概率统计专题复习(文科)

概率、统计专题复习（文科）

例1.近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其

他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨): “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;

(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ,其中0a >,600a b c ++=.当数据,,a b c 的方差2

S 最大时,写出,,a b c 的值(结论不要求证明),并求此时2

S 的值.(注:方差2222121[()()()]n s x x x x x x n

=-+-++-,其

中x 为12,,n x x x 的平均数)

例2.从装有编号分别为a,b 的2个黄球和编号分别为 c,d 的2个红球的袋中无放回地摸球，每次任摸一球，求：(Ⅰ)第1次摸到黄球的概率；(Ⅱ)第2次摸到黄球的概率.

例3.一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：

轿车A 轿车B 轿车C

舒适型 100 150 z

标准型

300

450

600

按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆． (1)求z 的值；

(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；

(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：

9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．

作业：

11 ．（2012陕西理）从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,

统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均

数分别为x 甲,x 乙,中位数分别为m 甲,m 乙,则 （ ） (A)． x x <甲乙,m 甲>m 乙 (B)．x x <甲乙,m 甲甲乙,m 甲>m 乙 (D)．x x >甲乙,m 甲

2.200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h 的汽

车数量为（ ）

（A ）65辆 （B ）76辆（C ）88 辆 （D ）辆95 3.样本4，2，1，0，-2的标准差是

(A)．1 (B)．2 ( C)．4 (D)．52

4.国庆阅兵中，某兵种A ，B ，C 三个方阵按一定次序通过主席台，若先后顺序是随机排定的，则B 先于A ，C 通过的概率为 （ ）

61)(A 31)(B 21)(c 32

)(D

5.张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片

上的数字之和为奇数的概率为 6.某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽

取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）．若第5组抽出的号码为23，则第8组抽出的号码应是 。若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人。 7.如图

7.EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形。将一颗豆子随机地扔到该图内，用A 表示事件“豆子既落在正方形EFGH 内 又落在扇形OHE （阴影部分）内”，则P （A ）= _____________; ．

三、解答题

8.为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选

取了14天，统计上午8：00—10：00间各自的点击量，得如 下所示的统计图，根据统计图：

（1）甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少？ （2）甲网站点击量在[10，40]间的频率是多少？ （3）甲、乙两个网站哪个更受欢迎？并说明理由。

9.现有8名2012年伦敦奥运会志愿者，其中志愿者A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，C 1，C 2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． (1)求A 1被选中的概率；(2)求B 1和C 1不全被选中的概率．

茎叶图

1

10.在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：

编号n 1234 5

成绩x n7076727072

(1)求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；

(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．

11、世界大学生夏季运动会期间,为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位:cm）：若身高在175cm以上（包括175cm）定义为

“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”,

且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.

（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人,

再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？

（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，求所选志愿者中能担

任“礼仪小姐”的人数为2的概率

概率、统计专题复习（文科）

例1.近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其

他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨): “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率;

(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ,其中0a >,600a b c ++=.当数据,,a b c 的方差2

S 最大时,写出,,a b c 的值(结论不要求证明),并求此时2

S 的值. (注:方差2222121[()()()]n s x x x x x x n

=-+-++-,其中x 为12,,n x x x 的平均数)

解、(1)厨余垃圾投放正确的概率约为

“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量=2

3

=++400400100100

(2)设生活垃圾投放错误为事件A,则事件A 表示生活垃圾投放正确.

事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即P(A ),约为++=0.740024060

1000

.

所以P(A)约为1-0.7=0,3.

(3)当600a =,0b c ==时,2

S 取得最大值.因为1

()2003

x a b c =

++=, 所以222

21[(600200)(0200)(0200)]80003

S =-+-+-=.

例2.从装有编号分别为a,b 的2个黄球和编号分别为 c,d 的2个红球的袋中无放回地摸球，每次任摸一球，求： (Ⅰ)第1次摸到黄球的概率； (Ⅱ)第2次摸到黄球的概率.

解:(Ⅰ)第1次摸球有4个可能的结果：a ，b ，c ，d ，其中第1次摸到黄球的结果包括：a ，

b ,故第1次摸到黄球的概率是

.=2

054

.

(Ⅱ)先后两次摸球有12种可能的结果：（a ，b ）（a ，c ）（a ，d ）（b ，a ）（b ，c ）（b ，d ）（c ，a ）（c ，b ）（c ，d ）（d ，a ）（d ，b ）（d ，c ），其中第2次摸到黄球的结果包括：（a ，b ）(b ，

a )（c ，a ）（c ，

b ）（d ，a ）（d ，b ），故第2次摸到黄球的概率为

. 6

0512

. 例3.一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：

轿车A 轿车B 轿车C

舒适型 100 150 z

标准型

300

450

600

按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆． (1)求z 的值；

(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；

(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：

9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率． 解: (1)设该厂这个月共生产轿车n 辆， 由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2 000，

则z ＝2 000－100－300－150－450－600＝400. (2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车， 由题意得4001 000＝a

5

，则a ＝2.

因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3

辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：

(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10个． 事件E 包含的基本事件有：

(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共7个． 故P (E )＝710，即所求概率为710

.

(3)样本平均数x ＝1

8

(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.

设D 表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包含的基本事件有：9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个，所以P (D )＝68＝34，即所求概率为34.

作业：

12 ．（2012陕西理）从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,

统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均

数分别为x 甲,x 乙,中位数分别为m 甲,m 乙,则 （ ） A ． x x <甲乙,m 甲>m 乙 B ．x x <甲乙,m 甲甲乙,m 甲>m 乙 D ．x x >甲乙,m 甲

2.200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h 的汽

车数量为（ ）

（A ）65辆 （B ）76辆（C ）88 辆 （D ）辆95 3.样本4，2，1，0，-2的标准差是

A ．1

B ．2

C ．4

D ．52

答案 B.

4.国庆阅兵中，某兵种A ，B ，C 三个方阵按一定次序通过主席台，若先后顺序是随机排定的，则B 先于A ，C 通过的概率为

61)(A 3

1)(B 21)(c 32

)(D （ ）

答案 B.

5.张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为

答案 .

12

6.某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）．若第5组抽出的号码为23，则第8组抽出的号码应是 。若用分层抽样方法，则40岁以下

年龄段应抽取 人。 A B ．38，20

7.如图4，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形。将一颗豆子随机地扔到该图内，用A 表示事件“豆子既落在正方形EFGH 内 又落在扇

形OHE （阴影部分）内”，则P （A ）= _____________; ．

三、解答题

8.为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选

取了14天，统计上午8：00—10：00间各自的点击量，得如

下所示的统计图，根据统计图：

（1）甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少？ （4分） （2）甲网站点击量在[10，40]间的频率是多少？ （4分） （3）甲、乙两个网站哪个更受欢迎？并说明理由。 （4分） 答案：解：（1）甲网站的极差为：

73-8=65； ……………………2分 乙网站的极差为：71-5=66 （4分） （2）甲网站点击量在[10，40]间的频率为

4/14=2/7=0．28571 …………8分

（3）甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方。 从数据的分布情况来看，甲网站更受欢迎。

9.现有8名2012年伦敦奥运会志愿者，其中志愿者A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，C 1，C 2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． (1)求A 1被选中的概率；

(2)求B 1和C 1不全被选中的概率．

解: (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件共有C 13C 13C 1

2＝18个．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．

用M 表示“A 1恰被选中”这一事件， 事件M 由C 13C 1

2＝6， 因而P (M )＝618＝13

.

(2)用N 表示“B 1、C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1、C 1全被选中”这

茎叶图 1

一事件，由于N 包含(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)3个结果，事件N 有3个基本事件组成，所以P (N )＝

318＝1

6

，由对立事件的概率公式得 P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56

.

10.在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n 表示编号为n (n ＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：

编号n 1 2 3 4 5 成绩x n

70

76

72

70

72

(1)求第6位同学的成绩x 6，及这6位同学成绩的标准差s ；

(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率． 解 (1)∵这6位同学的平均成绩为75分， ∴1

6(70＋76＋72＋70＋72＋x 6)＝75，解得x 6＝90， 这6位同学成绩的方差

s 2＝1

6

×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标

准差s ＝7.

(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种，

恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，所求的概率为4

10

＝0.4，

即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.

11、世界大学生夏季运动会期间,为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位:cm ）：若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为 “高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”, 且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.

（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人, 再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？ （Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，求所选志愿者中能担 任“礼仪小姐”的人数为2的概率 【解析】（Ⅰ）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，

用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是

6

1

305=， 所以选中的“高个子”有26112=?人，“非高个子”有36

1

18=?人．

用事件A 表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一名“高个

子”被选中”，

则()P A =-1252

3C C 10

7

1031=-=． 因此，至少有一人是“高个子”的概率是107．

（Ⅱ）

55

12C C C )2(3

121

8

24===ξP ， ．