精编圆锥曲线方程知识点总结
2011年圆锥曲线方程知识点总结
1.圆锥曲线的两个定义：
（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．6
21=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122
2
2
1=+PF PF （答：C ）；
（2）方程2222(6)(6)8x y x y -+-++=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如 (08宣武一模) 已知P 为抛物线221x y =
上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是)2
17
,6(，则PM PA +的最小值是 _____ （答：2
19
）
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b
y a x （0a b >>）?
{
cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为参数），焦
点在y 轴上时2222b
x a y +＝1（0a b >>）。方程22
1Ax By +=表示椭圆的充要条件是什么？（A ，B ，同正，A
≠B ）。如（1）已知方程1232
2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答：11
(3,)
(,2)22
---）；
（2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2
2y x +的最小值是___（答：5,2）
（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程22
1
Ax By +=表示双曲线的充要条件是什么？（A ，B 异号）。如（1）双曲线的离心率等于25
，且与椭圆14
922=+y x 有公共
焦点，则该双曲线的方程_______（答：2
214
x y -=）；
（2）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=
e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C
的方程为_______（答：226x y -=）
（3）抛物线：开口向右时2
2(0)y px p =>，开口向左时2
2(0)y px p =->，开口向上时2
2(0)x py p =>，开口向下时2
2(0)x py p =->。
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）如:2
2y x =焦点10,8?
? ???
（1）椭圆：由x 2
,y 2
分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程1212
2=-+-m
y m x 表示焦
点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：)2
3,1()1,( --∞）
（2）双曲线：由x
2
,y 2
项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；
（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；
（2）在椭圆中，a 最大，2
2
2
a b c =+，在双曲线中，c 最大，2
2
2
c a b =+。
（3）不要思维定势认为圆锥曲线方程都是标准方程
4.圆锥曲线的几何性质：
（1）椭圆（以122
22=+b
y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；
③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为
2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c
e a
=，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；
e 越大，椭圆越扁。如（1）若椭圆1522=+m
y x 的离心率510
=
e ，则m 的值是__（答：3或325）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：22）
（2）双曲线（以
22
22
1x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈； ②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，
其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为
22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2
a x c =±； ⑤离心率：c
e a
=，双曲线?1e >，等轴双曲线?2e =，
e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b
y x a
=±
。⑤双曲线焦点到渐近线的距离是b ,垂足恰好在准线上
如（1）双曲线的渐近线方程是023=±y x ，则该双曲线的离心率等于______（答：
132或133
）；（2）双曲线22
1ax by -=的离心率为5，则:a b =
（答：4或
1
4
）； （3）设双曲线122
22=-b
y a x （a>0,b>0）中，离心率e ∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围
是________（答：[
,]32
ππ
）； （3）抛物线（以2
2(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(
,0)2
p
，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2p x =-
；⑤离心率：c e a
=，抛物线?1e =。如设R a a ∈≠,0，则抛物线2
4ax y =的焦点坐标为________（答：)161
,
0(a
）； 5、点00(,)P x y 和椭圆122
22=+b
y a x （0a b >>）的关系：
（1）点00(,)P x y 在椭圆外?22
00
221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上?220220b y a x +＝1；
（3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200
221x y a b
+<
6．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：0?>?直线与椭圆相交； 0?>?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0?>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0?>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0?>?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0?>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0?>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。 如（1）若直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______（答：(-
3
15
,-1)）； （2）直线y ―kx ―1=0与椭圆22
15x y m +=恒有公共点，则m 的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；（3）过双曲线12
12
2=-y x 的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若│AB ︱＝4，则这样的直线有___条（答：3）
（2）相切：0?=?直线与椭圆相切；0?=?直线与双曲线相切；0?=?直线与抛物线相切；
（3）相离：0?
（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；
（2）过双曲线22
22b
y a x -＝1外一点00(,)P x y 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：
①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相
切的两条切线，共四条；
②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切
的两条切线，共四条；
③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线； ④P 为原点时不存在这样的直线；
（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。
如（1）过点)4,2(作直线与抛物线x y 82
=只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）；
（2）过点(0,2)与双曲线11692
2=-y x 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为___（答：445,33????±±??????）；
（3）过双曲线12
2
2
=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若=AB 4，则满足条件的直线l 有____条
（答：3）；
（4）对于抛物线C ：x y 42
=，我们称满足02
04x y <的点),(00y x M 在抛物线的内部，若点),(00y x M 在抛物线的内部，则直线l ：)(200x x y y +=与抛物线C 的位置关系是_______（答：相离）；
（5）过抛物线x y 42
=的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则
=+q
p 1
1_______（答：1）； （6）设双曲线19
162
2=-y x 的右焦点为F ，右准线为l ，设某直线m 交其左支、右支和右准线分别于R Q P ,,，则PFR ∠和QFR ∠的大小关系为___________(填大于、小于或等于) （答：等于）；
（7）求椭圆284722=+y x 上的点到直线01623=--y x 的最短距离（答：
813
13
）； （8）直线1+=ax y 与双曲线132
2
=-y x 交于A 、B 两点。①当a 为何值时，A 、B 分别在双曲线的两支上？②当a 为何值时，以AB 为直径的圆过坐标原点？（答：①()
3,3-；②1a =±）；
7、焦半径（圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径r ed =，其中d 表示P 到与F 所对应的准线的距离。
如（1）已知椭圆116252
2=+y x 上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右准线的距离为____（答：
353
）；
（2）已知抛物线方程为x y 82
=，若抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____； （3）若该抛物线上的点M 到焦点的距离是4，则点M 的坐标为_____（答：7,(2,4)±）；
（4）点P 在椭圆19252
2=+y x 上，
它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标为____（答：2512
）； （5）抛物线x y 22
=上的两点A 、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离为______（答：2）；
（6）椭圆13
42
2=+y x 内有一点)1,1(-P ，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使MF MP 2+ 之值最小，则点
M 的坐标为_______（答：)1,3
6
2(
-）； 8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点00(,)P x y 到两焦点12,F F 的距离分别为12,r r ，焦点12F PF ?的面积为S ，则在椭圆
122
22=+b
y a x 中， ①θ＝)12arccos(2
12
-r r b ，且当12r r =即P 为短轴端点时，θ最大为θ
m ax ＝2
2
2arccos a
c b -； ②2
0tan
||2
S b c y θ
==，当0||y b =即P 为短轴端点时，m ax S 的最大值为bc ；
对于双曲线22
221x y a b
-=的焦点三角形有：
①???? ?
?-=21221arccos r r b θ；②2cot sin 212
21θθb r r S ==。 如（1）短轴长为5，离心率3
2
=e 的椭圆的两焦点为1F 、2F ，过1F 作直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ?的周长为________（答：6）；
（2）设P 是等轴双曲线)0(222>=-a a y x 右支上一点，F 1、F 2是左右焦点，若0212=?F F PF ，|PF 1|=6，
则该双曲线的方程为 （答：224x y -=）；
（3）椭圆22194
x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上的动点，当PF 2→ ·PF 1→ <0时，点P 的横坐标的取值范围是
（答：3535
(,)55
-
）； （4）双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝
2
6
，F 1、F 2是它的左右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支
交于A 、B 两点，且AB 是2AF 与2BF 等差中项，则AB ＝__________（答：82）；
（5）已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且
6021=∠PF F ，
3122
1=?F PF S ．求该双曲线的标准方程（答：22
1412
x y -=）；
9、圆锥曲线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：
（1）抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；椭圆以过焦点的弦为直径的圆和相应准线相离，双曲线以过焦点的弦为直径的圆和相应准线相交
（2）设AB 为焦点弦， M 为与相应准线与x 轴的交点，则∠AMF ＝∠BMF ；
（3）抛物线设AB 为焦点弦，A 、B 在准线上的射影分别为A 1，B 1，若P 为A 1B 1的中点，则PA ⊥PB ； （4）抛物线（椭圆，双曲线）设AB 为焦点弦若AO 的延长线交准线于C ，则BC 平行于x 轴，反之，若过B 点平行于x 轴的直线交准线于C 点，则A ，O ，C 三点共线。
10、弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB ＝
2121k x x +-，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝2121
1y y k
-+
，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB ＝2121k y y +-。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦
长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。
如（1）过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x 2=6，那么|AB|等于_______（答：8）；
（2）过抛物线x y 22
=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点，则ΔABC 重心的横坐标为_______（答：3）；
11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆122
22=+b
y a x 中，
以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0202y a x b ；在双曲线22
221x y a b -=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直
线的斜率k=0
202y a x b ；在抛物线2
2(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0p y 。
如（1）如果椭圆
22
1369
x y +=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：280x y +-=）；
（2）已知直线y=－x+1与椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线L ：x
－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：
2
2
）；