导数题型分析及解题方法
一、考试容
导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数; 两个函数的和、差、基本导数公式,利用导数研究函数的单调性和极值,函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析
题型一:利用导数研究函数的极值、最值。
1.
32
()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2.已知函数2)()(2
=-==x c x x x f y 在处有极大值,则常数c = 6 ;
3.函数3
31x x y -+=有极小值 -1 ,极大值 3
题型二:利用导数几何意义求切线方程
1.曲线3
4y x x =-在点
()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2.若曲线x x x f -=4
)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ,则P 点的坐标为 (1,0)
3.若曲线4
y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为 430x y --=
4.求下列直线的方程:
(1)曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线; (2)曲线2
x y =过点P(3,5)的切线;
解:(1)
123|y k 23 1)1,1(1x /2/2
3===∴+=∴++=-=-上,在曲线点-x x y x x y P
所以切线方程为02
11=+-+=-y x x y 即, (2)显然点P (3,5)不在曲线上,所以可设切点为),(00y x A ,则2
00x y =①又函数的导数为x y 2/=,
所以过
)
,(00y x A 点的切线的斜率为
/2|0x y k x x ===,又切线过),(00y x A 、P(3,5)点,所以有
3
5
2000--=
x y x ②,由①②联立方程组得,??????====25
5 110
000y x y x 或,即切点为(1,1)时,切线斜率为
;
2201==x k ;当切点为(5,25)时,切线斜率为10202==x k ;所以所求的切线有两条,方程分
别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即,
或
题型三:利用导数研究函数的单调性,极值、最值
1.已知函数
))1(,1()(,)(2
3f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1
(Ⅰ)若函数2)(-=x x f 在处有极值,求)(x f 的表达式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数)(x f y =在[-3,1]上的最大值; (Ⅲ)若函数)(x f y =在区间[-2,1]上单调递增,数b 的取值围
解:(1)由
.23)(,)(2
23b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得 过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为:
).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即
而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上
故??
?-=-=+??
?-=-=++30233
23c a b a c a b a 即
∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③
由①②③得 a=2,b=-4,c=5 ∴
.542)(2
3+-+=x x x x f (2)).2)(23(443)(2
+-=-+='x x x x x f
当;
0)(,32
2;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时
13)2()(.0)(,132
=-=∴>'≤ (3)y=f(x)在[-2,1]上单调递增,又 ,23)(2 b ax x x f ++='由①知2a+b=0。 依题意)(x f '在[-2,1]上恒有)(x f '≥0,即.032≥+-b bx x ①当 6,03)1()(,16min ≥∴>+-='='≥= b b b f x f b x 时; ②当 φ∈∴≥++=-'='-≤= b b b f x f b x ,0212)2()(,26min 时; ③当. 60,01212)(,1622min ≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时 综上所述,参数b 的取值围是),0[+∞ 2.已知三次函数32 ()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值,且(2)4f -=-. ① ② (1) 求函数()y f x =的表达式; (2) 求函数()y f x =的单调区间和极值; (3) 若函数()()4(0)g x f x m m m =-+>在区间[3,]m n -上的值域为[4,16]-,试求m 、n 应满足的条件. 解:(1) 2()32f x x ax b '=++, 由题意得,1,1-是2 320x ax b ++=的两个根,解得,0,3a b ==-. 再由(2)4f -=-可得2c =-.∴ 3 ()32f x x x =--. (2) 2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-, 当1x <-时,()0f x '>;当1x =-时,()0f x ' =; 当11x -<<时,()0f x '<;当1x =时,()0f x ' =; 当1x >时,()0f x ' >.∴函数()f x 在区间(,1]-∞-上是增函数; 在区间[1,]-1 上是减函数;在区间[1,)+∞上是增函数. 函数()f x 的极大值是(1)0f -=,极小值是(1)4f =-. (3) 函数()g x 的图象是由()f x 的图象向右平移m 个单位,向上平移4m 个单位得到的, 所以,函数()f x 在区间[3,]n m --上的值域为[44,164]m m ---(0m >). 而(3)20f -=-,∴4420m --=-,即4m =. 于是,函数()f x 在区间[3,4]n --上的值域为[20,0]-. 令()0f x =得1x =-或2x =.由()f x 的单调性知,142n --,即36n . 综上所述,m 、n 应满足的条件是:4m =,且36n . 3.设函数()()()f x x x a x b =--. (1)若()f x 的图象与直线580x y --=相切,切点横坐标为2,且()f x 在1x =处取极值,数,a b 的值; (2)当b=1时,试证明:不论a 取何实数,函数()f x 总有两个不同的极值点. 解:(1)2 ()32().f x x a b x ab '=-++ 由题意(2)5,(1)0f f ''==,代入上式,解之得:a=1,b=1. (2)当b=1时, ()0f x '=令得方程2 32(1)0.x a x a -++= 因 ,0)1(42 >+-=?a a 故方程有两个不同实根21,x x . 不妨设21x x <,由))((3)(21'x x x x x f --=可判断)(' x f 的符号如下: 当时,1x x <)('x f >0;当时,21x x x <<)('x f <0;当 时,2x x >)(' x f >0 因此1x 是极大值点,2x 是极小值点.,当b=1时,不论a 取何实数,函数()f x 总有两个不同的极值点。 题型四:利用导数研究函数的图象 1.如右图:是f (x )的导函数, )(/x f 的图象如右图所示,则f (x )的图象只可能是( D ) (A ) (B ) (C ) (D ) 2.函数的图像为14313 +-= x x y ( A ) 3.方程内根的个数为在)2,0(07622 3=+-x x ( B ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 题型五:利用单调性、极值、最值情况,求参数取值围 x y o 4 -4 2 4 -4 2 -2 -2 x y o 4 -4 2 4 -4 2 -2 -2 x y y 4 -4 2 4 -4 2 -2 -2 6 6 6 6 y x -4 -2 o 4 2 2 4 1.设函数. 10,3231 )(223<<+-+-=a b x a ax x x f (1)求函数)(x f 的单调区间、极值. (2)若当]2,1[++∈a a x 时,恒有a x f ≤'|)(|,试确定a 的取值围. 解:(1)22 ()43f x x ax a '=-+-=(3)()x a x a ---,令()0f x '=得12,3x a x a == 列表如下: x (-∞,a ) a (a ,3a ) 3a (3a ,+∞) ()f x ' - 0 + 0 - ()f x 极小 极大 ∴()f x 在(a ,3a )上单调递增,在(-∞,a )和(3a ,+∞)上单调递减 x a =时,3 4 ()3f x b a =-极小,3x a =时,()f x b =极小 (2)22 ()43f x x ax a '=-+-∵01a <<,∴对称轴21x a a =<+, ∴()f x '在[a+1,a+2]上单调递减 ∴ 22(1)4(1)321Max f a a a a a '=-+++-=-, 22min (2)4(2)344f a a a a a '=-+++-=- 依题|()|f x a '≤?||Max f a '≤,min ||f a '≤ 即|21|,|44|a a a a -≤-≤ 解得415a ≤≤,又01a << ∴a 的取值围是4[,1)5 2.已知函数f (x )=x3+ax2+bx +c 在x =-2 3与x =1时都取得极值(1)求a 、b 的值与函 数f (x )的单调区间 (2)若对x 〔-1,2〕,不等式f (x )c2恒成立,求c 的取值围。 解:(1)f (x )=x3+ax2+bx +c ,f (x )=3x2+2ax +b 由f (23- )=124a b 093-+=,f (1)=3+2a +b =0得a =1 2- ,b =-2 f (x )=3x2-x -2=(3x +2)(x -1),函数f (x )的单调区间如下表: x (-,-23) -2 3 (-2 3,1) 1 (1,+) f (x ) + 0 - 0 + f (x ) 极大值 极小值 所以函数f (x )的递增区间是(-,-23)与(1,+),递减区间是(-2 3,1) (2)f (x )=x3-12x2-2x +c ,x 〔-1,2〕,当x =-23时,f (x )=2227+c 为极大值,而f (2)=2+c ,则f (2)=2+c 为最大值。 要使f (x )c2(x 〔-1,2〕)恒成立,只需c2f (2)=2+c ,解得c -1或c 2 题型六:利用导数研究方程的根 1.已知平面向量a =(3,-1). b =(21 ,23). (1)若存在不同时为零的实数k 和t ,使x =a +(t2-3)b ,y =-k a +t b ,x ⊥y , 试求函数关系式k=f(t) ; (2) 据(1)的结论,讨论关于t 的方程f(t)-k=0的解的情况. 解:(1)∵x ⊥y ,∴x y ?=0 即[a +(t2-3) b ]·(-k a +t b )=0. 整理后得-k 2 a +[t-k(t2-3)] a b ?+ (t2-3)·2 b =0 ∵a b ?=0,2 a =4,2 b =1,∴上式化为-4k+t(t2-3)=0,即k=41 t(t2-3) (2)讨论方程41t(t2-3)-k=0的解的情况,可以看作曲线f(t)= 41 t(t2-3)与直线y=k 的交点个 数. 于是f ′(t)= 43(t2-1)= 43 (t+1)(t-1). 令f ′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t 变化时,f ′(t)、f(t)的变化情况如下表: t (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+ ∞) f ′(t) + 0 - 0 + F(t) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 当t=-1时,f(t)有极大值,f(t)极大值=21 . 当t=1时,f(t)有极小值,f(t)极小值=-21 函数f(t)=41 t(t2-3)的图象如图13-2-1所示, 可观察出: (1)当k >21或k <-21 时,方程f(t)-k=0有且只有一解; (2)当k=21或k=-21 时,方程f(t)-k=0有两解; (3) 当-21<k <21 时,方程f(t)-k=0有三解. 题型七:导数与不等式的综合 1.设 ax x x f a -=>3 )(,0函数在),1[+∞上是单调函数. (1)数a 的取值围; (2)设 x ≥1,)(x f ≥1,且00))((x x f f =,求证:0 0)(x x f =. 解:(1) ,3)(2a x x f y -='='若)(x f 在[)+∞,1上是单调递减函数,则须 ,3,02x a y ><'即这样的实数a 不存在.故)(x f 在[)+∞,1上不可能是单调递减函数. 若)(x f 在[)+∞,1上是单调递增函数,则a ≤2 3x , 由于 [)33,,12