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北师大版初二数学下册因式分解公式法一

北师大版初二数学下册因式分解公式法一
北师大版初二数学下册因式分解公式法一

第四章 因分解式

3.公式法(一)

三原县东郊中学 张翠萍

1.知识与技能:

(1)理解平方差公式的本质:即结构的不变性,字母的可变性;

(2)会用平方差公式进行因式分解;

(3)使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法,再考虑用平方差公式分解

2.过程与方法:经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程,发展学生的逆向思维,渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想,感受数学知识的完整性.

3.情感与态度:在探究的过程中培养学生独立思考的习惯,在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法,在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的。

教学过程

第一环节 复习回顾

活动内容:填空:

(1)(x+5)(x –5) = ;

(2)(3x+y )(3x –y )= ;

(3)(3m +2n )(3m –2n )= .

它们的结果有什么共同特征?

尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积:

第二环节 探究新知

活动内容:谈谈你的感受。

.

____________________49_;____________________9__;

____________________2522222=-=-=-n m y x x

结论:整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。这种分解因式的方法称为运用公式法。

说一说 找特征

))((22b a b a b a -+=-

(1)公式左边:(是一个将要被分解因式的多项式)

★被分解的多项式含有两项,且这两项异号,并且能写成( )2-( )2

的形式。

(2) 公式右边:(是分解因式的结果)

★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。

试一试 写一写

下列多项式能转化成( )2-( )2的形式吗?

如果能,请将其转化成( )2-( )2的形式。

第三环节 范例学习

例1把下列各式因式分解:

(1)25–16x 2 (2)9a 2–

241b

试一试:

把下列各式因式分解:

第四环节 能力提升

例2.把下列各式因式分解:

总结分解因式的一般步骤:一提二套,多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。

第五环节 巩固练习

1.把下列各式分解因式:

2.简便计算

2

49)1(x +-2

2241)2(z

y x -2

212125.0)3(p q -1

)4(4-p 2

)2(25

4)1(n m --22)())(2(n m n m --+2

394)4(xy x -2

2)(4)(9)3(n m n m --+

第六环节自我小结

注意事项:学生认识到了以下事实:

(1)有公因式(包括负号)则先提取公因式;

(2)整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系;

(3)平方差公式中的a与b既可以是单项式,又可以是多项式;

课后作业:1.完成课本习题

2.拓展作业:你能尝试运用今天所学知识解决下面的问题吗?

你知道992-1能否被100整除吗?

教学设计反思

探索分解因式的方法实际上是对正是乘法的再认识,而本节正是对平方差公式的再认识:

1 本节课的教学设计借助于学生已有的整式乘法运算的基础,给学生留有充分探索与交流的时间和空间,让他们经历从整式乘法到分解因式的转换过程并能用符号合理的表示出分解因式的关系式,同时感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性。

2 有意识的培养学生逆向思考问题的习惯,不仅对提高解题能力有益,更重要的是改善学生学习数学的思维方式,有助于形成良好的思维习惯,激发学生的创新开拓精神,培养良好的思维习性,提高学习效果、学习兴趣,及思维能力和整体素质.3.保证基本的运算技能的训练,避免复杂的题型训练。

因式分解法(提公因式法、公式法)

因式分解法(提公因式 法、公式法) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

【知识要点】 1、提取公因式:型如()ma mb mc m a b c ++=++,把多项式中的公共部分提取出来。 ☆提公因式分解因式要特别注意: (1)如果多项式的首项系数是负的,提公因式时要将负号提出,使括号内第一项的系数是 正的,并且注意括号内其它各项要变号。 (2)如果公因式是多项式时,只要把这个多项式整体看成一个字母,按照提字母公因式的办法提出。 (3)有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后(如将a+b-c 变成-(c-a-b )才能提公 因式,这时要特别注意各项的符号)。 (4)提公因式后,剩下的另一因式须加以整理,不能在括号中还含有括号,并且有公因式的还应继续提。 (5)分解因式时,单项式因式应写在多项式因式的前面。 2、运用公式法:把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式: ()()22a b a b a b -=+-; ()2 222a ab b a b ±+=±。 平方差公式的特点是:(1) 左侧为两项;(2) 两项都是平方项;(3) 两项的符号相反。 完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项;(2) 首、末两项是平方项,并且首末两项的符号相同; (3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。 ☆运用公式法分解因式,需要掌握下列要领: (1)我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解,然后再选择适当公式。(2)各个乘法公式中的字母可以是数,单项式或多项式。 (3)具体操作时,应先考虑是否可提公因式,有公因式的要先提公因式再运用公式。 (4)因式分解一定要分解到不能继续分解为止,分解之后一定要将同类项合并。 【典例分析】 例1.分解下列因式: (1)2 2321084y x y x y x -+ (2)233272114a b c ab c abc --+

初二数学因式分解技巧

因式分解技巧方法 第一部分:方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应 用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. 一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1)(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2 =(a+b)(a -b); (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 ; (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2 ); (4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2 ). 下面再补充两个常用的公式: (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 ; (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2 -ab -bc -ca); 例.已知a b c ,,是ABC ?的三边,且222 a b c ab bc ca ++=++, 则ABC ?的形状是( ) A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解:2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. (一)分组后能直接提公因式 例1、分解因式:bn bm an am +++ 分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a ,后两项都含有b ,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考

初二数学经典因式分解题目

经典因式分解题目 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 一. 填空题 1. 的公因式是___________ 2. 分解因式:__________ 3. 若,则_________ 4. 若是完全平方式,则t =________ 5. 因式分解:_________ 6. 分解因式:_________ 7. 若,则x =_______,y =________ 8. 若,则_________ 9. 计算________ 10. 运用平方差公式分解:-_______=(a +7)(a -_____) 11. 完全平方式 12. 若a 、b 、c ,这三个数中有两个数相等,则 _________ 13. 若,则__________ 分解因式:x x y x y x x y ()()()+--+2x y 4416-x y xy 33-()x y x --3422252034322m m m n m n --+-()()()()x x 2221619---+分解因式164129222a b bc c -+-1218323x y x y -2183x x -=A x y B y x =+=-353,A A B B 222-?+=x x t 26-+944222a b bc c -+-=a c a bc ab c 32244-+=||x x xy y -+-+=214022a b ==9998,a ab b a b 22255-+-+=12798 012501254798....?-?=a 249222 x y -+=()a b c b c a c a b 222()()()-+-+-=a b ab +==-514,a a b ab b 3223+++=

人教版初中数学因式分解易错题汇编及答案

人教版初中数学因式分解易错题汇编及答案 一、选择题 1.若a b +=1ab =,则33a b ab -的值为( ) A .± B . C .± D .【答案】C 【解析】 【分析】 将原式进行变形,3322 ()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-,然后利用完全平方公式的 变形22()()4a b a b ab -=+-求得a-b 的值,从而求解. 【详解】 解:∵3322 ()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+- ∴33)a b b ab a =-- 又∵22()()4a b a b ab -=+- ∴22()414a b -=-?= ∴2a b -=± ∴33(2)a b ab =±=±- 故选:C . 【点睛】 本题考查因式分解及完全平方公式的灵活应用,掌握公式结构灵活变形是解题关键. 2.下列各式从左到右的变形中,是因式分解的为( ). A .()x a b ax bx -=- B .()()222111x y x x y -+=-++ C .()()2111x x x -=+- D .()ax bx c x a b c ++=+ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义作答.把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式. 【详解】 解:A 、是整式的乘法运算,故选项错误; B 、右边不是积的形式,故选项错误; C 、x 2-1=(x+1)(x-1),正确; D 、等式不成立,故选项错误. 故选:C . 【点睛】 熟练地掌握因式分解的定义,明确因式分解的结果应是整式的积的形式.

(完整)初二数学人教版因式分解-讲义

八年级数学因式分解辅导学案 因式分解的常用方法 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数 学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习 这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能, 发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因 式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上, 对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. 一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式, 例如: (1 ) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b); (2 ) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2; 例.已知a b c ,,是ABC ?的三边,且222a b c ab bc ca ++=++,则ABC ?的形状是( ) A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解:222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 选C 练习 (1))(3)(2x y b y x a --- (2)1222-+-b ab a (3)(x -1)(x +4)-36 (4)(m 2+n 2)2-4m 2n 2 (5)-2a 3+12a 2-18a ; (6)9a 2(x -y )+4b 2(y -x ); (7) (x +y )2+2(x +y )+1.

(完整版)因式分解练习题(公式法)

因式分解习题(二)公式法分解因式 专题训练一:利用平方差公式分解因式 题型(一):把下列各式分解因式 1、24x - 2、29y - 3、21a - 4、224x y - 5、2125b - 6、222x y z - 7、2240.019m b - 8、2219 a x - 9、2236m n - 10、2249x y - 11、220.8116a b - 12、222549p q - 13、2422a x b y - 14、41x - 15、4416a b - 16、 44411681a b m - 题型(二):把下列各式分解因式 1、22()()x p x q +-+ 2、 22(32)()m n m n +-- 3、2216()9()a b a b --+ 4、229()4()x y x y --+ 5、22()()a b c a b c ++-+- 6、224()a b c -+

题型(三):把下列各式分解因式 1、53x x - 2、224ax ay - 3、322ab ab - 4、316x x - 5、2433ax ay - 6、2(25)4(52)x x x -+- 7、324x xy - 8、343322x y x - 9、4416ma mb - 10、238(1)2a a a -++ 11、416ax a -+ 12、 2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四):利用因式分解解答下列各题 1、证明:两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2、计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷2222211111(1)(1)(1)(1)(1)234910 - --???--

因式分解一_提取公因式法和公式法_超经典

因式分解(一) ——提取公因式与运用公式法 【学习目标】(1)让学生了解什么是因式分解; (2)因式分解与整式的区别; (3)提公因式与公式法的技巧。 【知识要点】 1、提取公因式:型如()ma mb mc m a b c ++=++,把多项式中的公共部分提取出来。 ☆提公因式分解因式要特别注意: (1)如果多项式的首项系数是负的,提公因式时要将负号提出,使括号内第一项的系数是正的, 并且注意括号内其它各项要变号。 (2)如果公因式是多项式时,只要把这个多项式整体看成一个字母,按照提字母公因式的办法提出。 (3)有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后(如将a+b-c 变成-(c-a-b )才能提公因式, 这时要特别注意各项的符号)。 (4)提公因式后,剩下的另一因式须加以整理,不能在括号中还含有括号,并且有公因式的还应继续提。 (5)分解因式时,单项式因式应写在多项式因式的前面。 2、运用公式法:把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式: ()()22a b a b a b -=+-; ()2 222a ab b a b ±+=±。 平方差公式的特点是:(1) 左侧为两项;(2) 两项都是平方项;(3) 两项的符号相反。 完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项;(2) 首、末两项是平方项,并且首末两项的符号相同; (3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。 ☆运用公式法分解因式,需要掌握下列要领: (1)我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解,然后再选择适当公式。(2)各个乘法公式中的字母可以是数,单项式或多项式。 (3)具体操作时,应先考虑是否可提公因式,有公因式的要先提公因式再运用公式。 (4)因式分解一定要分解到不能继续分解为止,分解之后一定要将同类项合并。 【经典例题】 例1、找出下列中的公因式: (1) a 2b ,5ab ,9b 的公因式 。 (2) -5a 2,10ab ,15ac 的公因式 。 (3) x 2y(x -y),2xy(y -x) 的公因式 。

初中常用因式分解公式

初中常用因式分解公式 2013.6.6 一.因式分解概念:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。 二.因式分解方法: 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有相同因式,那么就可以把这个相 同因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x2-2x 解:x2-2x =x(x -2) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a2 +4ab+4b 解:a2 +4ab+4b =(a+2b)(a+2b)完全平方公式 最常用的公式: (1)(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b); (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2——— a2±2ab+b2=(a±b)2; (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2; (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);

3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解:m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 注意该方法的核心是分组后能提取公因式! 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x2 -19x-6 分析: 1 -3 7 2 交差相乘再相加2-21=-19 解:7x2 -19x-6=(7x+2)(x-3) 5、配凑法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个我们已经会的分式分解方法,然后就能将其因式分解。

因式分解公式法

14.3因式分解(公式法) 知识点一:因式分解的概念 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,它和整式乘法互为逆运算, 识时,应注意以下几点。 1. 因式分解的对象是多项式; 2. 3. 4. 5. 6. 知识点二:基本公式 1、(a+b)(a-b) = a2-b2 2、(a±b)2 = a2±2ab+b2——— 3、(a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3 4、(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 5、a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 6、a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c 知识点三:方法及典型例题 一、直接用公式: 分解因式。 例1、分解因式: (1)x2-9; 二、提公因式后用公式: 再看是否能利用公式法。 例2、分解因式: (1)x5y3-x3y5;(2)4x3y+4x2y2+xy3。 三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解. 例3、分解因式: (1)4x2-25y2; (2)4x2-12xy2+9y4. . (2)16x4-72x2y2+81y4. (2)(x+y)2+4-4(x+y). 1、多项式22 44 x xy y -+-分解因式的结果是() (A)2 (2) x y -(B)2 (2) x y --(C)2 (2) x y --(D)2 () x y + 2、下列多项式中,能用公式法进行因式分解的是()

(A)2 2 x y + (B)2 2 2x xy y -+ (C)2 2 2x xy y +- (D)2 2 x xy y ++ 3、 4 1x -的结果为( ) A.2 (x 4A.x -5、25a A.40 678、 24a -9、(12800-(2) 11、把下列各式分解因式. (1)249x -; (2)22 4169x y -; (3)2125a -+; (4)220.01625m n -. 12、把下列各式分解因式. 2 (2)2 (2)6(2)9a b a b ++++;(3) )2 2 44mn m n ---. 33 ab a b ++的值. 2025x +; (3)22 2 816a b abc c -+;5)2()4()4a b a b +-++. (2)22222()4x y x y +-. 16、把 ) A 、x +3 B 、(x +3)2 C 、x -3 D 、x 2+9 2、若9x 2-m x y +16y 2是一个完全平方式,则m=( ) A 、12 B 、24 C 、±12 D 、±24 3、若- b ax x -+221分解成)7)(4(2 1 +--x x ,则a 、b 的值为( )

《公式法因式分解》教学设计

《公式法因式分解》教学设计 永年县第八中学——胡平亮 一、教学内容:冀教版七年级数学第十一章公式法分解因式 二、教学目标: 知识与技能 1、经历逆用平方差公式的过程. 2、会运用平方差公式,并能运用公式进行简单的分解因式. 过程与方法 1、在逆用平方差公式的过程中,培养符号感和推理能力. 2、培养学生观察、归纳、概括的能力. 情感与价值观要求: 在分解过程中发现规律,并能用符号表示,从而体会数学的简捷美;让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦;培养学生敢于挑战;勇于探索的精神和善于观察、大胆创新的思维品质。 三、教学重点: 利用平方差公式进行分解因式 四、教学难点: 领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性。 五、教学准备: 深研课标和教材,分析学情,制作课件 六、教学过程; 一、知识回顾 1、根据因式分解的概念,判断下列由左边到右边的变形,哪些是因式分解,哪些不是,为什么? (1)、(2x-1)2=4x2-4x+1 否 (2)、 3x2+9xy-3x=3x(x+3y-1) 是 (3)、4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 否 2、把下列各式进行因式分解

(1). a3b3-a2b-ab (2)(3x+y)(3x-y) (3)、(x+5)(x-5) 利用一组整式的乘法运算复习平方差公式,为探究运用平方差公式进行分解因式打下基础。 二、导入新课: 你能把多项式:x2 -25、9x2 -y2分解因式吗? 利用一组运用平方差公式分解因式的习题,引导学生利用逆向思维去探究如何分解 a2- b2类的二次二项式。学生从对比整式的乘法去探索分解因式方法,可以感受到这种互逆变形以及它们之间的联系。 三、探究与交流 a2- b2=(a+b)(a-b) (1)用语言怎样叙述公式? (2)公式有什么结构特征? (3)公式中的字母a、b可以表示什么?引导学生观察平方差公式的结构特征, 学生在互动交流中,既形成了对知识的全面认识,又培养了观察、分析能力以及合作交流的能力。 判断:下列多项式能不能运用平方差公式分解因式? (1) m2-1 (2)4m2-9 (3)(3)4m2+9 (4)(4)x2-25y + (5) -x2-25y2 (6) -x2-25y2 通过这一组判断,使学生加深理解和掌握平方差公式的结构特征,既突出了重点,也培养了学生的应用意识。 四、体验新知: (A)通过自学例1: 分解因式(1)25-16x2 (2)9a2 -1/4b2 引导学生得出分解因式的一般步骤,向学生渗透“化归”思想。 要让学生明确: (1)要先确定公式中的a和b; (2)学习规范的步骤书写。 (B)例2、分解因式9(m+n)2-(m-n)2

常用的因式分解公式

常用的因式分解公式: 待定系数法(因式分解) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法,应用很广泛,这里介绍它在因式分解中的应用. 在因式分解时,一些多项式经过分析,可以断定它能分解成某几个因式,但这几个因式中的某些系数尚未确定,这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等,或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程(或方程组),解出待定字母系数的值,这种因式分解的方法叫作待定系数法.

例1 分解因式:x2+3xy+2y2+4x+5y+3. 分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y), 若原式可以分解因式,那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式,应用待定系数法即可求出m和n,使问题得到解决. 解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn, 比较两边对应项的系数,则有 解之得m=3,n=1.所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1). 说明本题也可用双十字相乘法,请同学们自己解一下. 例2 分解因式:x4-2x3-27x2-44x+7. 分析本题所给的是一元整系数多项式,根据前面讲过的求根法,若原式有有理根,则只可能是±1,±7(7的约数),经检验,它们都不是原式的根,所以,在有理数集内,原式没有一次因式.如果原式能分解,只能分解为 (x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式. 解设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd, 所以有 由bd=7,先考虑b=1,d=7有 所以 原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7).

因式分解 公式法 运用平方差公式分解因式【一等奖教案】新人教版2829

14.3.2公式法 第1课时运用平方差公式分解因式 ◇教学目标◇ 【知识与技能】 灵活运用平方差公式进行因式分解. 【过程与方法】 经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义. 【情感、态度与价值观】 培养良好的推理能力,体会“化归”与“换元”的思想方法,形成灵活的应用能力. ◇教学重难点◇ 【教学重点】 理解平方差公式因式分解,并学会应用. 【教学难点】 领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性. ◇教学过程◇ 一、情境导入 计算①252-242;②352-342;③982-972. 看谁算的最快最准,把你的方法给大家分享. 二、合作探究 探究点1平方差公式因式分解 典例1下列各式中,能运用平方差公式分解的多项式是() A.x2+y2 B.1-x2 C.-x2-y2 D.x2-xy

[解析]x2+y2不能运用平方差公式分解,故A错误;1-x2能运用平方差公式分解,故B正确;-x2-y2不能运用平方差公式分解,故C错误;x2-xy不能运用平方差公式分解,故D错误. [答案] B 因式分解:(a+b)2-4b2=. [答案](a+3b)(a-b) 探究点2先提公因式再用公式 典例2把多项式ax2-4ay2分解因式的结果是. [解析]原式提取公因式,再利用平方差公式分解即可.原式=a(x2-4y2)=a(x+2y)(x-2y). [答案]a(x+2y)(x-2y) 探究点3熟练运用平方差公式 典例3因式分解:4(m+n)2-9(m-n)2. [解析]4(m+n)2-9(m-n)2 =[2(m+n)]2-[3(m-n)]2 =[2(m+n)+3(m-n)][2(m+n)-3(m-n)] =(2m+2n+3m-3n)(2m+2n-3m+3n) =(5m-n)(5n-m). 因式分解:(p-4)(p+1)+3p. [解析](p-4)(p+1)+3p =p2-3p-4+3p =(p+2)(p-2).

公式法因式分解知识点讲解及练习

公式法因式分解知识点讲解及练习 1.平 方 差公式: )b a )(b a (b a 22-+=- 因式分解 22)b a )(b a (b a -=-+ 整式乘法 2、分解因式的一般步骤为: (1)若多项式各项有公因式,则先提取公因式。 (2)若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式。 (3)每一个多项式都要分解到不能再分解为止。 3、分组分解法,适用于四项以上的多项式,例如22a b a b -+-没有公因式,又不能直接利用分式法分 解,但是如果将前两项和后两项分别结合,把原多项式分成两组。再提公因式,即可达到分解因式的目 的。例如:22a b a b -+-= 22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++, 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 4、原则:分组后可直接提取公因式或可直接运用公式,但必须使各组之间能继续分解。 5、有些多项式用分组分解法时,分解方法并不唯一,无论怎样分组,只要能将多项式正确分解即可。 题型一 公式法因式分解 例 1将下列各式因式分解 225-36x 22916b a - 点评::能用平方差公式因式分解的多项式的特征:(1)有且只有两个平方项: (2)两个平方项异号。 知识梳理

巩 固1、计算 (1)22758258- (2)22429171- (3)223.59 2.54?-? 2、已知0001.03,100003=-=+b a b a ,求229a b -的值。 3、把多项式()()2 249b a b a --+分解因式 * 平方差公式中字母b a 、不仅可以表示数,而且也可以表示其他代数式。 例2判断下列各式是不是完全平方式 (1) 222y xy x ++ (2)2244y xy x ++ (3)226b ab a +- (5)222y x xy ++- (6)2242b ab a ++ (4) 412++x x

初二数学人教版因式分解_讲义

初二数学因式分解辅导教案 因式分解的常用方法 第一部分:方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. 一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1 ) (a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b); (2 ) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2; (3 ) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); (4 ) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 下面再补充两个常用的公式: (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2; (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca); 例.已知 是 的三边,且

,则 的形状是() A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 解: 三、分组分解法. (一)分组后能直接提公因式 例1、分解因式: 分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。 解:原式= = 每组之间还有公因式! = 例2、分解因式:

45.3.2因式分解公式法(第1课时)

14.3.2公式法导学案(第1课时) 备课时间: 主备:张洪波 高永爱 审核:高永爱 使用时间: 【学习目标】 1.运用平方差公式分解因式,能说出平方差公式的特点. 2.会用提公因式法与平方差公式法分解因式. 3.会两次运用平方差公式分解因式,知道因式分解必须进行到不能分解为止. 【学习重难点】 学习重点:用平方差公式法进行因式分解. 学习难点:把多项式进行必要变形,灵活运用平方差公式分解因式 【自主学习】 1、对于等式x 2+x = x (x+1): 1) 如果从左到右看,是一种什么变形? 2) 什么叫因式分解?这种因式分解的方法叫什么? 3) 如果从右到左看,是一种什么变形? 4) 因式分解和整式乘法是两种互为_______的变形. 【合作探究】 探究一: 1.计算:(1)(x-1)(x+1)=_________;(2)(y+4)(y-4)=_______ 2.根据1题的结果分解因式:(1)21_____x -=;(2)216________y -= 3.你能将22a b -进行因式分解吗?你是如何思考的? 分析:要将22a b -进行因式分解,可以发现它_________公因式,不能用提公因式法分解因式,但我们还可以发现这个多项式是两个数的 ____________ 形式,所以用平方差公式可以写成如下 形式:

结论:多项式的乘法公式的逆向应用,就是多项式的因式分解公式,如果被分解的多项式符合公式的条件,就可以直接写出因式分解的结果,这种分解因式的方法称为运用公式法。 拓展延伸: 1.把一个单项式写成平方的形式: (1)24a =( )2;(2)40.16a =( )2;(3)221.21a b =( )2; 例1:分解因式:(1);249x -; (2)22()()x p x q +-+ (3).22221.1b b a - 结论:(1)中的_______(2)中的________和(3)中的________相当于平方差公式中的a ;(1)中的______(2)中的_________和(3)中的__________相当于平方差公式中的b ,这说明公式中的a 和b 可以表示一个数,也可以表示一个单项式,或是多项式,只要符合公式的特点( )()22-,就可以运用公式分解因式. 总结平方差公式的特点: ①左边是二项式,每项都是 的形式,两项的符号 . ②右边是两个多项式的 ,一个因式是两数的 ,另一个因式是这两数的 . 例2:因式分解:(1)44x y - ; (2)3a b ab -; 【尝试应用】 1.口答:①24x -=_________ ②29t -= ③21649____m -= ④2254______x -+= 2.因式分解: (1)22125 a b -; (2)2294a b -; (3)24x y y -;

初中数学利用公式法(完全平方公式)因式分解

初二数学利用公式法(完全平方公式)因式分解 设计思路: 教师是学习活动的引导者和组织者,学生是课堂的主人。教师在教学中要充分体现教师的导向作用,尊重学生的个体差异,选择适合自己的学习方式,鼓励学生自主探索与合作交流,让学生经历数学知识的形成与应用过程,鼓励学生的直觉并且运用基本方法进行相关的验证,指导学生注重数学知识之间的联系,不断提高解决问题的能力。 教学过程: 师生问好,组织上课。 师:我们在初一第二学期就已经学习了乘法完全平方公式,请一位同学用文字语言来描述一下这个公式的内容? 生1:(答略) 师:你能用符号语言来表示这个公式吗? 生1:(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 师:不错,请坐。由此我们可以看出完全平方公式其实包含几个公式? 生齐答:两个。 师:接下来有两道填空题,我们该怎么进行填空? a2++1=(a+1)2 4a2-4ab+=(2a-b)2 生2:(答略) 师:你能否告诉大家,你是根据什么来进行填空的吗? 生2:根据完全平方公式,将等号右边的展开。 师:很好。(将四个式子分别标上○1○2○3○4) 问题:○1、○2两个式子由左往右是什么变形? ○3、○4两个式子由左往右是什么变形? 生3:(答略)

师:刚才的○1和○2是我们以前学过的完全平方公式,那么将这两个公式反过来就有: a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 (板书) 问题:这两个式子由左到右的变形又是什么呢? 生齐答:因式分解。 师:可以看出,我们已将左边多项式写成完全平方的形式,即将左边的多项式分解因式了。 这两个公式我们也将它们称之为完全平方公式,也是我们今天来共同学习的知识(板书课题) 师:既然这两个是公式,那么我们以后遇到形如这种类型的多项式可以直接运用这个公式进行分解。这个公式到底有哪些特征呢?请同学们仔细观察思考一下,同座的或前后的同学可以讨论一下。 (经过讨论之后) 生4:左边是三项,右边是完全平方的形式。 生5:左边有两项能够写成平方和的形式。 师:说得很好,其他同学有没有补充的? 生6:还有一项是两个数的乘积的2倍。 师:这“两个数的乘积”中“两个数”是不是任意的? 生6:不是,而是刚才两项的底数。 师:刚才三位同学都回答得不错,每人都找出了一些特征。再请一位同学来综合一下。 生7:左边的多项式要有三项,有两项是平方和的形式,还有一项是这两个数的积的2倍。右边是两个数的和或差的平方。 教师在学生回答的基础上总结: 1)多项式是三项式 2)有两项都为正且能够写成平方的形式 3)另一项是刚才写成平方项两底数乘积的2倍,但这一项可以是正,也可以是负

初二数学因式分解讲解

十字相乘法 一、导入 二、前一节课我们学习了关于x2+(p+q)x+pq这类二次三项式的因式分解,这类式子的特点是:二次项系数为1,常数项是两个数之积,一次项系数是常数项的两个因数之和。 因此,我们得到x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 课前练习:下列各式因式分解 1.- x2+2 x+15 2.(x+y)2-8(x+y)+48; 3.x4-7x2+18;4.x2-5xy+6y2。 答:1.-(x+3)(x-5);2.(x+y-12)(x+y+4); 3.(x+3)(x-3)(x2+2);4.(x-2y)(x-3y)。 我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解,也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。 对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢?这节课就来讨论这个问题,即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。 二、新课 例1 把2x2-7x+3因式分解。 分析:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数。 分解二次项系数(只取正因数): 2=1×2=2×1; 分解常数项: 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3)。 用画十字交叉线方法表示下列四种情况: 1 1 1 3 1 -1 1 -3 2 × 3 2 ×1 2 ×-3 2 ×-1 1×3+2×1 1×1+2×3 1×(-3)+2×(-1)1×(-1)+2×(-3) =5 =7 = -5 =-7 经过观察,第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7。 解2x2-7x+3=(x-3)(2x-1)。 一般地,对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2排列如下: a1c1 a2×c2 a1c2 + a2c1 按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。 像这种借助开十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做十字相乘法。 例2把6x2-7x-5分解因式。 分析:按照例1的方法,分解二次项系数6及常数项-5,把它们分别排列,可有8种不同的排列方法,其

最新人教版因式分解教案

案例研习:因式分解 一、案例背景 设计者:尹振强,衢州学院教师教育学院数学与应用数学 学生:衢州市新星初中八年级一班 45人 教材:人教版八年级上册因式分解 二、学情分析 教学对象是八年级学生,在学习本节前,学生已经掌握了整式乘法运算,对乘法分配律有了一定的认识;虽然对整式的运算比较熟悉,对互逆过程也有一定的感知,但因式分解一直是初中数学教学的一个难点,原因在于分解因式的方法很多,变化技巧较高,且没有一种一般有效的方法。教学中要注意把握教学要求,防止随意拓宽内容和加深题目的难度。教科书对于因式分解这部分内容要求仅限于因式分解的两种基本方法,即提公因式法和公式法,教学中则应让学生牢固地掌握。 三、知识分析 。提公因式法因式分解是义务教育课程标准实验教科书(人教版)《数学》八年级上册第十五章第四单元第一节内容,是在学生已经学习了整式乘法运算的基础上引入的,本教科书安排了多项式因式分解比较基本的知识和方法,它包括因式分解的有关概念,整式乘法与因式分解的区别与联系,因式分解的两种基本方法,即提公因式法和公式法,共3课时,其中提公因式法1课时,公式法2课时。因式分解是解析式的一种恒等变形,学习分解因式一是为解高次方程作准备,二是学习对于代数式变形的能力,从中体会分解的思想、逆向思考的作用。它不仅是现阶段学生学习的重点内容,而且也是学生后续学习的重要基础。本教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的,事实上,它是整式乘法的逆向运用,与整式乘法运算有密切的联系.分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想,而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础,为数学交流提供了有效的途径.分解因式在整个教材中起到了承上启下的作用综上所述,本节课无论是在知识传承,还是在对学生数学思维训练、能力培养上都有举足轻重的作用。 四、学习目标 知识与技能:理解因式分解与整式乘法的区别;懂得寻找公因式,正确运用提公因式法因式分解 过程与方法:(1)由学生自主探索解题途径,在此过程中,通过观察、对比等手段,发现因式分解与整式乘法的区别,确定多项式各项的公因式的方法,加强学生的直觉思维,渗透化归的思想方法,培养学生的观察能力; ( 2)由乘法分配律的逆运算过渡到因数分解,再由单项式与多项式的乘法运算过渡到因式分解,进一步发展学生的类比思想; (3)寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法,培养学生的初步归纳能力。 情感态度与价值观:通过引例问题情境的创设,诱发学生的求知欲,进一步认识数学与生活的密切联系;通过观察、对比等手段,培养学生善于类比归纳,发展学生的数学探究能力,通过有一定梯次的变式训练,锻炼其克服困难的意志,发展学生合作交流的良好品质。 教学重点:因式分解的概念及用提公因式法提公因式。

因式分解—公式法

14.3.2 公式法(平方差公式) 授课时间: 教学目标: 1.知识与技能:会应用平方差公式进行因式分解,发展学生推理能力。 2.过程与方法:经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程,发展学生的逆向思维,感受数学知识的完整性。 3.情感、态度与价值观: 培养学生良好的互动交流的习惯,体会数学在实际问题中的应用价值。 教学重点:掌握平方差公式的特点及运用平方差公式进行因式分解的方法。 教学难点:提取公因式与平方差公式结合进行因式分解的思路和方法。 教学过程: (一) 复习提问: 1. 讲评上节课作业,复习用提取公因式法分解因式。 2. 计算:(1)))((b a b a -+; (2))3)(3(-+a a ; (3))35)(35(y x y x -+; (4))43 1)(431(n m n m +-。 (设计意图:通过以上练习,复习用平方差公式进行整式的乘法计算,进一步引导学生理解整式的乘法与因式分解的关系) (二)讲解新课: 我们知道,整式乘法与因式分解相反,因此,利用这种关系,可以得到因式分解的方法,如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式, 这种分解因式的方法叫做运用公式法,今天我们学习公式中的一种。 板书“平方差公式”。 把乘法公式22))((b a b a b a -=-+,反过来,就得到))((22b a b a b a -+=-, 这就是说,两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积。 公式特征:二项式、差的形式、两项分别是平方数或平方式,符合此特征的二项式可用平方差公式进行因式分解,分解为这两个底数的和与这两个底数的差的积。解题的关键在于找出这两项的底数,相当于公式中的a 、b 。 如:把22925y x -进行因式分解,因为22)5(25x x =,22)3(9y y =,底数分别为x 5、y 3,则22925y x -分解为)35)(35(y x y x -+。 下面我们举例说明,如何利用平方差公式分解因式:

初二公式法因式分解练习题

14.3.2公式法因式分解练习题 思维导航:运用公式法是分解因式的常用方法,运用公式法分解因式的思路主要有以下几种情况: 一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时,可以直接利用公式法分解因式。 例1、分解因式: (1)x2-9 (2)9x2-6x+1 二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时,一般要先提公因式,然后再看是否能利用公式法。 例2、分解因式: (1)x5y3-x3y5(2)4x3y+4x2y2+xy3 三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公 式的形式,然后再利用公式法分解. 例3、分解因式: (1)4x2-25y2 (2)4x2-12xy2+9y4 四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因 式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止. 例4、分解因式: (1)x4-81y4 (2)16x4-72x2y2+81y4 五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时,可以将所给多项式交换位 置,重新排列,然后再利用公式。 例5、分解因式: (1)-x2+(2x-3)2 (2)(x+y)2+4-4(x+y) 六、整理后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解时,可以先将其中的项去括号整理,然后再 利用公式法分解。 例6 、分解因式: (x-y)2-4(x-y-1) 七、连续用公式:当一次利用公式分解后,还能利用公式再继续分解时,则需要用公式法再进行分解,到 每个因式都不能再分解为止。 例7、分解因式:(x2+4)2-16x2

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