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2011年中考数学预测压轴题10题及答案

2011年中考数学练习

1、（上海卷）已知点P 在线段AB 上，点O 在线段AB 延长线上．以点O 为圆心，OP 为半径作圆，点C 是圆O 上的一点．（1）如图，如果2AP PB =，PB BO =．求证：CAO BCO △∽△；

（2）如果AP m =（m 是常数，且1m >），1BP =，OP 是OA ，OB 的比例中项．当点C 在圆O 上运动时，求:AC BC 的值（结果用含m 的式子表示）；

（3）在（2）的条件下，讨论以BC 为半径的圆B 和以CA 为半径的圆C 的位置关系，并写出相应m 的取值范围．

2、（福建龙岩卷）如图，已知抛物线23

y x bx c =-++与坐标轴交

于A B C ，，三点，点A 的横坐标为1-，过点(0

3)C ，的直线3

34y x t

=-+与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，

PH OB ⊥于点H ．若5PB t =，且01t <<．（1）确定b c ，的值：__________b c ==，；

（2）写出点B Q P ，，的坐标（其中Q P ，用含t 的式子表示）： (______)(______)(______)B Q P ，，，，，；

（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使PQB △为等腰三角形？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．

3、（福建漳州卷）如图，已知矩形33ABCD AB BC ==，，，在

BC 上取两点E F ，（E 在F 左边），以EF 为边作等边三角形PEF ，使顶点P 在AD 上，PE PF ，分别交AC 于点G H ，．

（1）求PEF △的边长；

（2）在不添加辅助线的情况下，当F 与C 不重合时，从图中找出一对相似三角形，并说明理由；（3）若PEF △的边EF 在线段BC 上移动．试猜想：PH 与BE 有何

数量关系？并证明你猜想的结论．

4．（浙江省台州市）如图，已知直线y ＝－2

＋1交坐标轴于A 、B 两点，以线段AB 为边向上作正方形ABCD ，过点A ，D ，C 的抛物线与直线另一个交点为E ．

（1）请直接写出点C ，D 的坐标；（2）求抛物线的解析式；

（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB 下滑，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设正方形落在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围；

（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，直至顶点D 落在x 轴上时停止，求

A P

B O

B P

E F G H P y

+-=x y O

A B

抛物线上C 、E 两点间的抛物线弧所扫过的面积．

5．（河南省）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD

的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）．抛物线y

＝ax

＋bx 过A 、C 两点．（1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）动点P 从点A 出发，沿线段AB 向终点B 运动，同时

点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒．过点P 作

PE ⊥AB 交AC 于点E ． ① 过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G ．当t 为何值时，线段EG 最长？

② 连接EQ ，在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形？请直接写出相应的t 值．

6．（浙江省温州市）如图，在平面直角坐标系中，点A （3，0），B （33，2），C （0，2）．动点D 以每秒1个单位的速度从点O 出发沿OC 向终点C 运动，同时动点E 以每秒2个单位的速度从点A 出发沿AB 向终点B 运动．过点E 作EF ⊥AB ，交BC 于点F ，连结DA 、DF ．设运动时间为t 秒．

（1）求∠ABC 的度数；（2）当t 为何值时，AB ∥DF ；

（3）设四边形AEFD 的面积为S ．①求S 关于t 的函数关系式；②若一抛物线y ＝－x

＋

mx 经过动点E ，当S ＜23时，求m 的取值范围（写出答案即可）．

7．（重庆市綦江县）如图，已知抛物线y ＝a (x －1)2

＋33(a

≠0)经过点A (－2，0)，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM ∥AD ．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿

射线OM 运动，设点P 运动的时间为t （s ）．问：当

t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

（3）若OC ＝OB ，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度

单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t （s ），连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．

8．（甘肃省兰州市）如图①，正方形ABCD 中，点A 、B 的坐

标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同

O A D

B C E F P

D O

M y O A B Q

P x A

y x

时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．

（1）当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；（2）求正方形边长及顶点C 的坐标；（3）在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标．（4）如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．

9．（甘肃省陇南市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过

A (－1，0)，

B (4，0)，

C (0，－4)，⊙M 是△ABC 的外接圆，M 为圆心．

（1）求抛物线的解析式；（2）求阴影部分的面积；

（3）在x 轴的正半轴上有一点P ，作PQ ⊥x 轴交BC 于Q ，设PQ ＝k ，△CPQ 的面积为S ，求S 关于k 的函数关系式，并求出S 的最大值．

10．（广东省湛江市）已知矩形纸片OABC 的长为4，宽

为3，以长OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系；点P 是OA 边上的动点（与点OA 不重合），现将△POC 沿PC 翻折得到△PEC ，再在AB 边上选取适当的点D ，将△PAD 沿PD 翻折，得到△PFD ，使得直线PE 、PF 重合．

（1）若点E 落在BC 边上，如图①，求点P 、C 、D 的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；

（2）若点E 落在矩形纸片OABC 的内部，如图②，设OP ＝x ，AD ＝y ，当x 为何值时，y 取得最大值？

（3）在（1）的情况下，过点P 、C 、D 三点的抛物线上

是否存在点Q ，使△PDQ 是以PD 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．

11．（江西省南昌市）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，

E 是AB 的中点，过点E 作E

F ∥BC 交CD 于点F ．AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°．

（1）求点E 到BC 的距离；

（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM ⊥EF 交BC 于点

M ，过M 作MN ∥AB 交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP ＝x ．

①当点N 在线段AD 上时（如图2），△PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；

②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使△

A B

P M

图① P

D E

y 图②

P D C

O A

F F E A D

图1 F E A D B

图2

N P M

PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．

12．（云南省昆明市）如图，在平面直角坐标系中，四边

形OABC 是梯形，OA ∥BC ，点A 坐标为（6，0），点B 坐标为（3，4），点C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA

边上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在AB 边上运动，

从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1

个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也就随即停止，设两点的运动时间为t （秒）．

（1）求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC ？

（2）设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？

（3）连接CA ，那么是否存在这样的t 值，使MN 与AC 互相垂直？若存在，求出这时的t 值；若不存在，请说明理由．

13．（湖南省株洲市）如图，已知△ABC 为直角三角

形，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点A 、C 在x 轴上，点B 的坐标为(3，m )(m ＞0)，线段AB 与y 轴相交于点D ，以P (1，0)为顶点的抛物线过点B 、D ．

（1）求点A 的坐标（用m 表示）；（2）求抛物线的解析式；

（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：FC (AC ＋EC )为定值．

14．（湖北省黄冈市）如图，在平面直角坐标系xo y 中，抛物线y ＝

181x

2－9

x －10与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为点B ，过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连结

AC ．现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动，点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动．线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ，Q 移动的时间为t (单位：秒) （1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标；

（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程；

F E A D B C 图3 M

P N F

E A D

B C 图4(备用)

F E A D B C 图5(备用) C

A M O N x y

A O

D B P C

E Q

（3）当0＜t ＜

时，△PQF 的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；

（4）当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形？请写出解答过程．

1.（安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D

且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上；

(2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点，

如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式.

[解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考）

方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB

''''

== 又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC ''+= ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB

=，∴2

316

EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2①

再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得0

x y =??

=-?

D Q C

E 图①

C （1，-3） A （2，-6） B

D O x

E y 图② C （1+k ，-3）

A （2，-6）

B D

E ′

∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上

（2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3）

E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-??

++=-??=-?

解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2

（3）（本小题给出三种方法，供参考）

由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。同（1）

可得：

1E F E F A B D C ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?=，∴13DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =

1112

2223

DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1

DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11

32322

BD E F k k '=?=+?=+

∴S =3+k 为所求函数解析式.

方法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4∴()221

3992

AE C ABCD S S AB CD BD k '?==?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式.

2. （广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为2

2的圆与y 轴交于A 、D 两点.

（1）求点A 的坐标；

（2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明；

（3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若

21h

S S =，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式.

[解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1，

在Rt △AOM 中，AO ＝

122=-OM AM ， ∴点A 的坐标为A （0，1）

（2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1 ∴y ＝x ＋1 令y ＝0则x

＝－1 ∴B （—1，0），AB ＝2112222=+=+AO BO 在△ABM 中，AB

＝

2，AM ＝

2，BM ＝2 222224)2()2(BM AM AB ==+=+

∴△ABM 是直角三角形，∠BAM ＝90° ∴直线AB 是⊙M 的切线（3）解法一：由⑵得∠BAC ＝90°，AB ＝

2，AC ＝22， ∴BC ＝

10)22()2(2222=+=+AC AB ∵∠BAC ＝90° ∴△ABC 的外接圆的直

径为BC ，

∴πππ25)210()2(221=?=?=BC S 而πππ2)2

22()2(2

22=?=?=AC S

421h S S =

，5,4225

=∴=h h 即 ππ 设经过点B （—1，0）、M （1，0）的抛物线的解析式为： y ＝a （＋1）（x －1），（a≠0）即y ＝ax 2

－a ，∴－a ＝±5，∴a ＝±5

∴抛物线的解析式为y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5 解法二：（接上）求得∴h ＝5

由已知所求抛物线经过点B （—1，0）、M （1、0），则抛物线的对称轴是y 轴，由题意得

物线的顶点坐标为（0，±5） ∴抛物线的解析式为y ＝a （x －0）2±5 又B （－1,0）、M （1,0）在抛物线上，∴a±5＝0， a ＝±5 ∴抛物线的解析式为 y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5 解法三：（接上）求得∴h ＝5

因为抛物线的方程为y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）

由已知得???

??-===?????==?????????

±=-=+-=++5

055c 0b 5544002c b a a a

b a

c c b a c b a 或＝－解得

∴抛物线的解析式为 y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5.

3.(2004)如图，在直角坐标系中，以点P （1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A 、B 两点，

抛物线)0(2

>++=a c bx ax y 过点A 、B ，且顶点C 在⊙P 上. (1)求⊙P 上劣弧⌒AB 的长；

(2)求抛物线的解析式；

(3)在抛物线上是否存在一点D ，使线段OC 与PD 互相平分？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由. [解] （1）如图，连结PB ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M.

在Rt △PMB 中，PB=2,PM=1, ∴∠MPB ＝60°，∴∠APB ＝120° ⌒

AB 的长＝

42180120π

π=???? （2）在Rt △PMB 中，PB=2,PM=1,则MB ＝MA ＝3. 又OM=1，∴A （1－3，0），B （1＋3，0），

D x

y A

x y

P （1，－1）

O x

· M

由抛物线及圆的对称性得知点C 在直线PM 上，则C(1，－3).

点A 、B 、C 在抛物线上，则

???

?++=-+-+-=++++=c

b a

c b a c b a 3)31()31(0)31()31(022 解之得?????-=-==221c b a ∴抛物线解析式为222--=x x y （3）假设存在点D ，使OC 与PD 互相平分，则四边形OPCD 为平行四边形，且PC ∥OD.

又PC ∥y 轴，∴点D 在y 轴上，∴OD ＝2，即D （0，－2）.

又点D （0，－2）在抛物线222--=x x y 上，故存在点D （0，－2），

使线段OC 与PD 互相平分.

4.（2009湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt △ABC 的直角顶点C （0，3）在y 轴的正半轴上，A 、B 是x 轴上是两点，且OA ∶OB ＝3∶1，以OA 、OB 为直径的圆分别交AC 于点E ，交BC 于点F .直线EF 交OC 于点Q . （1）求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；

（2）请猜想：直线EF 与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.

（3）在△AOC 中，设点M 是AC 边上的一个动点，过M 作MN ∥AB 交OC 于点N .试问：在x 轴上是否存在点P ，使得△PMN 是一个以MN 为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.

[解] (1)在Rt △ABC 中，OC ⊥AB ，∴△AOC ≌△COB . ∴OC 2＝OA ·OB . ∵OA ∶OB ＝3∶1,C (0,3), ∴2(3)3.OB OB = ∴OB ＝1.∴OA ＝3. ∴A (-3,0),B (1,0). 设抛物线的解析式为2.y ax bx c =++

则930,0,3.a b c a b c c ?-+=?++=??=?解之，得3

,323,33.

a b c ?=-??

=-??

?=??

∴经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为2323 3.33

y x x =-

-+ (2)EF 与⊙O 1、⊙O 2都相切.

证明：连结O 1E 、OE 、OF .

∵∠ECF ＝∠AEO ＝∠BFO ＝90°

, ∴四边形EOFC 为矩形. ∴QE ＝QO . ∴∠1＝∠2. ∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°， ∴EF 与⊙O 1相切. 同理：EF 理⊙O 2相切.

(3)作MP ⊥OA 于P ，设MN ＝a ,由题意可得MP ＝MN ＝a .

y x

O 1

O O 2 C B

O 1 Q

O O 2 y x

2 1

3 4

P C

∵MN ∥OA , ∴△CMN ∽△CAO . ∴.MN CN AO CO = ∴3.33

a a

-= 解之，得333.2a -=

此时，四边形OPMN 是正方形. ∴333

.2MN OP -== ∴333(,0).2

P -- 考虑到四边形PMNO 此时为正方形，

∴点P 在原点时仍可满足△PNN 是以MN 为一直角边的等腰直角三角形.

故x 轴上存在点P 使得△PMN 是一个以MN 为一直角边的等腰直角三角形且

333

(,0)2

P --

或(0,0).P 5.（湖北宜昌）如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(

415，8

)，P 是以AC 为对角线的矩形ABCD 内部(不在各边上)的—个动点，点D 在y 轴，抛物线y ＝ax 2+b x +1以P 为顶点． (1)说明点A 、C 、E 在一条条直线上；

(2)能否判断抛物线y ＝ax 2+b x +1的开口方向?请说明理由；

(3)设抛物线y ＝ax 2+b x +1与x 轴有交点F 、G(F 在G 的左侧)，△GAO 与△FAO 的面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点．这时能确定a 、b 的值吗?若能，请求出a 、b 的值；若不能，请确定a 、b 的取值范围． (本题图形仅供分析参考用)

[解] （1）由题意，A(0，1)、C(4，3)确定的解析式为：y=2

x +1.

将点E 的坐标E(415，823)代入y=21x +1中，左边=823

，

右边=21×415+1=8

，

∵左边=右边，∴点E 在直线y=

x +1上，即点A 、C 、E 在一条直线上.

（2）解法一：由于动点P 在矩形ABCD 内部，∴点P 的纵坐标大于点A 的纵坐标，而点A 与点P 都在抛物线上，且P 为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下

解法二：∵抛物线y=ax 2

+b x +c 的顶点P 的纵坐标为a

b a 442

—，且P 在矩形ABCD 内部，∴

1＜a b a 442—＜3，由1＜1—a b 42得—a

b 42＞0，∴a ＜0，∴抛物线的开口向下.

（3）连接GA 、FA ，∵S △GAO —S △FAO =3 ∴

21GO ·AO —2

FO ·AO=3 ∵OA=1，∴GO —FO=6. 设F （x 1,0）、G （x 2,0），则x 1、x 2为方程ax 2+b x +c=0的两个根，且x 1＜x 2，

又∵a ＜0，∴x 1·x 2=a 1

＜0，∴x 1＜0＜x 2，

∴GO= x 2，FO= —x 1，∴x 2—（—x 1）=6，

即x 2+x 1=6，∵x 2+x 1= —a b ∴—a

=6，

D E

由方程组 y=ax 2—6ax +1

y=2

x +1

得：ax 2—（6a +21

）x =0 ∴b= —6a ,

∴抛物线解析式为：y=ax 2—6ax +1, 其顶点P 的坐标为（3，1—9a ）, ∵顶点P 在矩形ABCD 内部，

∴1＜1—9a ＜3, ∴—92

＜a ＜0.

∴x =0或x =

a a 21

=6+a

21. 当x =0时，即抛物线与线段AE 交于点A ，而这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点，则有：0＜6+

21≤415，解得：—92

≤a ＜—121 综合得：—

92＜a ＜—121 ∵b= —6a ，∴21＜b ＜3

6.（湖南长沙）已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙A 过点B 且与x 轴分别相交于点O 、C ，⊙A

被y 轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l 与⊙A 切于点O ，抛物线的顶点在直线l 上运动.

（1）求⊙A 的半径；

（2）若抛物线经过O 、C 两点，求抛物线的解析式；

（3）过l 上一点P 的直线与⊙A 交于C 、E 两点，且PC ＝CE ，求点E 的坐标；

（4）若抛物线与x 轴分别相交于C 、F 两点，其顶点P 的横坐标为m ，求△PEC 的面积关于m 的函数解析式.

[解] (1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO ＝90o 再由AB ＝AO ＝r ，且OB ＝2，得r ＝

(2)⊙A 的切线l 过原点，可设l 为y ＝kx 任取l 上一点(b ，kb )，由l 与y 轴夹角为45o可得： b ＝－kb 或b ＝kb ，得k ＝－1或k ＝1，∴直线l 的解析式为y ＝－x 或y ＝x 又由r ＝2，易得C(2，0)或C(－2，0) 由此可设抛物线解析式为y ＝ax (x －2)或y ＝ax (x ＋2)再把顶点坐标代入l 的解析式中得a ＝1∴抛物线为y ＝x 2－2x 或y ＝x 2＋2x

(3)当l 的解析式为y ＝－x 时，由P 在l 上，可设P(m ，－m)(m ＞0) 过P 作PP′⊥x 轴于P′，∴OP′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP ＝2m 2，又由切割线定理可得：OP 2＝PC·PE,且PC ＝CE ，得PC ＝PE ＝m ＝PP′7分 ∴C 与P′为同一点，即PE ⊥x 轴于C ，∴m ＝－2，E(－2，2)…8分同理，当l 的解析式为y ＝x 时，m ＝－2，E(－2，2)

(4)若C(2，0)，此时l 为y ＝－x ，∵P 与点O 、点C 不重合，∴m≠0且m≠2，当m ＜0时，FC ＝2(2－m)，高为|y p |即为－m ， ∴S ＝

22(2)()

m m m m --=-

同理当0＜m ＜2时，S ＝－m 2＋2m ；当m ＞2

时，S ＝m 2

－2m ；∴S ＝22

2(02)

2(02)m m m m m m m ?-<>?-+<

或又若C(－2，0)，此时l 为y ＝x ，同理可得；S ＝22

2(20)

m m m m m m m ?+<->?---<

7.（江苏连云港）如图，直线4+=kx y 与函数)0,0(>>=

m x x

y 的图像交于A 、B 两点，且与x 、y 轴分别交于C 、D 两点．

（1）若COD ?的面积是AOB ?的面积的2倍，求k 与m 之间的函数关系式；

（2）在（1）的条件下，是否存在k 和m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ．若存在，求出k 和m 的值；若不存在，请说明理由．

[解]（1）设),(11y x A ，),(22y x B (其中2121,y y x x ><)，

由AO B COD S S ??=2，得)(2BO D AO D CO D S S S ???-= ∴

1·

OC ·2=OD (21·OD ·-1y 21

·OD ·2y )，)(221y y OC -=，又4=OC ，∴8)(2

21=-y y ，即84)(212

21=-+y y y y ，由x m

y =可得y m x =，代入4+=kx y 可得042=--km y y ①

∴421=+y y ，km y y -=?21， ∴8416=+km ，即m

k 2

= 又方程①的判别式08416>=+=?km ， ∴所求的函数关系式为m

k 2

-=)0(>m ．

（2）假设存在k ,m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ．

则BP AP ⊥，过A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ．

∵MAP ∠与BPN ∠都与APM ∠互余，∴MAP ∠ BPN ∠=． ∴Rt M AP ?∽Rt NPB ?，∴NB

PN AM =． ∴212122y x x y -=-，∴0)2)(2(2121=+--y y x x ， ∴0)2)(2(212

1=+--y y y m

y m ，即0)(4)(222121212=+++-y y y y y y m m ②

由（1）知421=+y y ，221=?y y ，代入②得01282=+-m m ，∴2=m 或6，又m

k 2

-=，

∴???-==12k m 或??

==316k m ， ∴存在k ,m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ，

且???-==12k m 或??

==316k m

8.（江苏镇江）已知抛物线2(5)5(0)y mx m x m =--->与x 轴交于两点1(,0)A x

2(,0)B x 12()x x <，与y 轴交于点C ，且AB =6.

（1）求抛物线和直线BC 的解析式.

N M O P

D C B A

O （2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC . （3）若P 过A 、B 、C 三点，求P 的半径.

（4）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，使MBN ?被直线BC 分成面

积比为13:的两部分？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.

[解]（1）由题意得：12122155

,, 6.m x x x x x x m m

--+=

?=-= 2

1212520

()436,36,m x x x x m m -??+-=+

= ???

解得125

1,.7

m m ==-

经检验m =1，∴抛物线的解析式为：24 5.y x x =+- 或：由2(5)50mx m x ---=得，1x =或

5x m

0,m > 5

16, 1.m m

-∴-

=∴= ∴抛物线的解析式为24 5.y x x =+-

由2

450x x +-=得125, 1.x x =-= ∴A （－5，0），B （1，0），C （0，－5）. 设直线BC 的解析式为,y kx b =+

则5,5,

0. 5.

b b k b k =-=-??∴?

+==?? ∴直线BC 的解析式为5 5.y x =- (2)图象略.

（3）法一：在Rt AOC D 中，

5,45.OA OC OAC ==∴∠=?

90BPC ∴∠=?.

又2226,BC OB OC =+=

∴

P 的半径2

2613.2

PB =?

= 法二：

由题意，圆心P 在AB 的中垂线上，即在抛物线2

45y x x =+-的对称轴直线2x =-上，设

P （－2，－h ）（h ＞0），

连结PB 、PC ，则222222(12),(5)2PB h PC h =++=-+，由2

PB PC =，即2222(12)(5)2h h ++=-+，解得h =2.

(2,2),P P ∴--∴的半径22(12)213PB =++=.

法三：

延长CP 交P 于点F .

CF 为P 的直径，90.CAF COB ∴∠=∠=? 又,.ABC AFC ACF OCB ∠=∠∴D ~D

,.CF AC AC BC

CF BC OC OC

?∴

=∴= 又225552,AC =+=225,5126,CO BC ==+=

∞

5226

213.5

CF ?∴=

P ∴的半径为13.

（4）设MN 交直线BC 于点E ，点M 的坐标为2(,45),t t t +-则点E 的坐标为(,55).t t -

若13,MEB ENB S S =D D ::则13.ME EN =::

34,45(55).3

EN MN t t t ∴=∴+-=

-:: 解得11t =（不合题意舍去），25,3t =

540,.39M ??∴ ???

若31,MEB ENB S S =D D ::则31.ME EN =::

214,454(55).EN MN t t t ∴=∴+-=-::

解得31t =（不合题意舍去），415,t =()15,280.M ∴

∴存在点M ，点M 的坐标为540,39??

???

或（15，280）.

9. 如图，⊙M 与x 轴交于A 、B 两点，其坐标分别为)03(，

-A 、)01(，B ，直径CD ⊥x 轴于N ，直线CE 切⊙M 于点C ，直线FG 切⊙M 于点F ，交CE 于G ，已知点G 的横坐标为3.

(1) 若抛物线m x x y +--=22经过A 、B 、D 三点，求m 的值及点D 的坐标.

(2) 求直线DF 的解析式.

(3) 是否存在过点G 的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由.

[解] (1) ∵抛物线过A 、B 两点，

∴1

1)3(-=

?-m

，m =3. ∴抛物线为322+--=x x y . 又抛物线过点D ，由圆的对称性知点D 为抛物线的顶点.

∴D 点坐标为)41(，

-. (2) 由题意知：AB =4.

∵CD ⊥x 轴，∴NA =NB =2. ∴

ON =1.

由相交弦定理得：NA ·NB =ND ·NC ， ∴NC ×4=2×2. ∴NC =1.

∴C 点坐标为)11(--，

. 设直线DF 交CE 于P ，连结CF ，则∠CFP =90°.

∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°. ∵GC 、GF 是切线， ∴GC =GF . ∴∠3=∠4.

∴∠1=∠2.

∴GF =GP . ∴GC =GP . 可得CP =8. ∴P 点坐标为)17(-，

设直线DF 的解析式为b kx y += 则???-=+=+-174b k b k 解得???????=-=8

278

b k

∴直线DF 的解析式为：8

85+-=x y

(3) 假设存在过点G 的直线为11b x k y +=，则1311-=+b k ，∴1311--=k b .

由方程组???+--=--=321

11x x y k x k y 得034)2(112=--++k x k x 由题意得421=--k ，∴61-=k . 当61-=k 时，040<-=?，

D C

P 1

3 4

（第9题图）

y x

M G

2011年中考数学压轴题型

中考数学压轴题1:新情境应用问题 Ⅰ、综合问题精讲：以现实生活问题为背景的应用问题，是中考的热点，这类问题取材新颖，立意巧妙，有利于对考生应用能力、阅读理解能力。问题转化能力的考查，让考生在变化的情境中解题，既没有现成的模式可套用，也不可能靠知识的简单重复来实现，更多的是需要思考和分析，新情境应用问题有以下特点：（1）提供的背景材料新，提出的问题新；（2）注重考查阅读理解能力，许多中考试题中涉及的数学知识并不难，但是读懂和理解背景材料成了一道“关”；（3）注重考查问题的转化能力．解应用题的难点是能否将实际问题转化为数学问题，这也是应用能力的核心. Ⅱ、典型题【1】（2005，宜宾）如图（8），在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P处，并以20千米/ 时的速度向西偏北25°的PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/ 时速度不断扩张． (1)当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到千米；又台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到千米. (2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理.(参考数据，)．点拨：对于此类问题常常要构造直角三角形．利用三角函数知识来解决，也可借助于方程．【2】如图2－1－5所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O点的正北方向10海里外的A点有一涉嫌走私船只正以 24海里／时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里／时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问： ⑴需要几小时才能追上(点B为追上时的位置) ⑵确定巡逻艇的追赶方向（精确到0．1°）．点拨：几何型应用题是近几年中考热点，解此类问题的关键是准确读图．

中考数学压轴题预测100题精选110题含答案1

2011年中考数学压轴题预测100题精选（1-10题）【01 】如图，已知抛物线2 (1) y a x =-+a≠0）经过点(2) A-，0，抛物线的顶点为D，过 O作射线OM AD ∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为() t s．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t()s，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．

【02】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点 P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．Array（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C 时，请直接．．写出t的值．图16

中考数学压轴题解题方法大全及技巧

专业资料整理分享中考数学压轴题解题技巧湖北竹溪城关中学明道银解中考数学压轴题秘诀（一）数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。（一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。（二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是

列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。解中考数学压轴题秘诀（二）具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：

中考数学压轴题100题精选【含答案】

中考数学压轴题100题精选【含答案】【001 】如图，已知抛物线 2 (1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为 ()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若O C O B =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1 个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；

深圳市历年中考数学压轴题

21、直线y= -x+m 与直线y=3 3 x+2相交于y 轴上的点C ，与x 轴分别交于点A 、B 。（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（3分）（2）经过上述A 、B 、C 三点作⊙E ，求∠ABC 的度数，点E 的坐标和⊙E 的半径；（4分）（3）若点P 是第一象限内的一动点，且点P 与圆心E 在直线AC 的同一侧，直线PA 、PC 分别交⊙E 于点M 、N ，设∠APC=θ，试求点M 、N 的距离（可用含θ的三角函数式表示）。（5分）

21、已知△ABC 是边长为4的等边三角形，BC 在x 轴上，点D 为BC 的中点，点A 在第一象限内，AB 与y 轴的正半轴相交于点E ，点B （-1，0），P 是AC 上的一个动点（P 与点A 、C 不重合）（1）（2分）求点A 、E 的坐标；（2）（2分）若y=c bx x 7 362 ++- 过点A 、E ，求抛物线的解析式。（3）（5分）连结PB 、PD ，设L 为△PBD 的周长，当L 取最小值时，求点P 的坐标及 L 的最小值，并判断此时点P 是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。

22、（9分）AB 是⊙O 的直径，点E 是半圆上一动点（点E 与点A 、B 都不重合），点C 是 BE 延长线上的一点，且CD ⊥AB ，垂足为D ，CD 与AE 交于点H ，点H 与点A 不重合。（1）（5分）求证：△AHD ∽△CBD （2）（4分）连HO ，若CD=AB=2，求HD+HO 的值。 O D B H E C

2006年 21．(10分)如图9，抛物线2 812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠ACB 为直角,且恰使△OCA ∽△OBC . (1)求线段OC 的长. (2)求该抛物线的函数关系式． (3)在x 轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由.

2011中考数学压轴题

中考数学压轴题汇编（1） 1、（安徽）按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。（1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝1 2 时，这种变换满足上述两个要求；（2）若按关系式y=a(x－h)2＋k (a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）【解】（1）当P=1 2 时，y=x＋() 1 100 2 x -,即y= 1 50 2 x+。 ∴y随着x的增大而增大，即P=1 2 时，满足条件（Ⅱ）……3分又当x=20时，y=1 10050 2 ?+=100。而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～ 100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P=1 2 时，这种变换满足要求；……6分（2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：（a）h≤20；（b）若x=20,100时，y的对应值m，n能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求。如取h=20,y=()2 20 a x k -+,……8分 ∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的增大…10分令x=20,y=60，得k=60 ①

令x=100,y=100，得a ×802 ＋k=100 ② 由①②解得116060 a k ? = ???=? ， ∴()212060160y x = -+。………14分 2、（常州）已知(1)A m -，与(2B m +，是反比例函数 k y x = 图象上的两个点．（1）求k 的值；（2）若点(10)C -，，则在反比例函数k y x =图象上是否存在点 D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1 ）由(1)2(m m -=+ ，得m =- k =． ····· 2分（2）如图1，作BE x ⊥轴，E 为垂足，则3CE = ，BE = ，BC =，因此 30BC E = ∠．由于点C 与点A 的横坐标相同，因此CA x ⊥轴，从而120AC B = ∠．当AC 为底时，由于过点B 且平行于AC 的直线与双曲线只有一个公共点B ，故不符题意． ····························· 3分当BC 为底时，过点A 作BC 的平行线，交双曲线于点D ，过点A D ，分别作x 轴，y 轴的平行线，交于点F ．由于30D A F = ∠，设11(0)D F m m => ，则1AF = ，12AD m =，由点(1A --，，得点11(1)D m -+-，．

初中中考数学压轴题及答案(精品)

中考数学专题复习——压轴题 1. 已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D. （1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；（3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. （注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为??? ? ??--a b ac a b 44,22） 2. 如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于 R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由． 3在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ；（2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ 4.如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4)，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD.（1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P ，使ΔOPD 的面积等于43，若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

中考数学压轴题专题复习——旋转的综合含详细答案

一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，在□ABCD中，AB=6，∠B= (60°<≤90°). 点E在BC上，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B与AD上的点F重合，连接EF. (1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)如图2，点M是BC上的动点，连接AM，把线段AM绕点M顺时针旋转得到线段MN，连接FN，求FN的最小值(用含的代数式表示). 【答案】（1）详见解析；（2）FE·sin(－90°) 【解析】【分析】 (1)由四边形ABCD是平行四边形得AF∥BE，所以∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得 ∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA,所以∠BAE=∠FEA，故有AB∥FE，因此四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF,因此可得结论； (2)根据点M在线段BE上和EC上两种情况证明∠ENG＝90°－，利用菱形的性质得到∠FEN＝－90°，再根据垂线段最短，求出FN的最小值即可. 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA, BE=EF， ∴∠BAE=∠FEA， ∴AB∥FE， ∴四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF， ∴四边形ABEF是菱形；（2）①如图1，当点M在线段BE上时，在射线MC上取点G，使MG＝AB，连接GN、EN.

∵∠AMN＝∠B＝，∠AMN+∠2＝∠1+∠B ∴∠1＝∠2 又AM＝NM，AB＝MG ∴△ABM≌△MGN ∴∠B＝∠3，NG＝BM ∵MG＝AB＝BE ∴EG＝AB＝NG ∴∠4=∠ENG= (180°－)＝90°－又在菱形ABEF中，AB∥EF ∴∠FEC＝∠B= ∴∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90° ②如图2，当点M在线段EC上时，在BC延长线上截取MG＝AB，连接GN、EN. 同理可得：∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90° 综上所述，∠FEN＝－90° ∴当点M在BC上运动时，点N在射线EH上运动(如图3) 当FN⊥EH时，FN最小，其最小值为FE·sin(－90°) 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及求最短距离的问题，解题的关键是分类讨论得出∠FEN ＝－90°，再运用垂线段最短求出FN的最小值. 2．在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(4，4)，点M，N是射线OC上两动点(OM＜

2020中考数学压轴题100题精选(附答案解析)

2020中考数学压轴题100题精选（附答案解析）【001 】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+（a ≠0）经过点 (2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结 BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．

【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t 秒（t＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S 与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C 成为直角梯形？若能，求t （4）当DE经过点C 时，请直接图16 【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

近年来中考数学压轴题大集合

近年来中考数学压轴题大集合【一】函数与几何综合的压轴题 1.〔2004安徽芜湖〕如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 假如有一抛物线通过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 假如AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，如今AD 与BC 相交于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解]〔1〕〔本小题介绍二种方法，供参考〕方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB ' '''== 又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC ' ' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ' '=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上方法二：由D 〔1，0〕，A 〔-2，-6〕，得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B 〔-2，0〕，C 〔1，-3〕，得BC 直线方程：y =-x -2② 联立①②得 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标〔0，-2〕，即E 点在y 轴上〔2〕设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A 〔-2，-6〕，C 〔1，-3〕 E 〔0，-2〕三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 〔3〕〔本小题给出三种方法，供参考〕由〔1〕当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。同〔1〕可得：1E F E F AB DC ''+=得：E ′F =2 图①

中考数学压轴题100题精选

我选的中考数学压轴题100题精选【001】如图，已知抛物线2 (1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．

【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t （4）当DE经过点C 时，请直接．．写出t 图16

河北省中考数学压轴题汇总

2010/26．（本小题满分12分）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y= 1 100 x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润=销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150 1 元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳 100 2 x 元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润=销售额－成本－附加费）．（1）当x=1000时，y =元/件，w 内=元；（2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a 的值；（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？参考公式：抛物线 2(0) yaxbxca 的顶点坐标是 2 b4acb (,) 2a4a ． 2011/26．(本小题满分12分) 如图15，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动t （t ＞0）秒，抛物线y=x 2 ＋bx ＋c 经过点O 和点P.已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1，0）、B （1，－5）、D （4，0）. ⑴求c 、b （用含t 的代数式表示）； ⑵当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段A B 、CD 交于点M 、N. ①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值； 21 8 ②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，S= ； ③在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t 的取值范围. y ADP O －1 1 x N M BC 图15 2012/26．（12分）如图1和2，在△ABC 中，AB=13，BC=14，cos ∠ABC=．探究：如图1，AH ⊥BC 于点H ，则A H=，AC=，△ABC 的面积S △ABC=；拓展：如图2，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ，设BD=x ，AE=m ，CF=n （当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD=0）

2011年全国各地中考数学压轴题专集 2一元二次方程

2011年全国各地中考数学压轴题专集：2一元二次方程 1．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边长为5．（1）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 2．已知△ABC的三边长为a、b、c，关于x的方程x2－2(a＋b)x＋c2＋2ab＝0有两个相等的实数根，又sin A、sin B是关于x的方程(m＋5)x2－(2m－5)x＋m－8＝0的两个实数根．（1）求m的值；（2）若△ABC的外接圆面积为25π，求△ABC的内接正方形的边长． 3．已知关于x的方程x2－(m＋n＋1)x＋m＝0（n≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．（1）试用含有α、β的代数式表示m和n；（2）求证：α≤1≤β；（3）若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（1，2），B（1 2 ，1），C （1，1），问是否存在点P，使m＋n＝5 4 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．请阅读下列材料：问题：已知方程x2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝y 2 ．把x＝y 2 代入已知方程，得( y 2 )2＋ y 2 －1＝0．化简，得y2＋2y－4＝0．故所求方程为y2＋2y－4＝0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）；（1）已知方程x2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：___________________；（2）已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．

深圳十年中考数学压轴题汇总

200621．如图9，抛物线2812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠. (1)(3分)求线段OC 的长. 解： (2)(3分)求该抛物线的函数关系式．解： (3)(4分)在x 轴上是否存在点P ，使△P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 解：200622．(10分)如图10-1 ⊙M 交 x 轴于 A B 、两点，交y 轴于 C D 、两点，且C A 的坐标为（－2，0），AE 8= (1)(3分)求点C 的坐标. 解： (2)(3分)连结MG BC 、，求证：MG ∥BC 证明： (3)(４分 ) 如图10-2，过点 D 作⊙M 的切线，交x 轴于点的圆周上运动时， PF OF 解： 200722．如图6，在平面直角坐标系中，正方形AOCB OD OB =，BD 交OC 于点E ．（1）求BEC ∠的度数．（2）求点E 的坐标．（3）求过B O D ，， 5== ② 1== ；③ ==等运算都是分母有理化） 200723．如图7x 相交于A B ，两点．（1）求线段AB 的长．（2）若一个扇形的周长等于（1大面积是多少？（3）如图8，线段AB M ，分别求出图6

OM OC OD ，，的长，并验证等式 222 111 OC OD OM += 是否成立．（4）如图9，在Rt ABC △中，90ACB =o ∠，CD AB ⊥，垂足为D ，设BC a =，AC b =， AB c =．CD b =，试说明：222 111 a +=． 2+bx 点， 3 1 ． F ，使以点A 、 C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积. 200922．如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB . （1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由. （4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 200923．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y =－2x －8两点，点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P （1）连结PA ，若PA =PB ，试判断⊙P 与x （2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 201022．（本题9分）如图9，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）．（1）求抛物线的解析式；（3分）（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 的坐标；（2分）（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分）图7 图8 图9

中考数学压轴题精选及答案(整理版)

20XX 年全国各地中考数学压轴题精选 1、（黄石市20XX 年）（本小题满分9分）已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，点1 O 在⊙2O 上，C 为⊙2O 上一点（不与A ，B ，1O 重合），直线CB 与⊙1O 交于另一点D 。（1）如图（8），若 AC 是⊙2O 的直径，求证：AC CD =；（2）如图(9)，若C 是⊙1O 外一点，求证：1O C AD ⊥；（3）如图（10），若C 是⊙1O 内一点，判断（2）中的结论是否成立。 2、（黄石市20XX 年）（本小题满分10分）已知二次函数 2248y x mx m =-+- （1）当2x ≤时，函数值 y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围。（2）以抛物线 2248y x mx m =-+-的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形 AMN （M ，N 两点在抛物线上），请问：△AMN 的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。（3）若抛物线 2248y x mx m =-+-与x 轴交点的横坐标均为整数，求整数m 的值。

3、（20XX 年广东茂名市）如图，⊙P 与y 轴相切于坐标原点O （0，0），与x 轴相交于点A （5，0），过点A 的直线AB 与 y 轴的正半轴交于点B ，与⊙P 交于点C ．（1）已知AC=3，求点Ｂ的坐标；（４分）（2）若AC=a , D 是O Ｂ的中点．问：点O 、P 、C 、D 四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为1O ，函数 x k y = 的图象经过点1O ，求k 的值（用含a 的代数式表示）． 4、庆市潼南县20XX 年）如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ ACB =90,AC =BC ,OA =1，OC =4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．（1）求b ,c 的值；（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由. 第3题图 χ y

2011中考数学压轴题精选精析(1)

2011年中考数学压轴题精选精析（10例） 1、（2011?北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，我把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含AB线段）．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上．（1）求两条射线AE，BF所在直线的距离；（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；（3）已知?AMPQ（四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围．考点：一次函数综合题；勾股定理；平行四边形的性质；圆周角定理。专题：综合题；分类讨论。分析：（1）利用直径所对的圆周角是直角，从而判定三角形ADB为等腰直角三角形，其直角边的长等于两直线间的距离；（2）利用数形结合的方法得到当直线与图形C有一个交点时自变量x的取值范围即可；（3）根据平行四边形的性质及其四个顶点均在图形C上，可能会出现四种情况，分类讨论即可．解答：解：（1）分别连接AD、DB，则点D在直线AE上，如图1， ∵点D在以AB为直径的半圆上， ∴∠ADB=90°， ∴BD⊥AD，在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD=错误！未找到引用源。， ∵AE∥BF， ∴两条射线AE、BF所在直线的距离为错误！未找到引用源。．

（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是b=错误！未找到引用源。或﹣1＜b＜1；当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是1＜b＜错误！未找到引用源。（3）假设存在满足题意的平行四边形AMPQ，根据点M的位置，分以下四种情况讨论：①当点M在射线AE上时，如图2． ∵AMPQ四点按顺时针方向排列， ∴直线PQ必在直线AM的上方， ∴PQ两点都在弧AD上，且不与点A、D重合， ∴0＜PQ＜错误！未找到引用源。． ∵AM∥PQ且AM=PQ， ∴0＜AM＜错误！未找到引用源。 ∴﹣2＜x＜﹣1， ②当点M不在弧AD上时，如图3， ∵点A、M、P、Q四点按顺时针方向排列， ∴直线PQ必在直线AM的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形． ③当点M在弧BD上时，设弧DB的中点为R，则OR∥BF，当点M在弧DR上时，如图4，过点M作OR的垂线交弧DB于点Q，垂足为点S，可得S是MQ的中点． ∴四边形AMPQ为满足题意的平行四边形， ∴0≤x＜错误！未找到引用源。．当点M在弧RB上时，如图5，直线PQ必在直线AM的下方，此时不存在满足题意的平行四边形． ④当点M在射线BF上时，如图6，直线PQ必在直线AM的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形．综上，点M的横坐标x的取值范围是

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