方格中，使每一横行，四数之和相等，每一竖列三个数之和相等。如图：

11191310

42

3126

85

133514*********

9

图1 图2

分析：在1～13这13个数中，因为1231391++++=……，911277÷=……，所以1～13中

去掉7，由()()917328917421-÷=-÷=，，所以要求横行和为28，竖列和为21，先将除7外的12个数分为4组，每组中3个数之和为21，然后再调整，使每横行四个数的和为28，这样可得出解，如图1、2。

［答题时间：30分钟］ （二）认真审题，独立完成 （1）将

1213141623341125127

12

，，，，，，，，这九个数分别填入图1中，使每一横行，每一竖行，两条对角线中三个数的和都相等。

（2）将九个连续自然数填入3行3列的九个空格中，使每一横行，每一竖行及每一条对角线上三个数的和都等于45。

（3）将从1开始的九个连续奇数填入三行三列的九个空格中，使每一横行，每一竖列及两条对角线上的三个数之和都相等。

请做完之后再看答案！

【试题答案】

（二）认真审题，独立完成 （1）将

1213141623341125127

12

，，，，，，，，这九个数分别填入图1中，使每一横行，每一竖行，两条对角线中三个数的和都相等。

由于2、3、4、6、12的最小公倍数为12，所以将9个分数分别扩大12倍，得到6、4、3、2、8、9、1、5、7，而33?的幻方是熟知的，如图，再将图中的每个数除以12就是所求。

（2）将九个连续自然数填入3行3列的九个空格中，使每一横行，每一竖行及每一条对角线上三个数的和都等于45。

根据幻和为45，可知中心数为45315÷=，又由于141630171330+=+=，，

121830191130+=+=，。经验证，可排出三阶幻方。

141318************

（3）将从1开始的九个连续奇数填入三行三列的九个空格中，使每一横行，每一竖列及两条对角线上的三个数之和都相等。

把1～9填在幻方中的每个数乘以2再减1，就得到1～17这九个奇数所填的三阶幻方是：

492

3

57816 71735913151

11

图1 图2