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单电荷的场分布

单电荷的场分布theta=[0:.01:2*pi]';

r=0:10;

x=sin(theta)*r;

y=cos(theta)*r;

plot(x,y,'b')

x=linspace(-5,5,100); for theta=[-pi/4 0 pi/4] y=x*tan(theta);

hold on;

plot(x,y);

end

grid on

点电荷电场线的图像

syms x y

for C=0:0.1:3.0

ezplot(2*(y+1)/sqrt((y+1)^2+x^2)-y/sqrt(y^2+x^2)- (y-1)/sqrt((y-1)^2+x^2)-C, [- 5,5,0.1]);

hold on;

end

线电荷产生的电位

clear all;

L=input('线电荷长度L＝：');

N=input('分段数N＝：');

Nr=input('分段数Nr＝：');

q=input('电荷密度q=:');

E0=8.85e-12;

C0=1/4/pi/E0;

L0=linspace(-L,L,N+1); L1=L0(1:N);L2=L0(2:N+1); Lm=(L1+L2)/2;dL=2*L/N; R=linspace(0,10,Nr+1); for k=1:Nr+1

Rk=sqrt(Lm.^2+R(k)^2); Vk=C0*dL*q./Rk;

V(k)=sum(Vk);

end

[max(V),min(V)]

plot(R,V),grad

计算平面上N个电荷之

间的库仑引力

clear all;

N = input('输入电荷数目N=:');

for ic = 1:N %输入给定条件

fprintf('----/n对电荷#%g\n',ic);

rc = input('输入电荷位置[x,y]（米）:');

x(ic) = rc(1); %电荷ic的x坐标 y(ic) = rc(2); %电荷ic的y坐标 q(ic) = input('输入电荷量（库仑）：');

end

E0 = 8.85e-12; %真空中的常数

C0 = 1/(4*pi*E0); %合并常数

for ic = 1:N %循环计每个电荷所受的力 Fx = 0.0;Fy = 0.0;

for jc = 1:N

if(ic ~= jc)

xij = x(ic)-x(jc);yij = y(ic)-y(jc);

Rij = sqrt(xij^2+yij^2);

Fx = Fx+C0*q(ic)*q(jc)*xij/Rij^3;

Fy = Fy+C0*q(ic)*q(jc)*yij/Rij^3;

end

fprintf('其它电荷作用在电荷#%g上的合力为：\n',ic); fprintf('x-分量:%gN\n',Fx);

fprintf('y-分量:%gN\n',Fy);

end

计算场点电压值

m=12

for k=1:m

for j=1:m

if k==1

V(j,k)=1;

elseif((j==1)|(j==m)|(k==m))

V(j,k)=0;

else

V(j,k)=0.5;

end

cha=0.01;

delta=0;

n=0;

while(1)

n=n+1;

for k=2:m-1

for j=2:m-1

Vnew(j,k)=1/4*(V(j+1,k)+V(j-

1,k)+V(j,k+1)+V(j,k-1));

d=abs((Vnew(j,k)-V(j,k))/V(j,k));

if d>delta

delta=d;

end

V(j,k)=Vnew(j,k);

end

if delta

break;

end

if(n>100)

break;

end

delta=0.;

end

绘图程序：

k=1:m;

j=1:m;

[DX,DY] = gradient(V,.4,.4);

hold on

quiver(k,j,DX,DY,2)

hold off

k=1:m;

j=1:m;

[DX,DY]=gradient(V,.4,.4)

A=(DX.^2+DY.^2).^0.5;

[DA,DB]=gradient(A,.4,.4);

hold on

quiver(k,j,DA,DB,2)

hold off

绘图结果：

DX =

1.0e+010 *

Columns 1 through 10

-0.0000 -0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0

-0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000

-0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000

-0.0000 -0.0000

-0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000

-0.0000 -0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0

Columns 11 through 20

0 3.9032 3.7349 -0.3225 -0.2962 -0.2733 -0.2532 -0.2354 -0.2196 -0.2053

-0.0000 -0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Columns 21 through 30

-0.1924 -0.1808 -0.1702 -0.1605 -0.1516 -0.1435 -0.1359 -0.1290 -0.1225 -0.1165

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Columns 31 through 40

-0.1110 -0.1058 -0.1009 -0.0964 -0.0921 -0.0882 -0.0844 -0.0809 -0.0776 -0.0745

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Columns 41 through 50

-0.0716 -0.0688 -0.0662 -0.0637 -0.0613 -0.0591 -0.0570 -0.0550 -0.0531 -0.0513

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Columns 51 through 56

-0.0495 -0.0479 -0.0463 -0.0448 -0.0434 -0.0427

0 0 0 0 0 0

DY =

1.0e+010 *

Columns 1 through 10

0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000

Columns 11 through 20

0.0000 0 -7.8063 -7.4698 -7.1614 -6.8774 -6.6147 -6.3709 -6.1439 -5.9318

0.0000 0 -3.9032 -3.7349 -3.5807 -3.4387 -3.3074 -3.1855 -3.0719 -2.9659

0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-0.0000 0 0 0 0 0 0

0 0 0

-0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Columns 21 through 30

-5.7333 -5.5469 -5.3717 -5.2065 -5.0507 -4.9033 -4.7638 -4.6314 -4.5058 -4.3864

-2.8666 -2.7735 -2.6858 -2.6033 -2.5253 -2.4516 -2.3819 -2.3157 -2.2529 -2.1932

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Columns 31 through 40

-4.2728 -4.1645 -4.0612 -3.9627 -3.8685 -3.7784 -3.6921 -3.6095 -3.5303 -3.4543

-2.1364 -2.0822 -2.0306 -1.9813 -1.9342 -1.8892 -1.8461 -1.8048

-1.7651 -1.7271

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Columns 41 through 50

-3.3813 -3.3112 -3.2437 -3.1788 -3.1164 -3.0562 -2.9982 -2.9422 -2.8882 -2.8360

-1.6907 -1.6556 -1.6219 -1.5894 -1.5582 -1.5281 -1.4991 -1.4711 -1.4441 -1.4180

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Columns 51 through 56

-2.7857 -2.7370 -2.6898 -2.6443 -2.6001 -2.5574

-1.3928 -1.3685 -1.3449 -1.3221 -1.3001 -1.2787

0 0 0 0 0 0

在点电荷电场中球形导体表面感应电荷的分布

点电荷电场中球形导体表面感应电荷的分布姜树青（浙江省平湖中学，浙江平湖 314200）摘要：在点电荷形成的电场中，导体处于静电平衡时，由于静电感应，其表面有感应电荷分布．本文拟对球形导体表面感应电荷的分布及相关问题作出定量探讨．关键词：感应电荷面密度最近点最远点界心角切心角角差 1 问题的提出如右图1所示，导体球半径为R ，点电荷与球心相距为r （r ＞R ），整个装置置于真空中．试讨论在电键k 接通和断开两种情况下，导体球表面感应电荷的分布规律． 2 求解和讨论 2.1电键k 接通情形 2.1.1导体球表面感应电荷分布的定量表达式我们知道，导体球外部空间的电场是由点电荷Q 和球面感应电荷共同叠加形成的．依据电像理论，球面感应电荷对外部空间的电场贡献，可由点电荷Q 的像点电荷q ′等效替代． q ′位于Q 与导体球心O 连线上，距球心为r ′．这里 q ′和r ′之值为：画出点电荷r 为正、负电性两种情形球面某点P 的合电场E P 如图2甲、乙所示．图中E P 方向总与球面垂直，当Q 为正电性时，E P 方向沿径向指向球心；当Q 为负电性时，E P 方向沿径向指向球外．只要R 和r 相同，点电荷Q 正、负两种情形对应的E P 大小相等．设θ为OQ 和OP 所夹的角，仅用初等数学知识就能求出Q 和． Q 2r R －q r R r ='=' ，

q ′在P 点产生的合场强E P 的大小（推导过程从略）：于是P 点感应电荷面密度σP 为表达式中前面的“－”号表示感应电荷的电性与Q 相反．由上式可知，在Q 、R 及r 都确定下，球面上感应电荷的面密度σ只与θ有关．在θ于范围0～2π以内，σ总与Q 符号相反，即整个导体球面上都分布着与Q 电性相反的感应电荷，且感应电荷的分布关于Q 与球心O 的连线对称．|σ|—θ关系如图3所示．我们知道，导体球接地时，整个球体电势视为0，设整个球面感应电荷的总量为q 总感，由电磁学知识易得q 总感之值： kQ/r + k q 总感 /R = 0，即 q 总感=－R Q / r ．（2）一个自然要提出的疑问是：按上述（1）式分布的球面感应电荷，整个球面感应电荷的总量是否也收敛到（2）式的结果呢？对（1）式作球面积分：，）（）（32222P cos 2Q θR r －R r k R －R r －E +?=）（）（）（1cos 2Q 443 2 2 22P P ．R r －R r R －R r － k E θππσ+? = = ．Q 2 24Q ]cos 21[24Q cos 2sin 4Q sin 22220 21 2 2220 2 32220220 220R R r r R r R rR R r rR R r R d rR R r d R r R d d R s d q - =-? ?--=-+?-??--=-+--===-? ?? ???）（）（）（）（）（）（总感ππθππθθθ?πθ ?θσσππππ π

2.1已知半径为a的导体球面上分布着面电荷密度为的电荷,式中(精)

2．1已知半径为a 的导体球面上分布着面电荷密度为0cos s s ρρθ=的电荷，式中的0s ρ为常数。试求球面上的总电荷量。解：球面上的总电荷量等于面电荷密度沿r=a 的球面上的积分。在球面上选择一个小的球环，面积为r ds ，对应的弧长为dl ad θ=，因此， 2sin 2sin r ds a dl a ad πθπθθ==。 2000 cos cos 2sin 0s s s s s q ds ds a d π ρρθρθπθθ====??? 2.14题，在下列条件下，对给定点求divE 的值：（1）222[(2)(2)]/x y z xyz y x z xy x y V m =-+-+e e e E ，求点1(2,3,1)P -处divE 的值。（2）22222[2sin sin 22sin ]/z z z z V m ρφρφρφρφ=++e e e E ，求点2(2,110,1)P z ρφ==?=-处divE 的值。解：

（1）222(2)(2)()22 23(1)2210 div xyz y x z xy x y yz x x y z ??? =-+-+=-???=??--?=-E （2）222222222211[(2sin )](sin 2)(2sin ) 4sin 2cos 22sin 9.06 div z z z z z z ρρφρφρφρρρφφφρφ ??? = ++???=++=E 2.15题，半径为a 的球中充满密度为ρ(r)的体电荷，已知电位移分布为： 254 2 (), (0)( ), ()r r r r Ar r a D a Aa r a r ?+<≤? ?+≥??3r e D =e =e 其中A 为常数，试求电荷密度ρ(r)。解：利用高斯定理的微分形式，即ρ?D =得2 21()r r D r r ρ?=??D = 在r ≤a 区域中：222 1[()]54r r Ar r Ar r r ρ?=?+=+?32 D = 在r ≥a 区域中：54 222 1[()]0a Aa r r r r ρ?+=?=?D = 2．20，在半径a ＝1mm 的非磁性材料圆柱形实心导体内，沿z 轴方向通过电流I ＝20A ，试求：（1）0.8mm ρ=处的B ；（2） 1.2mm ρ=处的B ；（3）圆柱内单位长度的总磁通。解：（1）圆柱形导体内的电流密度为 262232 20 / 6.3710/(110) z z z I A m A m a ππ-===??J e e e 利用安培环路定律得 202B J φπρμπρ=

第二章导体1节

第二章导体周围的静电场导体在电结构上的特殊性和静电平衡时的特殊条件,使导体在静电场中产生许多新现象和新应用,这些除与导体固有特性密切相关外,还须服从场方程,本章是上一章的应用、继续和发展。 §1 静电场中的导体一、导体的特性导体内存在着自由电荷，它们在电场作用下可以移动。对于金属导体，若不受外场作用，又不带净电荷，则自由电子均匀地迷漫于正离子点阵间，从宏观上看，导体处处电中性，即净电荷体密度0=ρ。电荷的分布和电场的分布相互影响、相互制约。二、导体的静电平衡条件 1、静电平衡的定义带电体系中的电荷不作宏观运动，因而电场分布不随 t 而变的状态。 2、静电平衡的条件所有场源（包括分布在导体上的电荷）共同产生的电场之合场在导体内处处为零，即0=E ? 。 [分析]——当某原因使导体内存在电场0E ?（施感外场）时，0E ? 推动自由电子作定向运动，引起自由电荷重新分布——静电感应，出现感应电荷而产生附加场'E ? ，此时导体内存在： 0 E ? ——外场，驱使自由电子运动，但此场恒定。 E '? ——附加场，起因于电子定向运动的积累，阻止电子无休止地定向运动，此为变场。 0 E ?与E '? 方向相反，当达到0 E ?与E '? 在导体内完全抵消时，即 00='+=E E E ? ?? 无净电力作用于电子，则它停止定向运动，电荷重新分布过程结束——静电平衡。

可见——导体处在电场中达静电平衡，导体上总有一定感应电荷分布，否则无E '? ；导体上感应电荷产生的场与外场的合场在导体内处处为零，表明每单方面在导体内存在，但其合结果使导体内域成为电力线禁区，即不能有电力线穿越。示例 ——导体球置于均匀外电场0 E ? 中。图2-1(a)为原问题，图2-1(b)为静电平衡时的情形：导体内0 E ?与E '? 反方，至0 =内E ?止；导体外0 E ?与E '? 叠加，场发生畸变，成为E E E '+=???0。 (a) (b) 图2-1 3、推论 (1) 导体静电平衡时，导体是等势体、导体表面是等势面。 ∵ 导体内处处0=E ? ， ∴ 导体上任两点电势差? =?=Q P PQ l d E U 0? ?，即 Q P U U = 。 (2) 导体面外附近场强处处与表面垂直。 ∵ E ? 与等势面正交，且导体表面为一等势面， ∴ n E E ??=（n ? 为导体面外法向单位矢）。 [两点说明] (1) 导体表面是一自然的或特殊的等势面，实用中通过改变或选择电极形状来控制空间场分布。 (2) 关于本章研究问题的方法有特别之处：因 ρ、E ? 分布相互制约，故不宜研究达静电平衡的过程，而是以达到平衡为基础进一步分析问题。

于静电平衡中导体感应电荷分布的问题

于静电平衡中导体感应电荷分布的问题 (2008-09-10 15:54:39) 转载分类：教学资料标签：静电平衡导体点电荷电场线从“处于静电平衡的导体,内部场强处处为零,导体是等势体”等性质出发,并利用电场线这一形象工具,可以定性地讨论导体静电平衡的一些问题,但是,在高中物理教学中,对于导体表面上感应电荷的分布问题,常常会由于“想当然”而出现错误提出了这样的讨论题:在带正电的点电荷(带电量为Q) 的电场中,不带电的导体球处于静电平衡状态,设球的半径为R ,点电荷到球心的距离为 a = 2 R (1) 画出导体球面感应电荷的分布情况; (2) 将导体球接地, 问:稳定后球面上最左边(远端) 的感应电荷面密度是σ> 0、σ= 0、还是σ< 0 ? (3) 若把(2) 中的导体球改为一般形状的导体, 情况又如何? 1 接地前导体球面上感应电荷的分布情况对于问题(1) ,在研讨课上, 有教师介绍了他们在高中物理教学中的一种方法(并得到许多人的赞同) :“处于静电平衡的导体, 内部的场强必定处处为零,这说明感应电荷在导体内产生的附加场与点电荷Q 的电场刚好抵消,即感应电荷在导体内的电力线刚好与点电荷Q 的电场线相反,因此, 导体球面的感应电荷的分布情况如图2 所示,而Q 的电场线与球面的切点T(即θ= 60°)处就是感应电荷正负号的转换点(线) . ” 但是,以上结论是不对的.根据电磁场理论〔1〕, 不接地时, 球外 ( r ≥R)任一点的电势为:σ随θ的变化关系实线为未接地σ1 ;虚线为接未接地时导体球面,地后σ2. 取Q = 1 , R = 1 , a = 2 .上感应电荷分布情况由(2) 式容易求得:当R/ a = 1/ 2 时, 正负电荷的分界点(线) 为θ= 1. 13 弧度= 65°(而不是60°!) . 可见, 所示的感应电荷分布图是错误的.那么,问题出在哪里呢?诚然,感应电荷在导体内产生的电场线刚好与点电荷Q 的电场线相反(如图2 所示) ,但是每条电场线的形状都是全体感应电荷共同作用的结果,而不是由左右一对正负感应电荷决定的,图2 所示的感应电荷分布图的错误在于:把集体共同作用的结果归功于个别感应电荷(即左右一对正负感应电荷) . 2 接地稳定后导体球面上感应电荷的分布情况对于问题(2) ,在研讨课上, 许多高中物理教师都认为:接地稳定后球面上最左边无感应电荷(即σ=0) . 他们的理由是:“接地前, 导体的电势高于地球电势;接地后,地球上的负电荷(电子) 移到导体球上,与左边的正电荷中和

导体表面电荷分布与导体表面曲率的关系

导体表面电荷分布与导体表面曲率的关系（1）静电平衡条件下导体表面的电荷分布是一个复杂的静电学问题。它不仅与导体表面的曲率有关。而且与导体本身的形状、周围导体和介质的分布及带电状态有关。一般情况下对孤立导体它也不是与曲率有简单正比关系。下面我们通过带电旋转椭球形导体的例子加以说明。椭球面的数学表达式是比较简单的，当它的三个半轴相等时，它就变成球；细长的椭圆绕长轴旋转而成的椭球就相当于细长棒；细长椭圆绕短铀旋转时形成的椭球就相当于平板，因此研究椭球带电的电荷分布，有较普遍的意义。无论什么形状的导体决定电荷平衡分布的唯—条件是导体内部各点的场强必须为零。凡是能满足这个条件的分布，便是实际存在的分布。根据这个条件，以及静电场的基本性质求解椭球上的电荷分布，是一个典型的电磁学问题要用到较复杂的数学工具，本书不严格处理这一问题。这里用一个不够严格的方法导出其结果。假没我们考虑的是一个旋转椭球如图9.8所示，它有两个焦点O1和O2。表面电荷的分布使椭球内任一点的合场强为零。一般说来，这是表面所有的电荷综合抵消的结果。但是对于焦点O1和O2，很巧，这种抵消是一对一的。过焦点O1作一个小立体角，它在椭球表面上切出两块表面 d S和 d S2，严格的理论证明，d S上的电荷在O1产生的场强与O2上的电荷在O1产生的场强恰恰抵消，因此整个椭球面上的电荷在O1产生的场强之和为零。循着这一途径，便可找出表面电荷分布的规律。设 d S处电荷密度为σ1，距O1的距离为r1，d S上的电量 d q1 = d Sσ1，这部分电荷在O1产生的场强 d E1应为：而 d S = d S'/cosα1。α1是r1与 d S2表面法线n1间的夹角。同时， dΩ1是 d S1对O1所张的立体角。因此有：用同样的方法，可以得到 d S2在O1产生的场强 d E2为：

导体表面电荷分布与表面曲率关系

摘要从导体表面电场的特征和电荷分布的微观解释导体表面电场的特性出发，我们对孤立带电导体凹凸形尖端的表面电荷与电场分布进行了定性计算及分析。依据该带电导体的等势面与电场线正交的特征，得出了该带电导体尖端处表面电荷与表面电场间的定量关系，而且进行了讨论。对于孤立的带电导体来说，电荷分布规律有以下的结论，其上面电荷的多少与该处表面的曲率有关，导体表面凸出尖端的地方( 曲率较大)，面电荷密度σ较大；表面较平缓的地方( 曲率较小) 电荷密度σ较小；表面凹下去的地方( 曲率小于零) σ更小。本文将进行分析说明：电荷密度分布与曲率成正比只是一个大致的定性的规律，不能简单地根据两处的曲率大小来比较两处的电荷密度的大小。关键词：带电导体电荷面密度电场分布电荷面密度表面曲率

目录一、导体表面电荷分布的有关因素 (1) 1电荷分布的微观解释 (1)

2尖端处表面电荷 (1) 3电荷分布与表面曲率关系 (1) 二、导体表面的电场 (4) 1电场分布的描述 (4) 2凸端处的场强 (6) 3凹端处的场强 (7) 三、结论 (8) 参考文献 (9)

一、导体表面电荷分布的有关因素 1电荷分布的微观解释我们所说的导体带电，通常是指正负电荷中和后会出现多余“净电荷”。若正电荷数量大于负电荷，则中和后，导体就会多余出正的“净电荷”，这些“净电荷”都会带有正的电性，我们也因此判定导体带正电。又根据同种电荷间有库伦力的作用，导体表面相同电性的电荷将会齐向着斥力小的方向运动。此时若导体呈球状，电荷也会自由移动至均匀分布于球体表面，进而形成均匀的对称电场。但若导体非球状，表面有凸凹时，净电荷依旧向着斥力最小的方向自由移动。但由于凸面的顶端据其他表面最远，会使得此处电荷受其他电荷的斥力最小。因此会吸引大量电荷移向此处，导致电荷分布最集中，随之电场也会最强。反之，凹面距离其余电荷最近，库伦力也最大，因此电荷密度最小，电场也最弱。 2尖端处表面电荷总静电荷不为零且与其他物体距离足够远的孤立带电导如果带有电荷Q，当自由电子不做自由运动达到静电平衡时有：（1）导体电场强度为零（2）导体部电荷密度为零，电荷只能在导体表面分布;(3) 在导体外部，紧靠导体表面的点的场强方向与导体表面垂直，场强大小与导体表面对应点的电荷面密度成正比，可在导体外紧靠表面处人去一点做高斯面，有高斯定理知电场强度大小为E=，而导体表面的电荷密度是。大致来说，当曲率半径ρ> 0 时，任意形状的孤立带电导体外表面，向外突出的地方电荷较密，场强也大。在突出部位较平坦的地方电荷很疏，场强也小；当某处场强>击穿场强时，就发生常见的尖端放电现象。 3电荷分布与表面曲率关系椭球面的代数方程式是比较简单的，当椭球的三个半轴相等时，它的方程式就变成圆的方程。现有一椭圆，使该椭圆绕短（长）轴旋转而得到的椭球就相当于一根细长棒。长棒两端曲率很大，中间曲率较小，因此用这种导体研究表面曲率与电荷分布是能说明问题的，无论它是什么形状的带电导体，除了外界环境，