北方工业大学
《概率论与数理统计II 》课程试卷答案及评分标准
A 卷
2012年秋季学期
开课学院: 理学院
考试方式:闭卷
考试时间:120 分钟
班级 姓名 学号 注意事项:
1.最后一页可以撕下作稿纸,但不能把试卷撕散,撕散试卷作废。
2.可以使用简易计算器,但不可使用有存储功能的文曲星、掌上电脑等,否则视为作弊。
一、单项选择题(每题3分,共15分)
1. 设随机变量X 服从正态分布()21
1
,σμN
,Y 服从正态分布()22
2
,σμN ,且
12{||1}{||1},P X P Y μμ-<<-<则 ( A )
(A )21σσ>
(B )21σσ<
(C )21μμ>
(D )21μμ<
2. 设总体X 服从正态分布),(N 2
σ
μ,其中μ已知,2σ未知,321X ,X ,X 是从中抽取的一个
样本。下列表达式中不是统计量的是( C )。
(A) 123X X X ++ (B)123min(X ,X ,X ) (C)
(D) X
3. 设在一次试验中事件A 发生的概率为p , 现重复进行n 次独立试验, 则事件A 至多发生一次的概
率为( D )
(A) n
p -1 (B) n
p
(C) n p )1(1-- (D) 1
)
1()1(--+-n n p np p
4. 设()2,,
21≥???n X X X n
来自总体()1,0N 的简单随机样本,X 为样本均值,2S 为样
本方差,则( D )
(A ) ()1,0~N X n (B ) ()n nS 22
~
χ
订
线
装
(C )
()()1~1--n t S
X
n (D
5. 设两个随机变量X 和Y 的方差分别为9和4,且它们的相关系数为0.5-,则随机变量23X Y +的方差是( C )
(A )108 (B ) 72 (C ) 36 (D ) 18
二、填空题(每空3分,共15分)
1. 设事件B A ,至少发生一个的概率为0.9,且P(A)+P(B)=1.2,则B A ,至少有一个不发生的概率为___ 0.7____.
2. 设总体X 服从正态分布),,0(2
σ
N 从总体中抽取简单随机样本123456,,,,,X X X X X X 则统
计量222
123222456
X X X X X X ++++服从 (3,3)F 分布。
3. 已知总体服从参数为λ的指数分布,参数λ未知,现从总体X 中抽取简单随机样本
,X ,,X ,X n 21???则λ的矩估计量?λ
=1/X 。 4. 已知Y ,X ),(N ~Y ),,(N ~X 且1211-相互独立,记,Y X Z +=2 则~Z ()50,N 。 5. 随机变量X 服从参数为1的泊松分布,则{2()}P X D X ==
1
12
e - 。
三、计算题(共8小题,前3题每题10分,后5题每题8分,共70分)
1、市场上某类型的产品是由三家工厂所生产的,其中有4/5的产品是第一家工厂生产的,其它两家工厂各生产1/10。又知第一、第二两厂生产的有1%是不合格品,第三家工厂生产的有2%是不合格品,现从此箱中任取一件产品,求: (1) 拿到的是不合格品的概率。
(2) 若已知拿到的是不合格品,此产品来自于第一家工厂的概率。
解:设i A 表示“产品来自第i 家工厂”,i = 1, 2, 3 ;
B 表示“拿到的是不合格品” (1) ∑==3
1)|()()(i i i A B P A P B P
=011.002.010
1
01.010101.054=?+?+?
(2)11
8
011.0008.0)()|()()|(111===
B P A B P A P B A P
2、设连续型随机变量X 的密度函数为
??
?≤>=-0
0,0
,
)(x x ae x f x
试求: (1) 常数a 的值;
(2) X 的分布函数; (3) (12)P X -<<;
(4) 2X Y =的概率密度函数。
解:(1).1)(10
=?===?
?+∞
∞
-+∞
-a a dx ae dx x f x 由
(2) 1,0,
()0,0.x X e x F x x -?->=?≤?
(3)2
2
20
0(12)1x x
P X e dx e e ----<<==-=-?
(4)当0≤y 时,()0Y F y = 当0y ≥时,
y
y
x Y e dx e y X y P y X P y F -
--==≤
≤-=≤=?
1}{}{)(0
2
概率密度为???
??>≤=--.
0,2
1,
0,0)(21
y e y y y f y
Y
3、设二维随机向量),(Y X 的联合概率密度为
,00(,)0,
其他Axy x y f x y ?≤≤≤≤?
=???
试求:(1)常数A 的值
(2)(X , Y ) 关于X ,Y 的边缘概率密度; (3)判断X 与Y 是否相互独立; (4) (X , Y ) 的联合分布函数。
解:(1)由f (x,y )为),(Y X 的联合概率密度可知
1(,)f x y dxdy A +∞
+∞
-∞
-∞
===?
?
。
故A =1.
(2) (X , Y )关于X 的边缘概率密度为
0,0()(,),0X x x f x f x y dy x x +∞
-∞
?<>?
==?=≤≤???
或
同理0
0,0()(,),0Y y f x f x y dx y y +∞
-∞
?<>?
==?=≤≤???
或y
(3)因(,)()()X Y f x y f x f y =,所以X 与Y 相互独立. (4)因X 和Y 的密度函数分别为:
20,0,
1(),021,X x F x x x x ??=≤≤???>?
2
0,0,1(),0221,
Y y F y y
y y ??=≤???>
? 由(3)可知, (X , Y ) 的联合分布函数为
22
142
12212
,0,
0(,)()(),01,
0X Y x y x y x x y F x y F x F y y y x x y ?≤≤≤≤?≤≤>??
==?≤≤>?
>>???
,其它 4、设随机变量()Y X ,的分布律为
求(1)EX ,EY ,DX ,DY ;要求写出计算过程。 (2)X 与Y 的相关系数;要求写出计算过程。 (3)判断X 与Y 的相关性与独立性,并说明理由。 解:(1)Y X ,的边缘分布为:
33()808088i i i E X x p ?==-?++?=∑ ,33
()808088j j j
E Y y p ?==-?++?=∑,
2233()640644888i i i E X x p ?==?++?=∑, 2233
()640644888j
j j
E Y y p ?==?++?=∑ 22()()()()48D X D Y E Y EY ==-= 。 (2) 0)(==∑∑i
j
ij j i p y x XY E
0)()()(),(=-=∴Y E X E XY E Y X COV 0)
()(),(==
Y D X D Y X C o v XY ρ
(3) 因为相关系数等于0,X ∴与Y 不相关。 又因为3(8)8P X =-=,3
(8)8
P Y =-=
1
(8,8)(8)(8)8
P X Y P X P Y =-=-=≠=-?=-。 X ∴与Y 不独立。
5、设n X X X ,,,21 是从总体X 中取出的一个容量为n 的样本,其观测值为n x x ,,1 。
总体X 的概率密度为?
??<<=-.,0,
10,)(`1其它x x x f θθ,其中0>θ为未知参数。求
(1)θ的矩估计量;
(2)θ的极大似然估计量。 解:(1)1
)()(1
+=
==??∞
+∞
-θθθθdx x dx x xf X E ………………….
由
得X =+1
θθ
θ的矩估计量为 1
?+=X X
θ ………………………. (2) 似然函数为
???<<==-=∏
.
,0;
1,,,0,)()()(211211其它n n n n
i i x x x x x x x f L θθθ
只考虑),,2,1(10n i x i =<<
∑=-+=n
i i x n L 1
ln )1(ln )(ln θθθ
由0ln )(ln 1
=+=∑=n i i x n d L d θθθ 得
∑=-
=n
i i
x
n
1
ln θ
即θ的极大似然估计量为 ∑=-
=n
i i
X
n
1
ln ?θ ……………………….
6、用过去的炼铁技术, 铁水含碳量服从正态分布N (4.256,0.452
). 为了降低成本, 改进
了炼铁技术, 对使用新技术后的9炉铁水测得含碳量的样本均值为 4.3x =。 假设改进技术后铁水含碳量的方差未发生变化。问改进技术后铁水含碳量的均值是否仍为4.256 (取显著性水平α=0.05)?
(附表:u 0.975=1.96,u 0.95=1.645;()0.9759 2.2622t =,()0.958 1.8595t =).
(1) 256400.m m :H ==,00m m :H ≠ (2) 选择检验统计量:n
m X U /0
σ-=
(3) 由α=0.05,n = 9,查表得u 1-α/2(n -1)= u 0.975(8)=1.96, 所以,
否定域为: |U |>1.96. (4) 将样本均值和标准差代入|U
|=
22
0.293 1.96,75=
==< 未落入否定域,故接受原假设0H ,认为铁水含碳量的均值仍为4.256.
7、在一个单因素3水平的等重复试验中,每个水平下都取出6个数据,经计算得
512,252T A SS SS ==。 (1
(2)在显著性水平05.0=α下,检验因素对结果是否有显著影响。(F 0.95(2, 15)=3.68, F 0.95(2, 17)=3.59)
解:检验假设 ,:3210μμμ==H vs. 3211,,:μμμH 不全相等 因为F =6.3>F 0.95(2, 15)=3.68,故拒绝0H
所以该因素对结果有显著影响。
8、企业为研究某产品销售量与价格之间的关系,用x 表示产品价格,表示y 销售量。
根据过去12个月的销量和价格记录数据,计算得
46x =,155y =,12
21
30392i i x ==∑,12
1
79960i i i x y ==∑,12
21
295582i i y ==∑。
(1) 求线性回归方程;
(2) 检验回归方程的线性效果是否显著(05.0=α, 0.95(1,10) 4.96F =); (3) 求x =40时,销售量的点预测值。
解:(1)由已知得12
2
2
1
125000xx i
i S x x ==-=∑,12
1
125600xy i i i S x y xy ==-=-∑
故5600
???1.12,155 1.1246206.525000
xy xx
S b
a
y bx S -==
=-=-=+?=。 线性回归方程为 ???206.52 1.12.y a b x x =+=- (2)检验假设 0:0H b = 1:0H b ≠.
由12
221127282yy i i S y y ==-=∑,222
?6272,1010,R xy
e yy R S bS S S S ===-=
得 2
2(2)106272
62.1 4.961010
R e n S F S -?===>
故 拒绝0H ,回归方程线性效果显著。
(3)x =40时,?206.52 1.1240161.72y
=-?=
一、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案:0.3 解: 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______. 答案: 161-e 解答: λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ,故 16 1)3(-= =e X P 3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案: 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 故
《概率论与数理统计》期中考试试题汇总
《概率论与数理统计》期中考试试题(一) 一、选择题(本题共6小题,每小题2分,共12分) 1.某射手向一目标射击两次,A i表示事件“第i次射击命中目标”,i=1,2,B表示事件“仅第一次射击命中目标”,则B=()A.A1A2B.21A A C.21A A D.21A A 2.某人每次射击命中目标的概率为p(0
6.设随机变量X 与Y 相互独立,X 服从参数2为的指数分布,Y ~B (6,2 1),则D(X-Y)=( ) A .1- B .74 C .54- D .12 - 二、填空题(本题共9小题,每小题2分,共18分) 7.同时扔3枚均匀硬币,则至多有一枚硬币正面向上的概率为________. 8.将3个球放入5个盒子中,则3个盒子中各有一球的概率为= _______ _. 9.从a 个白球和b 个黑球中不放回的任取k 次球,第k 次取的黑球的概率是= . 10.设随机变量X ~U (0,5),且21Y X =-,则Y 的概率密度f Y (y )=________. 11.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度 f (x ,y )=? ??≤≤≤≤,y x ,其他,0,10,101则P {X +Y ≤1}=________. 12.设二维随机变量(,)X Y 的协方差矩阵是40.50.59?? ???, 则相关系数,X Y ρ= ________. 13. 二维随机变量(X ,Y ) (1,3,16,25,0.5)N -:,则X : ;Z X Y =-+: . 14. 随机变量X 的概率密度函数为 51,0()50,0x X e x f x x -?>?=??≤?,Y 的概率密度函数为1,11()20,Y y f y others ?-<=???,(,)X Y 相互独立,且Z X Y =+的概率密度函数为()z f z =
创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题(每空3分,共45分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 ; 4、已知随机变量X 的密度函数为:, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? =≤?≥? , 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率 {0.51}P X -<<= ; 5、设随机变量X~ B(2,p)、Y~ B(1,p),若{1}5/9P X ≥=,则p = ,若X 与Y 独立,则Z=max(X,Y)的分布律: ; 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与 Y 相互独立,则 D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y , X)= ; 7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本,则当k = 时, ~(3)Y t = ;
8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数,12,,,n X X X 为其样本, 1 1n i i X X n ==∑为样本均值,则θ的矩估计量为: 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ,计算得样本观察值10x =, 求参数a 的置信度为95%的置信区间: ; 二、 计算题(35分) 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为: 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求:1){|21|2}P X -<;2)2 Y X =的密度函数()Y y ?;3)(21)E X -; 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<=? ?其他 1) 求边缘密度函数(),()X Y x y ??; 2) 问X 与Y 是否独立?是否相关? 3) 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ?; 3、(11分)设总体X 的概率密度函数为: 1, 0(),000 x e x x x θ?θθ -?≥?=>?? X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。 1)求参数θ的极大似然估计量?θ ; 2)验证估计量?θ 是否是参数θ的无偏估计量。 2.(10分)环境保护条例,在排放的工业废水中,某有害物质不得超过0.5‰,假定有害物质含量X 服从正态分布。现在取5份水样,测定该有害物质含量,得如下数据: 0.530‰,0.542‰,0.510‰,0.495‰,0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=)?
《概率论与数理统计》期末试题 一、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案:0.9 解: 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______. 答案: 解答: λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ,故 16 1)3(-= =e X P 3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2 X Y =在区间)4,0(的概率密 度为=)(y f Y _________. 答案: 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 2 ()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤=- 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F =
第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是:S= ; (2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A :出现奇数点,则A= ;B :数点大于2,则B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A :第一次出现正面,则A= ; B :两次出现同一面,则= ; C :至少有一次出现正面,则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件: (1)A 、B 、C 都不发生表示为: .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为: . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为: .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为: . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为: .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为: . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S :则 (1)=?B A ,(2)=AB ,(3)=B A , (4)B A ?= ,(5)B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ,则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个 签,说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球,第二盒中有5个红球5个白球,随机地取一盒,从中随 机地取一个球,求取到红球的概率。 §1 .7 贝叶斯公式 1. 某厂产品有70%不需要调试即可出厂,另30%需经过调试,调试后有80%能出厂,求(1) 该厂产品能出厂的概率,(2)任取一出厂产品, 求未经调试的概率。 2. 将两信息分别编码为A 和B 传递出去,接收站收到时,A 被误收作B 的概率为,
1.全概率公式 贝叶斯公式 1.某保险公司把被保险人分成三类:“谨慎的”、“一般的”和“冒失的”。统计资料表明,上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.3。并且它们分别占投保总人数的20%,50%和30%。现已知某保险人在一年内出了事故,则他是“谨慎的”保险户的概率是多少? 解:设A i 、A 2、A 3分别表示“谨慎的” “一般的”和“冒失的”保险户,B 表示“发生事故”,由贝叶斯公式知 057 .030 .03.015.05.005.02.005 .02.0) |()()|()()|()() |()()|(332211111≈?+?+??= ++=A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B A P 2.老师在出考题时, 平时练习过的题目占60%. 学生答卷时, 平时练习过的题目在考试时答对的概率为90% , 平时没练习过的题目在考试时答对的概率为30%, 求: (1) 考生在考试中答对第一道题的概率; (2) 若考生将第一题答对了, 那么这题是平时没有练习过的概率. 3. 在蔬菜运输中,某汽车运输公司可能到甲、乙、丙三地去拉菜的概率依次为0.2,0.5,0.3。在三地拉到一级菜的概率分别为10%,30%,70%。 1)求能拉到一级菜的概率;2)已知拉到一级菜,求是从乙地拉来的概率。 解:1、 解:设事件A 表示拉到一级菜,1B 表示从甲地拉到,2B 表示从乙地拉到, 3B 表示从丙地拉到 则1()0.2P B =,2()0.5P B =;3()0.3P B = 1()0.1P A B =,2()0.3P A B =, 3()0.7P A B = 则由全概率公式得 3 1 ()()(/)i i i P A P B P A B ==?∑=0.20.10.50.30.30.70.38?+?+?=—(7分) (2)拉的一级菜是从乙地拉得的概率为 222()()0.50.3 ()0.3947()0.38 P B P A B P B A P A ??= ==—————————(10分) 2.一维随机变量 5.设随机变量X 在区间[0,1]上服从均匀分布,求随机变量 2X Y=e 的密度函数. 6. ).1,0(~-X Y ),,N(~X 2N σμ = σμ用分布函数法证明:已知 证明: 设 b aX Y x f X x +=),(~, 则0≠a 时,Y~ )(y f Y =a 1)(a b y Y f - {}{}) 1,0(~21 2)()()()()()(2 2)(22 2 N Y e e y f y F y F y f y F y X P y X y Y P y F y y X X Y Y X Y ∴π = σ πσ =σμ+σ=μ+σ'='=μ+σ=μ+σ≤=? ?? ???≤ σ μ -=≤=- σμ-μ+σ- 7.设随机 7.变量X 的密度函数
X,
23π+=X Y 5.设随机变量1X ,2X ,3X 相互独立,1X 在)5,1(-服从均匀分布,)2, 0(~22N X ,)2(~3Exp X (指数分布),记32132X X X Y +-=,则)(Y E )(Y D 6. 设二维正态分布的随机变量)0,3,4,2 ,1( ),(2 2-N ~Y X ,且知8413.0)1(=Φ,则 -<+)4(Y X P 7. 已知随机变量X 的概率密度2 01()0 a bx x f x ?+<<=??其他, 且41)(=X E ,则a b ) (X D 8. 设4. 0,36)(,25)(===XY Y D X D ρ,则=+)(Y X D =-)(Y X D 二. (10分) 某车间有甲乙两台机床加工同一种零件,甲机床加工的零件数量比乙机床多一倍,甲乙机床加工零件的废品率分别为0.03,0.02. 两机床加工出的零件放在一起. 试求 (1)任取一个零件是合格品的概率; (2)任取一个零件经检验是废品,试求它是由乙机床生产的概率. 解:设“从放在一起的零件中任取一件发现是甲/乙机床加工的”分别记为事件,A .A 再记“从放在一起的零件中任取一件发现是废品”为事件.B 由已知得 .02.0)(,03.0)(;3 1 )(,32)(====A B P A B P A P A P …… 3’ (1)由全概率公式知 027.075 2 02.03103.032)()()()()(≈=?+?= +=A B P A P A B P A P B P . …… 3’ 故任取一个零件是合格品的概率73 ()1()0.973.75 P B P B =-= ≈ …… 1’ (2)由贝叶斯公式知 .4 102.03 103.03202.031 )()()()()()()(=?+??=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P …… 3’
四川大学期末考试试题 (2008-2009学年第二学期) 一、单项选择题(每空2分,共10分) 1.设事件A 和B 独立,且,5.0)(,3.0)(==B P A P 则=)(B A P Y ( ) (A)0.8 (B)0.5 (C)0.65 (D)0.95 2.设随机变量X 的密度函数为+∞<<-∞=---x e x f x x ,61 )(625102π则 E(X)=( ) (A)5 (B)3 (C)-3 (D)-5 3.设X 有分布函数),(x F 令53-=X Y ,则Y 的分布函数为( ) (A)??? ??+3531y F (B))53(+y F (C) )353(-y F (D) ?? ? ??+35y F 4.设总体n X X X ,,,21Λ是独立同分布的随机变量序列,均服从参数为1的指数分布,令∑==n i i X n X 122 1,则?→?P X 2( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 5.设总体3212 ,,),,(~X X X N X σμ是来自X 的样本,记 32114 14121X X X Z ++=,3212313131X X X Z ++=,2125253X X Z += 这三个对μ的无偏估计量中,( )最有效 (A)1Z (B)2Z (C)3Z (D)无法判断 二、填空题(每空2分,共10分) 1.一个袋子中有3个红球,2个白球,从中任取3个球,则至少取得一个白球的概率是______; 2.设), 3.0,100(~B X 由切比雪夫不等式,≥<-)10|30(|X P _______; 3.设)4 3;914,1,1(~),(-N Y X 的二维正态分布,记Y X Z 32-=,则~Z _________分布; 4.设)(~λP X ,已知1)]2)(1[(=--X X E ,则=λ__________; 5.设总体)1,0(~N X ,321,,X X X 分别是来自X 的样本,
《概率论》期末 A 卷考试题(免费) 一 填空题(每小题 2分,共20 分) 1.甲、乙两人同时向一目标射击,已知甲命中的概率为0.7,乙命中的概率为0.8,则目标被击中的概率为( ). 2.设()0.3,()0.6P A P A B == ,则()P A B =( ). 3.设随机变量X 的分布函数为??? ? ? ????> ≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x a x x F ,则=a ( ), ()6 P X π > =( ). 4.设随机变量X 服从参数为2=λ的泊松分布,则=-)1(2 X E ( ). 5.若随机变量X 的概率密度为2 36 ()x X p x -= ,则(2)D X -=( ) 6.设Y X 与相互独立同服从区间 (1,6)上的均匀分布,=≥)3),(max(Y X P ( ). 7.设二维随机变量(X,Y )的联合分布律为 X Y 1 2 ?i p 0 a 12 1 6 1 1 3 1 b 则 ( ), ( ).a b == 8.设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为? ? ?>>=--其它 00,0),(2y x ae y x f y x ,则 =a ( ) 9.若随机变量X 与Y 满足关系23X Y =-,则X 与Y 的相关系数X Y ρ=( ). 10.设二维随机变量)0,4,3,2,1(~),(N Y X ,则=-)52(Y X D ( ). 二.选择题(每小题 2分,共10 分) 1.设当事件C B 和同时发生时事件A 也发生,则有( ).
) ()()(1 )()()()(1)()()()() ()()(C B P A P d C P B P A P c C P B P A P b BC P A P a =-+≤-+≥= 2.假设事件B A 和满足1)|(=B A P ,则( ). (a ) B 是必然事件 (b )0)(=-A B P (c) B A ? (d ) 0)|(=B A P 3.下列函数不是随机变量密度函数的是( ). (a )sin 0()20 x x p x π? <=??? , ,其它 (b) ?? ?<<=其它 0102)(x x x p (c) sin 0()0 x x p x π<=? ?, , 其它 (d) ?? ?<<=其它 103)(2 x x x p 4.设随机变量X 服从参数为2=λ的泊松分布,则概率==)(EX X P ( ). 1 1 22 11() ()2 () ()22 2 a e b e c e d e --- - 5.若二维随机变量(X,Y )在区域{(,)/01,01}D x y x y =<<<<内服从均匀分布,则1()2 P X Y X ≥ >=( ). 1 11() 1 () () ()4 28 a b c d 三、解答题(1-6小题每题9分,7-8小题每题8分,共70分) 1.某工厂有甲、乙、丙三车间,它们生产同一种产品,其产量之比为5:3:2, 已知三 车间的正品率分别为0.95, 0.96, 0.98. 现从全厂三个车间生产的产品中任取一件,求取到一件次品的概率。 2.设10件产品中有3件次品,从中不放回逐一取件,取到合格品为止.(1)求所需取件次数X 的概率分布 ;(2)求X 的分布函数()F x . 3.设随机变量X 的密度函数为(1) 01()0 A x x f x -<=? ?其他 .(1)求参数A ;(2)求X 的分布函数()F x ;(2)求1()3 P X >. 4.设随机变量X 的密度函数为sin 0()20 x x f x π? <=??? , ,其它, 求23Y X =-的密度()Y f y .
将 个不同的球随机地放在 个不同的盒子里,求下列事件的概率 个球全在一个盒子里 恰有一个盒子有 个球 解 把 个球随机放入 个盒子中共有45 种等可能结果 ( ) 个球全在一个盒子里 共有 种等可能结果 故 个盒子中选一个放两个球,再选两个各放一球有 30 2 415=C C 种方法 个球中取 个放在一个盒子里,其他 个各放在一个盒子里有 种方法 因此, 恰有一个盒子有 个球 共有 × 种等可能结果 故 12572 625360)(= = B P 某货运码头仅能容纳一只船卸货,而,甲乙两船在码头卸货时间分别为 小时和 小时,设甲、乙在 小时内随时可能到达,求它们中间任何一船都不需要等待码头空出的概率。 解: 设 分别为两船到达码头的时刻。 由于两船随时可以到达,故 分别等可能地在 上取值,如 厦门大学概统课程期中试卷 ____学院___系___年级___专业 考试时间
右图 方形区域,记为Ω。设 为“两船不碰面”,则表现为阴影部分。 222024,024024,024,2111 ()24576,()2322506.522 () ()0.8793 ()x y x y x y y x m m A m A P A m Ω≤<≤<≤<≤<->->Ω===?+?===Ω={(x,y)}, A={(x,y)或},有所以, 设商场出售的某种商品由三个厂家供货,其供应量之比是 : : ,且第一、二、三厂家的正品率依次为 、 、 ,若在该商场随机购买一件商品,求: 该件商品是次品的概率。 该件次品是由第一厂家生产的概率。 解 1231122331, (1) ()()(|)()(|)()(|) =60%*(1-98%)+20%*(1-98%)+20%*(1-96%) =0.024 (2) (|)A B B B P A P B P A B P B P A B P B P A B P B A =++= 设为该产品为次品,,分别为三个厂家产品,则由全概率公式可知由贝叶斯公式可知 111()()(|)60%*(1-98%) ()()0.024 =0.5P AB P B P A B P A P A == 甲乙丙三台机床独立工作,在同一时间内他们不需要工人照顾的概率分别为 ,求在这段时间内,最多只有一台机床需人照顾的概率。 解: 设123A A A 、、分别代表这段时间内甲、乙、丙机床需要照管,i B 代表这段时
20**~20**学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷(A 卷)答案 一.(本题满分8分) 某城市有汽车100000辆,牌照编号从00000到99999.一人进城,偶然遇到一辆车,求该车牌照号中含有数字8的概率. 解: 设事件{}8汽车牌照号中含有数字=A ,所求概率为()A P .…………….2分 ()()40951.010 91155 =-=-=A P A P .…………….6分 二.(本题满分8分) 设随机事件,,满足:()()()41===C P B P A P ,()0=AB P ,()()16 1==BC P AC P .求随机事件,,都不发生的概率. 解: 由于AB ABC ?,所以由概率的非负性以及题设,得()()00=≤≤AB P ABC P ,因此有 ()0=ABC P .…………….2分 所求概率为() C B A P .注意到C B A C B A ??=,因此有…………….2分 ()()C B A P C B A P ??-=1…………….2分 ()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P -+++---=1 8 3 016116104141411=-+++--- =.…………….2分 三.(本题满分8分) 某人向同一目标进行独立重复射击,每次射击时命中目标的概率均为,()10<
第一章 随机事件及其概率 一、选择题: 1.设A 、B 、C 是三个事件,与事件A 互斥的事件是: ( ) A .A B A C + B .()A B C + C .ABC D .A B C ++ 2.设B A ? 则 ( ) A .()P A B I =1-P (A ) B .()()()P B A P B A -=- C . P(B|A) = P(B) D .(|)()P A B P A = 3.设A 、B 是两个事件,P (A )> 0,P (B )> 0,当下面的条件( )成立时,A 与B 一 定独立 A .()()()P A B P A P B =I B .P (A|B )=0 C .P (A|B )= P (B ) D .P (A|B )= ()P A 4.设P (A )= a ,P (B )= b, P (A+B )= c, 则 ()P AB 为: ( ) A .a-b B .c-b C .a(1-b) D .b-a 5.设事件A 与B 的概率大于零,且A 与B 为对立事件,则不成立的是 ( ) A .A 与 B 互不相容 B .A 与B 相互独立 C .A 与B 互不独立 D .A 与B 互不相容 6.设A 与B 为两个事件,P (A )≠P (B )> 0,且A B ?,则一定成立的关系式是( ) A .P (A| B )=1 B .P(B|A)=1 C .(|A)1p B = D .(A|)1p B = 7.设A 、B 为任意两个事件,则下列关系式成立的是 ( )
A .()A B B A -=U B .()A B B A -?U C .()A B B A -?U D .()A B B A -=U 8.设事件A 与B 互不相容,则有 ( ) A .P (A B )=p (A )P (B ) B .P (AB )=0 C .A 与B 互不相容 D .A+B 是必然事件 9.设事件A 与B 独立,则有 ( ) A .P (A B )=p (A )P (B ) B .P (A+B )=P (A )+P (B ) C .P (AB )=0 D .P (A+B )=1 10.对任意两事件A 与B ,一定成立的等式是 ( ) A .P (A B )=p (A )P (B ) B .P (A+B )=P (A )+P (B ) C .P (A|B )=P (A ) D .P (AB )=P (A )P (B|A ) 11.若A 、B 是两个任意事件,且P (AB )=0,则 ( ) A .A 与 B 互斥 B .AB 是不可能事件 C .P (A )=0或P (B )=0 D .AB 未必是不可能事件 12.若事件A 、B 满足A B ?,则 ( ) A .A 与 B 同时发生 B .A 发生时则B 必发生 C .B 发生时则A 必发生 D .A 不发生则B 总不发生 13.设A 、B 为任意两个事件,则P (A-B )等于 ( ) A . ()()P B P AB - B .()()()P A P B P AB -+ C .()()P A P AB - D .()()()P A P B P AB -- 14.设A 、B 、C 为三事件,则AB BC AC U U 表示 ( ) A .A 、 B 、 C 至少发生一个 B .A 、B 、C 至少发生两个 C .A 、B 、C 至多发生两个 D .A 、B 、C 至多发生一个 15.设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是( ) A .A 与 B 互不相容 B .A 与B 相互独立
北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案
第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是:S= ; (2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A:出现奇数点,则 A= ;B:数点大于2,则B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A:第一次出现正面,则A= ; B:两次出现同一面,则= ; C:至少有一次出现正面,则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件,用A、B、C的运算关 系表示下列各事件: (1)A、B、C都不发生表示为: .(2)A 与B都发生,而C不发生表示为: . (3)A与B都不发生,而C发生表示为: .(4)A、B、C中最多二个发生表示为: . (5)A、B、C中至少二个发生表示为: .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为: .
2. 设}4 B =x ≤ x ≤ A S:则 x x = x < 3 1: }, { 2: { }, ≤ = {≤< 5 0: (1)= A,(2) ?B = AB,(3)=B A, (4)B A?= ,(5)B A= 。 §1 .3 概率的定义和性质 1.已知6.0 A P ?B = P A B P,则 ( ,5.0 ( ) ) ,8.0 (= ) = (1) =) (AB P, (2)() P)= , (B A (3)) P?= . (B A 2. 已知, 3.0 P A P则 =AB ( (= ) ,7.0 ) P= . A ) (B §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1 A P =B A P则 = A P B | ( | ) ,3/1 ) ) ,4/1 ( (=
《概率论与数理统计》期中考试试题(一) 一、选择题(本题共6小题,每小题2分,共12分) 1.某射手向一目标射击两次,A i 表示事件“第i 次射击命中目标”,i =1,2,B 表示事件“仅第一次射击命中目标”,则B =( ) A .A 1A 2 B .21A A C .21A A D .21A A 2 345C 68.将3个球放入5个盒子中,则3个盒子中各有一球的概率为=________. 9.从a 个白球和b 个黑球中不放回的任取k 次球,第k 次取的黑球的概率是=. 10.设随机变量X ~U (0,5),且21Y X =-,则Y 的概率密度
2 f Y (y )=________. 11.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度f (x ,y )=? ??≤≤≤≤,y x ,其他,0,10,101则P {X +Y ≤1}=________. 12.设二维随机变量(,)X Y 的协方差矩阵是40.50.59?? ??? ,则相关系数,X Y ρ=________. 13.二维随机变量(X ,Y )(1,3,16,25,0.5)N -,则X ;Z X Y =-+. (-1,31),(2,0),且取这些值的概率依次为61,a ,121,125. 求(1)a =?并写出(X ,Y )的分布律;(2)(X ,Y )关于X ,Y 的边缘分布律;问X ,Y 是否独立;(3){0}P X Y +<;(4)1X Y =的条件分布律; (5)相关系数,X Y ρ
18.(8分)设测量距离时产生的随机误差X ~N (0,102)(单位:m),现作三次独立测量,记Y 为三次测量中误差绝对值大于19.6的次数,已知Φ(1.96)=0.975. (1)求每次测量中误差绝对值大于19.6的概率p ; (2)问Y 服从何种分布,并写出其分布律;求E (Y ). 1取出的3件中恰有一件次品的概率为( ) A .601 B .457 C .51 D .15 7 2.下列选项不正确的是() A .互为对立的事件一定互斥 B .互为独立的事件不一定互斥 C .互为独立的随机变量一定是不相关的 D .不相关的随机变量一定是独立的 3.某种电子元件的使用寿命X (单位:小时)的概率密度为
中国计量学院2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程考试试卷B 开课二级学院: 理学院 ,考试时间: 2011 年 12_月26 日 14 时 考试形式:闭卷√、开卷□,允许带 计算器 入场 考生姓名: 学号: 专业: 班级: 1.某人射击时,中靶的概率为4 3 ,若射击直到中靶为止,则射击次数为3的概率为( ). (A) 43412?)( (B) 343)( (C) 41432?)( (D) 34 1)( 2.n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X Var i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑= =n i i X n X 1 1的数学期望和方差分别为( ). (A ) a ,2n b (B )a ,n b (C)a ,n b 2 (D )n a ,b 3.若100张奖券中有5张中奖,100个人分别抽取1张,则第100个人能中奖的概率为( ). (A) 01.0 (B) 03.0 (C) 05.0 (D) 0 4. 设 )(),(21x F x F 为两个分布函数,其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数,则必为概率密度的是( ). (A) )()(21x f x f (B))()(212x F x f (C))()(21x F x f (D) )()()()(1221x F x f x F x f + 5.已知随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-0,00 ,)(22 22x x e a x x f a x ,则随机变量X Y 1 = 的期望 =)(Y E ( ).
期末考试试卷参考解答及评分标准 开/闭卷 闭卷 A/B 卷 A 2219002801- 课程编号 2219002811 课程名称 概率论与数理统计 _______________ 学分 J ________ 第一部分基本题 一、选择题(共6小题,每小题5分,满分30分。在每小题给出的四个选项中,只有一 个是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内) (每道选择题选对满分,选 错0分) 2?假设事件A 与事件B 互为对立,则事件A B( ) (A)是不可能事件 (B)是可能事件 (C) 发生的概率为1 (D)是必然事件 答:选A ,这是因为对立事件的积事件是不可能事件。 3. 已知随机变量X,Y 相互独立,且都服从标准正态分布,则 X 2 + Y 2服从( ) (A)自由度为1的2分布 (B)自由度为2的2分布 (C)自由度为1的F 分布 (D)自由度为2的F 分布 答:选B ,因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为 2分布。 4. 已知随机变量X,Y 相互独立,X~N(2,4),Y~N(-2,1),则( (A) X+Y~P ⑷ (B) X+Y~U(2,4) (C) X+Y~N(0,5) 答:选C ,因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布, D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+1=5,所以有 X+Y~N(0,5)。 5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体 X ,E(X)= < D(X)=-2,则有( ) 答:选B ,因为样本均值是总体期望的无偏估计,其它三项都不成立。 6. 随机变量 X 服从在区间(2,5)上的均匀分布,贝U X 的数学期望E(X)的值为( ) (A) 2 (B) 3 (C) 3.5 (D) 4 答:选C ,因为在(a,b)区间上的均匀分布的数学期望为(a+b)/2。 二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分。把答案填在题中横线上) 1. 事件表达式A B 的意思是( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (C)事件B 发生但事件A 不发生 答:选D , (B) 事件A 发生但事件B 不发生 (D)事件A 与事件B 至少有一件发生 ) (D) X+Y~N(0,3) 而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2-2=0, (A) X 1+X 2+X 3是」的无偏估计 Y + V + V (B) X1 X2 入3 是邛勺无偏估计 3 (C) X ;是二2 的无偏估计 (D) .宁严2 是■-2的无偏估计
《概率论与数理统计》期末考试试题(A) 专业、班级: 姓名: 学号: 十二总成绩 、单项选择题(每题3分共18分) 1. D 2 . A 3 . B 4 . A 5 . (1) (2)设随机变量X其概率分布为X -1 0 1 2 P 则 P{X 1.5}() (A) (B) 1 (C) 0 (D) 设事件A与A同时发生必导致事件A发生,则下列结论正确的是( (A) P (A) P(A I A2) (B) P(A) P(A i) P(A2) (C) P(A) P(A1 A2) (D) P(A) P(A i) P(A2) 设随机变量X~N( 3, 1), Y ?N(2, 1),且X 与Y相互独 7,贝y z~(). (A) N(0, 5); (B) N(0, 3); (C) N(0, 46); (D) N(0, 54).
(5)设 X1X2, 未知,贝U( n (A) X i2 i 1 ,X n为正态总体N(, )是一个统计量。 (B) (C) X (D) (6)设样本X i,X2, 为H o: (A)U (C) 2)的一个简单随机样本,其中2, ,X n来自总体X ~ N( 0( 0已知) (n 1)S2 2 二、填空题(每空3分 xe x 1. P(B) 2. f(x) 0 (1) 如果P(A) 0, P(B) H1 : (B) (D) 共15分) 0, P(A B) 设随机变量X的分布函数为 F(x) 则X的密度函数f(x) 3e P(A) n (X i ) i 1 2), 2未知。统计假设 则所用统计量为( 3 . 1 4. 则P(BA) 0, 1 (1 x)e x, x 0, 0. n (X i 1 P(X 设总体X和丫相互独立,且都服从N(0,1) , X1,X2, 样本,丫1,丫2, Y9是来自总体丫的样本,则统计量 服从分布(要求给出自由度)。t(9 ) 2) )2 X9是来自总体X的 X1 U肩
07级《概率论》期末考试试题B 卷及答案 一、 填空题(满分15分): 1.一部五卷的文集,按任意次序放到书架上,则(1)“第一卷出现在旁边”的概率为 5 2 。 5 2 !5!422=?= p 2.设,)(,)(,)(r AB P q B P p A P ===则=)(B A P r p - 。性质 r p AB P A P AB A P B A P B A P -=-=-=-=)()()][)()( 3.设随机变量ξ的密度函数为() 0 3,其它 ?? ?>=-x ce x x ?则c= 3 . 33 )(130 =?= ==-+∞ +∞ ∞ -? ? c c dx e c dx x x ? 4. 设ξ、η为随机变量,且D (ξ+η)=7,D (ξ)=4,D (η)=1, 则Cov(ξ,η)= 1 . 1 21 472)(),cov() ,cov(2)(=--=--+=++=+ηξηξηξηξηξηξD D D D D D 5.设随机变量ξ服从两点分布) 1 ,1(B ,其分布律为 则ξ的特征函数为= )(t f ξit e 3 132+。 二、 单项选择题(满分15分): 1.设.A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示“三个事件恰好一个发生”为( ②. ). ① C B A ??. ② C B A C B A C B A ++ ③ ABC -Ω. ④ C B A C B A C B A C B A +++ 2.设随机变量ξ的分布函数为
00)(2 2 <≥?? ???+=-x x B Ae x F x 则其中常数为(① )。 ①A=-1,B=1 ②A=1,B=-1 ③ A=1,B=1 ④ A=-1,B =-1 B A B e A x F B B e A x F x x x x x x +=+===+==-→→- +∞ →+∞ →++2 2 22lim )(lim 0lim )(lim 1 解得1,1=-=B A 3设随机变量ξ的分布列为.,2,1,2 1 )2)1(( ==-=k k P k k k ξ则ξE ( ④ ) ①等于1. ② 等于2ln ③等于2ln - ④ 不存在 445111 =?==∑ ∞ =C C C i i ∑∑+∞=+∞ =+=?-11 1 1 4545) 1(i i i i i i i ,由调和级数是发散的知,EX 不存在 4.对于任意两个随机变量ξ与η,下面(④ )说法与0),cov(=ηξ不等价。 ①相关系数0,=Y X ρ ② )()()(ηξηξD D D +=+ ③ ηξξηE E E ?=)( ④ ξ 与η相互独立 5.设随机变量ξ服从二项分布)2 1 ,4(B ,由车贝晓夫不等式有 ( ② ). ①.31 )32(≤ ≥-ξP ②.91 )32(≤≥-ξP ③ 3 1 )32(≥<-ξP . ④ 9 1)32(≥ <-ξP 因为9 1 )32(,1,2≤≥-==ξξξP D E 三、(满分20分) (1)两人相约7点到8点在某地会面,试求一人要等另一人半小时以上的概率。 解: