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2013年广州市普通高中毕业班综合测试(文)

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试卷类型：A

2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（文科） 2013．3

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题

卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位

置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答

案无效。

4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：线性回归方程 y bx a =+ 中系数计算公式 1

i i i n

i i x x y y b a y b x x x ()()

,()

==--∑=

=--∑

，其中y x ,表示样

本均值.

锥体的体积公式是13

V Sh =

,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的． 1、已知i 是虚数单位，则复数1-2i 的虚部为（）

A 、2

B 、1

C 、1-

D 、2- 2、设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A ,,=，{}24B ,=

，则（）

A 、U A

B = B 、

U =()U A eB C 、U A = ()U

B e D 、

U =()U A e()U B e

3、直线3490x y +-=与圆()2

211x y -+=的位置关系是（）

A 、相离

B 、相切

C 、直线与圆相交且过圆心

D 、直线与圆相交但不过

圆心

4、若函数()y f

x =是函数2x

=的反函数，则()2f

的值是（）

A 、4

B 、2

C 、1

D 、0 5、已知平面向量a ()2m =

-,，b

()13=

,，且()

-⊥a b b ，则实数m 的值为（）

A 、23-

B 、23

C 、43

D 、63

6、已知变量x y ,满足约束条件21110x y x y y ,,.

?+≥?

-≤??-≤?

则2z x y =-的最大值为（）

A 、3-

B 、0

C 、1

D 、3

7、某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是

A 、2

B 、1

C 、

D 、

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图2

A 8、已知函数()

22f x x sin =，

为了得到函数()

22g x x x sin cos =+的图象，

只要将()y f x =的

图象（）

A 、向右平移4

个单位长度 B 、向左平移4

个单位长度 C 、向右平移

个单位长度 D 、向左平移

个单位长度

9、“2m <”是“一元二次不等式2

10x mx ++>的解集为R ”的（）

A 、充分不必要条件

B 、必要不充分条件

C 、充要条件

D 、既不充分也不必要条件 10、设函数()f

x 的定义域为D ，如果x

D y D ,?∈?∈，使

()

x f y C C (+=为常数)成立，则称函

数()f x 在D 上的均值为C . 给出下列四个函数：①3y x =；②12x

y ??

= ???

；③y x ln =；④

21y x sin =+, 则满足在其定义域上均值为1的函数的个数是（）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题） 11、函数()

()21f x x x ln =

-+-的定义域是

12、某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料：

根据上表可得回归方程??1.23y x a =+，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年的维修费用约万

元（结果保留两位小数）．

13、已知经过同一点的n n (∈N 3n *

,)≥个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这n 个平面将空间分成

()f

n 个部分，则()

3f = ，()

n = .

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14、（坐标系与参数方程选做题）

在极坐标系中，定点32,2A π??

???

，点B 在直线cos 3sin 0ρθρθ+=上运动，当线段AB 最短时，点B 的极

坐标为．

15、（几何证明选讲选做题）

如图2，AB 是O 的直径，B C 是O 的切线，A C 与O 交于点D ，

若3B C =，165

A D =

，则AB 的长为．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

2 3 4 5 6

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

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O 4055图3

0.06b

0.02

频率组距

产量/kg

504516、（本小题满分12分）

已知函数()sin()4

f x A x π

ω=+

（其中x ∈R ，0A >，0ω>）的最大值为2，最小正周期为8.

（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4，O 为坐标原点，求cos ∠POQ 的值.

17、（本小题满分12分）

沙糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植沙糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg ），获得的所有数据按照区间

(4045,

,??(((4550

50555560,,,,,??????进行分组，得到频率分布直方图如图

3.已知样本中产量在区间(4550,??上的果树株数是产量在区间(5060,??上的果树株数的

倍，（1）求a ,b 的值；（2）从样本中产量

在区间(5060,??上的果树随机抽取两株，求产量在区间(5560,??上的果树至少有一株被抽中的概率.

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图4M

18、（本小题满分14分）

如图4，在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是平行四边形，60BCD ?∠=，2AB AD =，P D ⊥平面

A B C D ，点M 为P C 的中点，（1）求证:PA //平面BM D ；（2）求证：AD ⊥P B ；（3）若2A B

P D

==，

求点A 到平面BM D 的距离.

19、（本小题满分14分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，28a =，()11452n n n S S S n +-+=≥，n T 是数列

{}2

n a log

的前n 项和，（1）求数列{}

a 的通项公式；（2）求n T ；（3）求满足

231111010

1112013n T T T ??????--??-> ? ? ?

? ??????

? 的最大正整数n 的值。

20、（本小题满分14分）

已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F -，2F ()20,，点(2,3)A 在椭圆1C 上，过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点，抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,, 且1l 与2l 交于点P ,

（1）求椭圆1C 的方程；（2）是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）；若不存在，说明理由.

21、（本小题满分14分）

已知n ∈N *

，设函数2

()1,2

n n x

f x x x n -=-+

∈- R ，（1）求函数y =2()f x kx k (-∈R )的

单调区间；（2）是否存在整数t ，对于任意n ∈N *，关于x 的方程()0n f x =在区间1t t ,??+??上有唯一实数解，若存在，求t 的值；若不存在，说明理由.

2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（文科）试题参考答案及评分标准

说明：1、参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．

2、对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和

难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．

题号 1

答案

D D A C B C A D B C

二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分；其中14~15

题是选做题，考生只能选做一题．

11、(]1,2 12、1238. 13、8，2

n -+ 14、1116,π??

? 15、4

说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分；

② 第14题的正确答案可以是：11126

k k ,

(ππ?

+∈ ???

Z )；

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16、（本小题满分12分）

（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）

（1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >，∴2A =. ……………1分

∵()f x 的最小正周期为8，

∴28T π

=，得4

ω=

. ……………3分

∴()2sin(

f x x π

. ……………4分

（2）解法1：∵(2)2sin 2cos 22

f πππ

???， ……………5分

(4)2sin 2sin 244f πππ?

?=+=-=- ???， ……………6分

∴(2,2),(4,2)P Q -. ……………7分 ∴6,23,32OP PQ OQ =

==. ……………10分

∴()()()

222

632233cos 23

2632

O P

O Q

PO Q O P O Q

+-+-∠=

?.……12分

解法2：∵(2)2sin 2cos 22

f πππ

???， ……………5分

(4)2sin 2sin 244f πππ?

?=+=-=- ???， ……………6分

∴(2,2),(4,2)P Q -. ……………8分

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Q 1

P 1

∴(2,

2),(4,2)O P O Q ==-

. ……………10分

∴63

cos cos ,3632O P O Q PO Q O P O Q O P O Q

?∠=<>==

. ……………12分解法3: ∵(2)2sin 2cos 22

f πππ

???，……………5分

(4)2sin 2sin 244f πππ?

?=+=-=- ???，……………6分

∴(2,2),(4,2)P Q -. ……………7分作1PP x ⊥轴, 1Q Q x ⊥轴,垂足分别为11P Q ,, ∴116,2,2,32OP OP PP OQ =

=,1142O Q Q Q ,==

. ………8分

设11PO P Q O Q ,αβ∠=∠=, 则361223

sin ,cos ,sin ,cos ααββ=

. ……………10分

∴cos cos POQ ∠=()

cos cos sin sin αβαβαβ+=-=.………12分

17、（本小题满分12分）

（本小题主要考查频率分布直方图、概率等知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）

（1）解:样本中产量在区间(4550,??上的果树有

520100a a ??=（株），…………1分样本中产量在区间(5060,??上的果树有()()002520100002b b ..+??=+（株），……………2分依题意，有()41001000023

a b .=

?+，即()40023

a b .=

+.①…………3分

根据频率分布直方图可知()00200651b a ..+++?=， ② …………4分解①②得:008004a b .,.==. ……………6分

（2）解：样本中产量在区间(5055,??上的果树有

0045204.??=株，分别记为123A A A ,,,4A ， ……………… 7分

产量在区间(5560,??上的果树有

0025202.??=株，分别记为12B B , ……… 8分从这6株果树中随机抽取两株共有15种情况：()()1213A A A A ,,,，()14A A ,

()()()()()()1

A B A B A A A A A B A B ,,,,,,,,,,,,()3

A A ,,()3

A B ,,

()32A B ,，()()4142A B A B ,,,,()12

B B ,. ……………10分其中产量在(5560,??上的果树至少有一株共有9种情况：()()1112

A B A B ,,,,

()()()()2

A B A B A B A B ,,,,,,,,()()4

A B A B ,,,，()12

B B ,. ………11分记“从样本中产量在区间(5060,??上的果树随机抽取两株，产量在区间(5560,??上的

果树至少有一株被抽中”为事件M ，则()9315

P M =

. ……………12分

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18、（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间线面位置关系、点到平面的距离等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） (1)证明:连接A C ，A C 与B D 相交于点O , 连接M O ，

∵A B C D 是平行四边形，∴O 是A C 的中点. ……………1分 ∵M 为P C 的中点， ∴MO AP //. ……………2分

∵P A ?平面BM D ,M O ?平面BM D , ∴PA //平面BM D . ………3分 (2)证明:∵P D ⊥平面A B C D ，AD ?平面A B C D ， ∴P D ⊥A D . ……………4分 ∵60BAD BCD ?

∠=∠=，2AB AD =， ∴2

260BD

AB AD cos ?

=+-??

2222AB AD AD =+-

22AB AD =-. ……………5分 ∴22AB AD =2BD +.

∴AD BD ⊥. ……………6分

∵PD BD D = ，PD ?平面PBD ，BD ?平面PBD ，

∴AD ⊥平面PBD . ……………7分 ∵P B ?平面PBD ，

∴AD PB ⊥. ……………8分

（3）解：取C D 的中点N ，连接M N ，则MN PD //且12

MN PD =.

∵P D ⊥平面A B C D ，2PD =，

∴M N ⊥平面A B C D ，1M N =. ……………9分在Rt △PC D 中，2C D AB PD ===，2

1122

DM PC PD CD =

=+=，

∵BC AD //,AD PB ⊥, ∴B C P B ⊥.

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在Rt △P B C 中，122BM PC =

在△BM D 中，BM D M =，O 为B D 的中点, ∴M O B D ⊥.

在Rt △ABD 中，360

232

BD AB sin ?

=?=?=.

在Rt △M O B 中，2

M O BM

=-=

52.

∴132

ΔABD S AD BD =

，1152

ΔM BD S BD M O =

.…………11分

设点A 到平面BM D 的距离为h ，

∵M ABD A M BD V V --=，

∴1

3M N 13

ΔABD S h = ΔM BD S . ……………12分

即13

?312

?13

h =

154

，解得255

h =

. ……………13分

∴点A 到平面BM D 的距离为

255

. ……………14分

19、（本小题满分14分）

（本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等知识，考查分类与整合、化归与转化的数学思想方

法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：∵当2n ≥时，1145n n n S S S +-+=，

∴()114n n n n S S S S +--=-. ……………1分 ∴14n n a a +=； ……………2分 ∵12a =，28a =，

∴214a a =； ……………3分

∴数列{}n a 是以12a =为首项，公比为4的等比数列； ∴1

n n n a --=?=. ……………4分

（2）解：由（1）得：21

22221n n a n log log -==-， ……………5分

∴21222n n T a a a log log log =+++

()1321n =+++

- ……………6分

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()

1212

n n +-=

……………7分

2n = . ……………8分（3）解： 23111111n T T T ????

-??- ? ? ? ? ???

???

? 22211111123n ??

????

=--??- ?

? ?

????

? ……………9分 2

1314

112

----=?

()()

132********n n n

???????-+=

???? ……………10分

12n n +=

. ……………11分令

2n n

+1010

2013>，解得：4

287

7n <. ……………13分

故满足条件的最大正整数n 的值为287. ……………14分

20、（本小题满分14分）

（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识） (1) 解法1：设椭圆1C 的方程为

222

1x y a

=()0a b >>,

依题意: 22

222223

1,4.a b a b ?+=?

??=+?

解得:

16,

12.

a b ?=??=?? ……………2分 ∴ 椭圆1C 的方程为

116

+=； ……………3分解法2：设椭圆1C 的方程为

1x y a

=()0a b >>，

根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……………1分

∵2c =， ∴222

12b a c =-=. ……………2分

∴ 椭圆1C 的方程为

11612x

+=. ……………3分 (2)、解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(2

12212x x x x BC --=，)4

13,2(211x x BA --=，

∵C B A ,,三点共线, ∴BC BA //

； ……………4分

∴()()()222

2112

13244x x x x

x x ??

=-- ??

化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分由2

y =,即2

y x ,=

得y '=

x . ……………6分

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∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2

41112

1x x x x y -=

-，

即2

114

12x x x y -

. ② ……………7分

同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 2

224

x x x y -

=. ③ ……………8分

设点),(y x P ，由②③得：=

114

x x x 2

224

x x x -

，

而21x x ≠，则 )(2

121x x x +=. ……………9分

代入②得 214

1x x y =

， ……………10分

则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为

3-=x y . ……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，

……………12分

∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),

∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由24x y =,即2

y x ,=

得y '=

x . ……………4分

∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2

111x x x y y -=-，

即2

1112

x y x x y -

+=. ……………5分 ∵2

114

1x y =

， ∴112

y x x y -=

∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102

y x x y -=. ① ……………6分

同理， 20202

y x x y -=

. ② ……………7分

综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程 y x x y -=002

. ……8分

∵经过),(),,(2211y x C y x B 两点的直线是唯一的， ∴直线L 的方程为y x x y -=

002

， ……………9分

∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ……………10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，…12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),

∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分

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解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，

由()2234y k x x y ,,

?=-+??=??消去y ，得248120x kx k -+-=. ……………4分

设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分由24x y =,即2

y x ,=

得y '=

x . ……………6分

∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2

111x x x y y -=-，

即2

1112

x y x x y -

+=. ……………7分 ∵2

114

1x y =

， ∴2

11124

x y x x =

同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为2

22124

x y x x =

. ……………8分

由211

222124124

x y x x x y x x ,,

?=-????=-??解得121222

234x x x k x x y k ,.?+==????==-??

∴()223P k k ,-. ……………10分 ∵1212PF PF AF AF +=+, ∴点P 在椭圆2

1116

C :+

=上. ……………11分

∴

()

()2

223116

k k -+

化简得2

71230k k --=.(*) ……………12分

由()2124732280Δ=-??-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分

21．（本小题满分14分）

（本小题主要考查三次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数的零点、数列求和等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）

（1）解：∵2

2()1,2

y f x kx x kx =-=-+

- ……………1分

∴221(1)y x x k x x k '=-+--=--++. ……………2分方程2

10x

x k -++=的判别式()

()2

14134Δk k =

--+=--.

当34k ≥-

时，0Δ≤，2(1)0y x x k '=--++≤，

故函数y =2()f x kx -在R 上单调递减； ……………3分当34

k <-

时，方程2

10x

x k -++=的两个实根为11342

k x ---=

，

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21342

k x +

--=

. ……………4分

则()1

x x ,∈

-∞时，0y '<；()1

x x ,∈

时，0y '>；()2

x x ,∈+∞时，0y '<；

故函数y =2

()f x kx -的单调递减区间为()1x ,-∞和()2

x ,+∞，

单调递增区间为()12

x x ,. ……………5分

（2）解：存在1t =，对于任意n ∈N *，关于x 的方程()0n f x =在区间1t t ,??+??上有唯

一实数解，理由如下：

当1n =时，1()1f x x =-，令1()10f x x =-=，解得1x =，

∴关于x 的方程1()0f x =有唯一实数解1x =. ……………6分当2n ≥时，由2

()12

n n x

f x x n -=-+

- ，

得22322()1n n n f x x x x x --'=-+-++- . ……………7分若1x =-，则()(1)(21)0n n f x f n ''=-=--<，

若0x =，则()10n f x '=-<, ……………8分若1x ≠-且0x ≠时，则21

()1

n n x

f x x -+'=-

+, ……………9分

当1x <-时，2110,10,()0n n x x f x -'+<+<<, 当1x >-时，2110,10,()0n n x x f x -'+>+><,

∴()0n f x '<，故()n f x 在(,)-∞+∞上单调递减. ……………10分 ∵111111(1)(11)(

)(

)23

n f n n =-+-

++-

-- 0>， ………11分

(2)(12)(

)()()23452221n n n f n n --=-+-+-++--- 2422

1212121()2()2()223452221

n n n -=-+-+-++---

13231222

(22)(21)

n n n n --=--

??-- 0<. …………12分

∴方程()0n f x =在[]1,2上有唯一实数解. ……………13分当()1x ,∈-∞时，()()10n n f x f >>；当()2x ,∈

+∞时，()

()20n n f x f <<.

综上所述，对于任意n ∈N *，关于x 的方程()0n f x =在区间12,????上有唯一实数解. ∴1t =. ……………14分