4.高阶导数

§ 4 高阶导数

高阶导数的概念：

加速度高阶导数

定义:

注意区分符号和

以函数为例介绍高阶导数计算方法.

高阶导数的记法: 函数在处的阶导数记为

相应的阶导数记为

二. 几个特殊函数的高阶导数:

1.多项式: 多项式的高阶导数.

例1 求和.

2. 正弦和余弦函数: 计算

、、、的公式.

3．和的高阶导数：

4．的高阶导数：

5．的高阶导数：

6．分段函数在分段点的高阶导数：

以函数为例，求.

三. 高阶导数的运算性质: 设函数和均阶可导. 则

1．

2．

3．乘积高阶导数的Leibniz公式：

例设求

利用萊布尼兹公式，取

注意：利用萊布尼兹公式时要注意与的选取次序，否则会使计算复杂。

例2 求

解

例3 求

解

例4 其中二阶可导. 求

例5 验证函数满足微分方程

并依此求

解

两端求导即

对上式两端求阶导数, 利用Leibniz公式, 有

可见函数满足所指方程.

在上式中令得递推公式

注意到和, 就有时,

时,

四. 参数方程所确定函数的高阶导数:

例6 求

解

习题课

一. 可导条件:

例1 设在点的某邻域内有证明在点可导.

例2 设函数在点可导, 则

在点不可导.

例3设函数定义在区间内, 试证明: 在点可导的充要条件是存在内

例4的函数（仅依赖于和. 使在点连续且适合条件

并有

证设存在, 定义

易验证函数在点连续, 且

设又在点连续. 则有

即存在且

二. 求导数或求切线:

例4 求和

例

5 求

例6 求

解

设

其中为的多项式. 注意到对任何正整

数则有

所以，对有

例7 抛物线方程为求下列切线:

⑴过点( 该点在抛物线

上 ) ( )

⑵过点.(该点不在抛物线上 ) ( 和

)

一. 曲线的吻接: 曲线的吻接及其解析表达.

例8 设

确定、和的值，使函数在点可

导. )

四. 奇、偶函数和周期函数的导函数：

例9 可导奇函数的导函数是偶函数. ( 给出用定义证和用链导公式证两种证法)

例10 设是偶函数且在点可导, 则.

证

即

由存在，

简提可导周期函数的导函数为周期函数, 且周期不变.

五. 关于可导性的一些结果:

1. 若是初等函数, 则也是初等函数. 在初等函数的定义域内, 导函数不存在的点是函数的不可导点. 例如函数的定义域是, 但导函数在点没有定义, 因此点是函数的不可导点.

2.存在仅在一点可导的函数. 例如

该函数仅在点可导.

3.存在处处连续但处处不可导的函数. 十九世纪后半叶, 德国数学家Weierstrass大约在1875年首先给出了这样的一个函数, 其后直到现在给出更为简单的这类函数的例的工作一直在进行着. 其中较简单的例可参阅F. Riesz (匈牙利人) 著《泛函分析》Vol P3—

5, 或Mark Lynch , 《A continuous ， nowhere

differentiable function 》，Amer . Math . Monthly, Vol 99, №1, 1992, P8—9.

近年来, 对这一问题给出了更一般的回答, 即在某种意义下( 在纲的意义下), 连续但不可导的函数要比连续且可导的函数多得多. 可参阅丁传松著《实分析导论》（科学出版社，1998.）P5—8.

小结：

莱布尼兹（G.W.Leibniz 1664.7.1—1716.11.4）

生于来比锡，父亲是大学教授，六岁时父亲去世，他以极大的求知欲阅读父亲遗留下来的各种学科书籍。55岁入来比锡大学学法律，20 岁获博士学位，以法律和国际政治为职业，作法律顾问。1672 年因外交事务到巴黎，接触了一些数学家，激发了他对数学的兴趣，从此利用业余时间研究数学，他是靠自学成才的。他在数学上最杰出的贡献就是与牛顿各自独立的创立了微积分，他巧妙的建立了微积分的符号体系，这是一伟大功绩。他一方面从事政治、外交活动，一方面进行科学研究，他涉足的面很广，如哲学、数学、物理、地质、生物、机械、文学、神学、法律、历史等都有杰出贡献。被誉为德国的百科全书式天才。

2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式

2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式

模块基本信息 一级模块名称 微分学 二级模块名称 基础模块 三级模块名称 高阶导数的概念及常见高阶导数 公式 模块编号 2-10 先行知识 导数的概念 模块编号 2-2 知识内容 教学要求 掌握程度 1、高阶导数的概念 1、理解高阶导的概念 一般掌握 2、常见初等函数的高阶导数 2、熟记常见初等函数的高阶导 3、莱布尼兹公式 3、掌握隐函数高阶导的求解（一般 是二阶） 4、隐函数的高阶导数 4、掌握参数方程高阶导的求解（一 般是二阶） 5、参数方程的高阶导数 5、熟记正弦、余弦等常见函数的n 阶导数公式 能力目标 1、提高学生的观察分析能力 2、培养学生的逻辑思维、类比推导能力 时间分配 45分钟 编撰 黄小枚 校对 方玲玲 审核 危子青 修订 肖莉娜 二审 危子青 一、正文编写思路及特点： 思路：本文先借助速度和加速度的概念引出高阶导数的定义，

然后分别介绍常见的初等函数的高阶导数、莱布尼兹公式、隐函数的高阶导数、参数方程的高阶导数。 特点：通过实际问题引出高阶导数的概念，在求解高阶导数时分类进行讲解，层层递进，有助于学生理解和掌握。 二、授课部分 1.引例 （1） 变速直线运动的速度)(t v 是位置函数)(t s 对时间t 的导数，即 )()('t s t v = 或dt ds t v = )( （2） 速度函数)(t v 对时间t 的变化率就是加速度)(t a ，即)(t a 是)(t v 对t 的导数： []' ')(')()(t s t v t a ==或)()(dt ds dt d t a = （3）加速度)(t a 就是位置函数)(t s 对时间t 的导数的导数，称 为)(t s 对t 的二阶导数，记为)(' 't s 或22dt s d 2．高阶导数的定义 设y=f(x)在某区间上可导，即有 ()x f ' 存在，如果()x f '也可导，则称()x f ' 的导数为函数 f(x) 的二阶导数。记 y '', 或 )(x f '', 22dx y d , dx x f d ) (2 根据导数的定义可知：''0()() ()lim x f x x f x f x x →+-''=V V V 类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作 y ''', y (4), ? ? ? , y (n ) 或33dx y d , 44dx y d , ? ? ? , n n dx y d .

高阶导数和高阶微分 泰勒公式

§2-9 高阶导数和高阶微分·泰勒公式 1.高阶导数和高阶微分 在§2-3中，我们讲了函数的二阶导数和二阶微分。一般地，函数 )(x y y =的n 阶导数就是 h x y h x y x y x y n n h n n ) ()(lim ])([)()1()1(0) 1() (--→--+='= (0)()()y x y x =???? 而n 阶微分就是 n n n n n n n n x x y x x x y x x y y y d )(d ]d )([]d )(d[]d[d d )(1)(1)1(1-====--- (x 是自变量；x d 被看成与x 无关的有限量) 因此，按照莱布尼茨的记法，函数)(x y y =的n 阶导数)()(x y n 也可记成 n n x x y d )(d 或简记成 n n x y d d (注意．．n 的位置．．．) 这样，导数与微分之间的那种“乘或除”的转换关系被保留到n 阶导数与n 阶微分的关系中. 例33 因为指数函数e x 的导数(e )e x x '=，所以(e )(e )e x x x '''==. 依次类推，则有 ()()(e )e ,d (e )(e )d e d (1,2,)x n x n x x n n x n x x n ==== 例34 对于函数x y sin =，则 cos sin , sin sin 2,22 2y x x y x x '??πππ?? ???? '''==+=+=?+ ? ? ????? ?????? 一般地， ()sin 2n n y x π??=+ ???； ()d d sin d 2n n n n n y y x x x π??==+ ??? ),2,1( =n . 同理，对于函数cos y x =，有 ()cos 2n n y x π??=+ ???； ()d d cos d 2n n n n n y y x x x π?? ==+ ??? ),2,1( =n . 例35 对于函数ln(1)y x =+，则 2 23 112,,(1),1(1)(1)y y y x x x ''''''= =-=-+++ 一般地， （n 阶导数）() 1 (1)! (1)(1,2,)(1)n n n n y n x --=-=+ （n 阶微分）()1(1)!d d (1)d (1,2,)(1) n n n n n n n y y x x n x --==-=+ 例36 设函数1()e (0),(0)0x f x x f - =≠=.证明：),2,1(0)0()( ==n f n . 证 一方面，函数)(x f 在点0是连续的，因为

2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式

模块基本信息 一级模块名称 微分学 二级模块名称 基础模块 三级模块名称 高阶导数的概念及常见高阶导数公式 模块编号 2-10 先行知识 导数的概念 模块编号 2-2 知识内容 教学要求 掌握程度 1、高阶导数的概念 1、理解高阶导的概念 一般掌握 2、常见初等函数的高阶导数 2、熟记常见初等函数的高阶导 3、莱布尼兹公式 3、掌握隐函数高阶导的求解（一般是二阶） 4、隐函数的高阶导数 4、掌握参数方程高阶导的求解（一般是二阶） 5、参数方程的高阶导数 5、熟记正弦、余弦等常见函数的n 阶导数公式 能力目标 1、提高学生的观察分析能力 2、培养学生的逻辑思维、类比推导能力 时间分配 45分钟 编撰 黄小枚 校对 方玲玲 审核 危子青 修订 肖莉娜 二审 危子青 一、正文编写思路及特点： 思路：本文先借助速度和加速度的概念引出高阶导数的定义， 然后分别介绍常见的初等函数的高阶导数、莱布尼兹公式、隐函数的高阶导数、参数方程的高阶导数。 特点：通过实际问题引出高阶导数的概念，在求解高阶导数时分类进行讲解，层层递进，有助于学生理解和掌握。 二、授课部分 1.引例 （1） 变速直线运动的速度)(t v 是位置函数)(t s 对时间t 的导数，即 )()('t s t v = 或dt ds t v =)( （2） 速度函数)(t v 对时间t 的变化率就是加速度)(t a ，即)(t a 是)(t v 对t 的导数： []'')(')()(t s t v t a ==或)()(dt ds dt d t a =

（3）加速度)(t a 就是位置函数)(t s 对时间t 的导数的导数，称 为)(t s 对t 的二阶导数，记为)(' 't s 或22dt s d 2．高阶导数的定义 设y=f(x)在某区间上可导，即有 ()x f ' 存在，如果()x f '也可导，则称()x f ' 的导数为函数 f(x) 的二阶导数。记 y '', 或 )(x f '', 22dx y d , dx x f d )(2 根据导数的定义可知：''0()()()lim x f x x f x f x x →+-''= 类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作 y ''', y (4), ? ? ? , y (n ) 或33dx y d , 44dx y d , ? ? ? , n n dx y d . 函数f (x )具有n 阶导数, 也常说成函数f (x )为n 阶可导. 注：（1）如果函数f(x)在点x 处具有n 阶导数, 那么函数f(x)在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数. （2）二阶及二阶以上的导数y '' y ''' y (4) ?? y (n )统称高阶导数. 3.常见初等函数的高阶导数 例1 已知3y x = 求()n y （一级） 解: ()()423;6;6;0;,0.n y x y x y y y ''''''===== 课堂练习：已知y =e x 求它的n 阶导数. 例2 已知sin y x =求它的n 阶导数. （一级） 解:)2 sin(cos π+=='x x y , )2 2sin()2 2 sin()2 cos(ππππ?+=++=+=''x x x y ,

求高阶导数

高阶导数 一般来讲，首先看它是不是常见的那几个函数（指数函数，三角函数）什么的，如果是，直接套公式； 其次：如果不是，则看能不能写成上面几个函数的和式或者乘积表达式，如果是和式，直接用求导法则，如果是乘积，用莱布尼兹法则写出通项后求和即可 再次：观察可不可以对函数求出几阶导数之后变成上面的两种情况； 最后，实在不行，看看能不能用数学归纳法求解。 上面的方法没有前后顺序，呵呵，关键看你的数学感觉。 1、一般来说，当然就是一次一次地求导，要几次导数给几次； 2、上面的方法比较沉闷，而且容易出错，通常根据被求导的函数，求几次导数后， 根据结果，找到规律，然后用归纳法，证明结果正确； 3、在解答麦克劳林级数、泰勒级数时，经常要求高阶导数，找规律是非常需要技巧的，很多情况下，递推公式(Redunction)是很难找到。 实在找不到时，只能写一个抽象的表达式。 步骤： 第一步：确定函数的定义域．如本题函数的定义域为R. 第二步：求f(x)的导数f′(x). 第三步：求方程f′(x)＝0的根. 第四步：利用f′(x)＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列出表格. 第五步：由f′(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性. 第六步：明确规范地表述结论. 第七步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范． 这个公式是说，对y(x)=u(x)v(x)求n阶导数时候，可以表示为u(x)的n-i阶导数乘v(x)的i阶导数的积的叠加，其系数是C(i,n)。 那个C是组合符号， C(i,n)=n!/(i!(n-i)!) 莱布尼兹公式好比二项式定理，它是用来求f(x)*g(x)的高阶导数的。展开的形式我就不多说了。 一般来说，f(x)和g(x)中有一个是多项式，因为n次多项式求n+1次导数就变成0了，可以给计算带来方便。 就本题： y的100阶导数=（x的0阶导数*shx的100阶导数）+100（x的1阶导数*shx的99阶导数）+99*100/2(x的2阶导数*shx的98阶导数)+...... 如前所说，x的2阶以上导数都是0,所以上式只有前两项， 所以：y的100阶导数=xshx+100chx 1.把常用初等函数的导数公式记清楚； 2.求导时要小心谨慎，尤其是关于复合函数的导数。

第十二讲高阶导数习题

第十二讲 高阶导数习题 一、选择题 1. 设x e x f 2)(=，则(0)f '''=【 】 A. 8 B. 2 C. 0 D. 1 2. 设x x x f cos )(=，则()f x ''=【 】 A. x x sin cos + B. x x x sin cos - C. x x x sin 2cos -- D. x x x sin 2cos + 3. 设y=sinx ，则y (10)|x=0=【 】 A. 1 B. -1 C. 0 D. 2n 4. 已知ln ,=y x x 则()6y =【 】 A. 5 1x - B. 51x C. 54!x D. 54!x - 二、填空题 1. 设函数)(x f 有任意阶导数且)()('2 x f x f =，则()f x '''= 。 2. 已知函数2x y e =，则y '''=_____________. 3. 设函数)(x f 在2=x 的某邻域内可导，且)()(x f e x f ='，1)2(=f ，则=''')2(f _____________. 4. 设函数)(y f x =的反函数)(1x f y -=及)]([1x f f -'、)]([1x f f -''均存在，且 0)]([1≠'-x f f ，则=-212dx )x (f d _____________. 5. 设x x x f +-=11)(，则=)x (f )n (_____________. 6. 设x x y 44cos sin -=，则=) n (y ____________. 7. 184、设x x x y cos sin sin 3+=，则=) n (y ____________.

求高阶导数常见方法

求函数的高阶导数常用方法 （一）逐阶整理法 例1、 求()sin x f x e x =的n 阶导数（解略） （二）将函数分解为若干个简单函数的和，再利用已知的常见的函数的高阶导数公式 （1）()()(1)(1)n n x n x ααααα?=??+" （2）()()(ln )x n x n a a a =， ()(e )e x n x = （3）()(sin())sin ()2n n ax b a ax b n π??+=?++???? ?， ()(cos())cos ()2n n ax b a ax b n π??+=?++???? ? （4）()11(1)!n n n n x x +???=????， ()1 1(1)!()n n n n n a ax b ax b +????=??++?? （5）1()(1)(1)!(ln )n n n n x x ???=， 1()(1)(1)!(ln())()n n n n n a ax b ax b ????+=+ 例2、求下列函数的n 阶导数 （1）1()(1) f x x x =? （2）()1n x f x x =? （3）2221()f x a b x =? （4）()cos cos2f x x x =? （三）利用莱布尼茨公式 例3、求函数ln ()x f x x =的n 阶导数 例4、求函数2()(1)n f x x =?的n 阶导数 （提示：()(1)(1)n n f x x x =??+） （四）先求一阶或二阶导数，变成乘积形式，再利用莱布尼茨公式，得到高阶导数的递推公式

例5 、设arctan y x =，求() 0n x y = 解：由211y x ′=+， 得 2(1)1y x ′?+= 对上式两边求n 阶导数（左边利用莱布尼茨公式），得 (1)2()(1)(1)(1)2202 n n n n n y x n y x y +???++??+ ??= 即 2(1)()(1)(1)2(1)0n n n x y nxy n n y +?+?++?= （高阶导数的递推公式） 令0x =，得 (1) (1)00(1)n n x x y n n y +?===?? 又由(0)0y =，(0)1y ′=，故 () 0 0 , 2(1)(2)!, 21n k x n k y k n k ==?=???=+?当当 例6 、设arcsin y x =，求() 0n x y = 解：由y ′= ，32221(1)x x y y x x ′??′′′===???，则 2(1)y x y x ′′′??=? 对上式两边求n 阶导数（两边利用莱布尼茨公式），得 (2)2(1)()(1)()(1)(1)(2)(2)12 n n n n n n n y x n y x y y x n y +++???+???+ ???=?+?? 整理，得 2(2)(1)2()(1)(21)0n n n x y n xy n y ++??+?= 令0x =，得 (2)2()n n y n y += （高阶导数的递推公式）

高阶导数的计算

高阶导数的计算 一、 高阶导数定义 定义（二阶导数） 若函数f 的导函数'f 在点0x 可导，则称'f 在点0x 的导数为f 在点0x 的二阶导数，记作)(''0x f ，即 )('') (')('lim 00 00 x f x x x f x f x x =--→， 此时称f 在点0x 二阶可导。 如果f 在区间I 上每一点都二阶可导，则得到一个定义在I 上的二阶可导函数，记作)(''x f ， I x ∈，或记作''f ，''y ，2 2dx y d 。 函数)(x f y =的二阶导数)(''x f 一般仍旧是x 的函数。如果对它再求导数，如果导数存在的话， 称之为函数)(x f y =的三阶导数，记为'''y ，)('''x f ，或33dx y d 。 函数)(x f y =的1-n 阶导数的导数称为函数)(x f y =的n 阶导数，记为) (n y ，) (n f ，或n n dx y d 。 相应地，)(x f y =在0x 的n 阶导数记为： 0 ) (x x n y =，)(0) (x f n ，0 x x n n dx y d =。 二阶及二阶以上的导数都称为高阶导数。 1． )()() (] [n n n v u v u ±=±。 2． +++=--)2()2(2)1()1(1)0()()()(v u C v u C v u uv n n n n n n )()() 1()1(1)()(n o n n n k k n k n v u v u C v u C ++++--- ∑=-= N K k k n k n v u C )()(， （Leibniz 公式） 其中u u =) 0(，v v =)0(。 注 将Leibniz 公式与二项式展开作一比较可见： n o k k n k n n n n n v u v u C v u C v u v u ++++=+-- 1110)(。 （这里 100==v u ），在形式上二者有相似之处。